八年级第九讲 平行线分线段成比例定理
4.平行线分线段成比例.详解
相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
平行线分线段成比例定理.1比例线段(平行线分三角形三边成比例定理)
这个基本事实包含下列两个基本几何图形：
用几何语言表述为：
∵AD∥BE∥CF， AB DE ∴ ＝ . BC EF
上 上 下 下
上 上 全 全
下 下 全 全
推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边(或两边延长线),所得对应线段成 比例.
(平行线分三角形两边成比例定理)
A D
A
E
B C E
A E
O
B
到：全品数学活动，课本第72页第9题
D
C
例 6 如图 22－1－21，D 是△ABC 的边 AB 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，连接 DF 交 AC 于点 E. 求证：EA∶EC＝BF∶CF.
图 22－1－21
证明：过点 A 作直线 AM∥DF 交 BF 的延长线于点 M.
由于 D 是 AB 的中点， 所以 F 是 BM 的中点， 即 BF＝FM. 在△ACM 中，EF∥AM， 所以 EA∶EC＝FM∶CF. 因为 FM＝BF， 所以 EA∶EC＝BF∶CF.
求：(1)CF:BF; (2)BF:AD; (3)CE:ED A
D F
B
C
E
例2.已知:如图,在△ABC中，
DE∥BC,AD=4,DB=3
4
A D E C
(1)若AE=6,求EC; (2)若AE=8,求AC; B
3
(3)若AC=10,求AE,EC.
例3.已知:如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.
B
C
D
E A B
D
C
练习： 已知：如图，AB∥CD∥EF，下列结论正确 的是（ ）
AD BC A. DF CE BC DF B. CE AD CD BC C. EF BE
2.平行线分线段成比例定理
且l , l ¢ 分别与 l1 , l2 , l3相交于 A, B, C , D, E , F .
L2
F A L3 L1 L2 F
一般
C
特殊
(如图所示)那么 AB DE = ; BC EF
AB DE = ; AC DF BC EF = . AC DF
一般
特殊
L3
若将下图中的直线L2看成是平行于△ABC 的边BC的直线,那么可得: AD = AE .
C
F
L3
D
A
L1 L2
D B (E)
A
L1 L2
B C
E F
L3
C
F
L3
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如果l1 // l2 // l3 ,
A B D E L1 L2 F D B C A E F L3 L1 L2 L3 C C D B (E) B A (D) E L1
证明：过点E作EF//AB,交BC于点F, ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC. 为了证明AE:AC=DE:BC， ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC. 需要构造一组平行线，使 且四边形DEFB为平行四边形. ∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AE、AC、DE、BC成为 AD AE DE . 由这组平行线截得的线段. AB AC BC 故作EF//AB.
B Q R C A P D S E T G L2 L1
∴ AB:BC=DE :EF=2:3
FБайду номын сангаас
L3
AB AB DE 一般地，当l1 // l2 // l3，且 =q(q Î R)时, = =q. BC BC EF l1 , l2 , l3不等距!
数学教案-平行线分线段成比例定理_八年级数学教案_模板
数学教课方案－平行线分线段成比率定理_八年级数学教课方案 _模板教课建议知识构造重难点剖析本节的要点是平行线分线段成比率定理.平行线分线段成比率定理是研究相像形的最重要和最基本的理论，它一方面能够直接判断线段成比率，另一方面，当不可以直接证明要证的比率成即刻，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是平行线分线段成比率定理.平行线分线段成比率定理变式许多，学生在找对应线段时经常出现错误；此外在研究平行线分线段成比率时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比率式或等式列出对于未知数的方程，求出未知数，这类运用代数方法研究几何问题，学生接触不多，也经常出现错误.教法建议1.平行线分线段成比率定理的引入可考虑从旧知识引入，先复习平行线均分线段定理，再改变此中的条件引出平行线分线段成比率定理2.也可考虑研究式引入，对给定几组图形由学生丈量得出各直线与线段的关系，进而得到平行线分线段成比率定理，并加以证明，较附和学生的认知规律（第一课时）一、教课目的1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比率定理及其推论，并会灵巧应用.2．使学生掌握三角形一边平行线的判断定理.3．已知线的成已知比的作图问题.4．经过应用，培育识图能力和推理论证能力.5．经过定理的教课，进一步培育学生类比的数学思想.二、教课方案察看、猜想、概括、解说三、要点、难点l．教课要点：是平行线分线段成比率定理和推论及其应用．2．教课难点：是平行线分线段成比率定理的正确性的说明及推论应用．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用绘图工具．六、教课步骤【复习发问】找学生表达平行线均分线段定理．【解说新课】在四边形一章里，我们学过平行线均分线段定理，今日，在此基础上，我们来研究平行线均分线段成比率定理．第一复习一下平行线均分线段定理，如图：，且，∴因为问题：假如，那么能否还与相等呢？教师可率领学生阅读教材P211 的说明，而后重申：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，经过举例证明，让同学们认可这个定理就能够了，重要的是要求同学们正确地使用它）所以：对于是任何正实数，当时，都可获取：由比率性质，还可获取：为了便于记忆，上述 6 个比率可使用一些简单的形象化的语言“ ”.此外，依据比率性质，还可获取，即同一比中的两条线段不在同向来线上，也就是“ ，”这里不要让学存亡记硬背，要让学生会看图，达到依据图作出正确的比率即可，可多找几个同学口答练习 .平行线分线段成比率定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们能够写出六个比率，为了便于应用，在此后的论证和计算中，可依据状况采用此中任何一个，拜见以下图 .，∴.此中后两种状况，为下一节学习推论作了准备.例 1已知：以下图，.求： BC.解：让学生来达成.注：在列比率式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比率的第一项，以减少错误，如例 1 可列比率式为：例 2已知：以下图，求证：.有了 5.1 节例 4 的教课，学生作此例题不会有困难，建议让学生来达成.【小结】1．平行线分线段成比率定理正确性的的说明.2．娴熟掌握由定理得出的六个比率式.（比较图形，并注意变化）七、部署作业教材 P221 中 3（训练学生战胜图形中各线段的扰乱）.八、板书设计如何在数学教课中培育学生的着手操作能力中图分类号： G633.6文件表记码：A文章编号：1002-7661（2013）24-0081-02 生理学研究表示，人脑半球在功能上有分工，各自办理不一样的信息，但在达故意理活动时又是协作一致作用的，左脑和右脑拥有互补性和整合性，在中学数学教课中，让学生利用学具进行操作，一方面能够减缓大脑的疲惫，另一方面学生的感知成立在操作活动基础上。
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
平行线分线段成比例定理 课件
求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.
1
2
= 的应用,通过作平行线,证明
= ,
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
+
+
=
.
= (其中b+d+…+n≠0),那么
②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.
9.2平行线分线段成比例 (共22张PPT)
1.比例线段的概念：
四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ∶b=c ∶d，那么这四条 线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
2.比例的基本性质
⑴.如果 a∶b ＝c∶d ，那么a ·d ＝b ·c. ⑵如果 a ·d ＝b ·c (a、b、c、d都不等于0)，
那么 a ∶b ＝c ∶d
A
E
F
B
C
课堂练习：
A 64 DE
9
B
C
EC＝（ ）
12
D
15
F 9 B
A
E
10
G C
AE＝（ ） GC＝（ ）
课堂练习：
已知：EG∥BC，GF∥CD
求证： AE ＝ AF
AB
AD
E
B
A
F
G
D
C
小结：
1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例
2、推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 得的对应线段成比例。
L1
（1）
AB BC
DE
EF 简称“上比下”等于“上比下”
C
F
L2（2）AACB
DE DF
简称“上比全”等于“上比全”
L3
（3）BACC
EF DF
简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论。
探究活动二
如图，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。过点A1作直线n的平行 线，分别交直线b，c于点C1，C2。如图，图中有 哪些成比例线段？
（1）∵ AB∥DE
B
八年级数学平行线分线段成比例课件
A
D
a
B
E
b
C
F
c
AC 9
课堂练习：
3.已知：平行四边形ABCD 则 AB ＝（ DF ） AE （ DE ） CF ＝ （ DF ） FB （ EF ）
D
C
F
A
B
E
课堂练习：
4.已知：EG∥BC，GF∥CD
求证：
AE ＝
AF
AB
AD
A
E B
F
G
D
C
归纳总结
1.平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比 例。
思考： 1.如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
L4 L5
AD
B
E
C
F
“对应”是数学的基本概念， 在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推出如下结论
之一：
L1（1）AB DE 简称“上比下”等于“上比下” BC EF
L2
（2）AACB
DE 简称“上比全”等于“上比全”
DF
L3 （3）BC EF简称“下比全”等于“下比全”
AC DF
平行线分线段成比例定理:
两所条得直的线对被应一线组段平成行比线例所截，L4 L5
A
D
L1
定理的符号语言 B
E L2
L1//L2//L3 C
F
L3
AB DE BC EF
或 AB DE AC DF
或 BC EF AC DF
探究活动二
A
10
6
E
B
5 F
C
2 EF ∥ BC
AE AF AB AC
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
平行线分线段成比例定理推论
平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。
本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。
一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。
二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。
2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。
3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。
4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。
5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。
6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。
7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。
8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。
9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。
三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。
证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。
则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。
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名师堂八年级数学第九讲平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
如图1-1若，则，(或；或)
图1-1
定理的证明
过A点作AN∥DF，交l2于M，交l3于N 点，连接BN、CM(如图(1-2)
图1-2
∵
∴AM=DE MN=EF
在△ACN中，有.
∵BM∥CN ∴S△BCM=S△BMN
∴亦即
如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？
“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：
(1)简称“上比下”等于“上比下”
(2)简称“上比全”等于“上比全”
(3)简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.
2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
主要的基本图形：
(图1) 平行线分线段成比例(图2)
图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成
比例(可看作性质1).及其逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对
应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定).
以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2).
对“A”、“X”型的特征分析：A点是两相交直线的交点，D、E和B、C是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD：AB=AE：AC中，A、D、
B在一条直线上，A、E、C在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得.
注意点：
(1)平行线分线段成比例没有逆定理
(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的
平行线本身不能参与作比例)
(3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC，则DF：FE=BG：GC
(4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关
平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.
典型例题
例1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB 于N，若AB=6cm，求AP的值.
例2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
图2-2
证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.
例3．AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.
求证：DE∥BC.
分析：如图2-3
图2-3
练习
1．选择题：
(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( )
A．B．C．D．
(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( )
A．2 B．3C．D．
(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式成立的是( )
A．B．C．D．
(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，，则等于( )
A．B．C．D．
(5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )
A．B．C．D．
(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中不正确的是( )
A．B．C．D．
2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长.
3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC的面积的，求EC的长.
4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？
能力提升
例1已知：如图5-19，AD为△ABC的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．
例2求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．
即图5-20中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PR⊥AB于点R，PQ⊥AC于点Q，BH为腰上的高．求证：PQ+PR=BH．
例3已知：如图5-21，△ABC中，∠A为直角．以AB，AC分别为边向外侧作正方形ABDE，ACFG，线段CD，BF分别与AB，AC相交于点X，Y．求证：AX=AY．
分析一如图5-21（a），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段，在这些成比例的线段中，除AX，AY外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY应该能用平行线分线段成比例定理得到证明．
分析二如图5-21（b），连结线段EX，GY，得到△CEX和△BGY．这两个三角形的边CE=BG，又AX
实际等于AY，所以△CEX和△BGY应该有相等的面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD，AF，那么S△ACD=S△CEX，S△BAF=S△BGY，所以只需证明S△ACD=S△BAF．但这很简单了．
例4已知：如图5-22，C为线段AB上任意一点，以AC，BC分别为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，线段AE，CD相交于点P，线段BD，CE相交于点Q．求证：CP=CQ．
分析一参阅例3的分析一．
分析二如图5-22，△ACP和△DCQ应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而
∠ACP=∠DCQ．再证明了∠PAC=∠QDC问题就解决了．要证明这两个角相等，只要证明△ACE≌△DCB就可以了．
例5已知：如图5-23，在△ABC中，线段AD，BE，CF相交于
分析如图5-23，直接证明以上等式成立，不易找到线索，因此需要把以上等式中的比用其他的比来代替．为此，作OH⊥BC于H，作AK⊥BC于K，则OD∶AD=OH∶AK，用OH∶AK代替OD∶AD，仍得不到证明．但OH∶AK=S△OBC∶S△ABC，即OD∶AD可用两个三角形面积的比来代替．其他两个比OE∶BE，O F∶CF也用三角形面积的比来代替．然后证明三组面积比的和为1就可以了．
例6已知：如图5-24，AM是△ABC的中线，任作一直线l分别交AB，AC，AM于点P，Q，N．求证：。