气体动力学和热力学基础小结.
大气热力学总结报告范文(3篇)
第1篇一、引言大气热力学是研究大气中能量转换、传输和平衡的学科，是大气科学的重要组成部分。
它涉及地球大气层的热力学过程，包括辐射、对流、湍流等能量传输方式，以及大气中的温度、湿度、气压等物理量的变化规律。
本报告将对大气热力学的基本概念、主要理论、研究方法及其在我国的应用进行总结。
二、大气热力学的基本概念1. 热力学第一定律：能量守恒定律，即能量既不能被创造，也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。
2. 热力学第二定律：熵增原理，即在一个孤立系统中，熵总是趋向于增加，系统总是向无序方向发展。
3. 热力学第三定律：绝对零度时，系统的熵达到最小值。
4. 状态方程：描述物质状态参量之间关系的方程，如理想气体状态方程、饱和水汽压状态方程等。
5. 能量平衡：描述能量在大气中转换、传输和平衡的方程，如能量平衡方程、辐射平衡方程等。
三、大气热力学的主要理论1. 辐射理论：研究太阳辐射、地面辐射、大气辐射等辐射过程，以及辐射在大气中的传输和吸收。
2. 对流理论：研究大气中热量、水汽和动量的垂直传输过程。
3. 湍流理论：研究大气中湍流运动对能量、水汽和动量传输的影响。
4. 大气稳定性理论：研究大气垂直运动的热力学条件，以及大气稳定性和对流性降水的关系。
5. 大气环流理论：研究大气环流的形成、演变和能量传输过程。
四、大气热力学的研究方法1. 数值模拟：利用计算机模拟大气运动和热力学过程，如数值天气预报、气候模拟等。
2. 实验研究：通过地面观测、卫星遥感、气球观测等手段，获取大气热力学数据。
3. 理论分析：利用热力学、动力学等理论，对大气热力学过程进行定量分析和解释。
4. 案例分析：通过具体案例分析，揭示大气热力学过程的特点和规律。
五、大气热力学在我国的应用1. 数值天气预报：利用大气热力学理论，建立数值预报模式，提高天气预报的准确性和时效性。
2. 气候变化研究：研究大气热力学过程对气候变化的影响，为制定应对气候变化的政策提供科学依据。
第四篇 气体动理论 热力学基础
第四篇 气体动理论 热力学基础求解气体动理论和热力学问题的基本思路和方法热运动包含气体动理论和热力学基础两部分．气体动理论从物质的微观结构出发，运用统计方法研究气体的热现象，通过寻求宏观量与微观量之间的关系，阐明气体的一些宏观性质和规律．而热力学基础是从宏观角度通过实验现象研究热运动规律．在求解这两章习题时要注意它们处理问题方法的差异．气体动理论主要研究对象是理想气体，求解这部分习题主要围绕以下三个方面：(1) 理想气体物态方程和能量均分定理的应用；(2) 麦克斯韦速率分布率的应用；(3)有关分子碰撞平均自由程和平均碰撞频率．热力学基础方面的习题则是围绕第一定律对理想气体的四个特殊过程(三个等值过程和一个绝热过程)和循环过程的应用，以及计算热力学过程的熵变，并用熵增定理判别过程的方向．1．近似计算的应用一般气体在温度不太低、压强不太大时，可近似当作理想气体，故理想气体也是一个理想模型．气体动理论是以理想气体为模型建立起来的，因此，气体动理论所述的定律、定理和公式只能在一定条件下使用．我们在求解气体动理论中有关问题时必须明确这一点．然而，这种从理想模型得出的结果在理论和实践上是有意义的．例如理想气体的内能公式以及由此得出的理想气体的摩尔定容热容2/m V,iR C =和摩尔定压热容()2/2m P,R i C +=都是近似公式，它们与在通常温度下的实验值相差不大，因此，除了在低温情况下以外，它们还都是可以使用的．在实际工作时如果要求精度较高，摩尔定容热容和摩尔定压热容应采用实验值．本书习题中有少数题给出了在某种条件下m V,C 和m P,C 的实验值就是这个道理．如习题中不给出实验值，可以采用近似的理论公式计算．2．热力学第一定律解题过程及注意事项热力学第一定律E W Q Δ+=，其中功⎰=21d V V V ρW ，内能增量T R i M m E Δ2Δ⋅=．本章习题主要是第一定律对理想气体的四个特殊过程(等体、等压、等温、绝热)以及由它们组成的循环过程的应用．解题的主要过程：(1) 明确研究对象是什么气体(单原子还是双原子)，气体的质量或物质的量是多少？ (２) 弄清系统经历的是些什么过程，并掌握这些过程的特征．(３) 画出各过程相应的p －V 图．应当知道准确作出热力学过程的p －V 图，可以给出一个比较清晰的物理图像．(４) 根据各过程的方程和状态方程确定各状态的参量，由各过程的特点和热力学第一定律就可计算出理想气体在各过程中的功、内能增量和吸放热了．在计算中要注意Q 和W 的正、负取法．3．关于内能的计算理想气体的内能是温度的单值函数，是状态量，与过程无关，而功和热量是过程量，在两个确定的初、末状态之间经历不同的过程，功和热量一般是不一样的，但内能的变化是相同的，且均等于()12m V,ΔT T C Mm E -=．因此，对理想气体来说，不论其经历什么过程都可用上述公式计算内能的增量．同样，我们在计算某一系统熵变的时候，由于熵是状态量，以无论在始、末状态之间系统经历了什么过程，始、末两个状态间的熵变是相同的．所以，要计算始末两状态之间经历的不可逆过程的熵变，就可通过计算两状态之间可逆过程熵变来求得，就是这个道理．4．麦克斯韦速率分布律的应用和分子碰撞的有关讨论深刻理解麦克斯韦速率分布律的物理意义，掌握速率分布函数f (v )和三种统计速率公式及物理意义是求解这部分习题的关键．三种速率为M RT /2P =v ，M RT π/8=v ，M RT /32=v ．注意它们的共同点都正比于M T /，而在物理意义上和用途上又有区别．P v 用于讨论分子速率分布图．v 用于讨论分子的碰撞；2v 用于讨论分子的平均平动动能．解题中只要抓住这些特点就比较方便．根据教学基本要求，有关分子碰撞内容的习题求解比较简单，往往只要记住平均碰撞频率公式v n d Z 22=和平均自由程n d Z λ2π2/1/==v ，甚至只要知道n Z ⋅∝v ，n /1∝λ及M T /∝v 这种比值关系就可求解许多有关习题．第十二章 气体动理论12 －1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们( )(A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强(C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强分析与解 理想气体分子的平均平动动能23k /kT =ε，仅与温度有关．因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同．又由物态方程nkT p =，当两者分子数密度n 相同时，它们压强也相同．故选(C)．12 －2 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比()()()4:2:1::2/12C 2/12B 2/12A =v v v ，则其压强之比C B A ::p p p 为( )(A) 1∶2∶4 (B) 1∶4∶8(C) 1∶4∶16 (D) 4∶2∶1分析与解 分子的方均根速率为M RT /3=2v ，因此对同种理想气体有3212C 2B 2A ::::T T T =v v v ，又由物态方程nkT ρ，当三个容器中分子数密度n 相同时，得16:4:1::::321321==T T T p p p .故选(C)．12 －3 在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为0T 时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ ，当气体温度升高为04T 时，气体分子的平均速率v 、平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为( ) (A) 004,4,4λλZ Z ===0v v (B) 0022λλ===,,Z Z 0v v (C) 00422λλ===,,Z Z 0v v (D) 0042λλ===,,Z Z 0v v分析与解 理想气体分子的平均速率M RT π/8=v ，温度由0T 升至04T ，则平均速率变为0v 2；又平均碰撞频率v n d Z 2π2=，由于容器体积不变，即分子数密度n 不变，则平均碰撞频率变为0Z 2；而平均自由程n d λ2π2/1=，n 不变，则珔λ也不变．因此正确答案为(B)．12 －4 已知n 为单位体积的分子数，()v f 为麦克斯韦速率分布函数，则()v v d nf 表示( )(A) 速率v 附近，ｄv 区间内的分子数(B) 单位体积内速率在v v v d +~区间内的分子数(C) 速率v 附近，ｄv 区间内分子数占总分子数的比率(D) 单位时间内碰到单位器壁上，速率在v v v d ~+ 区间内的分子数分析与解 麦克斯韦速率分布函数()()v v d /d N N f =，而v /N n =，则有()V N nf /d d =v v ．即表示单位体积内速率在v v v d ~+ 区间内的分子数．正确答案为(B)． 12 －5 一打足气的自行车内胎，在C 07o 1.=t 时，轮胎中空气的压强为Pa 100451⨯=.p ，则当温度变为C 037o 2.=t 时，轮胎内空气的压强2p 2p 为多少？(设内胎容积不变)分析 胎内空气可视为一定量的理想气体，其始末状态均为平衡态，由于气体的体积不变，由理想气体物态方程RT Mm pV =可知，压强p 与温度T 成正比．由此即可求出末态的压强．解 由分析可知，当K 15310037152732...=+=T ，轮胎内空气压强为Pa 1043451122⨯==./T p T p可见当温度升高时，轮胎内气体压强变大，因此，夏季外出时自行车的车胎不宜充气太足，以免爆胎．12 －6 有一个体积为35m 1001⨯.的空气泡由水面下m 050.深的湖底处(温度为C 4o)升到湖面上来．若湖面的温度为C 017o .，求气泡到达湖面的体积．(取大气压强为Pa 10013150⨯=.p )分析 将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态．利用理想气体物态方程即可求解本题．位于湖底时，气泡内的压强可用公式gh p p ρ+=0求出， 其中ρ为水的密度( 常取33m kg 1001⋅⨯=.ρ)．解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p 1 ，V 1 ，T 1 )和(p 2 ,V 2 ，T 2 )．由分析知湖底处压强为gh ρp gh ρp p +=+=021，利用理想气体的物态方程222111T V p T V p = 可得空气泡到达湖面的体积为()3510120121212m 1011.6//-⨯=+==T p V T gh ρp T p V T p V12 －7 氧气瓶的容积为32m 1023-⨯.，其中氧气的压强为Pa 10317⨯.，氧气厂规定压强降到Pa 10016⨯.时，就应重新充气，以免经常洗瓶．某小型吹玻璃车间，平均每天用去3m 400.压强为Pa 100115⨯.的氧气，问一瓶氧气能用多少天？ (设使用过程中温度不变) 分析 由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用．为此，可通过两条不同的思路进行分析和求解：(1) 从氧气质量的角度来分析．利用理想气体物态方程RT M m pV =可以分别计算出每天使用氧气的质量3m 和可供使用的氧气总质量(即原瓶中氧气的总质量1m 和需充气时瓶中剩余氧气的质量2m 之差)，从而可求得使用天数()321m m m n /-=．(2) 从容积角度来分析．利用等温膨胀条件将原瓶中氧气由初态(Pa 1030171⨯=.p , 321m 1023-⨯=.V )膨胀到需充气条件下的终态(Pa 1000162⨯=.p ，2V 待求)，比较可得2p 状态下实际使用掉的氧气的体积为12V V -．同样将每天使用的氧气由初态(Pa 1001153⨯=.p ，33m 400.=V )等温压缩到压强为p 2 的终态，并算出此时的体积V′2 ，由此可得使用天数应为()212V V V n '-=/．解1 根据分析有RT V Mp m RT V Mp m RT V Mp m /;/;/333222111===则一瓶氧气可用天数()()5.9//33121321===-=V p V p p m m m n解2 根据分析中所述，由理想气体物态方程得等温膨胀后瓶内氧气在压强为Pa 1000162⨯=.p 时的体积为2112p V p V /=每天用去相同状态的氧气容积2332p V p V /='则瓶内氧气可用天数为()()5.9//33121212=-='-=V p V p p V V V n12 －8 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当作是均匀的．若此理想气体的压强为Pa 1035114⨯.．试估计太阳的温度．(已知氢原子的质量Pa 1067127H -⨯=.m ，太阳半径kg 1067127H -⨯=.m ，太阳质量kg 1099130S ⨯=.m )分析 本题可直接运用物态方程nkT p =进行计算．解 氢原子的数密度可表示为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==3S H S H S π34//R m m V m m n S 根据题给条件，由nkT p = 可得太阳的温度为()K 1016.13/π4/7S 3S H ⨯===k m R pm nk p T说明 实际上太阳结构并非本题中所设想的理想化模型，因此，计算所得的太阳温度与实际的温度相差较大．估算太阳(或星体)表面温度的几种较实用的方法在教材第十五章有所介绍．12 －9 一容器内储有氧气，其压强为Pa 100115⨯.，温度为27 ℃，求：(1)气体分子的数密度；(2) 氧气的密度；(3) 分子的平均平动动能；(4) 分子间的平均距离．(设分子间均匀等距排列)分析 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体．因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解．又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知n V /10=，d 即可求出． 解 (1) 单位体积分子数 325m 10442⨯==./kT p n(2) 氧气的密度-3m kg 301⋅===.//RT pM V m ρ(3) 氧气分子的平均平动动能J 102162321k -⨯==./kT ε(4) 氧气分子的平均距离m 10453193-⨯==./n d通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解．12 －10 2.0×10－2 kg 氢气装在4.0×10-3 m 3 的容器内，当容器内的压强为3.90×105Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？分析 理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即23k /kT =ε．因此，根据题中给出的条件，通过物态方程pV ＝m/MRT ，求出容器内氢气的温度即可得k ε． 解 由分析知氢气的温度mRMPV T =，则氢气分子的平均平动动能为 ()8932323k ./===mR pVMk kT ε12 －11 温度为0 ℃和100 ℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV ，气体的温度需多高？解 分子在0℃和100 ℃时平均平动动能分别为J 10655232111-⨯==./kT εJ 10727232122-⨯==./kT ε由于1eV ＝1.6×10－19 J ，因此，分子具有1eV 平均平动动能时，气体温度为K 10737323k ⨯==./k T ε这个温度约为7.5 ×103 ℃．12 －12 某些恒星的温度可达到约1.0 ×108K ，这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度.通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求：(1) 质子的平均动能是多少？ (2) 质子的方均根速率为多大？分析 将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i ＝3，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能.此外，由平均平动动能与温度的关系2/32/2kT m =v ，可得方均根速率2v .解 (1) 由分析可得质子的平均动能为J 1007.22/32/3152k -⨯===kT m εv(2) 质子的方均根速率为1-62s m 1058.132⋅⨯==mkT v 12 －13 试求温度为300.0 K 和2.7 K(星际空间温度)的氢分子的平均速率、方均根速率及最概然速率.分析 分清平均速率v 、方均根速率2v 及最概然速率p v 的物理意义，并利用三种速率相应的公式即可求解.解 氢气的摩尔质量M ＝2 ×10－3kg·mol －1 ，气体温度T 1 ＝300.0K ，则有 1-31s m 1078.18⋅⨯==MπRT v 1-312s m 1093.13⋅⨯==MRT v 1-31p s m 1058.12⋅⨯==M RT v 气体温度T 2＝2.7K 时，有1-31s m 1069.18⋅⨯==MπRT v 1-322s m 1083.13⋅⨯==MRT v 1-31p s m 1050.12⋅⨯==M RT v 12 －14 如图所示，Ⅰ、Ⅱ两条曲线分别是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.试由图中数据求：(1)氢气分子和氧气分子的最概然速率；(2) 两种气体所处的温度；(3) 若图中Ⅰ、Ⅱ分别表示氢气在不同温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.则哪条曲线的气体温度较高？分析 由MRT 1p 2=v 可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率v p 也就不同.因22O H M M <，故氢气比氧气的v p 要大，由此可判定图中曲线Ⅱ所标v p＝2.0 ×103 m·s －1 应是对应于氢气分子的最概然速率.从而可求出该曲线所对应的温度.又因曲线Ⅰ、Ⅱ所处的温度相同，故曲线Ⅰ中氧气的最概然速率也可按上式求得.同样，由M RT2p =v 可知，如果是同种气体，当温度不同时，最概然速率v p 也不同.温度越高，v p 越大.而曲线Ⅱ对应的v p 较大，因而代表气体温度较高状态.解 (1) 由分析知氢气分子的最概然速率为()13H p s m 100.222H 2-⋅⨯==M RT v 利用M O2 /M H2 ＝16 可得氧气分子最概然速率为 ()()12H p O p s m 100.54/22-⋅⨯==v v (2) 由M RT2p =v 得气体温度K 1081.42/22p⨯==R M T v (3) Ⅱ代表气体温度较高状态.12 －15 日冕的温度为2.0 ×106K ，所喷出的电子气可视为理想气体.试求其中电子的方均根速率和热运动平均动能.解 方均根速率16e2s m 105.93-⋅⨯==m kT v 平均动能J 10142317k -⨯==./kT ε12 －16 在容积为2.0 ×10－3m 3 的容器中，有内能为6.75 ×102J 的刚性双原子分子某理想气体.(1) 求气体的压强；(2) 设分子总数为5.4×1022 个，求分子的平均平动动能及气体的温度. 分析 (1) 一定量理想气体的内能RT i M m E 2=，对刚性双原子分子而言，i ＝5.由上述内能公式和理想气体物态方程pV ＝mM RT 可解出气体的压强.(2)求得压强后，再依据题给数据可求得分子数密度，则由公式p ＝nkT 可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由23k /kT ε=求出.解 (1) 由RT i M m E 2=和pV ＝mM RT 可得气体压强 ()Pa 1035125⨯==./iV E p(2) 分子数密度n ＝N/V ，则该气体的温度()()Pa 106235⨯===.//nk pV nk p T气体分子的平均平动动能为J 104972321k -⨯==./kT ε12 －17温度相同的氢气和氧气，若氢气分子的平均平动动能为6.21×10－21J ，试求(1) 氧气分子的平均平动动能及温度；(2) 氧气分子的最概然速率.分析 (1) 理想气体分子的平均平动动能23k /kT ε=，是温度的单值函数，与气体种类无关.因此，氧气和氢气在相同温度下具有相同的平均平动动能，从而可以求出氧气的温度.(2) 知道温度后再由最概然速率公式M RT2p =v 即可求解v p .解 (1) 由分析知氧气分子的平均平动动能为J 102162321k -⨯==./kT ε，则氧气的温度为： K 30032k ==k εT /(2) 氧气的摩尔质量M ＝3.2 ×10－2 kg·mol －1 ，则有12p s m 1095.32-⋅⨯==MRT v12 －18 声波在理想气体中传播的速率正比于气体分子的方均根速率.问声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比为多少？ 设这两种气体都是理想气体并具有相同的温度. 分析 由题意声波速率u 与气体分子的方均根速率成正比，即2v ∝u ；而在一定温度下，气体分子的方均根速率M /12∝v ，式中M 为气体的摩尔质量.因此，在一定温度下声波速率M u /1∝.解 依据分析可设声速M A u /1=，式中A 为比例常量.则声波通过氧气与氢气的速率之比为2502222O H O H .==M M u u12 －19 已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gr v 2=，其中r 为地球半径.(1)若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；(2) 说明大气层中为什么氢气比氧气要少.(取r ＝6.40 ×106 m) 分析 气体分子热运动的平均速率MπRT8=v ，对于摩尔质量M 不同的气体分子，为使v 等于逃逸速率v ，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率.解 (1) 由题意逃逸速率gr 2=v ，而分子热运动的平均速率MπRT8=v .当v v = 时，有RMrgπT 4=由于氢气的摩尔质量13H molkg 10022--⋅⨯=.M ，氧气的摩尔质量12O mol kg 10232--⋅⨯=.M ，则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为K 10891K,101815O 4H 22⨯=⨯=..T T(2) 根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大(约为4倍)，因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多.按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程.在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高.因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸.另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率.从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子.故大气层中氢气比氧气要少.12 －20 容积为1m 3 的容器储有1mol 氧气，以v ＝10m·s －1 的速度运动，设容器突然停止，其中氧气的80％的机械运动动能转化为气体分子热运动动能.试求气体的温度及压强各升高了多少.分析 容器作匀速直线运动时，容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外，还和容器一起作定向运动.其定向运动动能(即机械能)为m v 2/2.按照题意，当容器突然停止后，80％定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数，则有关系式：()T R M m mv E Δ25%80Δ2⋅=⋅=成立，从而可求ΔT .再利用理想气体物态方程，可求压强的增量.解 由分析知T R M m m E Δ252/8.0Δ2⋅==v ，其中m 为容器内氧气质量.又氧气的摩尔质量为12mol kg 1023--⋅⨯=.M ，解得ΔT ＝6.16 ×10－2 K当容器体积不变时，由pV ＝mRT/M 得Pa 51.0ΔΔ==T VRM m p 12 －21 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横坐标所包围的面积的含义；(2) 由N 和0v 求a 值；(3) 求在速率0v /2到30v /2 间隔内的分子数；(4) 求分子的平均平动动能.分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数()v f 的物理意义.()v v d /d N N f =，题中纵坐标()v v d /d N Nf =，即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数.同时要掌握()v f 的归一化条件，即()1d 0=⎰∞v v f .在此基础上，根据分布函数并运用数学方法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题.解 (1) 由于分子所允许的速率在0 到20v 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积()1d 0=⎰∞v v f即曲线下面积表示系统分子总数N .(2 ) 从图中可知， 在0 到0v 区间内，()0/v v v a Nf ；而在0 到20v 区间，()αNf =v .则利用归一化条件有v v v vv ⎰⎰+=0020d d v v a a N(3) 速率在0v /2到30v /2间隔内的分子数为0003/2/20Δd d 7/12v a N a N =+=⎰⎰v v v vv v v (4) 分子速率平方的平均值按定义为()v v f v v v d /d 02022⎰⎰∞∞==N N故分子的平均平动动能为20220302K 3631d d 2121000v v v v v v v v v v m N a N a m m ε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰ 12 －22 试用麦克斯韦分子速率分布定律导出方均根速率和最概然速率. 分析 麦克斯韦分子速率分布函数为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=kT m kT m f 2exp π2π4222/3v v v采用数学中对连续函数求自变量平均值的方法，求解分子速率平方的平均值，即⎰⎰=NNd d 22v v ， 从而得出方均根速率.由于分布函数较复杂，在积分过程中需作适当的数学代换.另外，最概然速率是指麦克斯韦分子速率分布函数极大值所对应的速率，因而可采用求函数极值的方法求得.解 (1) 根据分析可得分子的方均根速率为2/1242/302/1022d 2exp π2π4/d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰∞v v v v v kT m kT m N N N令222/x kT m =v ，则有2/12/12/104273.13d 2π42⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞-m RT m kT x e x m kT x v(2) 令()0d d =v v f ，即02exp 222exp 2π2π42222/3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛kT m kT m kT m T k m v vv v v得 2/12/141.12⎪⎭⎫⎝⎛≈⎪⎭⎫⎝⎛==m RT m kT P v v12 －23 导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动(故称电子气).设导体中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为v Ｆ (称为费米速率).电子在速率v v v d ~+之间的概率为()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>=v v v v v v0,0 d π4d F 2A NA N N (1)画出分布函数图；(2) 用N 、v Ｆ 定出常数A ；(3) 证明电子气中电子的平均动能53F /εε=，其中22F F /mv =ε.分析 理解速率分布函数的物理意义，就不难求解本题.速率分布函数()vv d d 1NN f =，表示在v 附近单位速率区间的粒子数占总粒子数的百分比.它应满足归一化条件()()⎰⎰=∞Fd d v v v v v f f ， 因此根据题给条件可得()v v ~f 的函数关系，由此可作出解析图和求出A .在()v v ~f 函数关系确定的情况下，由()v v v v d 22f ⎰=可以求出v2 ，从而求出2/2v m ε=.解 (1) 由题设可知，电子的速率分布函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>>>=F F 200 π4v v v v v v NA f ，其分布函数图如图所示.(2) 利用分析中所述归一化条件，有1d π4F2=⎰v v v NA 得 3Fπ4/3v N A = (3) ()53d N 4ππd 2F2022Fv v v v v v v v ===⎰⎰∞f 5/32/F 2εm ε==v12 －24 一飞机在地面时，机舱中的压力计指示为Pa 100115⨯.，到高空后压强降为Pa 101184⨯..设大气的温度均为27.0 ℃.问此时飞机距地面的高度为多少？(设空气的摩尔质量为2.89 ×10－2 kg·mol －1 )分析 当温度不变时，大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成.气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布.利用地球表面附近气压公式()kT mgh p p /exp 0-=，即可求得飞机的高度h .式中p 0 是地面的大气压强.解 飞机高度为()()m 1093.1/ln /ln 300⨯===p p MgRT p p mg kT h 12 －25 在压强为Pa 1001.15⨯下，氮气分子的平均自由程为6.0×10－6cm,当温度不变时，在多大压强下，其平均自由程为1.0mm 。
热力学总结及学习感想
热力学总结及学习感想热力学是研究物质的热现象和能量转化规律的科学。
它是物理学的一个重要分支，对于理解和解释自然界的很多现象有着重要的作用。
在我的学习过程中，我对热力学的理解和认识也在不断深化，并从中获得了一些宝贵的学习感悟。
首先，热力学是一个极其广泛且基础的科学领域。
它涉及到宏观的热现象和微观粒子的运动规律，研究范围涵盖了自然界的许多领域，如热传导、热辐射、相变等。
同时，热力学是很多学科的基础，如化学、材料科学、能源工程等。
因此，学习热力学不仅可以加深对物理学的理解，还可以为其他学科的学习奠定基础。
其次，热力学的基本概念和定律是学习的重点和难点。
热力学的基本概念包括内能、温度、压强、热容等，这些概念是理解热力学定律和计算的基础。
热力学的基本定律有热力学第一定律、热力学第二定律和热力学第三定律，它们描述了能量守恒、热传递方向和温度的特性等基本规律。
在学习过程中，我通过反复理解和推导这些概念和定律，逐渐加深了对其含义和应用的认识。
热力学的学习也需要通过例题和实例来加深理解。
热力学问题通常需要通过数学计算和分析来解决，因此掌握了热力学的理论基础后，需要通过例题和实例来进行实际应用和练习。
在我的学习过程中，我通过做大量的习题和实验，不断巩固和提高自己的计算和分析能力。
这些实际应用和实验也帮助我更好地理解了热力学的概念和定律，并将其与实际问题相结合。
另外，热力学的学习也需要注重理论和实践的结合。
热力学是实验科学，理论和实验经验是相互依存的。
在学习过程中，我不仅关注热力学的理论体系，也会关注实验验证和应用。
通过参与实验和观察实验现象，我能够更好地理解热力学定律和规律，并将其应用于实际问题中。
同时，理论知识也能够帮助我分析实验数据和实验现象，从而获得更深刻的认识和理解。
最后，热力学的学习需要耐心和坚持。
热力学是一个相对抽象和复杂的学科，学习过程中会遇到很多困难和挑战。
但只要我们保持耐心和坚持不懈，相信一定能够克服困难并取得进步。
12气体动理论总结
有三条实验定律
Boyle-Mariotte定律 等温过程中 pV=const
Gay-Lussac定律 等体过程中 p/T=const
Charles定律
等压过程中 V/T=const
12
对一定质量的同种气体
理想气体物态方程 形式1
p1V1 p2V2
T1
T2
pV RT m RT
M
摩尔气体常量 R 8.31 J mol1 K1
气体动理论的基本观点
•分子的观点：宏观物体是由大量微粒——分子（或原子）组
成的。
•分子运动的观点：物体中的分子处于永不停息的无规则运动
中，其激烈程度与温度有关。
•分子力的观点：分子之间存在着相互作用力。
从上述气体动理论的基本观点出发，研究和说明 宏观物体的各种现象和本质是统计物理学的任务。
18
我们的世界丰富多彩，气象万千，万物种类繁多， 形态各异，但是否具有共性？共性在哪儿？隐藏于 物质多样性背后的统一性只有到微观层次中去寻找。 费曼说道：“假如在一次浩劫中所有的科学知识都 被摧毁，只剩下一句话留给后代，什么语句可用最 少的词包含最多的信息？我相信，这是原子假说， 即万物由原子组成，它们永恒地运动着，并在一定 距离以外相互吸引，而被挤压时则相互排斥。这一 句话包含了有关这世界巨大数量的信息。”费曼这 种说法一点儿也不过分，因为原子假说将告诉后代 世界的本原是什么，告诉后代自然界这个“大 魔方”的每一“魔块”是什么。
r
分子力
21
利用扫描隧道显微 镜技术把一个个原子排 列成 IBM 字母的照片.
对于由大量分子组成的热力学系统从微观上 加以研究时, 必须用统计的方法.
22
三 分子热运动的无序性及统计规律 热运动：大量实验事实表明分子都在作永不停止的 无规运动 .
热力学小结
热力学小结热力学是一门研究物质热运动规律的学科。
通过对热力学的学习，我了解到了热力学的基本概念、原理和应用。
下面是我的热力学学习小结。
热力学的基本概念包括热力学系统、热力学均衡态和热力学过程。
热力学系统是指我们所研究的对象，可以是封闭系统、开放系统或孤立系统。
热力学均衡态是指系统的宏观性质不随时间变化的状态。
热力学过程是指系统由一个均衡态变为另一个均衡态的过程。
热力学的原理是基于能量守恒定律和熵增原理。
能量守恒定律指出能量既不能创造也不能消失，只能由一种形式转化为另一种形式。
熵增原理是指在任何封闭系统中，熵总是增加的。
熵可以理解为系统的无序程度，熵增代表系统的无序程度增加。
热力学的应用非常广泛，涉及到能量转化、功和热的关系、热机效率等方面。
其中最常见的应用是热力学循环。
热力学循环是指系统在一系列给定步骤中的循环过程，常用于实现能量的转化和传递。
在学习热力学过程中，我发现热力学是一门抽象的学科，需要运用数学工具进行分析和计算。
例如， Gibbs 自由能和Helmholtz 自由能是热力学中常用的两个宏观性质，可以通过数学方法推导和计算出来。
此外，熵的计算也需要运用统计力学的方法。
在热力学的学习过程中，我也深刻认识到热力学是自然界中普遍存在的一种规律。
热力学的基本原理适用于各种不同的物质和系统，例如气体、液体和固体，也适用于宏观和微观尺度。
热力学原理的普适性使得热力学成为工程技术和科学研究的重要工具。
总的来说，通过对热力学的学习，我了解到了热力学的基本概念、原理和应用。
热力学的基本概念包括热力学系统、热力学均衡态和热力学过程。
热力学的原理是基于能量守恒定律和熵增原理。
热力学的应用非常广泛，涉及到能量转化、功和热的关系、热机效率等方面。
在学习热力学的过程中，我也体会到热力学是一门抽象的学科，需要运用数学工具进行分析和计算。
通过学习热力学，我对自然界的运行规律有了更深入的理解，也为将来的学习和工作打下了坚实的基础。
热力学总结及学习感想
热力学总结及学习感想热力学是研究能量和能量传递规律的学科，它是自然科学中的一个重要分支。
热力学的发展和运用贯穿于各个领域，涉及到物理、化学、天文学、工程学等诸多学科。
在学习热力学的过程中，我深刻认识到了热力学的基本原理和应用，并对热力学的研究方法和思维方式有了更加清晰的认识。
以下是我对热力学的总结及学习感想。
热力学的基本原理可以由三个基本定律来概括。
第一定律是能量守恒定律，它指出能量既不能自发生成，也不能自发消失，只能从一种形式转化为另一种形式。
这个定律告诉我们能量是一个可转化的物理量，并且在转化过程中总是守恒的。
第二定律是热力学中最重要的定律之一，它阐述了一个重要的物理现象——热量是从高温物体传递到低温物体的，不会反向传播。
第二定律的研究为我们理解能量转化和传递提供了重要的理论基础。
第三定律则是物质在绝对零度时熵为零的定律，它告诉我们在绝对零度时，物质的分子和原子处于最低能量状态，熵（即混乱程度）为零。
热力学的学习过程中，我通过分析热力学系统的状态变化、热力学循环和热力学平衡等基本概念，深入理解了热力学的基本原理和规律。
我学会了热力学分析中的基本方法和计算技巧，例如热力学性质的计算、热力学过程的分析等。
在解决热力学问题时，我也学会了灵活运用热力学定律和公式，结合实际问题进行推导和计算。
通过与同学的讨论和合作，我也加深了对热力学的理解，并找到了解决问题的有效方法。
在学习热力学的过程中，我深感热力学在自然科学中的重要性和广泛应用。
热力学不仅是解释和分析自然界中许多现象的重要工具，也是工程技术中的基础理论之一。
我们的生活和工作中处处都离不开热力学的应用，例如汽车引擎、空调制冷、电力发电等。
热力学的研究不仅帮助我们更好地理解自然界的奥秘，还为创新科技和解决实际问题提供了重要的理论依据。
通过学习热力学，我也培养了一些重要的学习能力和思维方式。
热力学的学习需要具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
在解决热力学问题时，我们需要进行系统的分析和推导，运用公式和模型来描述和解释物质的能量变化和热力学性质。
热力学基础知识点总结
热力学基础知识点总结
热力学是研究能量转化与传递规律的科学，主要包括以下基础知识点：
1. 系统与环境：热力学研究的对象是一个被称为系统的物体、组织或区域，而系统与其周围的一切被称为环境。
2. 状态量与过程量：状态量是描述系统状态的量，如温度、压力、体积等，它们只依赖于系统的初始和最终状态；而过程量是描述系统变化过程中的性质，如热量、功等。
3. 热平衡与温度：当两个物体处于热平衡时，它们之间不存在热量的净传递，此时它们的温度相等。
4. 热传递与热传导：热传递是指热量从高温物体流向低温物体的过程，可以通过热传导、辐射和对流等方式实现。
热传导是通过物质分子间的碰撞传递热量的过程。
5. 热容与比热容：热容是指物体吸收或释放单位温度变化所需的热量，而比热容是单位质量物质所需的热量。
6. 理想气体状态方程：理想气体状态方程描述了理想气体的压力、体积和温度之间的关系，常用的方程有理想气体状态方程
（PV=nRT）和绝热过程公式（PV^γ=常数）。
7. 熵与熵增：熵是描述系统无序度的物理量，熵增原理表明在孤立系统中，熵总是增加的。
8. 热力学第一定律：热力学第一定律是能量守恒定律在热力学中的表现，它表明能量可以从一个形式转化为另一个形式，但总能量守恒。
9. 热力学第二定律：热力学第二定律是描述热量传递方向性的原理，它指出热量只能从高温物体传递到低温物体，不会自发地从低温物体传递到高温物体。
10. 吉布斯自由能：吉布斯自由能是描述系统在恒温、恒压条件下的可用能量，通过最小化吉布斯自由能可以预测系统的平衡态。
这些是热力学基础知识点的概述，它们在热力学的研究和应用中扮演着重要的角色。
大一气体动理论知识点总结
大一气体动理论知识点总结气体动理论是物理学中研究气体分子运动规律和性质的一门学科，广泛应用于工程、天文学、化学等领域。
下面将对大一气体动理论课程的关键知识点进行总结。
一、气体分子模型1. 理想气体模型理想气体模型基于分子动理论，认为气体由大量分子组成，分子之间相互作用力可以忽略不计，分子之间碰撞是弹性碰撞。
2. 热力学气体模型热力学气体模型基于气体分子之间存在吸引力或斥力的作用，分子之间碰撞非弹性碰撞。
二、气体分子运动规律1. 压强和温度压强是气体分子对容器壁单位面积施加的力，与分子速度的平方成正比，与温度成正比。
温度是气体分子平均动能的度量。
2. 状态方程状态方程描述气体在不同温度、压强和体积下的关系。
常见的状态方程有理想气体状态方程、范德瓦尔斯状态方程等。
3. 状态参量状态参量是气体的基本性质，包括体积、压强、温度等。
状态参量可以通过热力学过程进行改变。
三、气体的物态变化1. 等压过程等压过程表示气体在恒定压强下进行的热力学过程，例如等压膨胀和等压加热。
2. 等温过程等温过程表示气体在恒定温度下进行的热力学过程，例如等温膨胀和等温压缩。
3. 等体过程等体过程表示气体在恒定体积下进行的热力学过程，例如等体加热和等体压缩。
4. 绝热过程绝热过程表示气体在没有热量交换的情况下进行的热力学过程，例如绝热膨胀和绝热压缩。
四、气体的能量转化1. 比热容比热容是气体单位质量在温度变化下吸收或释放的热量。
常见的比热容有定压比热容和定容比热容。
2. 等熵过程等熵过程表示气体在熵保持不变的情况下进行的热力学过程，例如等熵膨胀和等熵压缩。
3. 等焓过程等焓过程表示气体在焓保持不变的情况下进行的热力学过程，例如等焓膨胀和等焓压缩。
五、理想气体的性质1. 理想气体状态方程理想气体状态方程PV=nRT表明气体的体积、压强、摩尔数和温度之间的关系。
2. 理想气体的分子速率分布理想气体的分子速率分布服从麦克斯韦速率分布定律，速率与分子质量和温度有关。
热力学基础、动力学基础、化学平衡知识要点
热力学基础、动力学基础、化学平衡知识要点
1. 热力学基础:
- 热力学是研究能量转化和能量传递的科学，主要包括热力学
第一定律和热力学第二定律。
- 热力学第一定律表达了能量守恒的原理，即能量在一个系统
内既不能被创造也不能被破坏，只能在不同形式间转化。
- 热力学第二定律则表达了能量在转化过程中的方向性，即能
量会自发地从高温物体传递到低温物体，但不会反向传递，这产生了热力学箭头的概念。
- 热力学还涉及到熵的概念，熵是描述系统无序度的物理量，
熵的增加是热力学过程不可逆的标志。
2. 动力学基础:
- 动力学研究的是物体运动的科学，主要包括牛顿力学和运动学。
- 牛顿力学描述了物体的运动状态以及受力和运动之间的关系，包括牛顿的三定律、动量和能量等概念。
- 运动学研究的是物体在运动中的位移、速度和加速度等运动
量的关系，常用的运动学方程包括位移-时间关系、速度-时间
关系和加速度-时间关系。
3. 化学平衡知识要点:
- 化学平衡是指在一个封闭系统内，反应物转化为生成物的速
率相等的情况。
- 化学平衡常用的描述方式是平衡常数(Kc或Kp)，它是反应
物浓度或分压与生成物浓度或分压之间的比值，取决于反应物的摩尔比例。
- 平衡常数越大，说明反应偏向生成物的方向；平衡常数越小，说明反应偏向反应物的方向。
- 影响化学平衡的因素包括温度、压力和浓度等，利用Le Chatelier原理可以预测这些因素对平衡的影响。
- 当平衡系统中发生扰动时，系统会通过调整反应物和生成物
的浓度来抵消扰动，以达到新的平衡状态。
气体动理论知识点总结
气体动理论知识点总结简介气体动理论是研究气体分子运动和相应的宏观性质的一门学科，它为气体力学、热力学、物理化学等学科提供了理论基础。
本文将从气体分子运动、状态方程、麦克斯韦速度分布定律、运动学理论、能量分配等方面进行详细阐述。
气体分子运动气体分子运动是气体动理论研究的核心内容，它是气体宏观性质的微观基础。
气体分子的运动状态大致可以由速度、位置、能量和运动方向等参数确定。
其中，气体分子的平均速度和平均动能是气体动理论所研究的重要内容。
气体的平均速度可以通过麦克斯韦速度分布定律求解，它描述了气体分子速度在不同方向上的分布情况。
麦克斯韦速度分布定律表明，气体分子的速度服从麦克斯韦-波尔兹曼分布，即$$f(v)=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}},$$其中，$f(v)$表示速度为$v$的气体分子在速度空间中的密度，$m$为分子质量，$k$为玻尔兹曼常数，$T$为温度。
气体分子的平均速度可以用麦克斯韦速度分布定律求算，它的表达式为$$\bar{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}.$$气体分子的平均动能同样可以用温度、分子质量和玻尔兹曼常数表示为$$\bar{E_k}=\frac{3}{2}kT.$$状态方程状态方程是气体动理论研究的另一个重要内容，它描述了气体在不同温度、压强下的状态。
热力学气体状态方程的一般形式为$$PV=nRT,$$其中，$P$表示气体压强，$V$为气体体积，$n$表示气体摩尔数，$T$为气体温度，$R$为气体常数。
可以通过研究气体微观特性，推导出不同热力学气体状态方程。
对于理想气体，由于气体分子之间没有相互作用力，可以用下列状态方程来描述$$PV=nRT,$$其中，$P$表示气体压强，$V$表示气体体积，$n$为摩尔数，$R$为气体常数，$T$为气体的热力学温度。
麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦速度分布定律是描述气体分子运动速度分布的定律，在研究气体分子运动性质、气体热力学性质等方面有重要的应用。
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1. 气体动力学
从整体上描述系统的状态量,一般可以直接测量。
如 M 质量、 V 体积、 E 能量等 --可以累加, 称为广延量 extensive variable . P压强、 T 温度等 ----不可累加, 称为强度量 intensity variable.
平衡态:在没有外界影响的条件下, 系统各个部分的宏观性质长时间内不发生变化的状态。
(系统与外界没有作功或传热等方式的能量交换
热动平衡:热力学中的平衡是一种热动平衡, 系统的分子作永不停息的热运动, 而且因为碰撞, 每个分子的速度经常在变,但是系统的宏观量不随时间改变。
宏观上表现为平衡态。
平衡态是一个理想化的概念, 实际上不存在完全不受外界影响的系统, 也就不存在宏观性质绝对不变化的系统。
准静态过程是无限缓慢的状态变化过程,是一种理想的物理模型。
理想气体物态方程 : (R = 8.31 J·mol – 1·K – 1
123A K J 1038. 1/--⋅⨯==N R k
分子平均平动动能: kT m 2
3212k ==
v 1 mol 理想气体的内能 :RT i N E A == 分布函数:S f N
d d (==v v 麦氏分布函数:222
e π2(π4 (v v v kT m kT
m f -= 归一化条件: 1==∑∑i i i i
N N ω
最概然速率:m kT m kT . 12p ≈=v M
RT . 1≈(醉死平均速率:M
RT m kT . 1π8≈=(六平方均根速率:M
RT m kT . 132≈=v (欺君分子平均碰撞次数:n d 2π=
RT M M pV mol =
平均自由程:n d 2π1==
p d kT 2π2=(nkT p =注意 n 和 d 与自由程的关系 (1mol 气体修正方程: (P i 内压强 or 气体层间的粘滞力:S x f ∆∆∆=v η ρη31= 热传导:S x T t Q ∆∆∆-=∆∆κ M
C m V, 31ρκ= 扩散:
S x n D t N ∆∆∆-=∆∆ 3
1=D 2. 热力学基础
功与热量的异同
(1都是过程量:与过程有关;
(2等效性:改变系统热运动状态作用相同;
(3功与热量的物理本质不同 . 宏观与微观
理想气体内能 :表征系统状态的单值函数 ,理想气体的内能仅是温度的函数。
内能与热量的异同 :内能是能量的一种形式,它是物体内部所有分子无规则运动的动能与势能的总和。
热量是指在热传递过程中,传递内能的多少。
它反映了热传递过程中,内能转移的数量,是内能转移多少的量度。
等体过程: RdT M m pdV (= 等压过
程:V p E T C Q p p d d d d m +==, R C C V p +=m m , , 等温过程:V V RT W Q V V T 2
1⎰==ν12ln V V RT ν=21ln p p RT ν= 绝热过程:E W ∆-= (21m T T C V -=, ν
=γpV 常量 =-T V 1γ常量 =--γγT p 1常量
绝热线的斜率大于等温线的斜率 . 摩尔热容比:m m , , V p C =γ
多方过程:. const pV n = n= ∞, C m =Cv ,等体过程
n=1, C m =∞,等温过程 ;
n=0, C m =Cp ,等压过程;
n=γ, C m =0,绝热过程;
(( i P P V b RT +-=(2a P V b RT V ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1212m (E E T T C Q V V -=-=, νm i =2V C R , ( m Vdp RdT M =0
pdV Vdp +=1
m v n C C n γ-=-
卡诺热机
A —
B 等温膨胀吸热
C —
D 等温压缩放热
1
21Q Q -
=η121T T -= 制冷机
121Q Q Q -=η≤ 1
21T T T -“ =”时为可逆机, “ <”时为不可逆机热力学第二定律
1 开尔文说法 Kelvin-principle
不可能制造出这样一种循环工作的热机, 它只使单一热源冷却来做功, 而不放出热量给其它物体,或者说不使外界发生任何变化 .
2 克劳修斯说法 Clausius-principle
不可能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化 .
可逆过程 : 在系统状态变化过程中,如果逆过程能重复正过程的每一状态,而且
不引起其它变化,这样的过程叫做可逆过程。
准静态过程(无限缓慢的过程 ,且无摩
擦力、粘滞力或其它耗散力作功,无能量耗散的过程 .
不可逆过程:在不引起其它变化的条件下, 不能使逆过程重复正过程的每一状态, 或者虽能重复但必然会引起其它变化,这样的过程叫做不可逆过程 . 熵:T Q S d d =
222
1212Q Q T e W Q Q T T ===--。