511相交线与平行线
一点O,∠AOC的对顶角是 ∠BOD ，
∠COF的对顶角是 ∠DOE
，
∠COB的邻补角是 ∠AOC和。∠BOD
511相交线与平行线10来自顶角的性质:对顶角相等.
已知：直线AB与CD相交于 O
点(如图),
C 2（O B 1（） ）3
A4 D
求证:∠1=∠3、 ∠2=∠4 为什么? 证明：∵直线AB与CD相交于O点,
∠3=40°, ∠4=140°
511相交线与平行线
13
达标测试
一、判断题 1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ × ）
2、两条直线相交，有两组对顶角。
（√ ）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
那么其余的三个角也是直角。 二、选择题
（√ ）
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（C）
关系是 互为邻，补∠角1与∠3的关系
是
互。为补角
511相交线与平行线
8
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角 吗？为什么？
1( )2
1( )2
1( )2
练习2、下列各图中∠1、∠2是邻补角 吗？为什么？
1( （2
1( 2
511相交线与平行线
1( 2
9
练习
A
F
C
D
O
E
B
如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于
A、∠AOC和∠BOE是对顶角；
B、∠COE和∠AOD是对顶角； C、∠BOC和∠AOD是对顶角； D、∠AOE和∠DOE是对顶角。
A O
D
2、如右图中直线AB、CD交于O， C OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，
E
B
那么∠AOE=（ C）度
（A）80；（B）100；5（11相C交线）与平1行3线0（D）150。
511相交线与平行线
1
A
D
O
C
B
如果两条直线有一个公共点，就说这两条直 线相交，公共点叫做这两条直线的交点。
直线AB、CD相交于点O
511相交线与平行线
2
握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小， 剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片。如 果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关 系到两条相交直线所成的角的问题。
向延长线，那么这两个角 互为对顶角。
1（） ）3 A4
D
511相交线与平行线
6
∠1、∠2还是邻补角吗？
12 是
1
2
邻补角是有特 ∠1、∠2的和是多少度？ 180º
殊位置关系的 ∠1和∠2还是补角吗？ 是 两个互补的角。∠1和∠2还是邻补角吗？ 不是
511相交线与平行线
7
练习（续）
1 32
2、如图所示∠1=∠2，则∠2与∠3的
14
三、填空题
1、一个角的对顶角有 一 个，邻补角最多有 两 个，
而补角则可以有 无数 个。
A
D
2、右图中∠AOC的对顶角是 ∠DOB, 邻补角是 ∠AOD和∠CO.B C
)1 O )2 E
3、若∠1与∠2是对顶角，∠1=160，则∠2=___1_6__0； B
若∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4 =__1_8_0__0
a
b
12 43
若∠１= m°，求各角的度数。
若∠1＋∠３=５０° ，求各角的度数。
511相交线与平行线
12
例2、如图,若∠1:∠2=2:7 ，求各角的度数。
解:设∠1=2x°,则∠2=7x °
根据邻补角的定义,得
a
2x+7x=180 x=20
b
12 43
则∠1=40°, ∠2=140°
根据对顶角相等,得
∴∠1+∠2=180°、 ∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
同理可得：∠25=11∠相交线4与平行线
11
例1、如图,直线a、b相交，∠1=40°,求
∠2、∠3、∠ 4的度数。
例题讲解
解：由邻补角的定义，可得 ∠2＝180°－∠1 ＝180°－ 40° ＝140°
由对顶角相等，可得
∠3＝∠1＝40°
∠4＝∠2＝140°
4、若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3=1800
5、如图1，∠2与∠3互为邻补角，
∠1=∠2，则∠1与∠3的关系
为 互补 。
511相交线与平行线
A
E
D
1
32
B
C
图1 15
511相交线与平行线
3
问题:两条相交直线.形成的小于平角的 角有几个?
请你画出任意两条相交直线,用量角器量一量
4个角的度数，看看这四个角有什么关系?
511相交线与平行线
4
任意画两条相交直线,在形成的四个角 (如图)中,两两相配共组成几对角？各对角 存在怎样的位置关系?
两直线相交 所形成的角
分类
C 2（O 1（） ）3
A4
B D
∠1和∠2 ∠2和∠ 3
∠1 ∠2 ∠ 1和∠ 4 ∠ 3和∠ 4
∠3 ∠4
∠1和∠3
511相交线与平行线
∠ 2和∠ 4
5
有关概念：
邻补角：如果两个角有一 条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，那么这 两个角互为邻补角。
C 2（O B 1（） ）3
A4 D
对顶角：如果一个角的两
边是另一个角的两边的反 C 2（O B
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结1.直线的定义：直线是平面上的一组点，这些点的任意两个点都可以用直线上的一段有向线段连接起来。
直线也可以看作没有端点的线段。
2.相交线的性质：(1)相交线：两条直线在平面上的交点。
两条相交的直线不可能平行。
(2)轴：两条相交线的交点称为轴。
(3)垂直交线：两条相交线互相垂直，即交角为90度。
(4)垂线：一条直线与另一条直线垂直，称为垂线。
(5)垂直平分线：两条相交直线的交点到两条直线距离相等的直线，称为垂直平分线。
3.平行线的性质：(1)平行线：在同一个平面内，两条直线不相交，称为平行线。
(2)平行符号：在直线上标记一对箭头表示平行关系。
(3)平行线定理：-同位角定理：两条平行线与同一条横截线相交，所得相对应的内角相等，相对应的外角相等。
-平行线之间的任意一对同位角互相相等。
(4)平行线判定定理：-直线与直线平行判定定理：直线与一条直线平行，则与这条直线平行的所有直线都平行。
-同位角平行判定定理：两条直线被一条横截线所截，使同位角相等，则这两条直线平行。
-垂直线判定定理：两条直线互相垂直，则这两条直线平行于同一直线。
(5)平行线的性质：-平行线之间的距离相等：两条平行线上任意两点之间的距离相等。
-平行线的夹角：两条平行线被一条直线截断所得的内角和为180度。
-平行线的斜率：两条平行线的斜率相等或者其中一条线的斜率不存在。
4.平行四边形：(1)平行四边形定义：有两对对边分别平行的四边形。
(2)平行四边形的性质：-对边相等：平行四边形的对边相等。
-对角线：平行四边形的对角线互相平分。
-同位角：平行四边形的同位角互相相等。
5.直线的倾斜角：(1)倾斜角定义：一条直线倾斜角的正切值等于该直线的斜率。
(2)平行线的倾斜角：平行线具有相同的倾斜角。
(3)垂直线的倾斜角：垂直线的倾斜角之和等于90度。
6.平行线与欧几里得公设：(1)欧几里得公设五：经过点外的一条直线上至少有两条平行线。
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结相交线和平行线是几何学中两个重要的概念和性质。
下面是对相交线和平行线的知识点的总结。
一、相交线的性质：1.相交线的定义：在平面上，两条不重合的线段（或直线）在某一点相交，那么称这两条线段（或直线）为相交线。
2.相交线的分类：-相交线：两条线段在一点相交，但不共线。
-交叉线：两条线段在两个不同的点处相交。
-夹角线：两条直线之间形成的夹角称为夹角线。
3.相交线的性质：-相交线的交点是两条线段（或直线）共同的点，也是相交线上所有点的唯一共同点。
-相交线上的点在两条线段（或直线）上都有，而且在相交点上的两条线段（或直线）上都有。
-相交线的交点可以分为内点、外点和边上点。
4.相交线的判定：-直观法：两条线段（或直线）在平面上画出来，如果有交点，则存在相交线。
-代数法：通过方程组来求解两条线段（或直线）的交点，如果存在实数解，则存在相交线。
二、平行线的性质：1.平行线的定义：两条线段（或直线）在平面上没有交点，则称这两条线段（或直线）为平行线。
2.平行线的判定：-直观法：通过观察两条线段（或直线）之间是否平行来判断。
-几何法：利用两条平行线的性质，如平行线与平面关系、等角定理、相等短整数、全等三角形等来判定平行线。
-代数法：通过线段（或直线）的方程来计算斜率，如果两条线段（或直线）的斜率相等，则它们是平行的。
3.平行线的性质：-平行线的斜率相等。
-平行线的任意两条直线之间的夹角相等。
-平行线与平行线之间的距离相等。
-平行线与平行线之间可以通过平移相互转化。
4.平行线的性质的应用：-平行线的性质可以用于解决几何问题，如证明两个线段（或直线）平行、证明三角形相似等。
-平行线的性质还可以用于解决实际问题，如测量两条平行线之间的距离、设计平行线街道等。
总结：相交线和平行线是几何学中的重要概念和性质。
相交线的性质包括相交线的定义、分类和性质等，而平行线的性质包括平行线的定义、判定和性质等。
相交线和平行线的性质可以应用于解决几何问题和实际问题。
相交线与平行线知识点归纳总结
名师总结优秀知识点《相交线与平行线》知识点总结段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．一：相交线三、平行线（ 1 ）相交线的定义1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交．两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两（ 1）平行线的定义 :在同一平面内 ,不相交的两条直线叫平行线．条直线为相交线．记作： a∥ b；读作：直线 a 平行于直线 b ．（ 2 ）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（ 2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一（ 3 ）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交知识的理解过程中要注意：（ 4 ）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个①前提是在同一平面内；角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．角．∠ 1 和∠ 3，∠ 2 和∠ 4 是对顶角 .（ 3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一（ 5 ）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，条直线与这条直线平行．具有这种关系的两个角，互为邻补角．2如图，过点 P 只有直线 a 与直线 b平行如图：∠ 1 和∠ 2，∠ 2 和∠ 3 是邻补角 .（ 4）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，（ 6 ）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠ 1 ＝∠ 3，13它是“能但只能画出一条”的意思．∠2＝∠ 4）4（ 5）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么（ 7 ）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．这两条直线也互相平行．（如图∠ 1＋∠ 2 ＝ 180 °）如图，如果 a ∥ c， b∥ c，那么 a ∥c（ 8 ）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角2、同位角、内错角、同旁内角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的（ 1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。
《相交线与平行线》_实用课件
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17．如图，三条直线 AB、CD 和 EF 相交于一点 O，∠COE＋∠DOF＝50°， ∠BOE＝70°.求∠AOD 和∠BOD.
解：∵∠COE＝∠DOF(对顶角相等)，∠COE＋∠DOF＝50°，∴∠COE＝12
×50°＝25°，∵∠BOE＝70°，∴∠BOC＝∠BOE－∠COE＝70°－25°＝45°，
∵∠AOD＝∠BOC(对顶角相等)，∴∠AOD＝45°，∴∠BOD＝180°－∠AOD ＝135°.
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七年级数学(下册)·人教版
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线 5.1.1 相交线
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1．邻补角 (1)定义：有一条公共边，且另一边互为 反向延长线 的两个角互为邻补角． (2)性质：如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定 互补 . 2．对顶角 (1)定义：如果两个角有一个公共 顶点 ，并且一个角的两边分别是另一个角 的两边的 反向延长线 ，那么这两个角叫做对顶角． (2)性质：对顶角 相等 .
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相交线与平行线平行线的性质课件五四制
2023-11-09•相交线与平行线的定义•平行线的性质•平行线的判定•平行线在实际生活中的应用•平行线的重要性及教学建议目录01相交线与平行线的定义如果两条直线有一个且仅有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。
定义垂直相交斜相交当两条直线相交成90度时，它们互相垂直。
当两条直线相交角度小于90度时，它们是斜相交。
03相交线的定义0201如果两条直线在同一平面内，且它们之间的距离始终保持相等，那么这两条直线叫做平行线。
定义平行线具有传递性，即如果a//b且b//c，那么a//c。
性质平行线的定义平行线是相交线的特殊情况，即当两条直线之间的距离为0时，它们就是平行的。
在实际应用中，平行线在许多领域都有广泛的应用，如建筑、工程和计算机图形学等。
相交线与平行线的关系02平行线的性质总结词平行线的基本性质之一，指的是在两直线平行的前提下，同位角的大小是相等的。
详细描述首先，我们需要明确同位角的概念。
同位角指的是在两条平行线中，具有相同位置关系的角。
例如，在两条平行的直线a和b中，角1和角3是同位角，因为它们位于直线a和b的同一侧，并且相对于直线a和b的位置相同。
当两条直线平行时，同位角的大小必然相等。
这一性质是平行线的一个重要特征，也是几何学中最基本的定理之一。
在解决几何问题时，我们常常利用这一性质来证明其他角的关系或者线的平行关系。
平行线的基本性质之一，指的是在两直线平行的前提下，内错角的大小是相等的。
总结词内错角指的是在两条平行线中，位于相对两侧的角。
例如，在两条平行的直线a和b中，角2和角4是内错角，因为它们位于直线a和b的相对两侧。
当两条直线平行时，内错角的大小必然相等。
这一性质也是平行线的一个重要特征，常常用于证明其他角的关系或者线的平行关系。
利用这一性质，我们可以轻松地解决一些与平行线和内错角相关的问题。
详细描述总结词平行线的基本性质之一，指的是在两直线平行的前提下，同旁内角之和等于180度。
相交线与平行线
相交线与平行线1. 介绍在几何学中，相交线和平行线是两个基本的概念。
相交线指的是在平面上两条直线交叉或相交的情况，而平行线指的是在平面上永不相交的两条直线。
本文将介绍相交线和平行线的特性、判定方法以及相关定理。
2. 相交线和平行线的特性相交线和平行线有以下一些重要的特性：2.1 相交线的特性•相交线的交点称为交点。
•两条相交线上的任意一点，都分别位于另一条相交线的两侧。
•两条相交线的交点处，有且只有一条直线通过。
2.2 平行线的特性•平行线永不相交，它们在无穷远处相交。
•两条平行线上的任意一点，都位于另一条平行线的同侧。
•平行线的斜率是相等的。
•平行线的间距在任意两个平行线上的两点之间的距离是相等的。
3. 判定相交线与平行线的方法3.1 判定相交线的方法为了判定两条直线是否相交，可以使用以下方法：•方法一：计算两条直线的斜率，如果斜率不相等，则两条直线相交。
•方法二：计算两条直线的截距，如果截距不相等，则两条直线相交。
•方法三：通过解两条直线的方程组，如果方程组有唯一解，则两条直线相交。
•方法四：绘制两条直线，在图形中观察它们是否相交。
3.2 判定平行线的方法为了判定两条直线是否平行，可以使用以下方法：•方法一：计算两条直线的斜率，如果斜率相等且截距不相等，则两条直线平行。
•方法二：观察两条直线在图形上的位置关系，在平面上永远不相交的直线都是平行线。
4. 相交线与平行线的相关定理在几何学中，有一些重要的定理与相交线和平行线有关：4.1 线段等分定理如果一条直线将另一条直线上的两点分成相等的两部分，那么这条直线与这两个点所在的直线都是相交线。
4.2 平行线夹角定理如果两条平行线被一条直线截断，那么所截线与平行线所夹的内角与同位角相等。
4.3 平行线的性质•平行线的任意一对内角、外角互补。
•平行线和与它们相交的一条直线之间所夹的内角之和是180度。
5. 总结通过本文的介绍，我们了解了相交线和平行线的特性、判定方法以及相关定理。
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结相交线和平行线是几何学中的重要概念，它们在解决平面几何问题中起着重要作用。
本文将对相交线和平行线的基本概念、性质以及相关定理进行总结。
通过深入理解这些知识点，我们可以更好地应用它们解决几何问题。
1. 相交线的基本概念和性质相交线是指在平面上有一个或多个公共点的线段。
对于两条相交线，有以下基本性质：- 相交线的交点称为交点，两条相交线的交点只有一个。
- 相交线之间不存在夹角大小的关系，夹角的大小取决于相交线的具体角度。
2. 平行线的基本概念和性质平行线是指在同一个平面内不相交且永远也不会相交的两条直线。
对于平行线，有以下基本性质：- 平行线之间的距离始终保持相等。
- 平行线之间不存在夹角，夹角大小为0°。
- 平行线的斜率相等。
3. 相交线与平行线的关系相交线与平行线之间存在一些重要的关系：- 若两条线段相交于一点，并且这两条线段中至少有一条是平行线，则其他线段也必然是平行线。
- 若两条直线与同一条直线相交而呈同侧内角，且这两条直线之一与另一条平行线，则这两条直线也必然平行。
- 若两条直线都与同一条直线相交，并且两直线的内角和为180°，则这两条直线是平行线。
4. 相关定理在相交线与平行线的研究中，存在一些重要的定理：- 同一侧内角定理：如果一条直线与另外两条直线相交，形成的两个内角，那么这两个内角要么同时是锐角，要么同时是钝角。
- 交叉线定理：如果两条平行线分别与某一第三条直线相交，那么这两条交线的内外角之和为180°。
- 锐角平分线定理：如果射线是一条直线的角平分线且与这条直线的另一射线相交，那么这两条交线将构成一对平行线。
5. 解决几何问题的应用相交线与平行线的知识在解决几何问题时起着重要作用，常见的应用包括：- 判断两条线段是否相交，并找到相交点的坐标。
- 判断两条线段是否平行或垂直。
- 证明两条线段的平行性、垂直性等。
总之，相交线与平行线是解决平面几何问题的基础概念。
《相交线》相交线与平行线PPT课件
m⊥n或n⊥m．
若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O．
书写形式1：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O．
因为∠AOD=90°（已知）所以AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式2：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°．
若有n条直线相交于一点呢？
角的名称
邻补角
对顶角
位置关系
性质
邻补角互补
对顶角相等
相同点
都有一个公共顶点，它们都是成对出现的
不同点
对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个角的对顶角只有一个，而一个角的邻补角有两个
知识回顾：
努力 努力 再努力！
生活中的相交直线
例1：如图，三条直线相交于一点O，说出图中所有对顶角。
做 一 做
图中共有几组对顶角？
A
B
C
2
1
猜 一 猜
对顶角相等
说一说
想一想：
图中这种测量工具，可以量出图中零件AB,CD这两条轮廓线的延长线所成的角，你能说出其中的道理吗？
A
B
C
D
例2、如图，已知直线AD和BE相交于点O， ∠ DOE与∠ COE互余， ∠ COE =520，求∠ AOB和∠ BOD的度数。
1.有一条公共边
2.角的另一边互为反向延长线.
邻补角
邻补角与补角的区别与联系
1.邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为180°2.互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。
相交线与平行线
04
CATALOGUE
相交线与平行线的应用
在几何中的应用
01
02
03
判断平行
可以利用平行线的定义来 判断两条直线是否平行。
证明垂直
可以利用相交线的定义来 证明两条直线是否垂直。
求解角度
可以利用相交线和平行线 的性质来求解角度。
在物理中的应用
光学原理
平行线的光学原理可以用来解释光的折射和反射现象。
培养空间感知
相交线和平行线的判定方法和性质，需要学生通过空间感 知来判断和操作，有助于培养学生的空间感知能力。
发展空间意识
通过相交线和平行线的学习和实践，能够培养学生的空间 意识，使他们更好地理解和解决与空间几何相关的问题。
发展几何直觉
培养直觉思维
相交线和平行线的判定方法和性质，需要学生运用直觉思维来判 断和操作，有助于培养学生的直觉思维能力。
判断能力。
理解空间关系
相交线和平行线的性质和判定方 法，帮助学生理解空间图形的位 置关系和度量关系，培养空间思
维能力。
发展推理能力
在证明平行线和相交线的性质时 ，需要使用逻辑推理，这有助于
培养学生的推理能力。
提高空间观念
形成空间概念
相交线和平行线是构建空间几何体系的基础，通过学习和 实践，能够帮助学生形成空间概念，理解空间图形的形状 、大小和位置关系。
增强几何直观
相交线和平行线的图形具有直观性，通过学习和实践，能够增强学 生的几何直观能力，使他们更好地理解和解决几何问题。
发展数学素养
通过相交线和平行线的学习和实践，能够提高学生的数学素养，使 他们更好地理解和应用数学知识来解决实际问题。
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《相交线与平行线》课件
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总结词
相交线与平行线在日常生活中随处可见，它们在各种场合中 发挥着重要的作用。
详细描述
在交通道路、铁路轨道、电线架设等场合，相交线与平行线 的运用使得交通工具能够安全、有序地运行。在建筑设计中 ，相交线与平行线的运用能够保证建筑结构的稳定性和美观 度。
几何图形中的相交线与平行线
总结词
在几何图形中，相交线与平行线是研究图形性质和关系的基础。
两直线平行，同旁内角互补
总结词
当两条直线平行时，它们的同旁内角互补。
详细描述
同旁内角是两条直线被第三条直线所截，而形成的两个相邻的角。如果两条直线平行，那么它们所形 成的同旁内角互补，即它们的角度和为180度。这个性质也是通过观察或使用量角器可以验证的。
04
相交线与平行线的应用
生活中的相交线与平行线
详细描述
平行线具有一系列重要的性质，如同一平面内， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ；平行线之间的距离处处相等。这些性质在几何 学中有着广泛的应用。
相交线与平行线的表示方法
总结词
相交线和平行线的表示方法
详细描述
在几何学中，我们通常用特定的符号来表示相交线和平行线。例如，两条交叉 的直线表示相交线，而两条平行的直线可以用平行符号来表示。这些表示方法 有助于我们简洁地描述和交流几何图形。
02
相交线的性质
对顶角相等
总结词
对顶角相等是相交线的一个重要 性质。
详细描述
当两条直线相交时，相对的角被 称为对顶角。根据相交线的性质 ，对顶角是相等的。这一性质可 以通过几何证明来验证。
交线的另一个重要性 质。
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当两条直线被第三条直线所截，并在 截线的两侧形成内错角时，这些内错 角是相等的。这一性质对于证明平行 线的存在性非常重要。