特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究
特殊化思想在中学数学解题中的应用
２ ＜ｌ 即 ｏ ＜－ ， ａ ， ＜口 去 故选 Ａ 然而这里运用 ＿ ．
了特殊值 求解 ， 更显 方法 之 优．
３ 分析 特殊 因素 。 发现 一般 规律 对一 些较 为抽 象 的数 学 问题 ， 般 规 律 一 又无显 露 ， 时 ， 此 可利 用 特 殊 因素 来探 路 ， 进
而发现 规律 ， 出正 确结论 ． 得
求， 寻求 出问题 的解 题思路 和 结论． ２ 巧用特 殊 因素 ， 化解 题方 案 优
规律 ， 一 般 或 抽 象 复 杂 的数 学 问 题 ， 用 对 采 “ 以退 为进 ” 的策 略 ， 过特 殊 的情形 、 通 简单 的 事例探 求 问题 的 结论 ， 一思 想 称 为 数 学 解 这
０ 给 出下 列不 等式 ： ，
①， ６ － ｆ － ａ ＞ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （ ） （ ） （ ） （ ） ②厂 ６ 一， － ａ ＜ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （） （ ） （） （ ） ③， ｎ －ｆ（ ｂ ＞－ （） ｇ（ ａ ； （） － ） ｇ ｂ － － ）
④ 厂 口 一 厂 －ｂ ＜ ｇ ６ 一ｇ －ａ ． （） （ ） （） 为突破 口 ， 并 去探求 解
题思 路．
例 １ 定 义 在 区间 （ ｏ ， 。 的 奇 函 一 。 ＋ｏ ）
数 ， ） （ 为增 函 数 ， 函数 ｇ（ 在 区 间 ［ ， 偶 ｚ） ０ ＋ｏ ） ｏ 的图像 与 厂 ｚ 的 图像 重 合 ． ｎ ６ （） 设 ＞ ＞
法求 出结果 ， 时 ， 巧 妙 地 运 用 特 殊 因素 ， 此 应
寻求最 优方案 ， 能 收到事半 功倍 之效 ． 方
例 ２ 若定 义 在 区 间 （ １ Ｏ 内 的 函数 一 ，） ， ｚ 一ｌｇ （ ＋ １ 满足 ， ） ， 口的取 （ ） ｏｚ ｚ ） （ ＞Ｏ 则 值 范 围是 （ ） ．
特殊化思想在数学中的应用
象 函数 具 体 化 ，利 用 特 殊 函数 解 决
问题．
积
） ，则 Ｖ 的 最 大值 是 （ ）
Ａ． ３ Ｂ
．
等 Ｃ ． １ Ｄ ． １
从 题 干 或 选 择 支 出 发 ，通过 选
择 特 殊 值 代 入 ，或 将 情 形 特 殊 化 。
从 而 产 生 特 例 ；利 用 问 题 在 某一 特
分 析 ：函数 厂 （ ） ＝ 满足条件．
‘ ．
体 的 数 值 ，使参 数 变 为 常 数 ，转化
成简单熟悉的题型．
２ ． 特 殊 点 法
，（ ． － ２ ０ １ ２ ） ，（ ． － ２ ０ １ １ ） 一 （ ２ ０ １ １ ）
。 ＝
－ ２。
（ ２ ０ １ ２ ） ＝ ａ ‘ 啪 ‘ 如 …一 ‘ …
利 用 原 函 数 图 像 上 的 特 殊 点
＝
Ｍ
２ ｆ ）
） 且 ，（ ０ ） ≠０，可 以借 助
２一
（ 一个或多个 ） ，探 寻 新 函数 图像 上 点 的情 况 。能有 效 地 进行 选 项 排 除．
３ ． 特 殊 位 置 法
，
函数ｆ（ ｘ ） ＝ ｃ ｏ ｓ ｘ 进行分析．
ａ Ｏ ＝ｌ
Ｄ
例： 已知， ） ＝ ｆ １ ｘ ＋
ｌ ｘ Ｅ
，
［Ｉ ０ ）
－
，
２ ＋ １
，
∈
［ ０１ ］
，
，
分析：当 脚 时 ， ｒ － － ｆ（ － ｏ ） （ ０ ）
＝ １ ，可排 除 Ａ；
再如 ： （ １ ）若 ｘ ＞ ０ ，ｙ ＞ ０都 有
特殊化方法在数学解题中的应用
特殊化方法在数学解题中的应用大数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。
这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是解决数学困难的最重要的杠杆之一。
”这段话深刻地说明了特殊化方法的重要作用。
以下是特殊化方法在具体环境中的一些应用：1、利用特殊值(图形)解选择题某些选择题按常规方法解比较困难或者运算繁琐，若利用特殊值(图形)来解则非常简捷。
例l 给定一个三角形，设它的周长、外接圆半径长、内切圆半径长分别为不妨考虑三角形的一些特殊情况。
当这个三角形的三个顶点彼此非常接近时，则该三角形各边的边长均远小于，这时(A)和（C）显然都不成立。
当这个三角形是顶角很小的等腰三角形时，腰长接近于外接圆直径长，显然(B)也不能成立。
因此应选(D)。
尤其在当下，初中数学，尤其是初三数学已经渗透了高中知识，但是有时候初中生的思维还无法达到高中生的思维，所以在解决这种类似的题目时，将题目中的信息特殊化一下，往往会得到意想不到的结果。
2、利用特殊化方法探求问题的结论有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特殊化方法将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，先求出这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向。
都有一个共同的实数解，并求此实数解。
若能知道这个实数解是多少，则问题就变成，验证这个实数解是原方程的解。
题目很难吧，尤其还是四次方程，更是难上加难，但是不要忘了题目中曾说过“都有一个共同的实数解” ，我们就对式子进行特殊化处理一下，对取特殊值，就可以将等式左边消去一项，得到一个方程组，先应用我们学过的加减消元，然后，应用因式分解，最后通过验证得到它们的公共解。
看看，是不是全是我们初中生学过的方法？3、利用特殊化方法探索解题思路数学问题经过特殊化处理后，常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息，这样经过几次特殊化后，就能得到较多的信息，从而有助于找到解决问题的方法。
特殊化思想在数学探究中的应用
僵局． 通过解决特殊情形方法启迪
类 比思维 ， 获得一般化问题的解法． 例 １两 人轮流 在 圆桌 上摆 硬 币 （ 大小相同） ，每次摆一个 ． 每个 硬币不能重叠 ，也不能有一部分在 桌子 的边 缘外 ． 经过充 分多次 这样
Ｇ ，可 以证 明 尸 ／Ｇ Ｈ Ｑ ／ Ｈ，从 而 证
切 线放在垂 直 轴 的 特 殊 位 置 上 ，容易确定此
时 ＡＯ Ｒ 的 面 Ｑ
） ｍ ＼
例 ５无 论 ａ为 任何 实数 值 ， 曲线 ． 一 ａ＋ ０ － ５ ０是否 ４ ２ｙ ２ａ ２ ＝
总能经过一个定点？
Ｑ Ｒ． Ｏ
积 为 ｎ 即 我 ６（
因 为 ａ 、 ／Ｑ Ｒ都 与点 Ｐ 、ｂ Ｏ 在 双 曲 线 上 的位 置 无 关 ， 所 以
广东教育 ・ 教研
２０ ０ ９年第 ５期
智
如 “ 定点” “ 定值”等问题 ，此类 问题的 目标常常是未知的，这就增 加 了解 题的难度 ． 在许多时候 因此
可以取 问题 的特殊情形进行探究 ， 使探究的 目标明确 ，容易使问题获
解．
育
广
角
由于点 Ｐ （ ２ ｙ）是 双曲线上
Ａ Ｄ
Ｃ 的值． 分析 ：先用特殊值法进行探究
方法 ，是 一种 以退 求进 的解 题策 略 ，是我们进行探究活动的重要手
段 和 方法 ．
一
分析 ：由于 Ｐ 、Ｑ的动态 性 ，
所以难于获得一般性结论 ，于是先
、
特 殊 化 的 启 迪 诱 导
考虑极端情形 ：把 点 Ｐ 、Ｑ分别移 到极 端 点——分 别 与点 Ａ 、Ｄ重 合 ，则 显 而 易 见 有 尸 Ｑ∥ 平 面
特殊化策略在初中数学解题中的应用
特殊化策略在初中数学解题中的应用王朝梅(安徽省合肥市５０中学南校㊀２３００００)摘㊀要:作为逻辑性较强的学科ꎬ数学学科在教学过程中往往注重对于习题解答步骤的规划性.在这样的要求下ꎬ为了更好地帮助学生对于数学解题的掌握以及了解ꎬ教师需要采用特殊化策略进行作业.本文立足于特殊化策略ꎬ分析探讨初中数学解题的优化.关键词:特殊化策略ꎻ初中数学ꎻ解题方法ꎻ技术运用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０８－００２６－０２㊀㊀目前ꎬ初中数学问题在解答过程中普遍具有特殊性ꎬ故而教师在进行数学习题解答的过程中ꎬ需要加强对于特殊化策略的运用.本文基于此ꎬ着重论述特殊化策略在数学习题中的运用ꎬ希望由此实现数学教学质量以及效率的提升ꎬ促进各项教学效果的取得.㊀㊀一㊁特殊化策略运用与思维严谨培养我国中学阶段开设数学科目的主要原因ꎬ在于培养学生的思维能力.一般而言ꎬ学生在进行数学习题解答的过程中需要进一步保障答题的严谨性以及周密性.数学习题在解答分析作业时普遍具有思维严谨性ꎬ且需要遵循一定的逻辑规律.基于此ꎬ教师引导学生明确解题思路ꎬ并巧借特殊化方法ꎬ从特殊最佳情形入手探究和分析数学问题ꎬ实现学生解题思路的开拓ꎬ并进一步培养学的逻辑思维能力.例１㊀ 如图１所示ꎬ在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＣＤʅＡＢꎬ垂足为Ｄꎬ点Ｅ在ＡＣ上ꎬＢＥ交ＣＤ于点ＧꎬＥＦʅＢＥ交ＡＢ于点Ｆꎬ若ＡＣ＝ｍＢＣꎬＣＥ＝ｎＥＡ(ｍꎬｎ为实数)ꎬ请探究线段ＥＦ与ＥＧ的数量关系.对于初中的学生而言ꎬ这一道题目具有一定的难度ꎬ学生如果借助一般的几何分析方法进行解答时ꎬ往往会陷入思维僵局中ꎬ但是学生如果采取特殊化的策略进行解答ꎬ其往往能够实现问题的突破ꎬ促进问题解答效率以及质量的提升.在这一题的解答过程中ꎬ由于题目中给出条件 ＡＣ＝ｍＢＣꎬＣＥ＝ｎＥＡ(ｍꎬｎ为实数) ꎬ所以我们可以设定ｍ＝ｎ＝１这种特殊的情况进行教学ꎬ这时ＡＣ＝ＢＣꎬＣＥ＝ＥＡ得到Ｅ是ＡＣ中点ꎬ引导学生想到作辅助线ＥＮ㊁ＥＭ分别垂直ＣＤ㊁ＡＢꎬ利用中位线的知识可以得到正方形ＥＭＤＮꎬ并且得到ＥＮ与ＡＤ㊁ＥＭ与ＣＤ的数量关系ꎬ进一步思考三角形ＥＦＭ和三角形ＥＧＮ全等得到ＥＦ＝ＥＧꎻ这时再深入探究本题可作同样的辅助线ꎬ容易得矩形ＥＭＤＮꎬ引导学生思考ＥＮ与ＡＤ㊁ＥＭ与ＣＤ的数量关系ꎬ由证三角形全等转化成证相似从而引导学生对于这一特殊问题的掌握ꎬ并能够进一步证明该题目ꎬ得出结论ＥＦ＝ｎｍＥＧ.㊀㊀二㊁特殊化方法与思维批判性培养所谓的数学思维批判性ꎬ指的是学生在数学问题解答时能够具备独立思考的能力ꎬ同时能够科学地进行数学问题的分析以及解答ꎬ并对材料中的论证论据提出质疑.一般而言ꎬ特殊化方法的合理化运用ꎬ能够进一步地培养学生判断疑问的能力ꎬ从而进一步引导学生对于各类论据特殊情况的分析.目前ꎬ教师在进行数学题解答分析教学时ꎬ可以巧妙地利用各类特殊化方法ꎬ引导学生对于各特殊情况的分析以及验证ꎬ从而确保其能够对自己的解题不足之处进行总结㊁认识ꎬ实现了自身的完善发展ꎬ可以在最大程度上带动了其解题思维以及明辨是非能力的增长.以数学题 有一组对边和一组对角相等的四边形是平行四边形是否是真命题 为例进行相关的分析.如图２所示:在☉Ｏ中作出两条相交的等弦ＡＢ㊁ＣＤꎬ并将ＡＤ㊁ＢＣ进行连接ꎬ延长ＡＤ至Ｅ点ꎬ并使ＢＥ＝ＡＢ.这一作图之后能够得到等腰三角形әＡＢＥꎬ而四边形ＣＤＥＢ这就符合上述的命题假设.在这一命题假设的影响下ꎬ我们可以得知øＣ＝øＥꎬ而且线段ＣＤ与线段ＢＥ的长度相等.但事实上ꎬ如果四边形ＣＤＢＥ并非平行四边形ꎬ则上述的命题为假命题.㊀㊀三㊁特殊化策略与思维灵活性培养所谓的灵活性思维ꎬ指的是学生在数学问题分析以及解决的过程中ꎬ能够进一步打破传统的思维模式ꎬ并借助不同的视角㊁层面进行问题的思考以及发掘ꎬ从而明确问题的解决方法.目前ꎬ我国的中学生在数学学习的过程中ꎬ普遍依赖教师ꎬ进而导致其在问题分析时缺乏必要且科学的主动性ꎬ最终形成了思维僵化的问题ꎬ无法做到举一反三.而特殊化策略的运用ꎬ则能够实现学生思考问题的角度转变ꎬ确保其在问题的分析过程中能多层次探求特殊情形ꎬ实现其思维灵活性㊁广阔性的增强ꎬ实现自身思维能力的提升ꎬ从而为数学教学目标的实现奠定基础ꎬ促进更高效益的取得.例２㊀ａ㊁ｂ㊁ｃ是不全等的任意实数ꎬ若ｃ＝ａ２－ｂｃꎬｙ＝ｂ２－ａｃꎬｚ＝ｃ２－ａｂꎬ则ｘ㊁ｙ(㊀㊀).Ａ.都不小于０㊀㊀㊀㊀Ｂ.都大于０Ｃ.至少有一个大于０㊀㊀Ｄ.至少有一个小于０在进行该类问题解答的过程中ꎬ学生往往进行式子的转换ꎬ进而忽视了对于特殊数值取值的方法进行解答.在这道题目中ꎬ学生能够发挥其灵活性ꎬ将ａ设定为０ꎬｂ为１ꎬｃ为－１进行该题的解答.在这样的状况下ꎬ学生可以排除选项Ｄꎬ随后学生再设定ａ＝０ꎬｂ＝ｃ＝１ꎬ则ｘ＝－１ꎬｙ＝ｚ＝１ꎬ又可以排除Ａ㊁Ｂꎬ所以答案选择Ｃ.随着相关教学理念的转变以及教学方法的运用ꎬ我国的特殊化策略必将能够融入到数学教学过程中去ꎬ并由此实现教学质量的提升ꎬ确保初中数学教学工作符合时代发展的需要ꎬ促进学生的全方位进步ꎬ谋求更高的教学效益.㊀㊀参考文献:[１]朱海祥.四维数学思想方法的认识与实现流程[Ｊ].江苏第二师范学院学报ꎬ２０１７(０６):８－１１.[２]吴小勇.培养学生自主学习和创新意识的抓手 变式训练[Ｊ].科学大众:科育ꎬ２０１７(０２):３８.[责任编辑:李克柏]实施有效教学提升新授课的课堂效率侍书丽(江苏省苏州国际外语学校㊀２１３１５１)摘㊀要:新授课中通过创设启发性情境ꎬ设置启发性过程ꎬ激发学生内在需求来提高新授课的课堂效率.关键词:有效教学ꎻ启发式ꎻ内在需求中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０８－００２７－０２㊀㊀有效教学是老师们一直关注的问题ꎬ教学设计不只是关注知识的传授ꎬ更应关注学生的学习过程和情感体验过程ꎬ满足新的情境和学生新的需求ꎬ所以设计要有延伸的空间ꎬ要让学生不仅形成知识ꎬ还要形成对知识的进一步探索ꎬ才能真正达到 高效课堂 的目的.启发式教学是历久弥新的话题ꎬ能激发学生的求知欲ꎬ使新授课教学变得灵动高效.启发式教学的关键在于教师延迟判断.以下是我的一点尝试.㊀㊀一㊁创设启发性的教学情境ꎬ引发学生内在的学习需求㊀㊀教学情境是指在课堂教学中ꎬ根据教学内容ꎬ为教学目标所设定的ꎬ适合学习主体并作用于学习主体ꎬ产生一定情感反应ꎬ能够使其主动积极地建构性学习的具有学习背景㊁景象和学习活动条件的学习环境.它可以贯穿于全课ꎬ也可以是课的开始㊁课的中间或课的结束.案例一㊀«补角㊁余角»这节内容ꎬ有老师精心设计了一副三角板的不同摆放:这样的情境导入有两个优点:一学生对它 熟 ꎬ二是直观ꎬ一目了然.不过ꎬ如何让它发挥更大的作用呢?这就需要我们深入一点去思考.如果老师让学生拿起自己的一副三角板摆摆ꎬ让学生体验一个三角板不动ꎬ另一个三角板轻微转动ꎬ观察ø１与ø２的关系是否改变.这时一定会有学生想大幅度转动三角板的冲动ꎬ三角板重叠的情况ꎬ其实正是老师精心设计的例题.但若有这样一个活动体验ꎬ学生还可能会脑洞大开ꎬ移动甚至拉开尺子ꎬ这时就会发现任意移动和平行移动的区别 这样的活动可贯穿于全课.案例二㊀讲«二次函数»章头课时ꎬ老师们最喜欢出。
特殊与一般思想在初中数学解题中的应用
２０２３年１２月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀特殊与一般思想在初中数学解题中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀徐㊀岩㊀㊀摘要:从特殊到一般,再从一般到特殊,是认识事物的一般规律,这一规律在数学的认识活动中有着重要的应用．特殊与一般思想是初中数学重要的思想方法之一,本文中旨在通过举例探讨 特殊与一般 思想在解题中的应用策略．关键词:特殊与一般;初中数学;解题㊀㊀特殊与一般思想具体到一个数学问题就是如果直接解决有困难,可以考虑用特殊情况来获得结果,然后把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上,从而获得一般性问题的解答．特殊化是以一种称为 倒退 的方法,从 一般 到 特殊 ,而反过来称为 前进 的方法[１]．做题时把问题转化为较容易解决的特殊情况,会有事半功倍的效果,尤其是做填空题㊁选择题时,采用特殊与一般思想,可以避免 小题大做 ,节约时间．１用字母表示数用字母表示数是初中数学从有形的数字到抽象符号的质的飞跃,是发展符号意识的基础,从 代表数字的信息 转变为用字母代表未知元素㊁待定系数㊁根和系数之间关系等,体现了使用字母表达任意数的想法．当使用字母表示一定数量的实际问题时,应确定一组字母的值．在同一个问题上,不同的字母会表示不同的数字[２]．例１㊀先化简,再求值:(２－４x ＋２)ːx２x ２－４,其中x 所取的值是在－２＜x ɤ３内的一个整数．解析:原式＝２x ＋４－４x ＋２ (x ＋２)(x －２)x ２＝２x －４x ．由－２＜x ɤ３,x ʂ０,x ２－４ʂ０及x ɪZ 得,x 的取值为－１,１,３．将x ＝－１,１,３代入原式,其值依次为６,－２,２３．２特殊值的应用特殊 可以在一定程度内反映或表示 一般 ,在解决数学问题时,通常先分析特殊情况,然后总结一般情况,即根据具体的条件,选择符合条件的特殊值,然后使用条件或特殊图形进行计算和推断．这类问题通常有一个共同点:题目包含一般条件,可以利用这些条件得出具体的结论或值．而特殊情况的答案通常与一般情况的答案相同．特殊值的选取必须符合特定条件．特殊值的选择应尽可能简单,以便计算和比较．当其中有不止一个未知量时,每个未知量之间应尽可能具有特殊数量关系,以帮助解决问题．例２㊀已知二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)图象的对称轴x ＝－１２,开口向上,图象与x 轴有两个交点,与x 轴非负半轴的交点横坐标大于１,下列结论中,正确的是(㊀㊀)．A．a b c ＞０㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．a ＋b ＝０C ．２b ＋c ＞０D．４a ＋c ＜２b解析:应用由特殊到一般的思路,先取符合题意的特殊二次函数y ＝x ２＋x －３,则a ＝b ＝１,c ＝－３,可得出D 选项正确．但对于学生来说,特殊值的选取要求较高,学生可能因为取值不合适而得不出正确答案．那么,此类问题的常规解法是什么呢?由开口向上,可知a ＞０．由对称轴为x ＝－b ２a ＝－１２,可得a ＝b ＞０．由题意可知,函数与y 轴交点纵坐标小于零,即c ＜０．由此可知,选项A ,B 错误．由题意可知当x ＝１时,y ＜０,即a ＋b ＋c ＜０,也就是２b ＋c ＜０,所以选项C 也错误．故正确答案为选项D ．３特殊图形的应用在解决平面图形问题的过程中,在一般的位置关系下,通常很难找到元素之间的关系,这可能会阻碍思路的探索．此时使用特殊情况下的图形结构会简化计算,但应注意所选择的特殊图形须符合题目条件,且答案必须明确,否则就是不可取的．例３㊀在әA B C 中,A B ＝A C ＝m ,P 为B C 上任意一点,则P A ２＋P B P C 的值等于(㊀㊀)．A．m ２㊀㊀B ．m ２＋１㊀㊀C ．２m ２㊀㊀D．(m ＋１)２１５学生培养２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀图１㊀㊀㊀图２解析:选择题可用特殊图形解决．若点P 与点B重合,如图１所示,原式为m ２,则A 选项正确;当点P 位于B C 中点时,如图２所示,可得P A ʅP B ,P B ＝P C ,则原式＝P A ２＋P B ２＝A B ２＝m ２;当点P 与点C 重合时,也能得出相同的结论．但此方法只适用于选择题,严谨证明还应让点P 保持任意性．图３如图３,根据相交弦定理,得㊀P B P C ＝P D P E＝(A D －P A )(A E ＋P A )＝(m －P A )(m ＋P A )＝m ２－P A ２．故P A ２＋P B P C ＝m ２．４用特殊化方法探求定值一些数学问题由于高度抽象,很难直接找到或证明某些一般特征．在这种情况下,可以探索特殊特征和某些条件,找到规律和解决方案．在某些几何图形中,某些点或线段的位置会不断变化,但总有一些关系始终保持不变,这属于定值问题．例４㊀已知同心圆中,A B 是大圆的直径,点P 在小圆上,求证:P A ２＋P B ２为定值．证明:设大圆㊁小圆半径分别为R ,r ．若P ,A ,B 三点共线,如图４所示,则有P A ２＋P B ２＝(R －r )２＋(R ＋r )２＝２R ２＋２r ２．图４㊀㊀㊀图５若P 为直径A B 中垂线上一点,如图５,则P A ２＝P B ２＝R ２＋r ２,所以P A ２＋P B ２＝２R ２＋２r ２．图６而要想严格证明还需保持点P的任意性,如图６,作P F ʅA B 于点F ,则有P A ２＝P F ２＋A F ２＝(r ２－O F ２)＋(R －O F )２,P B ２＝P F ２＋B F ２＝(r ２－O F ２)＋(R ＋O F )２,所以P A ２＋P B ２＝２r ２－２O F ２＋２R ２＋２O F ２＝２r ２＋２R ２．由此可知,在任意情况下P A ２＋P B ２均为定值,结论得证．５用特殊化方法寻找结论当问题解决方案不明确时,可以先分析一些特殊情况并总结,通常可以找到结果或解决问题的方法,然后分析特殊情况与一般情况之间的关系,以便在一般情况下解决问题．通常有如下两种方法:(１)在一些具有一定数量结构的代数问题中,通常可赋予字母特殊值或利用字母表示的量之间的关系．(２)在平面图形中,通常可选取一个特殊的点(例如,一条线段的中点)㊁特殊的关系位置(例如,两条平行线或垂直的直线)或者是几何形状(例如,直角三角形㊁等边三角形等)来帮助解决问题[３]．例５㊀当１ɤx ɤ２时,化简x ＋２x －１＋x －２x －１．解析:由１ɤx ɤ２,得０ɤx －１ɤ１,所以㊀x ＋２x －１＋x －２x －１＝x －１＋２x －１＋１＋x －１－２x －１＋１＝x －１＋１()２＋x －１－１()２＝|x －１＋１|＋|x －１－１|＝x －１＋１－x －１－１()＝２．６结语特殊与一般思想是初中数学的重要解题思想．掌握了这种思想,学生在面对比较复杂的数学问题时能将其转换成特殊或一般情况,以此简化计算或证明过程．这对培养学生的数学核心素养和数学思维都有帮助．参考文献:[１]崔志锋．特殊与一般[J ]．中小学数学(初中版),２０１９(４):３３Ｇ３５．[２]李文彬．巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学[J ]．数学学习与研究,２０２２(１３):１５５Ｇ１５７．[３]李硕,何意玲,王海涛．例谈 特殊与一般 思想在初中数学教学和解题中的应用[J ]．理科爱好者,２０２２(４):８７Ｇ８９．Z ２５。
特殊化方法在数学教学中应用
特殊化方法在数学教学中应用一、特殊化的基本思想特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。
特殊化作为划归策略，基本思想是很简单的，相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观、和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。
因此，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题之上，而获得一般性问题的解决。
从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题。
显然，较为理想化的特殊问题是其自身容易解决，且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法。
二、特殊化数学思想的内涵凡数学问题均由题设和结论两部分组成。
对于选择题，题设即是题干，结论即为选择支。
用集合的观点说：题设和结论都由数学问题所涉及的对象构成的集合及其元素间的关系构成。
特殊化思想是将数学习题的题设元素特殊化，然后根据特殊化元素寻求问题的结论，或将结论中元素特殊化，然后根据特殊化元素验证问题的结论的数学思想。
对于数学选择题，用特殊化的思想解决问题的过程是从题干或选择支出发，通过选取特殊元素，依据问题在一般情况下真则在特殊情况下亦真，反之，在特殊情况下不真则在一般情况下亦不真的原理，肯定某一选择支或否定其余选择支的过程。
特殊化是将所学的数学事实“退”到属于它的特殊状态（数量或位置关系）下进行探索和研究，从而达到解决问题目的的一种思维方法。
用它来解選择题、填空题，有时显得方便、快捷；用它来分析一个复杂问题，则对思路的形成往往具有很强的启发性。
三、特殊化方法在数学教学中的具体运用特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从空间退到平面，正如华罗庚先生所说，退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再“进”到一般性问题上来。
特殊化思维在数学解题中的运用
＝ 2000x( x x 1) 2000 x 2000x ＝ 2000( ＝2000 由此，将
2
EDC A 100
0
0
x
2
x 1) 2000
2
x
x 1 当 作 一 个 整 体 ， 比 直 接 解
BDE 80 0 ABC C DEC 40 DE DC ∠ABC＝∠C =>∠1=∠2=200
2 x 3 x 的解是（
C.x=3
） D.x=－1
B. x1 3 ， x 2 1
分析：考虑到二次根式的非负性，若 x=3，则－x=－3 ＜0，此时与二次根式的非负性矛盾，故即可弃 B、C，而－x 并非一定为负数，故方程必有解，从而知答案为 D。 例 3：当 分析： 由
x x
2
x 5 0 时，则 x x
第二次相遇于 D 处，此时甲实走 2s-4，乙实走 s+4
2015 年 26 期
23
2s 4
v
s4
甲
v
乙
v v
甲
乙
2s 4 2s 4 s 6 s4 s4 6
巧妙利用速度之比确立方程，问题便迎刃而解了。
x y 40 2 x 4 y 100
诚然能解，但繁琐难计，若要注“全体兔子起立！ ” ，此 时鸡和兔都只有两只脚， 故共有脚 40×2＝80 （只） ， 而 100-80 ＝20（只）脚自然是兔子的所有前脚，从而轻易得出兔子的 数目为 10 只。 例 2：方程 A.无解 例 5：在△ABC 中，∠ABC=∠C，∠A=1000，BE 是∠ABC 的角平分线，求证：AE+BE＝BC 分析：这是一个比较繁杂的直线形问题，因为需要通过 一系列的计算推导，若想到圆，则可避开这一系列的过程， 使问题化难为易。
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特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究
作者：刘松风
来源：《中学课程辅导·教师通讯》2020年第14期
【内容摘要】数学是一门具备较强逻辑性的学科，在实际教学过程中，数学学科更加注重习题解答步骤本身的规划性。
在此背景下，为了能够帮助学生更好的了解以及掌握数学解题方法，教师需要教授学生一些特殊化的解题策略，以此解决那些用普通解题思路无法解决的难题。
本文对这种特殊化的解题策略进行了分析，并通过典型实例探究了初中数学解题过程中特殊化思想的应用策略。
【关键词】特殊化思想初中数学解题
培养学生的数学意识与应用数学方法之间存在着密切的联系，数学方法包括了待定系数法、换元法、归纳法、基本图形法以及综合分析法等。
数学家G·波利亚提出，数学存在两个方面的内容，一方面数学被认为是一门严谨科学，由此可见，数学更加像是一个系统化的演绎科学，可是从另一方面来看，数学也像是一种实验性归纳科学。
特殊化思想更像是数学发现以及创造过程中相对具体的一面，这些内容主要凸显在数学基础教育工作中。
当前，随着新课程改革的持续深入，让学生合作交流、自主探讨，获得问题解决的最终结论，在探讨以及交流的整个过程中，让学生自主发挥自身的能力，以后遇到与之类似的问题，能够先讨论特殊情况，然后将其划归为一般方法，以此提升学生学习能力，实现减负和增效的目的。
数学课程并非是将现有的结论转移给学生，而是按照数学思想的实际发展脉络，创设问题的情境，然后利用多种方法，设计一系列的问题，使得学生能够通过对大量图形以及实际问题的分析，从直观想象———猜想———归纳，最终对内容进行验证和证明，使得学生能够参与到数学建构的整个构成中，逐渐的认识与掌握事物，培养创造能力，有效提升数学素质。
一、特殊化思想概述
特殊化思想是将原问题作为一般，形成特殊问题，在对特殊问题进行解决的过程中实现对原问题的解答。
特殊化思想被看作是一种划归策略。
相较于一般思想来说，特殊化问题更加的具体、简单以及直观，容易被理解，并且在解决特殊问题的进程中，通常会孕育了一般问题解决方法。
如果人们无法解答某个一般型问题的时候，可以想到这类问题的特殊情况，然后将特殊问题的解决方法用于一般问题上，从而实现对一般性问题的有效解决。
特殊化通常表现为特定范围的限制与收缩，也就是从一些大范围的问题过渡到一些小范围的问题，或者是从某一类问题过渡到某子类问题，从形式来看，实现一般性问题的特殊化并不困难，可是某个一般型问
题通过不同特殊化处理以后，通常会获得很多不同特殊化命题。
对于一些理想化的特殊问题，通常比较容易解决，并且在解决的过程中还会发现一般型问题的解决方法。
因此，特殊化思想的核心在于是否能够发现一个理想化的特殊问题。
因为“一般”中涵盖了“特殊”，更加可以凸显出事物本质，所以，在处理问题的过程中，如果能够将问题放在普遍情形下，通过对一般问题的探究解决特殊情况，将一些具体化的问题转变为一般性的问题，并进行研究，通常能够拓展我们的视野，揭示问题的规律与本质。
在按照要求难以探索研究对象的时候，可以考虑改变或者是放宽制约条件，拓展对象范围，将一些一般性问题的解决方法用于特殊情况下，最终可以解决一些特殊问题。
二、特殊化思想在初中数学解题中的应用策略
例题一：中考当中我们经常会碰到一些需要探索规律的题型，这类问题的解决方法需要从简单、特殊以及具体的情形出发，借助对特殊情况所进行的深入分析，归纳出一般性结论，有的时候需要采用一般性结论解决一些特殊性情况。
解：该题型和动点相关。
点P在AD上动态运动，可知PE+PF应该为一定值。
因此，可以让P点运动到A位置，然后按照题意画出图5，此时PE数值为0，根据，AB=3，AD=4，可以获得BD=5，由△ABD面積能够求出PF=2.4，因此，PE+PF=2.4。
利用特殊图形解决问题的时候，通常需要关注所选取的特殊图形是否能够满足题目的要求，同时问题的答案要保持确定性。
因此，在特殊图形的构造过程中，通常从下述几个方面进行全面考虑。
首先，线段上面的特殊点通常选择弧形的端点或者是中点。
其次，线和线之间的位置关系可以将其特殊化成垂直、平行以及重合。
最后，任意四边形可以特殊化成矩形、平行四边形、正方形与菱形。
结语
初中数学解题过程中，从特殊情况入手，探究一般情况下的结论，这种从特殊到一般的数学思想在初中数学教学中比比皆是，是一种非常重要的解题思想。
在特殊情况下，学生很容易获得题目的结论，从而增强自信心，这样不仅符合新课程教学的理念，同时也能够让学生对数
学产生亲近感，从易到难，满足学生自身的认知规律，通过对问题的积极参与以及自我尝试，有助于培养学生独立思考的探索精神与品质，有助于提升学生的分析与解决问题能力。
【参考文献】
[1]左佳丽.数学教材例题中蕴含的数学思想方法———以“一次函数”为例[J].课程教育研究，2017（15）：180-181.
[2]高峰.思想引领感悟方法学会思考———一则“特殊化”思想指引下的解题教学案例的思考[J].中学数学，2015（24）：27-28+60.
（作者单位：江苏省连云港市东海县房山初级中学）。