Weierstrass-Mandelbrot分形曲面的多重分形谱
二维改进分形海面模型及海谱分析
kn= k0bn 。角频率 ωn 与波数 kn 满足色散关系为
3 n gkn s kn / ，τs 为海面表面张力，ρ 为海水
密度。vx 和 vy 为遥感平台延在 x 轴和 y 轴的速度分 量， 当传感器观察的时间很短时， βn(t)和 Фn 可看为 常量，两者相互独立，Фn 是[−π, π]上均匀分布的随 机相位。令海浪的运动方向角 βn 的均值为 0 ，
2
改进二维分形海面模型
经典的带限 Weierstrass 分形模型可表示为[22]
f x, y, t b
N f 1 n0 D 3 n
sin k0 b n x vx t cos n t y v y t sin n t n t n
经典分形粗糙海面的功率谱为负幂率谱，正 好对应于实际海谱中的一段，并不能反映真实海 面的功率谱。在以往的海浪模拟中都涉及到海浪 谱的选择，而这些谱大多是根据大量实验数据， 在半经验、半理论的基础上运用数学分析方法得 到的。目前在国际上应用比较广泛的有 PiersonMoscowitz 谱 (PM 谱 )[17]和 JONSWAP 谱 [18]，而在 我国海域一般应用“海港水文规范”所依据的文 圣常谱 [19]。 PM 谱、JONSWAP 谱和文圣常谱中都有一个 峰值，其对应的波数为 km，风速越大，km 越小，这 表明海表面受 2 种波共同影响,当 k＜km 时，表面长 重力波起主要作用，功率谱满足正幂率谱，而当 k>km 时，短重力波及张力波起主要作用，功率谱满 足负幂率谱，这就启发笔者应用下面改进的二维分 形模型来模拟实际海面，它表示为
Two-dimensional improved fractal model of the sea surface and sea spectrum evaluation
第一讲分形几何定义
新发展
他提出了分形几何的基本概念.引入了分维数.引起了 剧烈的争论,辩证思想逐步成为广泛接受的新的概 念.经过十几年的发展,”分形与分维”已成为大热 门.不仅数学家们的广泛开展了对分形的研究(理 论),而且:
在计算机的显示屏上,分形图形成了一门新的艺术. 物理学家也学会了在实验室中测量分形对象的维数 分形维数的概念,甚至于开始出现在生理学与经济学
地貌
地貌2
第一章 分形的基本概念
• 一.引言 1. 传统几何,例如欧氏几何,微分几何或者微分拓扑
的研究对象都是比较规则的图形. 如: 圆,直线,可微曲线等. 而对一些不规则图形,则没有深入的研究.例如:可 填满平面的Peano曲线,处处不可微的Weierstras 曲线.它们被发现至今已近二百年,在数学中它们一 直扮演着”反例”的角色,人们总是小心翼翼的回 避它们,没有人去征服这些陷阱.
在这种集合上可以定义一种维数,称为 自相似维数.
图
图的讲解
在(1),(2),(3) 三图中， N：等分成的与原图相似的图形个数
r:表示相似比 D:表示维数 （1） D=1 ,N=4, r = ¼ (2) D=2 ,N=4, r= ½ (3) D=3,N=8 ,r= ½
在三种情形都有：
log N
＝1.26 ＝1.63 ＝1.91
以此可以看出维 数的2个直观意义：
充满空间的程度
粗糙程度
特征尺度
（2）Hausdonff 维数
•ห้องสมุดไป่ตู้自相似维数只能对严格的自相似分形定义， 许多分形集一般只有近似的或者统计的自 相似，一般不能定义自相似维数。
-------- 是拓扑维数概念的推广.
-------- 主要是分数维
一类Weierstrass型函数的分数阶微积分及其图像的分形维数
一类Weierstrass型函数的分数阶微积分及其图像的分形维数近年来Weierstrass函数作为经典的分形函数引起了人们的广泛关注,而分数阶微积分的发展为其注入了新的生机。
本文利用Riemann-Liouville分数阶微积分的概念讨论了一类更一般形式的分形函数,做了如下研究:首先,阐述了分形及分形维数的研究现状,介绍了本文所需用到的几种分形维
数,Riemann-Liouville分数阶微积分的数学基础。
其次,在基函数φt k为β阶H?lder连续周期函数的条件下,讨论了一类推广的Weierstrass函数的连续而处处不可微性,并通过对维数界的估计得到了其图像的盒维数。
在Riemann-Liouville分数阶微积分的意义下,导出了该函数的分数阶微分与积分函数形式,并讨论了微积分函数的连续性,给出了图像的K-维数和盒维数。
最后,将经典的Weierstrass函数的基函数扩展为Lipschitz函数,在α≥1的情况下讨论了这类函数)及其Riemann-Liouville分数阶微分与积分函数,导出该函数及其分数阶积分函数图像的Hausdorff维数、K-维数与盒维数,并通过微分函数的连续性给出了其图像分形维数的上、下界估计。
同时利用Matlab绘制出不同α值时的函数图像与分数阶微分函数图像,从而使结果更直观。
【国家自然科学基金】_表面分形特征_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
孔隙结构 1 多重分形谱 1 外源染色体 1 均方根测度 1 吸附/脱附 1 吸附 1 古尔班通古特沙漠 1 功率谱维数 1 力学行为 1 分维 1 分形结构 1 分形特征 1 分形模拟 1 分形插值 1 分形吸附等温线 1 低浊水 1 代换系 1 三维地貌 1 三维 1 weierstrass-mandelbrot(w-m)曲面 1 tio_2纳米颗粒 1 tio2纳米颗粒 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
分形表面 分形结构 分形特性 分形截距 低浓度废水 仿生培养 三维立体构建 sem扫描 matlab程序 gis abr
推荐指数 5 5 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
推荐指数 6 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
matlab多重分形谱算法
matlab多重分形谱算法
MATLAB中的多重分形谱算法是一种用于分析信号和图像的技术，它可以帮助我们理解复杂系统的结构和特征。
多重分形谱算法通常
用于测量信号或图像的分形维度，以及它们的分形特征。
下面我将
从多个角度来解释MATLAB中的多重分形谱算法。
首先，多重分形谱算法可以用于计算信号或图像的分形维度。
分形维度是一种描述信号或图像自相似性的度量，它可以帮助我们
理解信号或图像的复杂性和规律性。
在MATLAB中，我们可以使用多
重分形谱算法来计算信号或图像的分形维度，从而得到关于其结构
和特征的信息。
其次，多重分形谱算法可以用于分析信号或图像的分形特征。
通过计算信号或图像的分形谱，我们可以得到关于其分形特征的信息，比如分形维度的分布情况、分形特征的变化趋势等。
这些信息
可以帮助我们理解信号或图像的复杂性和规律性，从而为进一步的
分析和处理提供参考。
此外，MATLAB中的多重分形谱算法还可以用于处理不同类型的
信号和图像。
无论是一维的时间序列信号还是二维的图像数据，多
重分形谱算法都可以进行分形维度和分形特征的计算，从而帮助我们理解不同类型数据的结构和特征。
总的来说，MATLAB中的多重分形谱算法是一种强大的工具，可以帮助我们分析信号和图像的分形特征，从而揭示其复杂性和规律性。
通过对多重分形谱算法的理解和应用，我们可以更好地理解和处理各种类型的数据。
表面粗糙度的国家标准主要术语及定义
表面粗糙度的国家标准主要术语及定义1)表面粗糙度取样长度取样长度是用于判断和测量表面粗糙度时所规定的一段基准线长度，它在轮廓总的走向上取样。
(2)表面粗糙度评定长度Ln由于加工表面有着不同程度的不均匀性，为了充分合理地反映某一表面的粗糙度特性，规定在评定时所必须的一段表面长度，它包括一个或数个取样长度，称为评定长度Ln。
(3)表面粗糙度轮廓中线m轮廓中线m是评定表面粗糙度数值的基准线。
评定参数及数值国家规定表面粗糙度的参数由高度参数、间距参数和综合参数组成。
表面粗糙度高度参数共有三个:(1)轮廓算术平均偏差Ra在取样长度l内，轮廓偏距绝对值的算术平均值。
(2)微观不平度十点高度Rz在取样长度内最大的轮廓峰高的平均值与五个最大的轮廓谷深的平均值之和。
(3)轮廓最大高度Ry在取样长度内，轮廓峰顶线和轮廓谷底线之间的距离。
表面粗糙度间距参数共有两个：(4)轮廓单峰平均间距S两相邻轮廓单峰的最高点在中线上的投影长度Si，称为轮廓单峰间距，在取样长度内，轮廓单峰间距的平均值，就是轮廓单峰平均间距。
(5)轮廓微观不平度的平均间距Sm含有一个轮廓峰和相邻轮廓谷的一段中线长度Sm i，称轮廓微观不平间距。
表面粗糙度综合参数(6)轮廓支承长度率t p轮廓支承长度率就是轮廓支承长度n p与取样长度l之比。
表面粗糙度标准的提出和发展与工业生产技术的发展密切相关，它经历了由定性评定到定量评定两个阶段。
表面粗糙度对机器零件表面性能的影响从1918年开始首先受到注意，在飞机和飞机发动机设计中，由于要求用最少材料达到最大的强度，人们开始对加工表面的刀痕和刮痕对疲劳强度的影响加以研究。
但由于测量困难，当时没有定量数值上的评定要求，只是根据目测感觉来确定。
在20世纪20～30年代，世界上很多工业国家广泛采用三角符号(??)的组合来表示不同精度的加工表面。
为研究表面粗糙度对零件性能的影响和度量表面微观不平度的需要，从20年代末到30年代，德国、美国和英国等国的一些专家设计制作了轮廓记录仪、轮廓仪，同时也产生出了光切式显微镜和干涉显微镜等用光学方法来测量表面微观不平度的仪器，给从数值上定量评定表面粗糙度创造了条件。
Mandelbrot集以及他的局部放大数学实验报告
Mandelbrot集以及他的局部放大数学实验报告Mandelbrot集是二维复平面上的分形数集，1980前后发现，堪称人类认识数学存在的一个里程碑。
它是由一个简单复函数f(Z)=Z2+C迭代运算而形成的收敛数集（Z是迭代复变数，C是点位复常数），谁做这样的迭代运算都能得到形态一样的数集，见下图，这便是Mandelbrot集。
分形实在很美，于是读《分形理论与应用》尝试绘制Mandelbrot Set 曼德勃罗集。
naive idea: 空间上的分形和时间上的混沌有相似性。
一个动力方程是时间上的混沌，会收敛到吸引子，根据此画出的动力平面和参数平面是空间上的分形。
Mandelbrot Set1. 复迭代有一个关于z的复映射with 参数c如下：[公式]我们想要知道在参数平面中临界点[公式] 的轨迹是否有界，即对于一个c，根据迭代规则[公式]生成的序列[公式] ,则无界,[公式] 如果序列有界，则[公式]。
另外我们还想要知道在动力平面中[公式] ，不同z0 的值产生的轨迹是否有界，此时[公式] 如果序列有界，[公式] 如果序列无界。
2. Algorithm 逃逸时间算法为了绘制参数平面中的M集，我们需要确定每个c是否属于M 集，这里用到了逃逸时间算法。
逃逸准则对于一个复数[公式] , 模[公式] 。
我们claim：如果对于一个复数序列[公式] 有[公式] 则序列将逃逸到无穷大。
证明当[公式] , 则由[公式] 可知[公式] for [公式][公式]因此，我们得到[公式]那么在k次迭代后，我们得到[公式]序列趋于无穷如果[公式] ，可得[公式][公式] 因为[公式]那么对于任意[公式] , 假设[公式] , 我们有[公式] ，对于[公式]那么根据数学归纳法，我们知道序列趋于无穷。
z需要判断大于2来证明这是个无界序列吗？不用。
逃逸时间算法对于每个复参数平面上的点c，我们生成一个序列Z，怎么判断这个序列是否有界呢？根据逃逸准则，我们规定R为逃逸半径，在[公式] 里，如果[公式] ，判断有界（但其实也有可能这个序列是无界的），反之，这个序列无界。
絮凝过程中絮体生长的多重分形行为
第34卷第1期2014年1月环境科学学报Acta Scientiae CircumstantiaeVol．34，No．1Jan．，2014基金项目：国家环保部公益性行业科研专项（No．201209009）；深圳市南山区技术研发和创意设计项目（No．010*******）Supported by the Special Fund for Scientific Ｒesearch in the Public Interest from Ministry of Environmental Protection （No．201209009）and the Technology Development and Creative Design Projects from Nanshan District Shenzhen City （No．010*******）作者简介：韦伟（1986—），男，E-mail ：weiweihit@hotmail．com ；*通讯作者（责任作者），E-mail ：dmahit@126．com Biography ：WEI Wei （1986—），male ，E-mail ：weiweihit@hotmail．com ；*Corresponding author ，E-mail ：dmahit@126．com韦伟，杜茂安，朱佳，等．2014．絮凝过程中絮体生长的多重分形行为［J ］．环境科学学报，31（1）：79-84Wei W ，Du M A ，Zhu J ，et al ．2014．Multifractal behavior of flocs growth in flocculation processes ［J ］．Acta Scientiae Circumstantiae ，34（1）：79-84絮凝过程中絮体生长的多重分形行为韦伟1，杜茂安1，*，朱佳2，张朝升3，张可方31．哈尔滨工业大学市政与环境工程学院，哈尔滨1500902．深圳职业技术学院建筑与环境工程学院，深圳5180553．广州大学土木工程学院，广州510006收稿日期：2013-03-06修回日期：2013-05-05录用日期：2013-05-22摘要：为了研究絮体在絮凝过程中生长的多重分形行为，对用PFS （聚合硫酸铁）处理高岭土原水时混凝过程中絮体生长段的絮体图像进行采集和分析；分析图像多重分形谱及其特征参数行进趋势，而且针对絮体生长规律着重对絮体形态及其分布的演变情况进行了定量化描述．结果表明，随着絮体生长的进行，多重分形谱图的形态由左钩状逐渐转变为右钩状，描述絮体分布均匀性的多重分形谱谱宽Δα由50s 时的1．0213逐渐增大至250s 时的1．3659，Δf （α）的数值大小由于大概率和小概率絮体主导地位的改变而由负转正，f （α）max 所表示的简单分形维数由1.9995逐渐降至1．7762．关键词：絮凝；多重分形；絮体文章编号：0253-2468（2014）01-79-06中图分类号：X703文献标识码：AMultifractal behavior of flocs growth in flocculation processesWEI Wei 1，DU Maoan 1，*，ZHU Jia 2，ZHANG Chaosheng 3，ZHANG Kefang 31．School of Municipal and Environmental Engineering ，Harbin Institute of Technology ，Harbin 1500902．Department of Building and Environmental Engineering ，Shenzhen Polytechnic ，Shenzhen 5180553．College of Civil Engineering ，Guangzhou University ，Guangzhou 510006Ｒeceived 6March 2013；received in revised form 5May 2013；accepted 22May 2013Abstract ：The multifractal behavior of flocs in flocculation processes is studied in this paper．In the coagulation process treating raw water in the form of kaolin suspension with PFS ，the flocs images in growth phases were collected and analyzed．The variation trend of the multifractal spectrum of images and its characteristic parameters were analyzed ，and the flocs growth regular pattern with the emphasis on the flocs morphology and their distribution variation pattern were quantitatively described．It was concluded from the result that with the growth of flocs ，the spectrum gradually shifted from left hook shape to right one ，and the spectrum width Δαwhich describes uniformity of flocs distribution increased gradually from 1．0213at 50s to 1．3659at 250s ，and the magnitude of Δf （α）was turned from negative to positive．f （α）maxthat represents simple fractal gradually fell from 1．9995to 1．7762．Keywords ：flocculation ；multifractal ；floc1引言（Introduction ）絮凝是混凝水处理过程中的重要阶段之一．絮凝过程中，絮体粒径分布及形态学特征时刻变化，其群体形貌动态变化过程复杂．近年来，许多学者采用分形数学理论来描述絮体在不同工况条件下的颗粒几何特征，以期通过定量描述絮体形貌的复杂性，揭示絮体形成及其与工艺效能的内在关系．众所周知，凝聚是一个颗粒随机碰撞的过程，具有非线性特征．分形维数常用来描述具有自相似结构的不规则几何体的非线性工作机理．在絮凝过程中，絮体颗粒形态和粒径分布时刻变化，而简单分形维数主要用于描述和表征颗粒群体的整体性和平均性，不能完全揭示絮体分形变化的动力学过程（张德祥等，2007；Brown et al ．，1992）．多重分形描述不同局部条件或不同层次所导致的特殊结构环境科学学报34卷行为与特征，从系统的局部出发来研究整体的特征，并借助统计物理学的方法讨论特征参量概率测度的分布规律．目前多重分形理论已广泛应用于土壤环境（Grout et al．，1998；Li et al．，2011）、材料（Pérez et al．，2012）、地球科学（García-Marín et al．，2008）、医学（Song et al．，2013；Vasiljevic et al．，2012）、城市规划（Ariza-Villaverde et al．，2013）等诸多领域，在国内外水处理领域中未见相关研究内容．实际检测操作中对特定絮体的生长过程监测存在困难，但絮体的群体生长在一定范围内存在统计学自相似特征和标度不变性，可以用多重分形理论研究并定量描述絮体的生长规律．絮体形态和分布特征的定量化对絮凝机理的完善和工艺控制均有重要的理论价值．本研究在前人基础上采用多重分形理论定量描述絮体群在生长过程中的分布特征，探讨絮体在生长过程中的多重分形行为．2分形及多重分形理论（Fractal and multifractaltheory）1977年，Mandelbrot将分形集的概念引入并对分形的定义进行了阐述．分形维数区别于欧式几何中对象的拓扑维数，它是描述非线性复杂系统特征的工具．分形几何学广泛应用于图形图像的分析处理，对于不规则形状物体的二维数字图像，应用计算机程序可以非常方便的计算物体的分形维数．计算分形维数的方法有很多，有盒计维数、相似维数、容量维数、关联维数、信息维数、面积周长维数等．盒计维数是在计算机图形图像处理中应用最广泛的分形维数算法之一，其基本的算法原理是以不同测度的盒子来测量目标数目，最后得到一个形如下式的幂函数关系：N（ε）∝εD（1）式中，N为目标数目，ε为盒子大小．两边取对数后得到：D=ln N（ε）lnε（2）式中，D即为分形维数．多重分形是在简单分形基础上发展的分形理论，自1980年即已成为不规则物体形态分析的基本工具（Ficker，2004）．多重分形谱由两种关系组成，一种是由一系列概率Pi，ε所组成的子集与测度之间的幂函数关系：Pi，ε∝εα，α称为奇异指数，其反映的是分形图像中概率集合随测度的变化关系，即反映了分形对象的奇异程度；另一种是一系列测度下的盒子数N（ε）与测度之间的幂函数关系：N（ε）∝εf（α）．此处f（α）即为多重分形谱，显然它表示的是同一α值子集的分形维数．多重分形谱的计算处理过程，首先需定义配分函数，此函数是对概率的加权求和，即：Iq（ε）=∑N（ε）iPi，εq（3）式中，加权系数q＞＞1，则配分函数中大概率子集占主导，q＜＜－1，则配分函数中小概率子集占主导．通过加权，可将一种分形拓展为多种奇异程度的分形，从而可将分形集的内部结构完整呈现出来（孙霞等，2003）．对于二维图像的多重分析，概率Pi，ε为盒子中研究目标所占的像素数量与图像中研究目标所占的总像素数量比：Pi，ε=pixels（i，ε）/∑N（ε）ipixels（i，ε）（4）配分函数与尺度ε存在幂函数关系Iq（ε）=ετ（q），两边取对数，则可得到τ（q）=ln∑N（ε）iPi，εqlnε（ε）（5）此处τ（q）称为质量指数，其反映的是Iq（ε）与lnε的线性关系，这种关系指定分形的无标度性．广义分形维数Dq随q值的不同而具有不同的意义，其定义式如下：Dq=τ（q）q－1（6）当q=0，此时I反应二维图像中对象的空间几何性质，与概率P无关，这样D就表示普通的豪斯道夫维数，此时对应于f（α）max（谢淑云等，2009）．根据τ（q）和q的关系经统计物理学中的勒让德变换后得到：τ()q=αq－f（α）（7）α=dτ()qd q（8）由此可得到，α－f（α）的关系，即多重分形图谱．根据多重分形理论，多重分形谱携带大量研究对象的定量信息，f（αmax）、αmax反映的是概率最小子集的性质；f（αmin）、αmin反映的是概率最大子集的性质，f（α）max和其对应的α反映的是最或然子集的性质；多重分形谱谱宽Δα=αmax－αmin反映了概率分布范围的大小，概率分布愈不均匀，相应的谱宽会081期韦伟等：絮凝过程中絮体生长的多重分形行为越大；Δf （α）=f （αmax ）－f （αmin ）反映的是最大、最小概率单元数目之间的比例关系（Ficker ，2004）．3试验材料及方法（Materials and methods ）3．1试验材料原水为人工配制高岭土浑浊液，浊度（100ʃ3）NTU．混凝剂为聚合硫酸铁（PFS ，投加浓度30mg ·L －1）．试验设备为一套混凝图像在线监测系统，主体反应槽是容积为15L 的有机玻璃制圆形反应罐，IKA 在线程序可控搅拌器，Prosical 相机（相机设置像素512ˑ512，像素大小7．4μm ˑ7．4μm ，最小快门速度20μs ）实时捕捉图像，理论识别能力50μm．装置示意图如图1所示，整个反应过程在反应槽内进行，少量反应悬浊液在蠕动泵的工作下以一定流速通过侧向打开的图像采集通道，图像采集通道尺寸为3mm ˑ50mm ˑ200mm ；打开光源控制器，将相机对焦以看清通道内絮体，相机采集流经通道的悬浮颗粒图像并将图像保存在计算机上待软件分析．图1混凝图像在线监测系统示意图Fig．1Schematic of coagulation image on-line monitoring system3．2试验方法反应槽内进行混凝剂聚合硫酸铁处理模拟地表水试验，反应共历时770s．将配制好的聚合铁混凝剂投入水中，在转速200r ·min －1的条件下快速搅拌50s ；然后慢速搅拌720s ，转速75r ·min －1．悬浊液以10mm ·s －1的流速流经图像采集通道，相机每10s 采集1次图像并保存于计算机中，视窗大小2.19cm ˑ2．19cm．图像处理：该文所采用图像处理软件为Image-Pro Plus ，相机采集到的图像格式为256灰度图，通过软件进行阈值转换法二值化处理后，计算图像上的颗粒数目、平均粒径（等效投影面积直径），并计算图像的多重分形谱．多重分形谱计算程序的参数设置：加权系数q取10，盒子大小取8、12、16、32、64、128、256、512．4结果及分析（Ｒesults and analysis ）4．1絮体的生长过程混凝剂在快速搅拌条件下迅速分散到水中，此阶段混凝剂与水充分混合并水解，使水中悬浮颗粒脱稳，进入慢速搅拌阶段，脱稳颗粒开始凝聚，即絮体开始生长．图2絮体生长过程Fig．2Flocs growth process如图2所示，反应体系经过快速搅拌段进入慢速搅拌段后，絮体颗粒数目迅速下降，由最初视野范围内的8000左右降至700左右，颗粒团聚现象明显；同时絮体颗粒的平均粒径大小迅速上升，由平均粒径0．09mm 左右迅速升至0．23mm 左右．从时18环境科学学报34卷间分布上看，絮体生长阶段在整个反应过程中所占图3絮体分布变化过程Fig．3Flocs distribution change比例不大，絮体生长速度快．图3显示的是絮体在生长过程中几个时间点分布情况．从图中可以看出，进入絮凝阶段后，小粒径颗粒迅速降低，大颗粒数目则明显增多，分布图形由高峰逐渐向低峰发展；同时，由于颗粒之间的团聚，颗粒粒径范围逐渐增大，即峰宽逐渐变大．在此需要说明的是，受到相机分辨率以及镜头分辨率等因素影响，小颗粒在图片中的识别能力有限．4．2絮体生长的多重分形特征图4是相应的各取样时间点絮体生长的多重分形谱变化情况．从此图可以很直观的看出多重分形谱在整个絮体生长段的变化，f （α）max 逐渐降低，谱宽逐渐变大，絮体的多重分形谱从左勾状曲线逐渐变化为右钩状曲线．图4絮体生长的多重分形谱Fig．4Multifractal spectrum of flocs growth图5的部分数据显示出了多重分形谱中f （αmax ）、αmax 、f （αmin ）、αmin 、Δf （α）、Δα等特征参数随絮体生长的变化，表1显示的是絮体群生长过程中部分采集点照片的多重分形谱参数数据．可以看出，f （αmax ）在50 130s 范围内上升明显，由0．4469上升为1．2097，140s 后表现稳定；f （αmin ）在絮体生长前段由0．8768下降到0．2568，后端亦是在一定幅度内波动．这说明小概率对象即大粒径絮体的数量在增加，大概率对象即小粒径絮体的数量在减小．由Δf （α）=f （αmax ）－f （αmin ）的变化可知，Δf （α）由最初的－0．4299迅速增大到0．8679，随后始终维持在一个较高水平．在70s 之前，Δf （α）＜0，此时在整个体系中以小粒径颗粒在颗粒分布占据主导地位；此后Δf （α）转而大于0，并持续上升，说明大粒径颗粒所表示的小概率颗粒在颗粒分布中逐渐抢占主导地位；130s 后Δf （α）表现相对稳定，说明大概率和小概率颗粒的数目比相对稳定．图3中表现出的分布情况也显示出150s 、200s 和250s 之间的波峰和波谷比例已相对稳定．在整个反应进程中，αmax 表现出相对平稳特征，这是由于αmax 表示小概率颗粒，体现了最大粒径颗粒在絮体分布中所占比例始终保持平稳；而大概率颗粒所代表的αmin 呈现出明显下降趋势，由1．7降至1．3左右，体现了小颗粒在絮体生长段的聚集过程．Δα在整个生长段则表现出稳步上升的趋势，由1．0213至1．3659．根据多重分形理论，Δα=αmax －αmin 反映了概率分布范围的大小，概率分布愈不均匀，相应的谱宽会越大；也就是说，Δα在絮体生长的过程中的增大，说明絮体粒径范围在扩大，概率分布变得越来越不均匀．从图3中也注意到絮体分布的峰宽逐渐增加．281期韦伟等：絮凝过程中絮体生长的多重分形行为图5絮体生长f （αmax ）、αmax 、f （αmin ）、αmin 、Δf （α）、Δα变化Fig．5f （αmax ），αmax ，f （αmin ），αmin ，Δf （α）and Δαchange of flocs growth表1部分絮体照片的多重分形谱参数Table 1Multifractal spectrum parameters of part of floc images 时间/s 参数f （αmax ）f （αmin ）Δf （α）αmin αmax Δαf （α）maxα0500．44690．8768－0．42991．70002．72131．02131．99952．0474700．78780．76660．02121．65112．71721．06611．99362．0537900．98710．46730．51981．51772．69561．17791．97782．06581101．12470．25680．86791．37962．68881．30921．93632．06401301．20970．34790．86181．34092．64211．30121．88732．03541501．13760．41800．71961．30932．66721．35791．84352．00241701．14530．66140．48391．34672．66651．31981．82551．99761901．11720．48360．63361．30132．65041．34911．80601．97742101．10190．50200．59991．29672．65521．35851．79511．96932301．14570．74870．39701．33582．63611．30031．77681．96412501．09240．56660．52581．28382．64971．36591．77621．9501图6所示的是在多重分形谱中f （α）max 、α0在絮体生长进程中的行进趋势．根据多重分形理论的性质，当q =0时，D 0为简单维数，此时对应于f （α）max ，与α0一起反映了最或然子集的性质，即反映了絮体群的整体几何特征．结合表1的数据，由于絮体在生长初期会经过碰撞简单的结合在一起，α0在最初的30s 内处于上升状态，从2．0474升至2．0658，这说明絮体群整体的奇异程度在上升；而后处于持续下降的过程，至絮体生长段末α0降至1．9501，这是因为絮体颗粒数目迅速减少并且絮体开始团聚并相互挤压，使絮体群的整体奇异性下降，并且由于颗粒数目的降低和絮体群空间占有率下降，f （α）max 伴38环境科学学报34卷随絮体的生长而呈下降态势，由1．9995降至1．7762．图6絮体生长f （α）max 、α0变化Fig．6f （α）maxand α0change of flocs growth结合图2，发现絮体生长段的多重分形特征参数变化并非随平均粒径的持续增大和颗粒数的持续减小而呈现持续的变化特性，如图5中f （αmax ）、f （αmin ）、αmin 、Δf （α）、Δα在110 130s 之前变化显著，而后出现上下波动或变化变缓的现象，图6中α0则出现先上升后下降的现象．这些不单单是由于絮体几何形态发生变化，也与絮体分布特征的变化密切相关．如图3中所显示的情况，絮体在150s 后的分布变化较之150s 之前的变化已经非常小，150s 之前，絮体主要以小颗粒碰撞聚集为主，表现为f （αmax ）、f （αmin ）、αmin 、Δf （α）、Δα等参数的迅速变化；150s 之后絮体团族之间的聚集增多，较大粒径颗粒出现，小颗粒进一步减少，这时的絮体概率分布不会出现太大的变化，但会向右缓慢发展．5结论与展望（Conclusion and prospect ）通过对在絮凝生长过程中连续采集的絮体图片的分析研究发现，多重分形谱及其特征参数可以定量描述絮体在成长过程中的絮体形态和分布的动态变化情况，从而获取更多的絮体成长信息．当小颗粒进入到絮凝阶段，多重分形谱图由左勾状转变为右钩状，体现了絮体由小颗粒聚集为大颗粒的变化过程．Δα逐渐增大，表现出絮体分布的不均匀程度变化过程；Δf （α）的数值由负转正的变化指示了絮体群落中絮体的主导地位变化；简单分形维数f （α）max 则逐渐下降．絮体形态和分布特征的变化是絮凝过程中的重要现象，对其定量化有助于促进絮凝动力学研究及絮凝机理的完善．结合絮凝剂的反应机理和流体在不同条件下的紊动耗散规律，多重分形分析可揭示絮体的动态絮凝行为特征，为絮凝的过程控制提供重要的参考数据，更多相关内容正在进一步研究中．责任作者简介：杜茂安（1946—），男，教授，博士生导师，主要研究城市水资源及污水资源化；中水回用技术；微污染高含藻湖泊水处理技术，微污染水库水生态及处理技术等．E-mail ：dmahit@126．com．参考文献（Ｒeferences ）：Ariza-Villaverde A B ，Jiménez-Hornero F J ，ＲavéE G D．2013．Multifractal analysis of axial maps applied to the study of urban morphology ［J ］．Computers ，Environment and Urban Systems ，38：1-10Brown G ，Michon G ，Peyrière J．1992．On the multifractal analysis ofmeasures ［J ］．Journal of Statistical Physics ，66（3/4）：775-790Ficker T．2004．Multifractal image analysis of electrostatic surfacemicrodischarges ［J ］．Acta Polytechnica ，44（4）：18-21García-Marín A P ，Jiménez-Hornero F J ，Ayuso J L．2008．Applying multifractality and the self-organized criticality theory to describe the temporal rainfall regimes in Andalusia （southern Spain ）［J ］．Hydrological Processes ，22（2）：295-308Grout H ，Tarquis A M ，Wiesner M Ｒ．1998．Multifractal analysis ofparticle size distributions in soil ［J ］．Environmental Science ＆Technology ，32（9）：1176-1182Li Y ，Li M ，Horton Ｒ．2011．Single and joint multifractal analysis ofsoil particle size distributions ［J ］．Pedosphere ，21（1）：75-83Pérez E ，Bernal C ，Piacquadio M．2012．Multifractal analysis of tensiletoughness and filler dispersion for polypropylene-CaCO 3composites ［J ］．Applied Surface Science ，258（22）：8940-8945Song Ｒ，Bian C ，Ma Q D Y．2013．Multifractal analysis of heartbeatdynamics during meditation training ［J ］．Physica A ：Statistical Mechanics and its Applications ，392（8）：1858-1862孙霞，吴自勤，黄畇．2003．分形原理及应用［M ］．合肥：中国科技大学出版社．68-74Vasiljevic J ，Ｒeljin B ，Sopta J ，et al ．2012．Application of multifractalanalysis on microscopic images in the classification of metastatic bone disease ［J ］．Biomed Microdevices ，14（3）：541-548谢淑云，成秋明，李增华，等．2009．矿物微观结构的多重分形［J ］．地球科学———中国地质大学学报，34（2）：263-269张德祥，高清维，钟维年，等．2007．半连续Ag 纳米薄膜显微图像的多重分形谱研究［J ］．电子科技大学学报，36（5）：948-95148。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Weierstrass-Mandelbrot分形曲面的多重分形谱
吕建国;戴结林;宋学萍;孙兆奇
【期刊名称】《功能材料》
【年(卷),期】2008(039)009
【摘要】构造了不同分形维数的Weierstrass-Mandelbrot(W-M)分形曲面,采用多重分形方法研究了W-M曲面表面高度的分布特征.结果表明,随着曲面分形维数的增加,多重分形谱的谱宽△α从0.082增大到0.215,说明曲面的起伏、粗糙程度随分形维数的增加不断增大,与方均根rms粗糙度σ的计算结果一致.分形谱的△f均＞0,表明曲面上高度最大处数目多于高度最小处数目,曲面的峰位处比较平缓、圆润.
【总页数】3页(P1574-1576)
【作者】吕建国;戴结林;宋学萍;孙兆奇
【作者单位】安徽大学,物理与材料科学学院,安徽,合肥,230039;合肥师范学院,物理与电子工程系,安徽,合肥,230061;合肥师范学院,物理与电子工程系,安徽,合
肥,230061;安徽大学,物理与材料科学学院,安徽,合肥,230039;安徽大学,物理与材料科学学院,安徽,合肥,230039
【正文语种】中文
【中图分类】TH161
【相关文献】
1.基于Z-ordering的多重分形维数及多重分形谱算法 [J], 闫光辉;马志程;刘利松;杜琳娜;杨霞霞
2.基于小波模极大值求取多重分形谱多重分形克里格算法探究 [J], 张庆敏;岳云娟
3.表皮葡萄球菌聚集形成分形结构的多重分形谱研究 [J], 孙仕勇;刘立柱;霍婷婷;董发勤
4.锈蚀钢材表面的分形维数与多重分形谱 [J], 徐善华;夏敏
5.带限Weierstrass-Mandelbrot分形土壤表面与置于其上组合目标复合电磁散射特性仿真及分析 [J], 王玉清;刘鹏;任新成;朱小敏;赵晔;杨鹏举
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。