谈应用特殊化思想方法解题
谈应用特殊化思想方法解题
蔡伟元
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1994(000)005
【总页数】3页(P21-23)
【作者】蔡伟元
【作者单位】常熟市大义中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.特殊化和一般化的思想方法和解题功能 [J], 倪玉华
2.重视思想方法提高解题效率——谈初中数学解题的基本思想方法 [J], 刘明伟
3.谈转化思想方法在高中数学解题中的应用 [J], 陶金
4.谈数学教学中“特殊化”、“化归”等思想方法的渗透 [J], 薛雪庄
5.应用题解题思想方法谈 [J], 杨吉亮
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特殊化思想在中学数学解题中的应用
２ ＜ｌ 即 ｏ ＜－ ， ａ ， ＜口 去 故选 Ａ 然而这里运用 ＿ ．
了特殊值 求解 ， 更显 方法 之 优．
３ 分析 特殊 因素 。 发现 一般 规律 对一 些较 为抽 象 的数 学 问题 ， 般 规 律 一 又无显 露 ， 时 ， 此 可利 用 特 殊 因素 来探 路 ， 进
而发现 规律 ， 出正 确结论 ． 得
求， 寻求 出问题 的解 题思路 和 结论． ２ 巧用特 殊 因素 ， 化解 题方 案 优
规律 ， 一 般 或 抽 象 复 杂 的数 学 问 题 ， 用 对 采 “ 以退 为进 ” 的策 略 ， 过特 殊 的情形 、 通 简单 的 事例探 求 问题 的 结论 ， 一思 想 称 为 数 学 解 这
０ 给 出下 列不 等式 ： ，
①， ６ － ｆ － ａ ＞ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （ ） （ ） （ ） （ ） ②厂 ６ 一， － ａ ＜ｇ 口 一ｇ －ｂ ； （） （ ） （） （ ） ③， ｎ －ｆ（ ｂ ＞－ （） ｇ（ ａ ； （） － ） ｇ ｂ － － ）
④ 厂 口 一 厂 －ｂ ＜ ｇ ６ 一ｇ －ａ ． （） （ ） （） 为突破 口 ， 并 去探求 解
题思 路．
例 １ 定 义 在 区间 （ ｏ ， 。 的 奇 函 一 。 ＋ｏ ）
数 ， ） （ 为增 函 数 ， 函数 ｇ（ 在 区 间 ［ ， 偶 ｚ） ０ ＋ｏ ） ｏ 的图像 与 厂 ｚ 的 图像 重 合 ． ｎ ６ （） 设 ＞ ＞
法求 出结果 ， 时 ， 巧 妙 地 运 用 特 殊 因素 ， 此 应
寻求最 优方案 ， 能 收到事半 功倍 之效 ． 方
例 ２ 若定 义 在 区 间 （ １ Ｏ 内 的 函数 一 ，） ， ｚ 一ｌｇ （ ＋ １ 满足 ， ） ， 口的取 （ ） ｏｚ ｚ ） （ ＞Ｏ 则 值 范 围是 （ ） ．
特殊化思想在数学中的应用
象 函数 具 体 化 ，利 用 特 殊 函数 解 决
问题．
积
） ，则 Ｖ 的 最 大值 是 （ ）
Ａ． ３ Ｂ
．
等 Ｃ ． １ Ｄ ． １
从 题 干 或 选 择 支 出 发 ，通过 选
择 特 殊 值 代 入 ，或 将 情 形 特 殊 化 。
从 而 产 生 特 例 ；利 用 问 题 在 某一 特
分 析 ：函数 厂 （ ） ＝ 满足条件．
‘ ．
体 的 数 值 ，使参 数 变 为 常 数 ，转化
成简单熟悉的题型．
２ ． 特 殊 点 法
，（ ． － ２ ０ １ ２ ） ，（ ． － ２ ０ １ １ ） 一 （ ２ ０ １ １ ）
。 ＝
－ ２。
（ ２ ０ １ ２ ） ＝ ａ ‘ 啪 ‘ 如 …一 ‘ …
利 用 原 函 数 图 像 上 的 特 殊 点
＝
Ｍ
２ ｆ ）
） 且 ，（ ０ ） ≠０，可 以借 助
２一
（ 一个或多个 ） ，探 寻 新 函数 图像 上 点 的情 况 。能有 效 地 进行 选 项 排 除．
３ ． 特 殊 位 置 法
，
函数ｆ（ ｘ ） ＝ ｃ ｏ ｓ ｘ 进行分析．
ａ Ｏ ＝ｌ
Ｄ
例： 已知， ） ＝ ｆ １ ｘ ＋
ｌ ｘ Ｅ
，
［Ｉ ０ ）
－
，
２ ＋ １
，
∈
［ ０１ ］
，
，
分析：当 脚 时 ， ｒ － － ｆ（ － ｏ ） （ ０ ）
＝ １ ，可排 除 Ａ；
再如 ： （ １ ）若 ｘ ＞ ０ ，ｙ ＞ ０都 有
特殊化思想在数学探究中的应用
僵局． 通过解决特殊情形方法启迪
类 比思维 ， 获得一般化问题的解法． 例 １两 人轮流 在 圆桌 上摆 硬 币 （ 大小相同） ，每次摆一个 ． 每个 硬币不能重叠 ，也不能有一部分在 桌子 的边 缘外 ． 经过充 分多次 这样
Ｇ ，可 以证 明 尸 ／Ｇ Ｈ Ｑ ／ Ｈ，从 而 证
切 线放在垂 直 轴 的 特 殊 位 置 上 ，容易确定此
时 ＡＯ Ｒ 的 面 Ｑ
） ｍ ＼
例 ５无 论 ａ为 任何 实数 值 ， 曲线 ． 一 ａ＋ ０ － ５ ０是否 ４ ２ｙ ２ａ ２ ＝
总能经过一个定点？
Ｑ Ｒ． Ｏ
积 为 ｎ 即 我 ６（
因 为 ａ 、 ／Ｑ Ｒ都 与点 Ｐ 、ｂ Ｏ 在 双 曲 线 上 的位 置 无 关 ， 所 以
广东教育 ・ 教研
２０ ０ ９年第 ５期
智
如 “ 定点” “ 定值”等问题 ，此类 问题的 目标常常是未知的，这就增 加 了解 题的难度 ． 在许多时候 因此
可以取 问题 的特殊情形进行探究 ， 使探究的 目标明确 ，容易使问题获
解．
育
广
角
由于点 Ｐ （ ２ ｙ）是 双曲线上
Ａ Ｄ
Ｃ 的值． 分析 ：先用特殊值法进行探究
方法 ，是 一种 以退 求进 的解 题策 略 ，是我们进行探究活动的重要手
段 和 方法 ．
一
分析 ：由于 Ｐ 、Ｑ的动态 性 ，
所以难于获得一般性结论 ，于是先
、
特 殊 化 的 启 迪 诱 导
考虑极端情形 ：把 点 Ｐ 、Ｑ分别移 到极 端 点——分 别 与点 Ａ 、Ｄ重 合 ，则 显 而 易 见 有 尸 Ｑ∥ 平 面
从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用
从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用摘要：从特殊到一般思想方法是一种重要的解题策略，同时也是一种重要的思维方法。
本文从四个方面论述了从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的具体应用。
关键词：数学思想方法特殊化不完全归纳法现实中，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题之上，从而获得一般性问题的解决。
这种从特殊到一般的数学思想方法也称之为特殊化方法，它作为一种化归策略，在解决数学问题中有着广泛的应用，其基本思想却很简单：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。
现在通过实例论述从特殊到一般的数学思想方法在解决数学问题中的具体应用。
一、在指示数学解题方向中的应用众多数学问题都具有各自的特殊性，依据“普遍性存在于特殊性之中”的普遍规律，把那些题目的结论不明确，通过“退”即将问题的条件特殊化，找到结论，从而明确解题方向。
运用这种特殊化能使这类问题的解法变得简洁、明快。
例1：如图，设△ABC三边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC内的任一点P到三边BC、CA、AB的距离分别是da,db,dc，则＋＋为定植。
图１图2分析：当△ABC为任意三角形时，难以确定＋＋的值。
现设原命题为真，即＋＋为定值成立。
将条件特殊化，设△ABC为正三角形，则＋＋为定值也必定成立，如图，在正△ABC中，由P的任意性，取P为垂心H，依据正三角形四心合一的性质知＋＋＝，从而预测＋＋=1（定值）。
证明：连结PA、PB、PC，在△ABC和△PBC中，BC为同底（图1），∴＝，同理，＝，＝，将此三式相加得＋＋=1，原命题成立。
二、在一般性命题检验中的应用由于一般性总是寓于特殊性之中，所以命题在特殊情形下为假，则它在一般情况下也假，从而通过特殊化就能达到对命题结论的检验和判断。
我们往往从问题的特性入手，考察合乎条件的特殊情形，比如：特殊植、特殊位置、特例等进行特殊化处理。
特殊化在解答题应用论文
特殊化策略在解答题中的应用【摘要】在数学教学中，有些问题用一般法解之会花费较多的时间，并且思考、推理、演算较为费劲，而运用特殊化策略则会事半功倍，甚至有意想不到的效果.由于特殊化策略具有一定的技巧性，同时缺乏严密的推理论证，所以一直以来我们只将它用于解决选择题和填空题，在解答题教学中会将它淡化.本文主要谈谈特殊化策略在解答题教学中的应用.【关键词】特殊化；功效；途径我们先来看2011年高考浙江卷理科22题：设函数f(x)=(x-a)2ln x,a∈r.（ⅰ）若x=e y=f(x)的极值点，求实数a.（ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e恒有f(x)≤4e2成立（注：e.以下是标准答案的解答.答案（ⅰ）略（ⅱ）①当00，且h(3e)=2ln(3e)+1-a[]3e2ln(3e)+1-3e+2e[]ln(3e)[]3e=2ln3e-1[]3ln(3e)>0.又 h(x)在（0，+∞）内单调递增，∴函数h(x)在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0，则1从而，当x∈(0,x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0,a)时，f′(x)>a；当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,a)内单调递减，在(a,+∞)内单调递增.所以要使f(x)≤4e2对x∈(1,3e f(x0)=(x0-a)2ln x0≤4e2,(1)f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2,(2)成立.h(x0)=2ln x0+1-a[]x0=0，知a=2ln x0+x0.（3）将（3）代入（1），得4x20ln3x0≤4e 2，又x0>1，注意到函数x2ln3x在［1,+∞)内单调递增，故1由（2）解得，3e-2e[]ln(3e)≤a≤3e+2e[]ln(3e).∴3e-2e[]ln(3e)≤a≤3e.综上，a的取值范围为3e-2e[]ln(3e)≤a≤3e.看到此解答过程，我们不禁感叹其思路的复杂，非常人能够做到.下面谈谈我做这题的一些想法：若将不等式分离参数，化为x-2e[]ln x≤a≤x+2e[]ln x，由g(x)=x-2e[]ln x在x∈(0,3ea≥g(3e)=3e-2e[]ln 3e,令h(x)=x+2e[]ln x，则问题等价于a≤hmin(x)，h′(x)=1-e[]x ln x lnx, h′(x)的符号较难判断，思路受阻.但若细心观察，不难发现x=e h′(x)的零点，这个零点对解题无关紧要的吗？还是可以提供给我们更多的发现？能否以此为突破口，找到思路？由h′(x)=0，我们知道x=e最大值点呢？这样只需证明h′(x)单调递增即可.而x∈(0,3e u（x）=x ln x ln x为增函数，所以h′(x)在(0,3e h′(e)=0，知x∈(0,e)时，h′(x)0，故当x=e h(x)取极小值即最小值h(e)=3e.所以a≤3e a的取值范围为3e-2e[]ln(3e)≤a≤3e.以上的解法妙处就在于从x=e.由此可见，这种特殊值法如果能够运用恰当，它的功效将大大加强.想到了这样的解法，我又在思考，解法固然漂亮，但是不是只是灵光一现才能发现，可遇而不可求的呢？若不然，哪些问题会想到用特殊化策略去解题？一、特殊化策略的定义特殊化策略,就是根据问题所给的全部信息,通过观察分析,选取包含在问题中的某个特殊值,或某个特殊情形,得到并通过此特殊值（情形）的研究，给问题的求解提供思路和帮助，进而得到解决问题的思想方法.这里所指的特殊化策略，它可以是数，也可以是特例、特殊函数、特殊数列、特殊点等等.个性孕育在共性之中.人们总是首先认识了许多不同事物的特殊属性，然后才有可能更进一步地抽象、概括、归纳出各种事物的共同本质.特殊化策略，正是特殊和一般的辩证关系在数学学习中的灵活运用.它生动地体现了认识过程中以退为进(退是为了更好地进)的思想方法.二、特殊化策略的思维过程特殊化策略的思维过程，一般有下面的两种顺序表示：1.问题的一般值（情形）→特殊值（情形）→特殊值（情形）的解决→问题的解决解析我们拿到一个一般问题，当很难入手时或常规方法较麻烦时，先将其特殊化处理，寻求出特殊化得到的结论或得到新发现，再通过类比、归纳，得到一般性问题的解决.2.问题思路受阻→发现特殊值（情形）→以特殊值（情形）找到思路→问题的解决某些复杂的问题，我们一般法处理会很麻烦或难以进行，这时看到存在的一个特殊值（情形），并以此为突破口，找到特殊值（情形）对整个问题的解决的联系，从而找出问题的解决思路.三、特殊化策略在解答题中应用的类型根据特殊与一般之间的辩证关系，特殊寓于一般之中，但有别于一般.特殊有一般的共性，但有其个性.而我们用特殊化策略就是要用特殊的情况来代替一般的情况，这样就要求我们在寻求特殊值法求解时既要用好它的个性，更要用它包含在一般性问题中的共性来解题.一般来说，我们用特殊化策略应用到解答题中，主要有以下五种类型：1.用特殊值探求值，再论证完备性波利亚说：“我们可从一个命题的极端情形来证实它存在的可能性”.（例外证明规律）我们高中数学中的有些题，在用一般法解出答案过程比较费时，若用特殊值直接求出值，再证明它的完备性，就会减少化简变形的过程.例1 已知定义域为r的函数f(x)=--2x+b[]2x+1+a 是奇函数，求a,b的值.此题用常规思路由f(-x)=-f(x)解关于x的恒等式，过程较烦.若取特殊值，根据奇函数的性质，得f(0)=0，即-1+b[]2+a=0，解得b=1，f(x)=-2x+1[]2x+1+a.又由f(-1)=-f(1)知，-1[]2+1[]1+a=--2+1[]1+a，解得a=2.f(x)=-2x+1[]2(2x+2).再检验完备性，f(-x)=-2-x+1[]2(2-x+1)=-1+2x[]2(1+2x)=-f(x)，故结论成立.过程要简化得多.2.用特殊值探求结论是否成立对于某些探索性问题，如果直接从一般情况去处理，会很难得到答案.但如果从特殊情况入手，可能很快就能得出结论是否成立.这时我们可以根据特殊与一般的关系，若结论不成立，则一般情况一定不成立，即问题得以解决；若此结论成立，我们可以再对一般情况进行证明.例2 设f(x)满足f(x1)+f(x2)=2fx1+x2[]2fx1-x2[]2，且fπ[]2=0，试问f(x)是否为周期函数？并证明你的结论.分析由题设条件，联想余弦函数的性质，与函数y=cos x 类比，可猜想f(x)为周期函数，且周期为2π.对猜想的结论的正确性需进一步论证.证明对任意实数x，由题设有f(x+π)+f(x)=2fπ[]2+x fπ[]2=0，∴f(x+π)=-f(x)，从而有f(x+2π)=f［f(x+π)+π=-f(x+π)=f(x)，∴f(x)是以2π.评析这是一道结论探索性问题.通过联想、类比，猜测出结论，然后进行论证.3.用特殊值探求解题思路“善于‘退’足够地‘退’.‘退’到最原始而不失去重要的地方，是学好数学的一个诀窍.”(华罗庚语)对于那些解题思路不易被发现的问题，可先解决简单的特例，充分挖掘、提炼其解决过程的本质内涵，只要对特例看透了，钻研深刻，复杂问题便迎刃而解.例3 试求平面上n条直线最多能把平面分成多少块区域？分析由“最多”可假定这n条直线两两相交，且任何三条直线不交于一点.设n条直线最多把平面分成的区域数为f(n)，则f(1)=1，f(2)=4，f(3)=7，归纳：f(2)=f(1)+2，f(3)=f(2)+3.为什么f(2)比f(1)多2块?为什么f(3)比f(2)多3块?通过对这两个问题的回答，我们能从中悟出：当平面内增加一条直线l n时，直线l n与前n-1条直线共有n-1个交点，这n-1个交点，把l n分成n段，而每一段把它所在的平面块一分为二即增加一块，共增加n块，即得递推关系：f(1)=2,n=1,f(n)=f(n-1)+n,n≥2,由此递推关系，得f(n)=f(1)+［f(2)-f(1)］+［f(3)-f(2)］+…+f(n)-f(n-1)］=2+2+3+…+n=n2+n+1[]2.这个解法是完全可靠的，不必再加证明.4.用特殊值证明否定性的命题根据一般与特殊的关系，一般成立特殊必成立；反之，若特殊不成立，则一般必不成立.故在证明一些否定性命题或否定命题的结论时，常可考虑用特殊值法.例4 设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列，cn=a n+b n，证明：{c n}不是等比数列.证明设{a n},{b n}的公比分别为q1,q2（q1≠q 2）,欲证数列{c n}不是等比数列，只需证明c1,c2,c 3不成等比数列即可.由c22-c1c3=(a2+b2)2-(a1+b1)(a3+b3)=(a1q1+b1q2)2-(a1+b1)(a1q21+b1q22)=…=-a1b1(q1-q2)2≠0.c1,c2,c3不成等比数列，所以{c n}不是等比数列.5.用特殊值发现新思路“极端情形具有启发性.”(波利亚语)有些数学问题，在常规方法较难求解或非常复杂的情况的时候，若发现所求对象中的某些特征，并应用这些特征来启发新思路，可能会给解题带来意想不到的效果.例如本文开头所举的２０１１年高考数学浙江卷理２２题，就属于这种类型.当然，在用特殊值法解决解答题时还要注意以下几点：（1）前提：所取的特殊值应该满足题设条件.（2）作用：所取的特殊值能使解答题的求解过程简化或提供帮助和思路.（3）方法：用所取的特殊值去找到一般情况的求解思路，或用所取的特殊值为问题的解决发现新思路.另外，在解答题中用特殊值法我们主要的目的是通过研究特殊值，找到一般值解决的突破口.所以在解题教学中既要培养这样的意识，但必须要理清特殊与一般之间的辩证关系，防止用特殊值代替一般值来解答，同时也要避免在解题中走极端，做题总是去考虑特殊情形，而忽略通性通法的掌握.但解题还是要以常规方法作为解题的基本手段和铺垫，熟悉和理解能用特殊化策略解题的类型，在通性通法撑握的前提下，追求更为快速简便的特殊化值法解题.当然特殊化策略作为一种常见思想方法，它在解答题的应用可能还不止这些.但我们在数学解答题讨论与研究中，若能根据题型运用特殊化策略，能从问题的特殊情形出发，常能起到启迪思维、简化过程、优化步骤、去伪存真、培养能力之功效.。
特殊与一般思想在初中数学解题中的应用
２０２３年１２月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀特殊与一般思想在初中数学解题中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀徐㊀岩㊀㊀摘要:从特殊到一般,再从一般到特殊,是认识事物的一般规律,这一规律在数学的认识活动中有着重要的应用．特殊与一般思想是初中数学重要的思想方法之一,本文中旨在通过举例探讨 特殊与一般 思想在解题中的应用策略．关键词:特殊与一般;初中数学;解题㊀㊀特殊与一般思想具体到一个数学问题就是如果直接解决有困难,可以考虑用特殊情况来获得结果,然后把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上,从而获得一般性问题的解答．特殊化是以一种称为 倒退 的方法,从 一般 到 特殊 ,而反过来称为 前进 的方法[１]．做题时把问题转化为较容易解决的特殊情况,会有事半功倍的效果,尤其是做填空题㊁选择题时,采用特殊与一般思想,可以避免 小题大做 ,节约时间．１用字母表示数用字母表示数是初中数学从有形的数字到抽象符号的质的飞跃,是发展符号意识的基础,从 代表数字的信息 转变为用字母代表未知元素㊁待定系数㊁根和系数之间关系等,体现了使用字母表达任意数的想法．当使用字母表示一定数量的实际问题时,应确定一组字母的值．在同一个问题上,不同的字母会表示不同的数字[２]．例１㊀先化简,再求值:(２－４x ＋２)ːx２x ２－４,其中x 所取的值是在－２＜x ɤ３内的一个整数．解析:原式＝２x ＋４－４x ＋２ (x ＋２)(x －２)x ２＝２x －４x ．由－２＜x ɤ３,x ʂ０,x ２－４ʂ０及x ɪZ 得,x 的取值为－１,１,３．将x ＝－１,１,３代入原式,其值依次为６,－２,２３．２特殊值的应用特殊 可以在一定程度内反映或表示 一般 ,在解决数学问题时,通常先分析特殊情况,然后总结一般情况,即根据具体的条件,选择符合条件的特殊值,然后使用条件或特殊图形进行计算和推断．这类问题通常有一个共同点:题目包含一般条件,可以利用这些条件得出具体的结论或值．而特殊情况的答案通常与一般情况的答案相同．特殊值的选取必须符合特定条件．特殊值的选择应尽可能简单,以便计算和比较．当其中有不止一个未知量时,每个未知量之间应尽可能具有特殊数量关系,以帮助解决问题．例２㊀已知二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)图象的对称轴x ＝－１２,开口向上,图象与x 轴有两个交点,与x 轴非负半轴的交点横坐标大于１,下列结论中,正确的是(㊀㊀)．A．a b c ＞０㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．a ＋b ＝０C ．２b ＋c ＞０D．４a ＋c ＜２b解析:应用由特殊到一般的思路,先取符合题意的特殊二次函数y ＝x ２＋x －３,则a ＝b ＝１,c ＝－３,可得出D 选项正确．但对于学生来说,特殊值的选取要求较高,学生可能因为取值不合适而得不出正确答案．那么,此类问题的常规解法是什么呢?由开口向上,可知a ＞０．由对称轴为x ＝－b ２a ＝－１２,可得a ＝b ＞０．由题意可知,函数与y 轴交点纵坐标小于零,即c ＜０．由此可知,选项A ,B 错误．由题意可知当x ＝１时,y ＜０,即a ＋b ＋c ＜０,也就是２b ＋c ＜０,所以选项C 也错误．故正确答案为选项D ．３特殊图形的应用在解决平面图形问题的过程中,在一般的位置关系下,通常很难找到元素之间的关系,这可能会阻碍思路的探索．此时使用特殊情况下的图形结构会简化计算,但应注意所选择的特殊图形须符合题目条件,且答案必须明确,否则就是不可取的．例３㊀在әA B C 中,A B ＝A C ＝m ,P 为B C 上任意一点,则P A ２＋P B P C 的值等于(㊀㊀)．A．m ２㊀㊀B ．m ２＋１㊀㊀C ．２m ２㊀㊀D．(m ＋１)２１５学生培养２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀图１㊀㊀㊀图２解析:选择题可用特殊图形解决．若点P 与点B重合,如图１所示,原式为m ２,则A 选项正确;当点P 位于B C 中点时,如图２所示,可得P A ʅP B ,P B ＝P C ,则原式＝P A ２＋P B ２＝A B ２＝m ２;当点P 与点C 重合时,也能得出相同的结论．但此方法只适用于选择题,严谨证明还应让点P 保持任意性．图３如图３,根据相交弦定理,得㊀P B P C ＝P D P E＝(A D －P A )(A E ＋P A )＝(m －P A )(m ＋P A )＝m ２－P A ２．故P A ２＋P B P C ＝m ２．４用特殊化方法探求定值一些数学问题由于高度抽象,很难直接找到或证明某些一般特征．在这种情况下,可以探索特殊特征和某些条件,找到规律和解决方案．在某些几何图形中,某些点或线段的位置会不断变化,但总有一些关系始终保持不变,这属于定值问题．例４㊀已知同心圆中,A B 是大圆的直径,点P 在小圆上,求证:P A ２＋P B ２为定值．证明:设大圆㊁小圆半径分别为R ,r ．若P ,A ,B 三点共线,如图４所示,则有P A ２＋P B ２＝(R －r )２＋(R ＋r )２＝２R ２＋２r ２．图４㊀㊀㊀图５若P 为直径A B 中垂线上一点,如图５,则P A ２＝P B ２＝R ２＋r ２,所以P A ２＋P B ２＝２R ２＋２r ２．图６而要想严格证明还需保持点P的任意性,如图６,作P F ʅA B 于点F ,则有P A ２＝P F ２＋A F ２＝(r ２－O F ２)＋(R －O F )２,P B ２＝P F ２＋B F ２＝(r ２－O F ２)＋(R ＋O F )２,所以P A ２＋P B ２＝２r ２－２O F ２＋２R ２＋２O F ２＝２r ２＋２R ２．由此可知,在任意情况下P A ２＋P B ２均为定值,结论得证．５用特殊化方法寻找结论当问题解决方案不明确时,可以先分析一些特殊情况并总结,通常可以找到结果或解决问题的方法,然后分析特殊情况与一般情况之间的关系,以便在一般情况下解决问题．通常有如下两种方法:(１)在一些具有一定数量结构的代数问题中,通常可赋予字母特殊值或利用字母表示的量之间的关系．(２)在平面图形中,通常可选取一个特殊的点(例如,一条线段的中点)㊁特殊的关系位置(例如,两条平行线或垂直的直线)或者是几何形状(例如,直角三角形㊁等边三角形等)来帮助解决问题[３]．例５㊀当１ɤx ɤ２时,化简x ＋２x －１＋x －２x －１．解析:由１ɤx ɤ２,得０ɤx －１ɤ１,所以㊀x ＋２x －１＋x －２x －１＝x －１＋２x －１＋１＋x －１－２x －１＋１＝x －１＋１()２＋x －１－１()２＝|x －１＋１|＋|x －１－１|＝x －１＋１－x －１－１()＝２．６结语特殊与一般思想是初中数学的重要解题思想．掌握了这种思想,学生在面对比较复杂的数学问题时能将其转换成特殊或一般情况,以此简化计算或证明过程．这对培养学生的数学核心素养和数学思维都有帮助．参考文献:[１]崔志锋．特殊与一般[J ]．中小学数学(初中版),２０１９(４):３３Ｇ３５．[２]李文彬．巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学[J ]．数学学习与研究,２０２２(１３):１５５Ｇ１５７．[３]李硕,何意玲,王海涛．例谈 特殊与一般 思想在初中数学教学和解题中的应用[J ]．理科爱好者,２０２２(４):８７Ｇ８９．Z ２５。
特殊化方法在数学解题中的应用
特殊化方法在数学解题中的应用白湾子镇学校 王涛一般解题方法+题目中的特殊因素=用特殊化方法解题。
大数学家希尔伯特说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决，或者完全没有解决。
这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是解决数学困难的最重要的杠杆之一。
”这段话深刻地说明了特殊化方法的重要作用。
以下是特殊化方法在具体环境中的一些应用：1、利用特殊值(图形)解选择题某些选择题按常规方法解比较困难或者运算繁琐，若利用特殊值(图形)来解则非常简捷。
例l 给定一个三角形，设它的周长、外接圆半径长、内切圆半径长分别为r R l ,,(这里R 为定值)，则下面结论正确的是（ ）。
(A)r R l +> (B)r R l +≤ (C)r R l +<6(D)以上关系都不成立。
不妨考虑三角形的一些特殊情况。
当这个三角形的三个顶点彼此非常接近时，则该三角形各边的边长均远小于R ，这时(A)和（C ）显然都不成立。
当这个三角形是顶角很小的等腰三角形时，腰长接近于外接圆直径长，显然(B)也不能成立。
因此应选(D)。
尤其在当下，初中数学，尤其是初三数学已经渗透了高中知识，但是有时候初中生的思维还无法达到高中生的思维，所以在解决这种类似的题目时，将题目中的信息特殊化一下，往往会得到意想不到的结果。
2、利用特殊化方法探求问题的结论有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特殊化方法将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，先求出这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向。
例2 证明对于任何实数k ，方程04)23()1(234=-+-++k x k x x k都有一个共同的实数解，并求此实数解。
若能知道这个实数解是多少，则问题就变成，验证这个实数解是原方程的解。
小议特殊化方法在解题中的应用
由 Ｏ ｚ＜ １ ｉ ＜ （ 一１， ， ， ， ｌ ２ … ） ｚ ＋ｚ２ … ＋ｚ ＋ 一１，
贝 （ ｌ ２ ｚ ３ 卜… ＋ ｚ ｚ ＋ｚ ｚ … ＋ｚ 十 … ＋ ０ ｚｚ ＋ ｌ — ２ ｌ ２ ３ ２ ｚ 一 ） （ １ （ ｝ ７ ＋ …ｚ ） （ 一 １ ［ｚ ＋ ｚ ＋ １ ≤ 一 ） ｚ 十． Ｃ ； ：一 ， ） （１ ２ ｚ
一
＋ ｚ 十… 十ｚ 一 １ 求 ｚ 。 ２ ＋ … ＋ 的 最 小 值 ． ２ ｚ ， １ ＋ｚ 分析 ： 对 个 元 的情 况 证 明 ， 路 不 易 明 确 ． 们 思 我 不 妨 考 虑 是 用 特 殊 化 方 法 ， 从 少 元 的 情 况探 探 路 ． 先 解 ：（ ）先 考 虑 二元 的情 况 ： 已知 有 ０ ｘ 、 ｚ １ 由 ＜ ｚ ＜ １ Ｉ ２ １ 则 ２ ２ ≤ ｝ － 一 （ ＋ｚ ） ， ＋ｚ — ， ｚ ２ ＋ｚ ； ｌ ２ 一２ １７ － ． ２ ２
１
Ｐ
困 难 是 其 定 值 不 知 ， 果 我 们 先 找 如 出这 一 定 值 ， 许 可 使 问题 简 单 ， 或 甚 至 可 以 发 现 解 题 的 途 径 ． 以 这 里 所 我 们 考 虑 先 用 特 殊 化 的 方 法 寻 找 这
图 １
了‘ 由上 述 的特 殊 探 索 ， 们 不 仅 可 猜 测 到 ｚ ＋ ｚ ＋ 我 ；
ｒ ｆ
是 等腰 梯形 ， 对 角 线 长 为 ｎ 两 底 角 为 ６ 。 １ ｏ． 其 ， Ｏ和 ２ 。
在 △ ＰＢＭ 中 ， 。一 Ｐ ａ 一 ｄ｝ ｄ ＋ ｛一 ２ ｌ ２ ｏ ｌ Ｏ ｄ ｄ ｃｓ ２。
１
…
＋ｚ ：的 最 小 值 为 ， 且 也 找 到 证 明 的途 径 ． 而
运用特殊化思想解三角函数问题
条 件 的 三 角 形 可 能 是 某 特 殊 的 三 角形 ， 特 殊 角 Ａ一 取
【 ３ 知 数 （一ｓ 专 １ 偶 例 １已 函 ， ）２ （ ＋） 为 ｚ ｉ ｎ ＋
函数 ， ０的值． 求 分析 ： 常规解法 ， 利用 ＿ －ｘ 一， ） 通 过和差 厂 （ ） （ ， 化积求 ０的值．
ｓ ａ ｓ （ ＋ｆ ＞ ｓ ／ ｉ＋ ｉａ １ ｎ ｎ ） ｉ７ ｎ．
中， 当运用 这种 思想方法 ， 于提高解题 速度 ， 适 对 培养
又 ｓｎ ＋ ｓｎ ＝ ２ ｉ ｉ ａ ｉ ｐ ｓ ｎ Ｃｓ Ｏ ＞２ｉ ｓ ｎ ・ 解 题 能 力是 大 有 裨 益 的．
罢，一詈的 Ｒ△ Ｂ ＯＣ ｔ Ａ ｃ满足条件， ｎ 二 ＋ 此时， ｉ
ｃｓ 。 一 １故 选 八 ，
注意 到偶 函数 图象 的对称 性 ， 要使 ， ｚ 为偶 函 （）
【 ２ 已知 ０号）能否以 ｓ ａｓ 例 】 ，∈（， ， ｉ ， ， ｎ ｉ
ｓ （ ＋ 的值 为边 长构成ｉ角形？ ｉａ ｎ 分析 ： 这是一套探索性试题 ， 结论不明确 ， 以先 可 用特殊角猜想 出较 明确 的结论再 证明所得的结 论． 取
． 一 口 ．
证明 ： 由对 称 性 ， 妨设 ａ ｐ 因为 ａ ∈ （ ， 不 Ｊ ＞ ， ， ０
－ ） 所以 ｓ ７ ， ｉ ｍ≥ｓ ＆ ｉ ｎ
又 因为 Ｏ ａ ＜ ， 以 ｓ （ ＜ ＋ 所 ｉ ＋ ） Ｏ 所 以 ｎ ＞ ，
特殊化思想是一种重要 的思想方 法 ， 在解题 过程
直 一对 ， 的． 线ｚ 詈 称求ｎ 值
分析 ： 函数 ，（ ） 取 ｚ － 图象 上 的特殊 点 Ｐ（ ， ） 它 Ｏｎ ，
初一数学特殊化思想总结
初一数学特殊化思想总结初一数学特殊化思想总结数学是一门抽象而又具有逻辑严密性的学科，它是我们认识世界和解决问题的重要工具。
在初中数学教育中，特殊化思想是培养学生数学思维和解决实际问题的重要方法之一。
特殊化思想强调的是把问题具体化，从而更好地理解和解决抽象的数学问题。
接下来我将从几个方面总结初一数学特殊化思想的应用。
首先，特殊化思想在数学建模中的应用是非常重要的。
数学建模是将实际问题转化为数学问题，利用数学方法进行求解的过程。
在初一数学教学中，通过特殊化思想，学生可以将实际问题“特殊化”，即把问题中的具体数据变成具体的数值，从而更好地理解问题和解决问题。
例如，在解决简单利润问题时，学生可以先假设商品的进价和售价都是具体的数值，然后再进行计算。
这样一来，学生可以更直观地理解利润的概念，并且更容易解决问题。
其次，特殊化思想在解决复杂问题时起到了很大的作用。
初一数学中，有一些问题可能会比较复杂，需要运用多种方法进行求解。
这时，特殊化思想可以帮助学生将复杂问题分解为几个简单问题。
例如，在解决比例问题时，学生可以首先将问题进行特殊化，假设两个比例相等的两个数是具体数值，然后再根据这些具体数值进行计算。
这样一来，学生可以更好地理解比例的概念，并且更容易解决复杂的比例问题。
此外，特殊化思想还可以帮助学生发现问题中的规律，并运用规律解决问题。
初一数学中，有一些问题可能涉及到一些特殊情况，而这些特殊情况往往会有一定的规律性。
通过特殊化思想，学生可以找到问题中的特殊情况，并通过归纳整理发现规律，从而解决问题。
例如，在解决关于数字规律的问题时，学生可以通过特殊化思想找出一些特殊的数字规律，然后再用这些规律解决一般情况下的问题。
这样一来，学生可以更好地理解数字规律，并且更好地运用它们解决问题。
总之，初一数学特殊化思想的应用是非常广泛的。
通过特殊化思想，学生可以更直观地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。