中小学数学水平能力测试试卷

中小学数学水平能力测试试卷

M-C 级

2018年12月9日（星期日）9:00～11:00

主办单位：北京数学会

省（市） 学校 年级 姓名 报名机构 指导教师 准考证号

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，满分40分)

1．已知集合{(,)||||5,,}A x y x y x y =+∈∈Z Z ≤

，{(,)2,,}B x y x y =∈∈Z Z ，

则

A

B 中元素的个数为（ ）.

（A ）44 （B ）48 （C ）50 （D ）61

2．设实数x 的整数部分记为[]x ，小数部分记为{}x ，则关于x 的方程[]{}2

2

2

200x x x ++=的

正实数解的个数为（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

3．方程π1

sin 22

x x =

-在区间[3,5]-内的所有实根之和为（ ）. （A ）4

（B ）6 （C ）8 （D ）10

4．若π

36α=，则2

sin sin3sin5sin 23cos cos3cos5cos 23αααααααα++++??

=

?++++??

（ ）. （A ）1

3

（B ）1 （C ）2 （D ）3

5．已知实数,x y 满足223412x y +=，则1|3412|52

x x y ++-的最小值为（ ）. （A ）0 （B ）1

（C ）2

（D ）3

6．设,a b 是两个不同向量且||1=b ．若对任意的t ∈R ，都有t -+≥a b a b ，则（ ）. （A ）⊥a b （B ）()⊥+a a b

（C ）()⊥+b a b

（D ）()()-⊥+a b a b

7．将10个相同的小球全部装入3个编号分别为1,2,3的盒子，要求每个盒子中球的个数不小于盒子 的编号数，这样的装法共有（ ）. （A ）9种 （B ）12种

（C ）15种

（D ）18种

8．给出10个数对：(1,20),(2,19),(3,18),(4,17),(5,16),(6,15),(7,14),(8,13),(9,12),(10,11)，从每个数对中各取

一个数，组成集合12310{,,,,}A a a a a =，满足12310110a a a a ++++=．

则集合A 中奇数的个数被4除的余数为（ ）.

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

二、填空题(

本大题共8个小题，每小题5分，满分40分)

9．设点P 为函数21(

)4

y x m m =+>的图象上一点，点Q 为函数y

=||PQ 的最，则m = ．

10．已知点,A B

，AB =以线段AB 为直径作圆O ，AC 为圆O 过点A 的切线，D 为圆O 上的点， 在切线AC 上截取AC AD =，则当ABD △与以BC 为直径的圆的面积比达到最大值时，

AD = ．

11．

已知函数()f x x =x →+∞时，()0f x kx -→，则常数k = ．

12．在平行四边形ABCD 所在的平面内，点P 满足234PA PB PC PD +++=0．若PBD △的面积等于1， 则平行四边形ABCD 的面积等于 ．

13．已知点G 是ABC △的重心，过G 作一条直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且AM xAB =，

A N y A C

=，则11

x y

+的值为 ．

14．二元二次方程222()x y x y xy +=++共有 组整数解．

15．在ABC △中，80BAC ∠=?，40ACB ∠=?，延长BC 边至点D （点C 在线段BD 上），且 CD AB BC CA =++，则ADB ∠的度数为 ．

16．设n 是正整数，定义集合12{(,,,),{1,1}1}n n i X x x x x x x i n ==∈-，≤≤．对于集合n X 中的两个元

素12(,,,)n x x x x =，12(,,,)n y y y y =，若10n

i i i x y ==∑，则称x 与y 正交．如果集合14X 的一组元素中

含有k 个元素且每两个都是正交的，那么k 的最大值为 ．

三、双填空题 (共4个小题，每小题两空，每空5分，每小题10分，满分40分)

17．

已知不等式2

21

432(log 2)

(log 3)x x

---≤的解集为[,]a b ，则a b += ，b a -= ．

18．设方程18()xy x y =+的全部正整数解为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则n = ，

1

()n

k

k k x

y =+=∑ ．

19．设函数()y f x =定义在区间I 上，若存在常数t ，使得对I 中任意不同的,x y ，都有

()()

f x f y t x y

--≥

成立，则称函数()y f x =为I 上的“t ―增长函数”．

（1）若函数e x y =是定义在[0,)+∞的“t ―增长函数”，则t 的最大值为 ； （2）若函数2a y x x

=-为定义在[0,)+∞的“9―增长函数”，则实数a 的最小值为 ．

20．对于有限集合A ，用符号A 表示集合A 中元素的个数．已知集合12,,,n A A A 满足：

① 5k A =(1)k n ≤≤； ② 4(1)i

j A A i j n =<≤≤．

（1）若n 的最大值为3，则12

n A A A 的最大值等于 ；

（2）若12

6n A A A =，则n 的最大值等于 ．