①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线。
②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。
2. 直线和平面所成的角（0 a 兀12）
作出直线和平面所成的角，关键是垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
3. 二面角（0 a 兀）
⑴平面角的作法：
①定义法；
②三垂线定理及其定理法；
③垂面法。
⑵平面角计算法：
①找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算。
②射影面积法：cosA =S射影/S
（二）空间距离的计算：
1. 求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
2. 求两条异面直线距离，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长，在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解.
3. 求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利
用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知求距离比较困难难时，
我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
（三）平面向量知识
（1）平面向量的加减法运算（平行四边形法则，三角形法则）
（2）两向量平行：
（3）两向量垂直：
（4）向量的数量积：（注意向量的夹角）
（四）向量在立体几何中应用
在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，运用向量方法简捷地解决这些问题.
1 求空间角问题
空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角. =arcsin |
法二、设土=2,是二面角
I,在b l,其方向如图，则二面角l
（1 ）求异面直线所成的角
（2 ）求线面角
-
T a
设b分别为异面直线a、b的方向向量，则两异面直线所成的角
arccos|
设l是斜线l的方向向量,
I
n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角
.c
向外侧，则二面角I
2 求空间距离问题
I 的两个半平面的法向量，其方向一个指向侧，另一个指
的平面角=arcco
|n1 ||n2|
构成空间的点、线、面之间有七种距离,
线面距离；面面距离都可化为点面距离来求.
（1）求点面距离
法一、设n是平面的法向量
于O,利用AO
法二、设AO
出|
A O |.
（2 ）求异面直线的距离
的距离，又转化为点
法一、找平面使b
求
方法移植于点面距离的求法）
二、在a上取一点A,
这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、
取一点B,则
和点O在的向量表示，可确定点O的位置，从而求
在b上取一点B,设a、
A到平面
,则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面
的距离.
b分别为异面直线a、b的方向向量，
五、概率解答题的解法
b ），则异面直线a、b的距离d |||cos |
、知识归纳:
1. (1)等可能性事件的概念也称古典概率，它的特征为：
①每一次试验中所有可能出现的结果是有限的；
②每一个结果出现的可能性是相等的；
⑵等可能性事件概率的计算步骤
①计算一次试验的基本事件的总数n；
②计算事件A包含的基本事件的个数m；
③依公式P(A) =m/n求值。
2. 互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是研究两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而非充分条件。
3. 互斥事件的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)
对立事件的概率：P(A+ A)=P(A)+P(
A )=1
相互独立事件的概率：P(A - B)=P(A) - P(B)
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：P n(k)=C n k P k(1-P)n-k
4. 在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率
5、离散型随机变量E的分布列具有两性质：
① Pi> 0 ② P + P2 + P3 + ??…=1
E(c)=c E(a E +b)=aE E +b
6. D E =( X I-E E )2P +( X2-E E )2P2+ ( X3-E E )2P3 +
7、D(aE +b)= s P DE
8、二项分布E ~ B (n,p ) E E =np
DE =npq=np(1-p)
9、几何分布g(p,k)= q k-1p E E =1/p D E =q/p2
10、正态分布
①记做E ~N(卬,o- 2)其中EE = g D E = 0- 2
②正态分布曲线关于直线x=卬对称，b越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”③标准正态分布E?N (0,1 )
P(X 卬)/ b) 如：设随机变量~N( , 2)
若P( C) P( C)，则C=;
11、抽样方法：随机抽样、系统抽样、分层抽样
12. 在概率解答题中要有必要的文字解释
一、知识归纳：
1. 数列前n项和S与第n项a a的关系：
1 S (n =1) a n =—
S n-S n-1 (n > 2)
⑤如果S为｛a n｝的前n项和，则S,S2n S, S3n-S2n成等差数列.
3. 等比数列的主要性质：
已知｛a n｝,｛b n｝为等比数列，则：
①｛ka n｝,｛a n k｝,｛a n b n｝,(k丰0,k为常数)等仍成等比数列；
②a n=a m ? q n-m(m,n C N+);
a n =a n-m ' a n+商
④如果m+n=p+q=2t,则a m ? a =a p - aq;=a 2
｛a n｝的前n项和，则S,S2n S, S3n-S2n成等比数列.(S n乒0)
⑤如果S为
数列的前n项和公式及推导方法(错位相减)的应用.
⑥特别注意等比
na
S n = -[a
4. 能用等差、」等比数列的定义进行解题。掌握等差、等比数列的通项公式，求和公式的推导方法
5. 特殊数列求和
①分组法求数列的和：如
②错位相减法求和：如
④倒序相加法求和
⑴ 设a n为最大项，则fa n a n1
a n a n 1
(2) 利用数列｛a n｝的单调性来判断
2.
已
知{a n},{b n}为等差数列，则：
①{ka n},{a n+b n},{ka n+b},(k,b 为常数)等仍成等差数列;
②a n=a m+(n-m)d (m,n C N)；
③2a n=a n-m+a n+m
④如果m+n=p+q=2t,则a m+a n =a p+a q=2a t ；
.c
⑴3t S n-(2t+3) S n-1 =3t
⑵a n a n 13n 1(叠加)
(3)(n1)a21 i na2 a n1a n。(因式分解
⑷a n
1 -a n 1
2 1 (待定系数法)
(5)3n 1
a n
2a n 1
6、求a n的一些技巧
,叠乘) 7、｛a n｝的最大、最小项的方法:
六、数列解答题的解法
1 (q=1)
1(1-q n)]/(1-q)(q
丰 1)
a n=2n+3n
③裂项法求和：如￡h=
n(n
ai=(2n-1)2n
」=1
1 1)、
D a n+1 -a n= .............. 0 如a n= -2n 2+29n-
3
等差数列的主要性质:
君 a 1
n 1
a n 1 , 9n(n 1)
(a n>0)如a n= 1
1 10n
③ a n=f(n) 研究函数f(n)的增减性如a n=——n——n2 156
a n来解
P(x°,f(x 0))的切线的斜率。
V= s，(t) 表示即时速度。a=v，(t)表示
加速度。
(4)导数在函数单调性、极值、最值问题中的运用(5)函
数在x= X。连续的条件①在X有定义②左、右极限存在并相
等③极限等于该点函数值。
8、在数列a n中，有关S n的最值问题一转化成设S为最
大项，则有
s n S n 1
a n
s n s n 1
在解含绝对值的数列最值问题时
a n 10
卜注意转化思想的应用。
七、函数解答题的解法
(6) 可导
必连续，连续未必可导。F(x)
导充要条件左导等于右导。
(7) 闭区间上的连续函数必有最值。
(8) f (x) 0与f(x)为增函数的关系。
f (x)为增函数,一定可以推出f (x)
lim f (x) f'(x°)
x x0
在x= X0可
0,但反之不一定，因为f (x) 0，即为f (x) 0或f (x) 0。当函数在
一、知识归纳
1、函数的图象及变换
⑴平移变换
a、水平平移y=f(x) 7 y=f(x + a)
(2)对称变换
a、y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称
c、y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称
(3 )翻折变换
a、y=f(x) y= I f(x) |
b、y=f(x) r y=f(
(4)伸缩变换
a、y=f(x) 7y=Af(x)
b、y=f(x) 7 y=f(ax)
b、竖直平移y=f(x) 7 y=f(x) + b b、y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称
-1
(x)与y=f(x)关于y=x对称d、y= f
x |
2、导函数容
f (冷) lim —lim f (x0x) f (x°)
⑴导函数的定义x 0 x x 0x (用极限的观点解释) 一般地:
f (x)
..f (x lim
—-—
x 0
x)
x
f(x)
(导函数)
⑵多项式函数的导函数公式和超越函数的导函数公式
1 .( c) 3 .(x n) 0,
nx
2 .(x )
4 .(a x)
5. (e x)
6. (log a x)
7. (lnx)' =1/x
8. (sinx)' In
x In a
=cosx 9. (cosx)' =-sinx
(u + v) / = u，+ v / (uv) / = u / v+uv / ( u v v - uv
特别地：(x) / =1 (x D，= ( 1 )
x
⑶导数的几何意义及其物理意义
k= f 7 (x 0)表示过曲线y=f(x)上的点
.c
某个区间恒有f (x) 0,则f(x)为常数，函数不具有单调性。
八、不等式解答题的解法
一、知识归纳
㈠不等式解法
1 .高次不等式、分式不等式
常用方法：“序轴标根法”(变形r标根r穿线r写解集)
2 .解绝对值不等式的常用方法
①讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，
②等价变形：
| x | < a
| x | > a
一般地有：
|f(x)| < g(x)
|f(x)| > g(x)
3.含参数不等式
然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式。
解绝对不等式常用以下等价变形
-av x < a
x> a 或x<-a
x2 v a2
x2> a2
(a> 0)
(a> 0)
-g(x)
f(x)
V f(x) V g(x) >g(x)或
f(x) v -g(x)
对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”。一要考虑参数总的取值围，二要用同一标准对参数进行划分，三要使得划分后，不等式的解集的表达式是确定的。
㈡算术平均数与几何平均数
［定理］如果a,bC R,那么a2+b2法2ab (当且仅当a=b时，取"=”)
［定理］如果a,b是正数，那么a b
2
屁"(当且仅当a=b时，取"=”)
1.
2.
3.
二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的放缩功能。
创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成
“和定积最大，积定和最小，”即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。
应用此结论求值要注意三个条件：
⑴各项或因式非负；
⑵和或积为定值；
⑶各项或各因式都能取得相等的值。
必要时要作适当的变形，以满足上述前提。
㈢；基本不等式的变式:
一正二定三相等
⑴aLjbL 尸b)2 ；⑵上届吓 a b (其中a 、我R +)。 (M
1 1
2 . 2
a b
九、解析几何解答题的解法
(一) 直线与圆知识要点
直线的倾斜角与斜率 k=tg a ,直线的倾斜角a 一定存在，围是 [0,兀)，K 不一定存在 牢记图像。 (二) 、圆锥曲线
1椭圆及其标准方程
第一定义、第二定义
标准方程(注意焦点在哪个轴上)
椭圆的简单几何性质：(a 、b 、c 、e 的几何意义，准线方程，焦半径) 椭圆的参数方程x a cos , y bsin ，当点P 在椭圆上时，
可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题。
2. 双曲线及其标准方程:
注意与椭圆相类比)
哪个轴上)
：(a 、b 、c 、e 勺几何意义，准线方程，焦半径，渐近线)
3. 抛物线及其标准方程:
定义，以及定义在解题
(抛物线上的点到 标
准方程(注意焦点在 抛物线的简单几何性质
4直线与圆锥曲线:
位置关系，经常抓为方程的解的情况。 弦长。运用韦达定理解 决 面积。注意合理分析
注意点：
(1) 注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
d m x1
)2 (y2 y1)2，当已知直线l 的斜率k 时，公式变形为
d
5 k 2|x 2
x
1 或 d
「M M y
1
解析几何中的一些常用结论：
1 .直线的倾斜角a 的围是[0 , % ) 2.
直线的倾斜角与斜率的变化关系： 当倾斜角是锐角是，斜
率k 随着倾斜角a 的增大而增大。
当a 是钝角时，k
与a 同增减。
3 .截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
4.
两直线：L:A 1x+By+C 1=0 L 2: A 2x+B 2y+C 2=0 L I ±L 2 A I A +BB 2=0; L 1// L 2 A I B 2=A 2B I
5. 两直线的到角公式 L 1到L 2的角为。，tan 9 = k 2
k 1
1 k 1k 2
夹角为9 , tan 9 =|恒 k |
注意夹角和到角的区别
1 kk
6 .点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。
7.交弦所在直线方程的求法：
圆 C 的方程为：x 2
+y 2
+Dx+Ey+C 1=0.
圆 C 2 的方程为：x 2
+y 2
+Dx+Ey+C 2=0.
?
.
把两式相减得相交弦所在直线方程为：
(D I
-D 2)X +(E 1
-E 2
)y+(C 1
-C 2
)=0
8 .圆上一点到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。
9.
半径公式：在椭圆
2 x
2
匕=1中，Fi 、F2分别左右焦点，
P(x 0,y 0)是椭圆是一点。
~2 a
则: |PF 1 |=a+ex 0 |PF 2〔=a-ex 0
10.曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。
11 .抛物线中与焦点有关的一些结论：焦点弦：I AB| = X I + x2+P
常见的求轨迹方程的方法有以下几种：
⑴直接法：(几何法)将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量 关系式。 ⑵待定系数法：由已知条件可以根据定义判断出曲线类型，可用待定系数法设出方程具有形式，转化为求方 程而解决。 ⑶代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标 (x,y)表示出已知动点的坐标，然后代入已
知的曲线方程。
⑷参数法：通过一个(或多个)中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直 接关系便是普通方程。 ⑸交轨法：动点是两条动曲线的交点，由 x, y 满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程。故交轨法 也属参数法。
(6)定义法
十、应用题
解应用题的一般程序
(1)
读：阅读理解文字表达的题意，分
清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础
^
(2)
建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知
识，建立相应的数学模型
.熟悉基
本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关
.
(3)
解：求解数学模型，得到数学结论.一
要充分注意数学模型中元素的实际意义，
更要注意巧思妙作，优化过程.
(4) 答：将数学结论还原给实际问题的结果
中学数学中常见应用问题与数学模型
(1)
优化问
题.实际问题中的“优选” “控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决
^
(2) 预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 ^ (3)
最(极)值问题：工农业生产、
建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”
，转化为求函数的最值.
(4) 等量关系问题：建立“方程模型”解决 (5)
测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决 .
十一、高考复习指导：考好数学四大
“绝招”
如何在高考有限的时间充分发挥自己的水平，对每个考生来说是很重要的一件事，它对你数学成绩的影响 也许是几分、十几分、甚至更
多。根据我的观察与分析，以下四方面对考生解答高考数学题应有帮助。
.c
第一定义、第二定义( 标准方程(注意焦点在 双曲线的简单几何性质 中的灵活应用 焦点的距离问题经常转 哪个轴上，开口方向， :(焦点坐标，准线方程,
化为到准线的距离。)
p 的几何意义)四种形式
与焦点有关的结论)
(2)要学会变形使用两点间距离公式
审题与解题的关系
有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至少”，“ a>0”，自变量的取值围，隐含条件等等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。
“会做”与“得分”的关系
要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷
面上大量出现“会而不对” “对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳
步”，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜；再如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心
中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”。
快与准的关系
在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分；相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。
难题与容易题的关系
拿到试卷后，应将全卷通览一遍，(因人而异)一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，因此解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难，因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处。所以考试中看到“容易”题不可掉以轻心，看到新面孔的“难”题不要胆怯，冷静思考、仔细分析，定能得到应有的分数。
十二、小知识点：
一. 二项式定理：
』/ ■ x n 八0 x 八1 n— 1. 1 八 2 n —2. 2 八 3 n — 3, 3 八 r n — r. r 八 n — 1 . n — 1 八n, n
1. (a+b) =C n a +C n a b + C n a b + C n a b+…+ C n a b+???+ C n ab + C n b
特别地：(1+x) n=1+G'x+G2x2+…+C n r x r+…+G n x n
2. 通项为第r+1项：T r+1 = C n r a n「r b r作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
3. 主要性质和主要结论：对称性C m=G n「m
最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和：
p° +广1+广2+ 广3+ 广 4 +p r+...+n n=2n
Ci +C h +C i + C n + C n + +C n + +C h 2
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
G ° +C n2+C,4+ 3 +…=C +C n3+G 5 + C n +…=2""
4. 注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
6. 二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不
.c
二. k E的单调性：0,Jk是减函数；Jk，是增函数
y x —( k o)
x 三. 对数运算法则：log a x+ log a y= log a (xy); log a x - log a y= log a (x/y); a log a=x(x>0)；
四?三色囹壑丕里但巨暨―首先要采用配方法，化为y a(x k)2h 的形式。
I、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
a 0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
a 0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
H、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
a 0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
a 0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。
五、反函数：
(1) 求反函数的步骤：
①将y f (x)看成关于x的方程，解出x f 1(y),若有两解，要注意解的选择；
②将x, y互换，得y f 1(x)；
③写出反函数的定义域(即y f (x)的值域)。
(2) 互为反函数的图象间的关系：关于y=x对称；
(3) 原函数与反函数具有相同的单调性(但区间不同)；
(4) 原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
六、函数定义域的求法：含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数y f (x)的定义域是［0,1］，求(x) f (x a) f (x a)的定义域。
七、映射与函数：
如：若A {1,2,3,4}， B {a,b,c}；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数
有个，若A {1,2,3}，则A到B的一一映射有个。
八、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的真值；
逢意一:一…:苣p q._,_一则一q P.'：一土，争题史坦一运用一2 一一如：“sin sin ”是“ ”的条件。
九、集合中元素的个数的计算：
若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2 n ,所有真子集的个数是2n -1 ,所有非空真
子集的个数是2 n-2
局考临近,祝愿每一位考生取得好成绩
等式。
