广东实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学 PDF版含答案
广东省实验中学高二(上)期中数学试卷(文科) (2)
2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列叙述中不正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα2．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面3．下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②③4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．485．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=08．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）11．{a n}满足a n+a n+1A．B．C．6 D．512．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）A．2 B．3 C．3D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于．=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=．14．在数列{a n}中，若a1=1，a n+115．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为．三、解答题题（六小题共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；（2）求证：AE⊥BE．19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．=2S n+1（n≥1）．21．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{}的前n项和+++…+．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．（1）求证：A1C∥平面AD1E；（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．2016-2017学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列叙述中不正确的是（）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确．C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°，正确；D．若直线的倾斜角为α，时，则直线的斜率不存在，因此不正确．故选：D．2．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用线面平行的性质定理即可判断出．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b⊂α，∴a与b的位置关系是平行或异面．故选：D．3．下面四个命题：①分别在两个平面内的直线平行②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行④如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行其中正确的命题是（）A．①②B．②④C．①③D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与直线平行，平面与平面平行，直线与平面平行的判定方法和几何特征，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：对于①，分别在两个平面内的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；对于②，若两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的任何一条直线与另一个平面也无公共点，必平行于另一个平面，故正确；对于③，如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面不一定平行，故错误；对于④，如果一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面，存在两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行，故正确；故正确的命题是：②④，故选：B4．在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和为11的两项之和都相等，即可求出a1+a10的值．【解答】解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120所以a1+a10=24故选B5．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．6．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，推出EF∥A1C1；分析可得答案．【解答】解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1故选D．7．以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（）A．3x﹣y﹣8=0 B．3x+y+4=0 C．3x﹣y+6=0 D．3x+y+2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出AB的中点坐标，求出AB的中垂线的斜率，然后求出中垂线方程．【解答】解：因为A（1，3），B（﹣5，1），所以AB的中点坐标（﹣2，2），直线AB的斜率为：=，所以AB的中垂线的斜率为：﹣3，所以以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．故选B．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．9．点P（﹣3，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（4，﹣3）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】PQ与直线l垂直，斜率之积等于﹣1，PQ中点在直线l上，PQ中点的坐标满足直线l的方程．【解答】解：设点P（﹣3，4）关于直线l：x+y﹣2=0对称的点Q的坐标（x，y）则PQ中点的坐标为（），利用对称的性质得：K PQ==1，且，解得：x=﹣2，y=5，∴点Q的坐标（﹣2，5），故选B．10．将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（）A． B． C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的平移原则，向左平移x+φ，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到x+，然后得到函数解析式．【解答】解：将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：向左平移个单位长度；得到函数y=sin（x+），横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（x+）的图象，所得到的曲线C/对应的函数解析式是y=sin（x+）．故选D．=（n∈N且n≥1），a2=1，则S21为（）11．{a n}满足a n+a n+1A．B．C．6 D．5【考点】数列递推式；数列的求和．=（n∈N且n≥1），a2=1，令n=1，可得a1+1=，解得a1．则【分析】数列{a n}满足a n+a n+1S21=a1+（a2+a3）×10．=（n∈N且n≥1），a2=1，【解答】解：∵数列{a n}满足a n+a n+1∴a1+1=，解得a1=﹣．则S21=a1+（a2+a3）×10=﹣+=．故选：A．12．点P（﹣1，3）到直线l：y=k（x﹣2）的距离的最大值等于（）A．2 B．3 C．3D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】把直线l化为一般式方程后，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用|a|=以及完全平方公式化简后，由基本不等式即可求出距离d的最大值．【解答】解：直线l：y=k（x﹣2）的方程化为kx﹣y﹣2k=0，所以点P（﹣1，3）到该直线的距离为d===3=3，由于≤1，所以d≤3，即距离的最大值等于3，故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，那么a的值等于2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据它们的斜率相等，可得=﹣1，解方程求a的值．【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行，∴它们的斜率相等，∴=﹣1∴a=2故答案为：2．=2a n+3（n≥1），则该数列的通项a n=2n+1﹣3．14．在数列{a n}中，若a1=1，a n+1【考点】数列递推式．+3=2（a n+3）（n≥1），由此可知该数列的通项a n=2n+1﹣3．【分析】由题意知a n+1=2a n+3（n≥1），【解答】解：在数列{a n}中，若a1=1，a n+1∴a n+3=2（a n+3）（n≥1），+1即{a n+3}是以a1+3=4为首项，为公比的等比数列，a n+3=4•2n﹣1=2n+1，所以该数列的通项a n=2n+1﹣3．15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是三棱柱，根据三视图的数据，求出它的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱柱，底面是正三角形，其底边上的高为，则边长为6；由三视图可得棱柱高为4，它的体积：V=Sh=（×6×3）×4=36；故答案为36．16．在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为2．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要使PM的最小，只需CM最小即可，作CH⊥AB于H，连PH，根据线面垂直的性质可知PH⊥AB，PH为PM的最小值，在直角三角形PCH中求出PH即可．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，连PH，∵PC⊥面ABC，∴PH⊥AB，PH为PM的最小值，而CH=2，PC=4，∴PH=2．故答案为：2三、解答题题（六小题共70分）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；（2）求证：AE⊥BE．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1）先取DE的中点P，利用N，P为中点，可以推出PN∥DC，且PN=DC，再利用四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，可以推出AM∥DC，且AM=DC，故有PN∥AM，且PN=AM，⇒四边形AMNP是平行四边形，⇒MN∥AP即可证：MN∥平面DAE；（2）先利用BC⊥平面ABE⇒AE⊥BC，再利用BF⊥平面ACE⇒AE⊥BF，可以证得AE⊥平面BCE，进而可证AE⊥BE．【解答】证明：（1）取DE的中点P，连接PA，PN，因为点N为线段CE的中点，所以PN∥DC，且PN=DC，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且AM=DC，所以PN∥AM，且PN=AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP．而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥平面DAE．（2）因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC，又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF，又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE．19．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y﹣6=0上，顶点A的坐标是（1，﹣1），（1）求边AC所在的直线方程及边AC的长．（2）求B点的坐标及边AB所在的直线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）直线AC的方程为x﹣2y+c=0，将A坐标代入求c即可；（2）求出AB长度，利用方程组求出B的坐标，从而利用两点式求直线方程．【解答】解：（1）由条件知直线AC垂直于直线2x+y﹣6=0，设直线AC的方程为x﹣2y+c=0，把A（1，﹣1）代入得c=﹣3，故直线AC的方程为x﹣2y﹣3=0，…因为AC⊥BC，所以A到直线BC的距离为AC=，…（2）由AC=得到AB=…设B（x，y），则，…解得B（2，2）或者B（4，﹣2），…所以直线AB的方程为3x﹣y﹣4=0或x+3y+2=0…20．已知f（x）=4x﹣2x+1﹣a（a∈R）（1）当a=3时，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，且t=，求t的取值范围．【考点】函数零点的判定定理．【分析】（1）令f （x ）=0，求出函数的零点即可；（2）求出a +3的范围，从而求出t 的范围．【解答】解：（1）a=3时，f （x ）=4x ﹣2x +1﹣3，令4x ﹣2x +1﹣3=0，得：（2x ﹣3）（2x +1）=0，∵2x +1≠0，∴2x ﹣3=0，故函数f （x ）的零点是log 23；（2）若f （x ）有零点，则a=（2x ﹣1）2﹣1，∵2x ＞0，∴a=（2x ﹣1）2﹣1∈2，+∞）， ∴∈（0，3﹣2，1）．21．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1（n ≥1）．（1）求{a n }的通项公式；（2）等差数列{b n }的各项为正，前n 项和为T n ，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求数列{}的前n 项和+++…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5．故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ． 由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，（d ＞0），再利用等差数列的求和公式与“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）由a n +1=2S n +1（n ≥1）．可得a n =2S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得a n +1﹣a n =2a n ，∴a n +1=3a n ，又a 2=2S 1+1=3，∴a 2=3a 1．故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，∴a n =3n ﹣1．（2）设{b n }的公差为d 由T 3=15可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5．故可设b 15﹣d ，b 3=5+d ．又a 1=1，a 2=3，a 3=9．由题意可得：（5﹣d +1）（5+d +9）=（5+3）2，解得d=2，或﹣10．∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，因此d=2，b 1=3，∴T n =3n +=n 2+2n ． =． ∴数列{}的前n 项和+++…+=+++…++==﹣．22．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点．（1）求证：A1C∥平面AD1E；（2）在对角线A1C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD1E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．（3）求三棱锥B1﹣AD1E体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF，推导出EF∥A1C，A1C∥平面AD1E．（2）推导出AD1⊥A1D，CD⊥AD1，从而AD1⊥平面A1CD，进而平面AD1E⊥平面A1CD，作DP⊥A1C于P，得到DP⊥EF，从而DP⊥平面AD1E，由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP=，由此求出当CP=时，DP⊥平面AD1E．（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，B1到平面AD1E的距离为B1Q，由此能求出三棱锥B1﹣AD1E体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）连结A1D，交AD1于点F，连结EF．…因为四边形ADD1A1是正方形，所以F是A1D的中点，又E是CD的中点，所以EF∥A1C．…因为EF⊂平面AD1E，A1C⊄平面AD1E，所以A1C∥平面AD1E．…解：（2）在对角线A1C上存在点P，且CP=，使得DP⊥平面AD1E．证明如下：因为四边形ADD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D．因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD．…因为AD1⊂平面AD1E，所以平面AD1E⊥平面A1CD．…作DP⊥A1C于P，因为EF∥A1C，所以DP⊥EF．因为DP⊂平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF，所以DP⊥平面AD1E．…由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得CP===．所以当CP=时，DP⊥平面AD1E．…（3）连结B1C，矩形A1B1CD中，过B1作DP的平行线交EF于Q，由（2）知DP⊥平面AD1E，由题意知B1Q⊥平面AD1E，故B1到平面AD1E的距离为B1Q=，…===，…∴===．…2016年11月28日。
广东省20212021学年高二上学期期中考试文科数学试卷Word版含答案
广东实验中学2021—2021学年（上）高二级期中考试文科数学本试卷共4页，满分150分，考试历时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准利用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必需维持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列叙述中不正确．．．的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B ．每一条直线都对应唯一一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α ，则直线的斜率为tan α2．已知直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 的关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面 3．下面四个命题：①别离在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③若是一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ④若是一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③4．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是 （）A ．12B ．24C ．36D ．485．已知1sin()23πα+=，则cos(2)πα+的值为（ ） A ．79- B ． 29 C ． 79 D 23-俯视图侧视图正视图3346．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 别离是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立．．．的是 ( ) A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 7．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝08．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．56π9．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(2，－5) B ．(－2,1) C ．(－2,5) D ．(4，－3) 10．将函数x y sin =的图象C 按顺序作以下两种变换：⑴向左平移3π个单位长度；⑵横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所取得的曲线/C 对应的函数解析式是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32sin(π-=x y C ．)32sin(π+=x y D ．)32sin(π+=x y 11．{}n a 知足211=++n n a a （N n ∈且1≥n ），12=a ，则S 21 为 （ ） A ．29B ．211C ．6D ．512．设点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离为d(k ),则d(k )的最大值等于 ( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=彼此平行，那么a 的值等于14．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n≥1),则该数列的通项a n =_________. 15．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 .16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB上一个动点，则PM 的最小值为________．三、解答题题（六小题 共70分） 17．（本小题满分10分）在锐角．．△ABC 中，a 、b 、c 别离为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A (1)肯定角C 的大小：（2）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。
广东省广州市实验中学_学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)【含答案】
2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．若直线a不平行于平面M，则直线a与平面M有公共点C．已知直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D．若直线a∥平面M，则直线a与平面M内的所有直线平行2．如图所示的一个几何体及其正视图如图，则其俯视图是（）A．B．C．D．3．过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为（）A．﹣2x+y﹣7=0 B．﹣x+2y﹣8=0 C．2x+y+1=0 D．x+2y﹣4=04．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为（）A．4（+1）π B．4（2+1）πC．4πD．8π5．已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，若该长方体的顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（ ）A ．288πB ．144πC ．108πD ．36π 6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′﹣BD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣7．如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3中点，D 是EF 与SG 2的交点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体G ﹣SEF 中必有（ ）A ．SD⊥平面EFGB ．SE⊥GFC ．EF⊥平面SEGD ．SE⊥SF8．已知直线（a ﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a 2﹣1）x+（2a+1）y ﹣7=0平行，则a 值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣49．如图，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，AB 的中点为E ，AA′的中点为F ，则直线D′F 和直线CE （ ）A．都与直线DA相交，且交于同一点B．互相平行C．异面D．都与直线DA相交，但交于不同点10．已知△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），则△ABC的外接圆方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2=5 B．（x+3）2+（y+2）2=20 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=20 D．（x﹣3）2+（y﹣2）2=511．一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，则该几何体的体积为（）A．25π B．19π C．11π D．9π12．已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含公共点），直线l的斜率k l的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，则直线l在x轴上的截距是；y轴上的截距是．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点（1，0）到它的距离为1的直线是．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点（2，4）射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点（3，2），则反射光线的方程为．三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O（﹣1，1），其中A（﹣2，0），B（1，1）．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．18．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），求圆C的标准方程．19．如图所示，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（1）求证：平面AB1D1∥平面BDC1；（2）求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．20．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．（1）在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．2015-2016学年广东省广州市实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．若直线a不平行于平面M，则直线a与平面M有公共点C．已知直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内D．若直线a∥平面M，则直线a与平面M内的所有直线平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．【分析】根据平面平行的几何特征，可判断A；根据直线与平面位置关系的分类与定义，可判断B；根据公理3和线面平行的性质定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：平行于同一个平面的两个平面平行，故A正确；若直线a不平行于平面M，则a与M相交，或a在M内，则直线a与平面M有公共点，故B 正确；已知直线a∥平面α，P∈α，则P与a确定的面积与平面α相交，由公理3可得两个平面有且只有一条交线，且过点P，再由线面平行的性质定理可得交线平行于直线a，故C正确；若直线a∥平面M，平面M内的直线与直线a平行或异面，故D错误；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的几何特征，考查空间想象能力，难度中档．2．如图所示的一个几何体及其正视图如图，则其俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】该几何体的俯视图即上部分四棱锥的俯视图，且四条棱都能看见，应为实线．【解答】解：因为该组合体上部为四棱锥，且顶点在底面的投影在底面中心，所以该几何体的俯视图为C．故选C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，是基础题．3．过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为（）A．﹣2x+y﹣7=0 B．﹣x+2y﹣8=0 C．2x+y+1=0 D．x+2y﹣4=0【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，代入点的坐标，求出c的值即可．【解答】解：过点（﹣2，3），倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，∴﹣2×2﹣3+c=0，解得c=7，故方程为2x﹣y+7=0，即为﹣2x+y﹣7=0，故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线方程，属于基础题．4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为（ ）A ．4（+1）πB ．4（2+1）πC ．4πD ．8π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，求出母线长，再求底面积与侧面积的和即可．【解答】解：底面半径和高都为2的圆锥，其底面积为S 底面积=π•22=4π，母线长为=2，所以它的侧面积为S 侧面积=π•2•2=4π； 所以圆锥的表面积为：S=S 底面积+S 侧面积=4π+4π=4（+1）π．故选：A ． 【点评】本题考查了求空间几何体表面积的应用问题，是基础题目．5．已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，若该长方体的顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（ ）A ．288πB ．144πC ．108πD ．36π 【考点】球的体积和表面积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．【解答】解：根据题意，长方体内接于球，所以球的直径为该长方体的对角线；即（2R ）2=32++42=36，解得R=3；所以这个球的体积为V 球=πR 3=×π×33=36π．故选：D ．【点评】本题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间角．【分析】判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则四面体A′BDA为正四面体．取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，则AE=A′E=且AE⊥BD，A′E⊥BD，则∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，在△AA′E中，cos∠AEA′==故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：．故选：A．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体G﹣SEF中必有（）A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE⊂平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，得∠ES F＜∠G1SG3=90°，∴SE与SF不垂直，故D错误．故选：B．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．已知直线（a﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a2﹣1）x+（2a+1）y﹣7=0平行，则a值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣4【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由已知条件利用两直线平行的性质能求出a的值．【解答】解：∵直线（a﹣1）x+（a+1）y+8=0与（a2﹣1）x+（2a+1）y﹣7=0平行，∴当a=1时，两直线都垂直于x轴，两直线平行，当a=﹣1时，两直线x=4与y=﹣7垂直，不平行，当a≠±1时，由两直线平行得：，解得a=0．∴a值为0或1．故选：C．【点评】本题考查直线方程中参数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，则直线D′F 和直线CE（）A．都与直线DA相交，且交于同一点B．互相平行C．异面D．都与直线DA相交，但交于不同点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】连接EF，A′B，CD′，证明E，F，D′，C共面，且EF=CD′，即可得出结论．【解答】解：连接EF，A′B，CD′，则∵AB的中点为E，AA′的中点为F，∴EF∥A′B，∵A′B∥CD′，∴EF∥CD′，∴E，F，D′，C共面，且EF=CD′∴直线D′F和直线CE与直线DA相交，且交于同一点，故选：A．【点评】本题考查E，F，D′，C共面的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．已知△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），则△ABC的外接圆方程为（）A．（x+3）2+（y+2）2=5 B．（x+3）2+（y+2）2=20 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=20 D．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由条件求得△ABC为直角三角形，可得它的外接圆的圆心为斜边AC的中点（3，2），半径为AC，由此求得它的外接圆的标准方程．【解答】解：由△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（1，1），C（1，3），可得AB⊥CB，故△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点（3，2），半径为AC=•=，故圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=5，故选：D．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．11．一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，则该几何体的体积为（）A．25π B．19π C．11π D．9π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．代入体积公式计算．【解答】解：三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．∴圆台的上底面面积S1=π×12=π，圆台的下底面面积S2=π×22=4π，圆柱的底面面积S3=π×22=4π，∴V圆台=（S1+S2+）×3=7π，V圆柱=S3×1=4π，V=V圆台+V圆柱=11π．故选C．【点评】本题考查了常见几何体的三视图及体积，是基础题．12．已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含公共点），直线l的斜率k l的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】直线的斜率．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】求出直线AC的斜率k AC=1，直线AB的斜率k AB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率k l的取值范围．【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D（2，0），∵三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），直线AC的斜率k AC==1，直线AB的斜率k AB==﹣1，∴结合图象，得：直线l的斜率k l的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，则直线l在x轴上的截距是﹣2 ；y轴上的截距是 3 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】直线l：3x﹣2y+6=0中，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．【解答】解：∵直线l的方程为3x﹣2y+6=0，∴当y=0时，解得x=﹣2，当x=0时，解得y=3，∴直线l在x轴上的截距是﹣2，y轴上的截距是3．故答案为：﹣2，3．【点评】本题考查直线方程的横截距和纵截距的求法，是基础题，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点（1，0）到它的距离为1的直线是3x+4y+2=0或3x+4y ﹣8=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．根据点（1，0）到它的距离为1，可得=1，解得m即可得出．【解答】解：设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．∵点（1，0）到它的距离为1，∴=1，解得m=2或﹣8．因此所求的直线方程为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．故答案为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结A′B、A′C′，由AC∥A′C′，得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，由此能求出异面直线AC与BC′所成的角．【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连结A′B、A′C′，∵AC∥A′C′，∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，∵A′B=BC′=A′C′，∴∠A′C′B=60°，∴异面直线AC与BC′所成的角为60°．故答案为：60°．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点（2，4）射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点（3，2），则反射光线的方程为x﹣26y+1=0 ．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a，b．再利用点斜式即可得出．【解答】解：设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a=﹣3，b=﹣1．∴反射光线的斜率为： =，∴反射光线的方程y﹣2=（x﹣3），化为x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O（﹣1，1），其中A（﹣2，0），B（1，1）．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【考点】直线的两点式方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】设点C的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），由平行四边形的性质和中点坐标公式求出C（0，2），D（﹣3，1），由此能求出该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．【解答】解：设点C的坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），由已知，，解得，∴C（0，2），D（﹣3，1），∴AD所在直线方程为：，即y=﹣x﹣2．DC所在直线方程为：，即y=．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平行四边形的性质和中点坐标公式的合理运用．18．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），求圆C的标准方程．【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心，再求出半径CA的值，即可求得圆的标准方程．【解答】解：由已知，线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心．线段AB的斜率为：K AB==，∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为﹣=﹣2，又∵线段AB的中点为（0，﹣4），∴线段AB的中垂线所在直线方程为：y+4=﹣2x，即2x+y+4=0．由，求得，∴圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2）∴圆C的半径r满足：r2=（2+1）2+（﹣3+2）2=10，∴圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10．【点评】本题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．19．如图所示，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（1）求证：平面AB1D1∥平面BDC1；（2）求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）在平面AB1D1找两条相交直线AB1，AD1分别平行于平面BDC1；（2）连接D1C，设D1C∩C1D=O，证明D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高，求出底面积，即可求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．【解答】（1）证明：由已知，在四边形DBB1D1中，BB1∥DD1且BB1=DD1，故四边形DBB1D1为平行四边形，即D1B1∥DB，﹣﹣﹣﹣﹣2’∵D1B1⊄平面DBC1，∴D1B1∥平面DBC1；﹣﹣﹣﹣﹣3’同理在四边形ADC1B1中，AB1∥DC1，﹣﹣﹣﹣﹣4’同理AB1∥平面DBC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’又∵AB1∩D1B1=B1，﹣﹣﹣﹣﹣6’∴平面AB1D1∥平面BDC1．﹣﹣﹣﹣7’（2）解：连接D1C，设D1C∩C1D=O，则在正方形D1C I CD中，D1C⊥DC1，﹣﹣﹣﹣8’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面C1CDD1，所以D1C⊥B1C1，﹣﹣﹣﹣9’∵DC1∩B1C1=C1，∴D1C⊥平面AB1C1D，﹣﹣10’即D1O为四棱锥D1﹣AB1C1D的高；由已知，在正方形DCC1D1中，边长为1，∴D1C=DC1=，∴四棱锥的高D1O=，﹣﹣﹣﹣11’又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形AB1C1D为矩形，且C1D=，B1C1=1，故=1×=﹣﹣﹣﹣12’∴==﹣﹣﹣﹣14’【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查四棱锥D1﹣AB1C1D的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．（1）在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）存在满足条件的点P ．在梯形ACDE 内过C 作CP⊥AE，垂足为P ，则垂足P 即为满足条件的点．由已知推导出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能证明CP⊥平面ABE ．（2）连接BP ，则∠CBP 为BC 与平面ABE 所成角，由此能求出直线BC 与平面BAE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）存在满足条件的点P ．在梯形ACDE 内过C 作CP⊥AE，垂足为P ，则垂足P 即为满足条件的点．证明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC ，∴BA⊥平面ACDE ，又∵CP ⊂平面ACDE ，∴BA⊥CP．由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE ．（2）连接BP ，由（1）可知CP⊥平面ABE ，P 为垂足，∴∠CBP 为BC 与平面ABE 所成角θ．在RT△APC 中，∠PAC=60°，∠APC=90°，∴PC=ACsin60°=．在RT△BAC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∴BC===， ∴在RT△BPC 中，∠BPC=90°，BC=，PC=，即sin θ=sin∠CBP===，且0＜θ＜，∴cos θ===，故直线BC 与平面BAE 所成角的余弦值为．【点评】本题考查使得线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．【考点】直线与平面垂直的判定；余弦定理．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．利用面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性即可得出；（II）在等腰△ADC中，使用余弦定理和利用余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴当时，d2取得最小值．（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴当时，cosθ取得最小值．【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的判定与性质定理和二次函数的单调性、余弦定理和余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．。
2020-2021学年广东深圳高二上数学期中试卷
2020-2021学年广东深圳高二上数学期中试卷一、选择题1. 数列1，23，35，47，59，⋯的一个通项公式a n 是( ) A.n2n+1B.n2n+3C.n2n−3D.n2n−12. l 1的方向向量为v 1→=(1,2,3)，l 2的方向向量v 2→=(λ,4,6)，若l 1//l 2，则λ等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.43. 若抛物线y 2=mx 的焦点到顶点的距离为12，则m =( ) A.2 B.4 C.±2 D.±44. 若双曲线x 2a −y 2=1(a >0)的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ） A.y =±√2x B.y =±√22xC.y =±12xD.y =±x5. 已知A (3,0,−1)，B (0,−2,−6)，C (2,4,−2)，则△ABC 是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6. 若动点P 在曲线x 2=4y +4上移动，定点Q 坐标为(0,1)．则P ，Q 连线中点的轨迹方程是( ) A.x 2=4y B.x 2=2y C.x 2=4y +2 D.y 2=4x7. 已知等差数列{a n }，a n =m ，a m =n ，则a m+n =（ ） A.m B.n C.0 D.m +n8. 已知A ，B ，C 是双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ．若BF ⊥AC 且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（ ）A.53B.√173C.√172D.94二、多选题下列关于等差数列的命题中正确的有( )A.若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则ka +2，kb +2，kc +2一定成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 可能成等差数列已知曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k =1(k ∈R )，则下列结论正确的是( ) A.当k =4时，曲线C 为圆B.当k =0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =±√3xC.“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k 使得曲线C 为等轴双曲线，其离心率为√2已知O 为坐标原点，M (1,2)，P 是抛物线C:y 2=2px 上的一点，F 为其焦点．若F 与双曲线x 23−y 2=1的右焦点重合，则下列说法正确的有( ) A.若|PF|=6，则点P 的横坐标为4B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为√3C.若△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9πD.△PMF 周长的最小值为3+√5在四面体P −ABC 中，以上说法正确的有( )A.若AD →=13AC →+23AB →，则可知BC →=3BD →B.若Q 为△ABC 的重心，则PQ →=13PA →+13PB →+13PC →C.若PA →⋅BC →=0，PC →⋅AB →=0，则PB →⋅AC →=0D.若四面体P −ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|=1. 三、填空题 椭圆x 2a2+y 220=1的焦点在x 轴上，焦距为8，则该椭圆的离心率为________．在等差数列{a n }中，已知a 1=2，a 2+a 3+a 4=24，则a 4+a 5+a 6=________.正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，异面直线B 1E 与DF 所成角的余弦值为________.已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，如果椭圆C 上存在一点P ，使得PF 1→⋅PF 2→=0，且△PF 1F 2的面积等于4，则实数b 的值为________，实数a 的取值范围为________. 四、解答题(1)数列{a n }满足a 1=1，且a n+1=an 2a n+1，求a 5；(2)在等差数列{a n }中，若a 2+a 3+a 4+a 5=34，且a 2⋅a 5=52，求a n .求满足下列条件的曲线方程：(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P (3,0)在该椭圆上，求椭圆的方程；(2)已知双曲线的离心率为√2，焦点是(−4,0)，(4,0)，求双曲线标准方程．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点． (1)求证： BC 1//平面AD 1E ；(2)求直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值．已知抛物线y 2=2px (p >0)上一点(m,1)到其焦点F 的距离为1． (1)求抛物线方程；(2)过点B (2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线交于M ，N 两点，求证：OM ⊥ON.已知如图一Rt △ABC ，AC =BC =4，∠ACB =90∘，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 在BC 上，且BF =3FC ，G 为DC 中点，将△ADE 沿DE 折起， △BEF 沿EF 折起，使得A ，B 重合于一点P （如图二）．(1)求证：EG ⊥平面PDF ；(2)求二面角C −PF −E 的大小．如图，曲线C 由上半椭圆C 1:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0,y ≥0)和部分抛物线C 2:y =−x 2+1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为√32.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过A点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年广东深圳高二上数学期中试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】将原数列中的第一项写成分式的形式：11，再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，从而得出数列1，23，35，47，59的一个通项公式a n ． 【解答】解：将原数列写成：11，23，35，47，59．每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列， ∴ 数列1，23，35，47，59的一个通项公式a n 是n2n−1． 故选D . 2.【答案】 B【考点】共线向量与共面向量 【解析】 无【解答】解：∵ l 1//l 2，∴ v 1→//v 2→，则1λ=24，因此，λ=2． 故选B ． 3. 【答案】 C【考点】 抛物线的性质 【解析】 无【解答】解：由题意得|m4|=12， 解得m =±2． 故选C .4.【答案】 D【考点】双曲线的渐近线 双曲线的标准方程【解析】直接利用双曲线的标准方程求出实轴长，即可求出a ，然后求解渐近线方程． 【解答】解：双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0)的实轴长为2， 可得a =1，所以双曲线为x 2−y 2=1(a >0)， 则其渐近线方程为：y =±x ． 故选D . 5.【答案】 C【考点】三角形的形状判断 向量的模数量积的坐标表达式 【解析】 无【解答】解：∵ AB →=(−3,−2,−5)，AC →=(−1,4,−1)，BC →=(2,6,4)，∴ AB →⋅AC →=3−8+5=0，|AB →|=√38，|AC →|=3√2，|BC →|=2√14， ∴ AB ⊥AC ，|AB →|≠|AC →|≠|BC →|，因此，△ABC 是直角三角形． 故选C ． 6.【答案】 B【考点】 轨迹方程 【解析】由相关点法求轨迹方程. 【解答】解：设PQ 的中点为M (x,y )，P (x 0,y 0), 则{x =x02,y =y 0+12,则{x 0=2x,y 0=2y −1,∵ 点P 在曲线x 2=4y +4上，∴ x 02=4y 0+4，∴ 4x 2=4(2y −1)+4， ∴ x 2=2y . 故选B . 7. 【答案】 C【考点】等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，a m =a 1+(m −1)d =n ，a n =a 1+(n −1)d =m ， 两式相减得d =−1，代入其中任一式得a 1=m +n −1， 所以a m+n =a 1+(m +n −1)d =0． 故选C . 8.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 双曲线的定义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设左焦点为F ′，|AF|=m ，连接AF ′,CF ′,BF ′，如图，则|FC|=2m ，|AF ′|=2a +m ，|CF ′|=2a +2m ， |FF ′|=2c. 因为BF ⊥AC ，且AB 经过原点O ，所以四边形FAF ′B 为矩形． 在Rt △AF ′C 中，|AF ′|2+|AC|2=|F ′C|2，代入得(2a +m )2+(3m )2=(2a +2m )2，化简得m =2a 3；在Rt △AF ′F 中，|AF ′|2+|AF|2=|F ′F|2， 代入得(2a +2a 3)2+(2a 3)2=(2c )2，化简得c 2a 2=179，即该双曲线的离心率e =c a=√173． 故选B ． 二、多选题【答案】 B,C,D 【考点】等差关系的确定 【解析】利用等差数列的定义及其通项公式即可判断出结论． 【解答】解：A ，若a ，b ，c 成等差数列，则2b =a +c ， 2b 2−(a 2+c 2)=2(a+c 2)2−(a 2+c 2)=−(a+c)22，不一定为0，因此a 2，b 2，c 2不一定成等差数列，不正确； B ，若a ，b ，c 成等差数列，则2b =a +c ，取a =b =c ，则2a ，2b ，2c 可成等差数列，正确； C ，若a ，b ，c 成等差数列，则2b =a +c ，于是2(kb +2)−(ka +2+kc +2)=k(2b −a −c)=0， 因此ka +2，kb +2，kc +2一定成等差数列，正确； D ，若a ，b ，c 成等差数列，则2b =a +c ， 于是2×1b −1a −1c =4a+c −a+c ac =−(a−c)2ac(a+c).当a =c ≠0时，2×1b =1a +1c ， 因此1a ，1b ，1c 可能成等差数列，正确． 故选BCD . 【答案】 A,B【考点】双曲线的标准方程 双曲线的渐近线 椭圆的标准方程 圆的标准方程 双曲线的离心率必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 对于形如x 2m +y 2n=1的方程，到底表示什么曲线，要对m 、n 的值进行判断.【解答】解：A ，当k =4时，曲线C 的方程为x 2+y 2=2，它表示一个圆，所以正确； B ，当k =0时，曲线C 的方程为y 26−x 22=1，它的渐近线方程为y =±√3x ，所以正确；C ，当k >4时，取k =8，则曲线C 的方程为x 26−y 22=1，它表示一条双曲线，所以不正确；D ，当曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k=1表示双曲线，且离心率为√2时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时|k −2|=|6−k|，解得k =4，此时方程表示圆，所以不正确． 故选AB ． 【答案】 A,C,D【考点】 抛物线的性质 抛物线的标准方程 抛物线的定义 双曲线的标准方程 【解析】 无【解答】解：由已知得x 23−y 2=1的右焦点为(2,0)，则p2=2，p =4. 设P(x 1，y 1)，则|PF|=x 1+p2=x 1+2=6，则x 1=4，故A 正确；抛物线C 的准线为x =−2，被双曲线截得的线段长为2b 2a=√3=2√33，故B 错误； 因为△POF 的外接圆与C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于半径， 又圆心在OF 的垂直平分线上，|OF|=p2，所以p2+p4=3=r ， 所以S 圆=πr 2=9π，故C 正确；过点M 作准线的垂线，交抛物线C 于点P ，则△PMF 的周长最小， 最小值为3+√(1−2)2+(2−0)2=3+√5，故D 正确．故选ACD . 【答案】 A,B,C 【考点】平面向量数量积的运算平面向量数量积的性质及其运算律 平面向量在三角函数中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：对于A ，∵ AD →=13AC →+23AB →，∴ 3AD →=AC →+2AB →，∴ 2AD →−2AB →=AC →−AD →，∴ 2BD →=DC →，∴ 3BD →=BD →+DC →，即3BD →=BC →，故A 正确；对于B ，若Q 为△ABC 的重心，则QA →+QB →+QC →=0→，∴ 3PQ →+QA →+QB →+QC →=3PQ →， ∴ 3PQ →=PA →+PB →+PC →即PQ →=13PA →+13PB →+13PC →，故B 正确； 对于C ，若PA →⋅BC →=0，PC →⋅AB →=0，则PA →⋅BC →=PC →⋅AB →，∴ PA →⋅BC →+PC →⋅(AC →+CB →)=0，∴ PA →⋅BC →+PC →⋅AC →+PC →⋅CB →=0， ∴ PA →⋅BC →+PC →⋅AC →−PC →⋅BC →=0，∴ (PA →−PC →)⋅BC →+PC →⋅AC →=0， ∴ CA →⋅BC →+PC →⋅AC →=0，∴ AC →⋅CB →+PC →⋅AC →=0， ∴ AC →⋅(CB →+PC →)=0 ，∴ AC →⋅PB →=0， 故C 正确；对于D ，∵ MN →=PN →−PM →=12(PB →+PC →)−12PA →=12(PB →+PC →−PA →)，∴ |MN →|=12|PA →−PB →−PC →|， ∵ |PA →−PB →−PC →|=√PA →2+PB →2+PC →2−2PA →⋅PB →−2PA →⋅PC →+2PB →⋅PC →=√22+22+22−2×2×2×12−2×2×2×12+2×2×2×12=2√2， ∴ |MN →|=√2， 故D 错误．故选ABC. 三、填空题 【答案】 23【考点】 椭圆的离心率 椭圆的标准方程【解析】由条件分别求出a ，c 的值即可． 【解答】解：由题得2c =8，所以c =4，所以a 2=20+16=36，则a =6， 所以离心率e =ca =46=23.故答案为：23.【答案】 42【考点】等差数列的性质 【解析】先根据a 1＝2，a 2+a 3＝13求得d 和a 5，进而根据等差中项的性质知a 4+a 5+a 6＝3a 5求得答案． 【解答】解：在等差数列{a n }中，已知a 1=2，a 2+a 3+a 4=24， 即a 1+d +a 1+2d +a 1+3d =24， 得d =3，a 5=a 1+4d =14， ∴ a 4+a 5+a 6=3a 5=42． 故答案为：42. 【答案】25【考点】异面直线及其所成的角 余弦定理【解析】取CD 的中点为M ，取CF 的中点为N ，连接C 1M ，MN ，C 1N ，∠C 1MN (或其补角)为异面直线B 1E 与DF 所成角.利用余弦定理求解即可. 【解答】解：取CD 的中点为M ，取CF 的中点为N ， 连接C 1M ，MN ，C 1N ，则C 1M//B 1E ，NM//DF ，∴ ∠C 1MN (或其补角)为异面直线B 1E 与DF 所成角. 设正方体的棱长为4，则C 1M =√42+22=2√5，NM =√22+12=√5， C 1N =√42+12=√17. 在△C 1MN 中，cos ∠C 1MN =C 1M 2+MN 2−C 1N 22C 1M ⋅MN=2×2√5×√5=25， ∴ 异面直线B 1E 与DF 所成角的余弦值为25.故答案为：25.【答案】 2,[2√2,+∞) 【考点】椭圆的标准方程 【解析】根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解b ，根据三个条件列三个方程，解方程组，根据x 2=a 2c 2(c 2−b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2+c 2≥2b 2＝8，然后求解a 的范围． 【解答】解：由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，PF 1→⋅PF 2→=0，△PF 1F 2的面积等于4，则12|PF 1|⋅|PF 2|=4，(|PF 1|+|PF 2|)2=4a 2，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得4c 2−4a 2=−16， 所以b =2． 设P(x,y)，则x 2a2+y 24=1，①∵ PF 1→⋅PF 2→=0，∴yx+c⋅y x−c=−1，可得x 2−c 2+y 2=0，② 由①②可得x 2−c 2+4−4x 2a 2=0，∴a 2−4a 2x 2=c 2−4，∴a 2−4a 2x 2=(a 2−4)−4，又∵ x 2=a 2(a 2−8)a 2−4∈[0,a 2]且a >2，∴ a 2≥8，故a ≥2√2，a 的取值范围为[2√2, +∞)． 故答案为：2；[2√2,+∞). 四、解答题 【答案】解：(1)∵ a 1=1，∴ a 2=a 12a 1+1=13，a 3=a22a 2+1=15， a 4=a 32a 3+1=17， a 5=a 42a 4+1=19.(2)∵ 数列{a n }是等差数列，a 2+a 3+a 4+a 5=2(a 2+a 5)=34，a 2+a 5=17， ∴ {a 2+a 5=17,a 2⋅a 5=52,解得{a 2=4,a 5=13或{a 2=13,a 5=4,设数列{a n }公差为d ，则d =3或−3， 可得a n =3n −2或a n =−3n +19. 【考点】 数列递推式等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ a 1=1， ∴ a 2=a 12a 1+1=13，a 3=a 22a 2+1=15，a 4=a32a 3+1=17， a 5=a 42a 4+1=19.(2)∵ 数列{a n }是等差数列，a 2+a 3+a 4+a 5=2(a 2+a 5)=34， a 2+a 5=17， ∴ {a 2+a 5=17,a 2⋅a 5=52,解得{a 2=4,a 5=13或{a 2=13,a 5=4,设数列{a n }公差为d ，则d =3或−3， 可得a n =3n −2或a n =−3n +19. 【答案】解：(1)①当椭圆的焦点在x 轴上时， 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题可知a =3.又因为长轴长是短轴长的3倍，则b =1， 则椭圆方程为： x 29+y 2=1； ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)， 由题可知b =3.又因为长轴长是短轴长的3倍，则a =9， 则椭圆方程为y 281+x 29=1.综上所述，椭圆方程为x 29+y 2=1或y 281+x 29=1．(2)由题可知，双曲线是等轴双曲线，且焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2−y 2=λ(λ>0). 又因为焦点是(−4,0)，(4,0)， 故可得2λ=16，解得λ=8， 故双曲线方程为x 28−y 28=1．【考点】椭圆的标准方程 椭圆的定义和性质 双曲线的标准方程 双曲线的离心率 【解析】【解答】解：(1)①当椭圆的焦点在x 轴上时， 设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题可知a =3.又因为长轴长是短轴长的3倍，则b =1， 则椭圆方程为：x 29+y 2=1；②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)， 由题可知b =3.又因为长轴长是短轴长的3倍，则a =9， 则椭圆方程为y 281+x 29=1.综上所述，椭圆方程为x 29+y 2=1或y 281+x 29=1．(2)由题可知，双曲线是等轴双曲线，且焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2−y 2=λ(λ>0). 又因为焦点是(−4,0)，(4,0)， 故可得2λ=16，解得λ=8， 故双曲线方程为x 28−y 28=1．【答案】(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， AB//D 1C 1且AB =D 1C 1，∴ 四边形ABC 1D 1为平行四边形， ∴ BC 1//AD 1，又BC 1⊄平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ， ∴ BC 1//平面AD 1E .(2)解：由题以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AA 1为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，D 1 (2,0,2)， ∵ E 为BB 1的中点， ∴ E (0,2,1)，∴ AA 1→=(0,0,2)，AD 1→=(2,0,2)，AE →=(0,2,1)， 设平面AD 1E 的法向量为n →=(x,y,z )， 则{n →⋅AD 1→=0，n →⋅AE →=0，∴ {2x +2z =0，2y +z =0，令x =1，则可得z =−1，y =12，∴n →=(1,12,−1），设直线AA 1与平面AD 1E 所成角为α， ∴ sin α= |cos <AA 1→,n →>|=|AA 1→⋅n →||AA 1→|⋅|n →|=2×√1+14+1=23，则直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值为23. 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定【解析】(1)根据正方体的性质可证得BC 1//AD 1，再利用线面平行的判定定理即可得证；(2)以A 为原点，AD ，AB ， AA 1分别为x ，y 和z 轴建立空间直角坐标系，设直线AA 1与平面AD 1E 所成角为α，先求出平面AD 1E 的法向量n →，再利用sin α=|cos <n →,AA 1→>|=|n →⋅AA 1→|n →|⋅|AA 1→||以及空间向量数量积的坐标运算即可得解.【解答】(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， AB//D 1C 1且AB =D 1C 1，∴ 四边形ABC 1D 1为平行四边形， ∴ BC 1//AD 1，又BC 1⊄平面AD 1E ， AD 1⊂平面AD 1E ， ∴ BC 1//平面AD 1E .(2)解：由题以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AA 1为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，D 1 (2,0,2)， ∵ E 为BB 1的中点， ∴ E (0,2,1)，∴ AA 1→=(0,0,2)，AD 1→=(2,0,2)，AE →=(0,2,1)，设平面AD 1E 的法向量为n →=(x,y,z )， 则{n →⋅AD 1→=0，n →⋅AE →=0，∴ {2x +2z =0，2y +z =0，令x =1，则可得z =−1，y =12，∴ n →=(1,12,−1），设直线AA 1与平面AD 1E 所成角为α， ∴ sin α= |cos <AA 1→,n →>|=|AA 1→⋅n →||AA 1→|⋅|n →|2×√1+4+1=23，则直线AA 1与平面AD 1E 所成角的正弦值为23. 【答案】(1)解：由题意F(p2,0)，∵ 点(m,1)到焦点F 的距离为1， ∴ m =p2，将点(p2,1)代入y 2=2px 得p 2=1，∴ p =1， ∴ y 2=2x .(2)证明：直线l 过点B (2,0)且斜率为k ，故直线l 的方程为y =k (x −2) (k ≠0)①， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由①及y 2=2x 消去y 代入可得k 2x 2−2(2k 2+1)x +4k 2=0， 得： x 1x 2=4k 2k 2=4．又由y 12=2x 1，y 22=2x 2得到(y 1y 2)2=4x 1x 2=4×4=16， 又注意到y 1y 2<0，所以y 1y 2=−4．设OM ，ON 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1=y 1x 1，k 2=y2x 2，相乘得k 1k 2=−44=−1 ，∴ OM ⊥ON .【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系 抛物线的应用 圆锥曲线的综合问题 【解析】 【解答】(1)解：由题意F(p2,0)， ∵ 点(m,1)到焦点F 的距离为1， ∴ m =p2，将点(p 2,1)代入y 2=2px 得p 2=1，∴ p =1， ∴ y 2=2x .(2)证明：直线l 过点B (2,0)且斜率为k ，故直线l 的方程为y =k (x −2) (k ≠0)①， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由①及y 2=2x 消去y 代入可得k 2x 2−2(2k 2+1)x +4k 2=0， 得： x 1x 2=4k 2k 2=4．又由y 12=2x 1，y 22=2x 2得到(y 1y 2)2=4x 1x 2=4×4=16， 又注意到y 1y 2<0，所以y 1y 2=−4．设OM ，ON 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2x 2，相乘得k 1k 2=−44=−1 ，∴ OM ⊥ON .【答案】(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点， 所以DE ⊥DC ，DE ⊥PD ，又DE =2，DF 2=DC 2+CF 2=5， 由BF =3FC =34CB =3，故PF =3，所以PD 2+DF 2=PF 2，故PD ⊥DF ， 又DE ∩DF =D ，DE ，DF ⊂平面DEFC ， 所以PD ⊥平面DEFC ， 又EG ⊂平面DEFC ， 故EG ⊥PD ，如图，以直线DE ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，E (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，F (1,2,0)，G (0,1,0)， EG →=(−2,1,0),DF →=(1,2,0)， 所以 EG →⋅DF →=−2+2=0，故EG ⊥DF ,又PD ∩DF =D ，DP ，DF ⊂平面PDF ， 故EG ⊥平面PDF .(2)解：设平面PCF 的法向量为m →=(x,y,z )CF →=(1,0,0)，FP →=(−1,−2,2),由{CF →⋅m →=0，FP →⋅m →=0，⇒{x =0，−x −2y +2z =0，取m →=(0,1,1)，设平面PEF 的法向量为n →=(a,b,c )， EF →=(−1,2,0)，由{EF →⋅n →=0，FP →⋅n →=0，⇒{−a +2b =0，−a −2b +2c =0，得n →=(2,1,2)，由cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√2×3=√22， 结合图象知二面角为钝角，故二面角C −PF −E 为135∘. 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定【解析】(1)先根据勾股定理证明PD ⊥DF ，再证明PD ⊥平面DEFC ，EG ⊥PD ，以直线DE ，DC ，DP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明EG ⊥DF ，再利用线面垂直的判定定理证明出结论；(2)由题求出平面PCF 的法向量和平面PEF 的法向量，再利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，结合图象，求出二面角即可．【解答】(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点， 所以DE ⊥DC ，DE ⊥PD ，又DE =2，DF 2=DC 2+CF 2=5， 由BF =3FC=34CB =3，故PF =3，所以PD 2+DF 2=PF 2，故PD ⊥DF ， 又DE ∩DF =D ，DE ，DF ⊂平面DEFC ， 所以PD ⊥平面DEFC ， 又EG ⊂平面DEFC ， 故EG ⊥PD ，如图，以直线DE ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，E (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，F (1,2,0)，G (0,1,0)， EG →=(−2,1,0),DF →=(1,2,0)， 所以 EG →⋅DF →=−2+2=0，故EG ⊥DF ,又PD ∩DF =D ，DP ，DF ⊂平面PDF ， 故EG ⊥平面PDF .(2)解：设平面PCF 的法向量为m →=(x,y,z ) CF →=(1,0,0)，FP →=(−1,−2,2),由{CF →⋅m →=0，FP →⋅m →=0，⇒{x =0，−x −2y +2z =0，取m →=(0,1,1)，设平面PEF 的法向量为n →=(a,b,c )， EF →=(−1,2,0)，由{EF →⋅n →=0，FP →⋅n →=0，⇒{−a +2b =0，−a −2b +2c =0，得n →=(2,1,2)，由cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√2×3=√22， 结合图象知二面角为钝角，故二面角C −PF −E 为135∘. 【答案】解：(1)在抛物线C 2:y =−x 2+1(y ≤0)中， 令y =0，可得x =±1，即A(−1,0)，B(1,0)， 且A (−1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左、右顶点， 可得上半椭圆C 1中b =1， 设C 1半焦距为c ，由ca =√32及a 2−c 2=b 2=1，可得a =2，∴ a =2，b =1．(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24+x 2=1(y ≥0)， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直， 设其方程为y =k (x −1)(y ≠0)，代入C 1的方程，整理得：(k 2+4)x 2−2kx +k 2−4=0. 设点P 的坐标为(x p ,y p )，∵ 直线l 过点B ， ∴ 点P 的坐标为(k 2−4k 2+4,−8kk 2+4). 同理，由{y =k (x −1)(k ≠0),y =−x 2+1(y ≤0),得点Q 的坐标为(−k −1,−k 2−2k )． 依题意可知AP ⊥AQ ，∴ AP →=2kk 2+4(k,−4)，AQ →=−k (1,k +2)． ∵ AP ⊥AQ ，∴ AP →⋅AQ →=0， 即−2k 2k 2+4[k −4(k +2)]=0，∵ k ≠0，∴ k −4(k +2)=0， 解得k =−83，经检验，k =−83符合题意，故直线l 的方程为y =−83(x −1)． 【考点】椭圆的标准方程 椭圆的离心率 圆锥曲线的综合问题 【解析】 无 无【解答】解：(1)在抛物线C 2:y =−x 2+1(y ≤0)中， 令y =0，可得x =±1，即A(−1,0)，B(1,0)， 且A (−1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左、右顶点， 可得上半椭圆C 1中b =1， 设C 1半焦距为c ，由ca =√32及a 2−c 2=b 2=1，可得a =2，∴ a =2，b =1．(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24+x 2=1(y ≥0)， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直， 设其方程为y =k (x −1)(y ≠0)，代入C 1的方程，整理得：(k 2+4)x 2−2kx +k 2−4=0. 设点P 的坐标为(x p ,y p )，∵ 直线l 过点B ， ∴ 点P 的坐标为(k 2−4k 2+4,−8kk 2+4).同理，由{y =k (x −1)(k ≠0),y =−x 2+1(y ≤0),得点Q 的坐标为(−k −1,−k 2−2k )． 依题意可知AP ⊥AQ ，∴ AP →=2kk 2+4(k,−4)，AQ →=−k (1,k +2)． ∵ AP ⊥AQ ，∴ AP →⋅AQ →=0， 即−2k 2k 2+4[k −4(k +2)]=0，∵ k ≠0，∴ k −4(k +2)=0， 解得k =−83，经检验，k =−83符合题意，故直线l 的方程为y =−83(x −1)．。
广东实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试 地理 PDF版含答案
广东实验中学 2020—2021 学年（上）高二级期中考试(选择性考试)地理命题：高二备课组审定：地理科组校对：高二备课组本试卷分选择题和非选择题两部分，共 8 页，满分 100 分，考试用时 75 分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、选择题（每个选项只有一个正确答案，每小题 2 分，共 60 分）电影《流浪地球》在北京时间 2019 年 2 月 5 日（大年初一）零点上演，电影讲述了在不久将来太阳将毁灭，人类开启流浪地球计划。
据此完成 1-2 题。
1．在电影上映时，伦敦时间为（ ）A．2 月 5 日 8：00B．2 月 5 日 16：00C．2 月 4 日 8：00D．2 月 4 日 16：002．在《流浪地球》中，人类所住的地下 5000 深处（ ）A．由岩石组成B．位于地幔C．位于地核D．温度极低某年 3 月 9 日，在挪威新奥尔松的中国北极黄河站(78°55'N，11°56'E)，中国大学生北 极科考团迎来极夜后首次日出。
如图示意科考团拍摄的日出照片。
据此完成下列 3-5 题。
3．科考团拍摄日出照片时，太阳直射点位置为（ )A．23°26'N, 11°56'EB．23°26'S, 168°05'WC．11°05'N, 168°05'ED．11°05'S, 11°56'E4．假如广州该日是晴天，下列说法正确的是( )A．昼长夜短，太阳东北升起，西北落下B．昼长夜短，太阳东南升起，西南落下C．昼短夜长，太阳东北升起，西北落下D．昼短夜长，太阳东南升起，西南落下试卷第 1 页，总 8 页5．夏至日，北极黄河站的观测者所在地正午太阳高度约为(A．0°B．12.5°C．22°) D．34.5°下图为我国东南某丘陵地区等坡度线（地表坡度值相等的点连成的线）图，图中数字代 表坡度大小。
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BD 面 AOC
（ 10 分）
AC 面 AOC
BD AC
（ 12 分）
19．（本小题满分 12 分）
（ 1）解：连接 A1D
ABCD A1B1C1D1 为正方体
A1 A 面 ABCD
（ 2 分）
即 ADA1 为 A1D 与平面 ABCD所成的角
（ 4 分）
在 Rt A1AD 中， A1 A AD
ADA1 450
（ 7 分）
又因为 PA 面 ABC ， BC 面 ABC
所以 PA BC
又 PA∩ AC =A，所以 BC 平面 PAC． （ 8 分）
因为 PC 面 PAC , 所以 PC BC
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即二面角 A BC P 的平面角是 ACP (9 分） AC BC, AB 2, PA 6
AC 2
①若 m // ， n // ， m 、 n ，则 // ；
②若
，
，I
m ， n ，则 m n ；
③若 m ，
， m// n ，则 n // ；
④若 n // ， n // ， I
m ，那么 m // n ．
其中正确命题个数是（
）
A.1 个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
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13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于
▲
14．已知 ABCD A1B1C1D1 是棱长为 1 cm 正方体 , 则直线 AD1与 A1B 所成角的大小为 ▲
15. 如图 , 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径
广东实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试 化学 PDF版含答案
广东实验中学2020—2021学年（上）高二级期中考试（选择性）化学本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试用时75分钟。
注意：选择题答案必须用2B铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在问卷指定位置作答。
第一部分选择题（共45分）一、选择题（本题包括15小题，每小题只有一个选项．．．．．．符合题意，每小题3分，共45分）1．当今世界面临日益加剧的能源危机，下列关于能源的描述不．正确．．的是（ ）A．氢气的优点是燃烧热值高，资源丰富B．乙醇属于不可再生能源，可用作燃料C．提高燃料的利用效率是解决能源危机的方向D．应开发太阳能、风能、生物质能等新的能源2. 下列叙述不正确．．．的是（ ）A．Zn(s)+ CuSO4(aq)＝ZnSO4(aq) + Cu(s) △H＝﹣216kJ•mol﹣1，则反应总能量＞生成物总能量B．常温下反应2Na2SO3(s) + O2(g)＝2Na2SO4(s)能自发进行，则△H＜0C．CaCO3(s) ＝CaO(s) +CO2(g) △H＞0，△S＞0，则不论在何种条件下都不可能自发(g) ＝CO2(g) △H1 ；C(s) + O2(g)＝CO(g) △H2；则△H1＜△H2D．己知C(s) + O3．下列事实与对应的方程式不符合．．．的是（ ）A．自然界中正常的雨水呈酸性：H2O+CO2⇌H2CO3，H2CO3⇌H++HCO3﹣B．用CH3COOH溶液和NaOH溶液反应测定中和热：CH3COOH(aq)+NaOH(aq)═CH3COONa(aq)+H2O(1) △H＞﹣57.3kJ•mol﹣1C．甲烷的燃烧热为890.3kJ•mol﹣1，则甲烷燃烧的热化学方程式可表示为：CH4(g)+2O2(g)═CO2(g)+2H2O(g) △H＝﹣890.3kJ•mol﹣1D．硫代硫酸钠溶液与稀硫酸混合出现浑浊：S2O32﹣+2H+═S↓+SO2↑+H2O4．下列说法正确的是（ ）A．增大压强能增大活化分子百分数和单位体积内活化分子数，加快反应速率B．一定温度下，反应N2(g)+3H2(g) 2NH3(g)在密闭容器中进行，恒压，充入He不改变化学反应速率C．合成氨生产中将NH3液化分离，可加快正反应速率，提高H2的转化率D．对于可逆反应，将其平衡常数变大，反应物的转化率变大5．下列有关实验内容、实验装置和对应的实验目的均正确的是（ ）A. 测定中和热B. 比较Cu2+、Fe3+对反应速率的影响C. 比较醋酸和硼酸的酸性强弱D. 比较温度对化学反应速率的影响6．钨丝灯管中的W在使用过程中缓慢挥发，使灯丝变细，加入I2可延长灯管的使用寿命，其工作原理为：W(s)+2I2(g)WI4(g)。
广东实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试 物理 PDF版含答案
二．多选题（每题 6 分，4 小题，共 24 分，选对但不全得 3 分，错选不得分） 8．关于电流、电动势、电阻和电功，下列说法正确的是
A．电流有方向，其方向与导体中正电荷的定向移动方向相同，因此电流是矢量 B．电源内部，非静电力由负极向正极移送相同电荷量时，其做功越多，电动势越大 C．由 R＝ 可知，I 一定时，导体的电阻 R 只与 U 成正比，U 一定时，R 与 I 成反比
（1）实验中，为保证流过二极管的电流为 50μA，应调节滑动变阻器 R，使电压表 V1 的示 数为 U1=______mV；
（2）根据图（b）可知，当控温炉内的温度 t 升高时，硅二极管正向电阻_____（填“变大” 或“变小”），电压表 V1 示数将_____（填“增大”或“减小”），此时应将 R 的滑片向_____ （填“A”或“B”）端移动，以使 V1 示数仍为 U1．
大小，正确的是 A．小球带正电，场强大小 E＝1.0×104 N/C B．小球带负电，场强大小 E＝1.0×104 N/C C．小球带正电，场强大小 E＝ ×104 N/C D．小球带负电，场强大小 E＝ ×104 N/C
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7．如图所示，粗糙绝缘的水平面附近存在一个平行于水平 面的电场，其中某一区域的电场线与 x 轴平行，在 x 轴上 的电势 φ 与坐标 x 的关系用图中曲线表示，图中斜线为 该曲线过点（0.15，3）的切线。现有一个质量为 0.20kg、 电荷量为+2.0×10﹣8C 的滑块 P（可看做质点），从 x＝0.10m 处由静止释放，其与水平面的动摩擦因数为 0.02，取重力 加速度 g＝10m/s2，则下列说法正确的是 A．x＝0.15m 处的场强大小为 2.0×105N/C B．在 0.1m～0.4m 之间存在着沿 x 负方向的电场，且电 场强度逐渐减小 C．滑块向右运动的全过程中加速度一直减小 D．滑块运动的最大速度为 0.1m/s