2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷
2018年安徽省宿州市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，1）∪（1，2）B．（1，2）C．（0，1）D．（0，2）2．（5分）已知复数z＝sinθ﹣i cosθ，则“θ＝2kπ（k∈Z）”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足，则z＝﹣2x+y的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）函数（其中e为自然对数的底）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）若圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0关于直线l：ax+by﹣2＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．1B．5C．D．48．（5分）在等差数列{a n}中，，若它的前n项和S n有最大值，则当S n＞0时，n的最大值为（）A．11B．12C．13D．149．（5分）在如图所示的程序框图中，若输入的s＝2，输出的s＞2018，则判断框内可以填入的条件是（）A．i＞9B．i≤10C．i≥10D．i≥1110．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增11．（5分）如图，已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过点F2作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．（5分）偶函数f（x）定义域为，其导函数是f'（x）．当时，有f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡的横线上.13．（5分）已知向量，，若，则实数k的值为．14．（5分）若，则的值为．15．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC的体积为，其外接球球心为O，且满足＝，则正三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．16．（5分）若对于正整数m，g（m）表示m的最大奇数因数，例如g（3）＝3，g（10）＝5．设S n＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n﹣1），则S n＝．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，b＝10．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）2016年10月9日，教育部考试中心下发了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．宿州市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全市范围内开设书法课，经典诵读等课程．为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了200位市民进行了解，发现支持开展的占75%，在抽取的男性市民120人中持支持态度的为80人．（Ⅰ）完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与支持与否有关？（Ⅱ）为了进一步征求对开展传统文化的意见和建议，从抽取的200位市民中对不支持的按照分层抽样的方法抽取5位市民，并从抽取的5人中再随机选取2人进行座谈，求选取的2人恰好为1男1女的概率．附：．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，点M在线段PC上，且PM＝2MC，O为AD的中点．（Ⅰ）若P A＝PD，求证：平面POB⊥平面P AD；（Ⅱ）若平面P AD⊥平面ABCD，△P AD为等边三角形，且AB＝2，求三棱锥P ﹣OBM的体积．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点，△BF1F2为等边三角形，且其面积为，A为椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左、右顶点），且满足MA⊥NA，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝0时，设斜率为k的直线与曲线y＝f（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．选择题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为：．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为普通方程；将曲线C2的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（1，2），曲线C1与曲线C2的交点为A、B，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣a2﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤1的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式f（x）≤b的解集为R，求实数b的取值范围．2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，1）∪（1，2）B．（1，2）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：A＝{x|0＜x＜1}；∴A∩B＝（0，1）．故选：C．2．（5分）已知复数z＝sinθ﹣i cosθ，则“θ＝2kπ（k∈Z）”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若θ＝2kπ（k∈Z），则z＝sin2kπ﹣i cos2kπ＝±i，故z是纯虚数，是充分条件，反之，若z是纯虚数，则θ不一定是2kπ，比如k＝也可，不是必要条件，故选：A．3．（5分）圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设圆内每一个小正三角形的边长为r，则一个三角形的面积为，∴阴影部分的面积为．又圆的面积为πr2，∴点A落在区域M内的概率是．故选：B．4．（5分）已知变量x，y满足，则z＝﹣2x+y的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【解答】解：画出变量x，y满足表示的平面区域：将目标函数变形为z＝﹣2x+y，作出目标函数对应的直线，直线过A（0，2）时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为2；则目标函数z＝﹣2x+y的取值范围是（﹣∞，2]．故选：C．5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为4的正方形，高PO＝1，∴该几何体的体积V＝．故选：B．6．（5分）函数（其中e为自然对数的底）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：排除法：当x＝0时，y＝0，故排除C，当x＜0时，故y＜0，故排除A，当x→+∞时，y→0，故排除D，方法二：y′＝，由y′＞0，可得x＜3，函数单调递增，由y′＜0，可得x＞3，函数单调递减，故只有B符合，故选：B．7．（5分）若圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0关于直线l：ax+by﹣2＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．1B．5C．D．4【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的圆心为（2，1）；圆C关于直线l：ax+by＝2对称；∴圆心在l上；∴2a+b＝2；∴；又a＞0，b＞0；∴＝；∴的最小值为4．故选：D．8．（5分）在等差数列{a n}中，，若它的前n项和S n有最大值，则当S n＞0时，n的最大值为（）A．11B．12C．13D．14【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，它的前n项和S n有最大值，∴公差d＜0，首项a1＞0，{a n}为递减数列，∵＜0，∴a6•a7＜0，a6+a7＜0，由等差数列的性质知：2a6＝a1+a11＞0，a6+a7＝a1+a12＜0，∵S n＝（a1+a n），∴S n＞0时，n的最大值为11．故选：A．9．（5分）在如图所示的程序框图中，若输入的s＝2，输出的s＞2018，则判断框内可以填入的条件是（）A．i＞9B．i≤10C．i≥10D．i≥11【解答】解：模拟程序的运行，可得s＝2，i＝1不满足条件，执行循环体，s＝4，i＝2不满足条件，执行循环体，s＝8，i＝3不满足条件，执行循环体，s＝16，i＝4不满足条件，执行循环体，s＝32，i＝5不满足条件，执行循环体，s＝64，i＝6不满足条件，执行循环体，s＝128，i＝7不满足条件，执行循环体，s＝256，i＝8不满足条件，执行循环体，s＝512，i＝9不满足条件，执行循环体，s＝1024，i＝10不满足条件，执行循环体，s＝2048，i＝11由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为2048．则判断框内可以填入的条件是i≥11？．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T＝π，故A错误；∵ω＞0∴ω＝2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ＝kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ＝．∴f（x）＝sin（2x+）．∴由2x+＝kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；由2x+＝kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x＝，k∈Z，故C错误；由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正确．故选：D．11．（5分）如图，已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过点F2作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左，右焦点，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，∴F2（c，0），|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，∴PF1⊥PF2，∴∠PF1F2＝60°，过点P做P A⊥x轴，垂足为A，∴P A＝c•sin60°＝c，AC＝c﹣c•cos60°＝c，∴P（﹣c，c），∵切线段PF2被一条渐近线平分，其渐近线方程为y＝x，∴PF2的中点坐标为（c，c）∴c＝•c，∴＝，∴＝3，∴e＝＝＝2，故选：A．12．（5分）偶函数f（x）定义域为，其导函数是f'（x）．当时，有f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设g（x）＝，其导数为g′（x）＝，又由时，有f'（x）cos x+f（x）sin x＜0，则有g′（x）＜0，则函数g（x）在（0，）上为减函数，又由f（x）为定义域为的偶函数，则g（﹣x）＝＝＝g（x），则函数g（x）为偶函数，⇒＜f（）⇒＜⇒g（x）＜g（），又由g（x）为偶函数且在（0，）上为减函数，且其定义域为，则有|x|＞，解可得：﹣＜x＜﹣或＜x＜，即不等式的解集为；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡的横线上.13．（5分）已知向量，，若，则实数k的值为．【解答】解：∵，，∴＝（﹣k+2，2k+3），＝（﹣7，﹣7），由，得（﹣k+2）×（﹣7）﹣（2k+3）×（﹣7）＝0．解得：k＝﹣．故答案为：．14．（5分）若，则的值为．【解答】解：∵，∴sin（α﹣）＝﹣，∴cos（2α﹣）＝1﹣2sin2（α﹣）＝1﹣2×（﹣）2＝，故答案为：．15．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC的体积为，其外接球球心为O，且满足＝，则正三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．【解答】解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足，可得三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：，底面三角形ABC的边长为：R，正三棱锥的体积为：×R××R＝，解得此三棱锥外接球的半径是R＝．故答案为：．16．（5分）若对于正整数m，g（m）表示m的最大奇数因数，例如g（3）＝3，g（10）＝5．设S n＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n﹣1），则S n＝．【解答】解：由题意可得：g（1）＝1，g（2k﹣1）＝2k﹣1，g（2n）＝g（n）．n≥2时，S n＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n﹣1）＝[g（1）+g（3）+……+g（2n﹣1）]+[g（2）+g（4）+……+g（2n﹣2）]＝[g（1）+g（3）+……+g（2n﹣1）]+[g（1）+g（2）+……+g（2n﹣1﹣1）]＝[1+3+……+2n﹣1]+S n﹣1＝+S n﹣1＝4n﹣1+S n﹣1．∴S n﹣S n＝4n﹣1．﹣1可得：S n＝4n﹣1+4n﹣2+……+4+1＝＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，b＝10．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由，得，由，得，，∴sin B＝（Ⅱ）由正弦定理得，又∴18．（12分）2016年10月9日，教育部考试中心下发了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．宿州市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全市范围内开设书法课，经典诵读等课程．为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了200位市民进行了解，发现支持开展的占75%，在抽取的男性市民120人中持支持态度的为80人．（Ⅰ）完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与支持与否有关？（Ⅱ）为了进一步征求对开展传统文化的意见和建议，从抽取的200位市民中对不支持的按照分层抽样的方法抽取5位市民，并从抽取的5人中再随机选取2人进行座谈，求选取的2人恰好为1男1女的概率．附：．【解答】解：（Ⅰ）抽取的男性市民为120人，持支持态度的为200×75%＝150人，男性公民中持支持态度的为80人，列出2×2列联表如下：所以，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为性别与支持与否有关；（Ⅱ）抽取的5人中抽到的男性的人数为：，女性的人数为：；记被抽取4名男性市民为A，B，C，D，1名女性市民为e，从5人中抽取的2人的所有抽法有：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，共有10种，恰有1名女性的抽法有：Ae，Be，Ce，De，共有4种，由于每人被抽到是等可能的，所以由古典概型得．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，点M在线段PC上，且PM＝2MC，O为AD的中点．（Ⅰ）若P A＝PD，求证：平面POB⊥平面P AD；（Ⅱ）若平面P AD⊥平面ABCD，△P AD为等边三角形，且AB＝2，求三棱锥P ﹣OBM的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵P A＝PD，AO＝OD，∴PO⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BO⊥AD，而PO∩BO＝O，∴AD⊥平面POB，又AD⊂平面P AD，∴平面POB⊥平面P AD；（Ⅱ）解：∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵OB⊂平面ABCD，∴PO⊥OB∵△P AD为等边三角形，AD＝AB＝2，∴，∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，∴，∴，由（Ⅰ）AD⊥平面POB，∴BC⊥平面POB．∴．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点，△BF1F2为等边三角形，且其面积为，A为椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左、右顶点），且满足MA⊥NA，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知∴a2＝b2+c2＝4．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）＝0，∴△＝64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，即3+4k2﹣m2＞0，且又，∵椭圆的右顶点为A（2，0），∴k MA k NA＝﹣1，即，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，∴，∴7m2+16mk+4k2＝0．解得：m1＝﹣2k，，且均满足3+4k2﹣m2＞0，当m1＝﹣2k时，l的方程为y＝k（x﹣2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点．∴直线l过定点，定点坐标为．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+x+lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝0时，设斜率为k的直线与曲线y＝f（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．【解答】解：（Ⅰ）当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，由f′（x）＝0，得（取正根），在区间内，f′（x）＞0f（x）是增函数；在区间内，f′（x）＜0，f（x）是减函数．综上，当a≥0时，f（x）的增区间为（0，+∞），没有减区间；当a＜0时，f（x）的减区间是，增区间是．（Ⅱ）当a＝0时，，，设，∵0＜x1＜x2，∴t＞1，∴，设g（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2（t＞1），，设h（t）＝g'（t），则，∴当t＞1时，h'（t）＞0恒成立，即当t＞1时，h（t）为增函数，h（t）＞h（1）＝0∴当t＞1时，g'（t）＞0恒成立，即当t＞1时，g（t）为增函数，∴当t＞1时，g（t）＞g（1）＝0，∴选择题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为：．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为普通方程；将曲线C2的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（1，2），曲线C1与曲线C2的交点为A、B，求|P A|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为：x+y＝3，即：x+y﹣3＝0；∵曲线C2的极坐标方程为：．∴，∴曲线C2的方程化为直角坐标方程为：y2＝2x．（Ⅱ）方法一：C1的参数方程为，代入，得，∴，∴．方法二：把代入，得2t2﹣6t+1＝0，所以t1+t2＝3所以．方法三：把C1：x+y＝3代入，得x2﹣8x+9＝0所以x1+x2＝8，x1x2＝9所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣a2﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤1的解集；（Ⅱ）若对任意，不等式f（x）≤b的解集为R，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，|x+1|﹣|x﹣2|≤1∴，或，或，解得：x＜﹣1或﹣1≤x≤1．∴不等式f（x）≤1解集为{x|x≤1}．（Ⅱ）不等式f（x）≤b的解集为R，∴f（x）max≤b，∵f（x）＝|x+a|﹣|x﹣a2﹣a|≤|（x+a）﹣（x﹣a2﹣a）|＝|a2+2a|，∴对任意恒成立．∵|a2+2a|＝|（a+1）2﹣1|，∴当a＝﹣1时，|a2+2a|取得最大值1，∴b≥1．。
2018年安徽省宿州市高三一模考试数学(文)试题含答案
宿州市2018届高三第一次教学质量检测数学（文科）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1{|1}A x x=>，{|02}B x x =<<，则A B =（ ） A ．(0,1)(1,2) B ．(1,2) C ．(0,1) D ．(0,2)2.已知复数sin cos z i θθ=-，则“2()k k Z θπ=∈”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M ，现随机往图4的圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）A ．34π B ．334π C ．2πD ．3π 4.已知变量,x y 满足220x y x y x -≥-⎧⎪+≥-⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．(,2)-∞- C. (,2]-∞ D ．[2,)+∞5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．323 B ．163C.833 D ．16236.函数3x x y e=（其中e 为自然对数的底）的大致图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.若圆22:4210C x y x y +--+=关于直线:20(0,0)l ax by a b +-=>>对称，则12a b+的最小值为（ ）A ．1B ．5 C. 42 D ．4 8.在等差数列{}n a 中，761a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则当0n S >时，n 的最大值为（ ）A ．11B ．12 C.13 D ．149.在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）A ．9i >B ．10i ≤ C. 10i ≥ D ．11i ≥10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，(0,||)2πωϕ><，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于点7(,0)12π对称C. 函数()f x 的图像关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3[,]4ππ上单调递增 11.如图，已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 23．5212.偶函数()f x 定义域为(,)22ππ-，其导函数是'()f x .当02x π<<时，有'()cos ()sin 0f x x f x x +<，则关于x 的不等式()2()cos 4f x x π<的解集为（ ）A ．(,)42ππB ．(,)(,)2442ππππ- C. (,0)(0,)44ππ- D ．(,0)(,)442πππ-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡的横线上. 13.已知向量(1,2)a =-，()2,3b =，若()//(3)ka b a b +-，则实数k 的值为 ．14.若1sin()64πα-=，则cos(2)3πα-的值为 ．15.已知正三棱锥P ABC -的体积为112，其外接球球心为O ，且满足0OA OB OC ++=，则正三棱锥P ABC -的外接球半径为 ．16.若对于正整数m ，()g m 表示m 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(10)5g =.设(1)(2)(3)(4)n S g g g g =+++(21)n g ++-，则n S = ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，1tan()3A B -=，10b =. （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.18.2016年10月9日，教育部考试中心下发了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.宿州市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全市范围内开设书法课，经典诵读等课程.为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了200位市民进行了解，发现支持开展的占75%，在抽取的男性市民120人中持支持态度的为80人.（Ⅰ）完成22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为性别与支持与否有关？ （Ⅱ）为了进一步征求对开展传统文化的意见和建议，从抽取的200位市民中对不支持的按照分层抽样的方法抽取5位市民，并从抽取的5人中再随机选取2人进行座谈，求选取的2人恰好为1男1女的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，O 为AD 的中点.（Ⅰ）若PA PD =，求证：平面POB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，且2AB =，求三棱锥P OBM -的体积.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为椭圆的上顶点，12BF F ∆为等边三角形，且其面积为3，A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.21.已知函数2()ln ()f x ax x x a R =++∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与曲线()y f x =交于11(,)A x y 、2212(,)()B x y x x <两点，求证：12'()2x x k f +>. （二）选择题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为1222x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为：22cos sin θρθ=.（Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点(1,2)P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求||||PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数2()||||()f x x a x a a a R =+---∈（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x ≤的解集；（Ⅱ）若对任意1[1,]3a ∈-，不等式()f xb ≤的解集为R ，求实数b 的取值范围.试卷答案宿州市2017～2018学年高三第一次教学质量检测参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C ABCBBDADDAC二、填空题: 13.13- 14.783 16.1(41)3n-16.【解析】∵当n 为奇数时，()g n n =，当n 为偶数时，()()2ng n g =， ∴(1)(2)(3)(4)(21)n n S g g g g g =+++++-[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(6)(22)]n n g g g g g g g g =++++-+++++-1[135(21)][(1)(2)(3)(21)]n n g g g g -=++++-+++++-121111(2)[(1)(2)(3)(2)]44n n n n g g g g S ----=+++++=⨯+∴1114(2)4n n n S S n ---=⨯≥叠加得n S =1(41)3n-， 当1n =时，上式也成立. 三、解答题：17.【解析】(Ⅰ)在ABC ∆中，由4cos 5A =得3sin 5A =，3tan 4A = 由()1tan 3AB -=得()tan tan 1tan 1tan tan 3A B A B A B --==+，1tan 3B =，∴sin B =10（Ⅱ）由正弦定理得310sin 5610sin 10b A a B ⨯=== 又1310sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=∴111310sin 610107822ABC S ab C ∆==⨯= 18.【解析】(Ⅰ)抽取的男性市民为120人，持支持态度的为20075%150⨯=人，男性公民支持 不支持 合计男性 80 40 120 女性 70 10 80 合计15050200所以()222008010407010011.1110.82815050120809⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯κ，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为性别与支持与否有关． （Ⅱ）抽取的5人中抽到的男性的人数为：405450⨯=，女性的人数为：105150⨯= 记被抽取4名男性市民为A,B,C,D, 1名女性市民为e,从5人中抽取的2人的所有抽法有：AB,AC,AD,Ae,BC,BD,Be,CD,Ce,De,共有10种， 恰有1名女性的抽法有：Ae ,Be ,Ce ,De,共有4种， 由于每人被抽到是等可能的， 所以由古典概型得42105m p n === 19.【解析】 (Ⅰ)∵PA=PD ，AO=OD,∴PO ⊥AD ， 又∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，∴BO ⊥AD ， PO ∩BO=O ，∴AD ⊥平面POB又AD ⊂平面PAD ，∴平面POB ⊥平面PAD ； （Ⅱ）方法一∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∵ OB ⊂平面ABCD∴PO ⊥OB∵PAD ∆为等边三角形， 2AD AB ==,∴3PO = ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，2AB =∴3BO = ∴11333222POB S BO PO ∆=⨯⨯== 由(Ⅰ) AD ⊥平面POB ∴BC ⊥平面POB ∴221213223333323P OBM M POB C POB POB V V V S BC ---∆===⨯⨯=⨯⨯⨯= 方法二∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∵PAD ∆为等边三角形， 2AD AB ==,∴3AO = ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，2AB = 由(Ⅰ)BO ⊥AD ∴1123322OBC S BC OB ∆=⨯⨯=⨯=∵PM=2MC∴2221212333333333P OBM M POB C POB P OBC OBC V V V V S PO ----∆====⨯⨯=⨯= 20.【解析】（Ⅰ）由已知1223331)3BF F b cb c S c ∆⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩∴2224a b c =+=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，2222226416(34)(3)0340m k k m k m ∆=-+->+->，即12221228344(3).34mk x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 因为椭圆的右顶点为(20)A ，， ∴1MA NA k k =-，即1212122y y x x =---，∴1212122()40y y x x x x +-++=，∴2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++， ∴2271640m mk k ++=． 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时， l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，21.【解析】（Ⅰ）2121'()21(0)ax x f x ax x x x++=++=> 当0≥a 时，)(,0)('x f x f >在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，由0)('=x f ，得1184ax a---=（取正根），在区间118(0,4a a --内，)(,0)('x f x f >是增函数；在区间118()4aa--+∞内，,0)('<x f )(x f 是减函数．综上，当0≥a 时，)(x f 的增区间为),0(+∞，没有减区间；当0<a 时，)(x f 的减区间是118()4a a ---+∞，增区间是118(0,4aa--．（Ⅱ）当0=a 时，1()ln (0),()1f x x x x f x x'=+>=+， 1221221112212112()()ln ln 12()1122x x f x f x x x x x k f x x x x x x x x +-+--'>⇔>+⇔>++--+ 212121************ln ln ln ln 2()2211ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---⇔+>+⇔>⇔->-+-++2212112(1)ln1x x x x x x -⇔>+设21x t x =，∵ 120x x <<，∴1t > ∴12()2x x k f +'>2(1)ln (1)ln 22(1)ln 2201t t t t t t t t t -⇔>⇔+>-⇔+-+>+ 设()(1)ln 22(1)g t t t t t =+-+>11()ln (1)2ln 1g t t t t t t'=++⨯-=+-设()()h t g t '=，则22111()t h t t t t-'=-=∴当1t >时，()0h t '>恒成立，∴当1t >时，()h t 为增函数，∴()(1)0h t h >= ∴当1t >时，()0g t '>恒成立， ∴当1t >时，()g t 为增函数，∴当1t >时，()(1)0g t g >= ∴12()2x x k f +'> 22.【解析】（Ⅰ）1:3C x y +=，即：30x y +-=；222:sin 2cos C ρθρθ=，即：22y x =（Ⅱ）方法一：1C 的参数方程为21222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22:2C y x =得26240t t ++=∴1262t t +=-12||62PA PB t t +=+=. 方法二：把112:22x t C y t=+⎧⎪⎨=-⎪⎩代入22:2C y x =得22610t t -+=所以123t t +=所以22122(2)|62PA PB t t +=+-+=.方法三：把1:3C x y +=代入22:2C y x =得2890x x -+=所以128x x +=，129x x = 所以221212111|111|2(|1||1|)PA PB x x x x +=+-++-=-+-122(|11|)2(|82|)62x x -+-=-=23、解：（Ⅰ）当1a =时，121x x +--≤∴1121x x x <-⎧⎪⎨--+-≤⎪⎩， 或12121x x x -≤≤⎧⎪⎨++-≤⎪⎩，或2121x x x >⎧⎪⎨+-+≤⎪⎩， (,1)x ⇒∈-∞- 或[1,1]x ∈-或x φ∈综上知：解集为(,1]x ∈-∞.（Ⅱ）不等式()f x b ≤的解集为R max ()f x b ⇔≤222()()()2f x x a x a a x a x a a a a =+---+---=+≤所以2max ()2f x a a b =+≤对任意11,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立设21()2,[1,]3g a a a a =+∈-，所以max ()1g a =，所以1b ≥.宿州市2017～2018学年高三第一次教学质量检测参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C ABCBBDADDAC二、填空题: 13.13- 14.78 15.33 16.1(41)3n-16.【解析】∵当n 为奇数时，()g n n =，当n 为偶数时，()()2ng n g =， ∴(1)(2)(3)(4)(21)n n S g g g g g =+++++-[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(6)(22)]n n g g g g g g g g =++++-+++++-1[135(21)][(1)(2)(3)(21)]n n g g g g -=++++-+++++-121111(2)[(1)(2)(3)(2)]44n n n n g g g g S ----=+++++=⨯+∴1114(2)4n n n S S n ---=⨯≥ 叠加得n S =1(41)3n-， 当1n =时，上式也成立。
安徽省宿州市2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(文)试卷 Word版含解析
2017-2018学年安徽省宿州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设集合A={x|x2﹣2x=0}，B={x|y=，x∈N}，则A∩B=（）A． {0，1，2} B． {0，﹣1，2} C． {0，2} D． {0}2．设复数z满足（2﹣i）z=3+i则z=（）A． 1+i B． 1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（）A． y=cos（2x﹣） B． y=sin（2x+） C． y=sin（x+） D． y=cos（x+π）4．在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是（）A． B．C． D．5．某同学设计的算法流程图用以计算和式12+22+32+…+20152的值，则在判断框中应填写（）A． i≤2015 B． i≤2016 C．≥2015 D． i≥20166．将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移单位得到函数的图象y=f（x），则函数y=f （x）图象的一条对称轴是（）A． x= B． x= C． x= D． x=7．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A． 5 B．﹣5 C． 0 D． 38．若直线y=kx+1（k≠0）与圆x2+（y﹣1）2=1相交于A，B两点，C点坐标（3，0），若点M（a，b）满足++=，则a+b=（）A． 1 B． C． D．9．已知数列{a n}是公差不等于零的等差数列，若a1，a k，a2k（k∈N*且k≥2）是公比为q的等比数列，则公比q的最大值为（）A． B． C． D． 210．如图所示，∠xoy=60°，，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是（）A． 1 B． C． C D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．“对任意实数x，都有x2﹣2x+2＞0”的否定是．12．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．某场生产某种产品x件的总成本：C（x）=x2+1000（元），且产品单价的平方与产品件数x成反比，已知生产100件这样的产品的单价为50元，则当总利润最大时，产量应定为件．15．定义：若m﹣＜x≤m+（其中m是整数），则m叫做距实数x最近的整数，记作（x），即（x）=m，对于函数f（x）=|x﹣（x）|的五个，其中正确的有（写出所有正确的序号）．①函数y=f（x）的值域是[0，+∞）；②函数y=f（x）是偶函数；③函数y=f（x）是周期函数且最小正周期是1；④函数y=f（x）的递增区间是[k，k+]，k∈z；⑤函数y=f（x）﹣lgx有4个零点．三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f（x）=cos（x﹣）+2cos2﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c若f（B）=，b=1，c=求a 的值．（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．18．设数列{a n}为等比数列，且a1+a2=3，a4+a5=24（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n+1，设的前n项和为S n，若S n=，求n．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD和ABEF均为矩形，M为AF的中点，BN⊥CE与N．（1）求证：CF∥平面MBD；（2）求证：平面EFC⊥平面BDN．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）2015年安徽省宿州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设集合A={x|x2﹣2x=0}，B={x|y=，x∈N}，则A∩B=（）A． {0，1，2} B． {0，﹣1，2} C． {0，2} D． {0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中方程的解确定出A，求出B中x的范围，由x为N，确定出B，找出A与B 的交集即可．解答：解：由A中方程变形得：x（x﹣2）=0，解得：x=0或x=2，即A={0，2}，由B中y=，得到x+1≥0，即x≥﹣1，且x∈N，∴B={x|x≥﹣1，且x∈N}，则A∩B={0，2}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数z满足（2﹣i）z=3+i则z=（）A． 1+i B． 1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵（2﹣i）z=3+i，∴（2﹣i）（2+i）z=（3+i）（2+i），∴z==1+i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（）A． y=cos（2x﹣） B． y=sin（2x+） C． y=sin（x+） D． y=cos（x+π）考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据周期为π=求得ω=2，故排除C、D．再利用诱导公式化简A、B中的函数，判断其奇偶性，从而得出结论．解答：解：根据周期为π=，∴ω=2，故排除C、D．再根据函数为偶函数，而y=cos（2x﹣）=sin2x，故函数是奇函数，故A不满足条件．而y=sin（2x+）=﹣sin（2x+）=﹣cos2x，为偶函数，满足条件，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的单调性和周期性，诱导公式，属于基础题．4．在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是（）A． B．C． D．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆、双曲线的标准方程，分别确定焦点坐标，即可求得结论．解答：解：与抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0）A中，，∴，∴c=，∴右焦点为（，0）；B中，a2=9，b2=5，∴c2=a2﹣b2=4，∴c=2，∴右焦点为（2，0）；C中，a2=3，b2=2，∴c2=a2+b2=5，∴c=，∴右焦点为（，0）；D中，，∴c2=a2+b2=1，∴c=1，∴右焦点为（1，0）；综上知，D满足题意故选D．点评：本题考查抛物线、椭圆、双曲线的标准方程，考查焦点坐标的求法，属于中档题．5．某同学设计的算法流程图用以计算和式12+22+32+…+20152的值，则在判断框中应填写（）A． i≤2015 B． i≤2016 C．≥2015 D． i≥2016考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=12+22+32+…+20152时S的值，分析计算可得答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=12+22+32+…+20152时S的值∵程序框图用以计算和式12+22+32+…+20152故最后一次进行循环时i的值为2015，故判断框中的条件应为i≤2015．故选：A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，本题属于基本知识的考查．6．将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移单位得到函数的图象y=f（x），则函数y=f （x）图象的一条对称轴是（）A． x= B． x= C． x= D． x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得f（x）=3sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得函数y=f（x）图象的一条对称轴．解答：解：将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移单位得到函数y=f（x）=3sin[2（x+）﹣]=3sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=+，k∈z，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A． 5 B．﹣5 C． 0 D． 3考点：函数的周期性；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据函数的关系式求出函数是奇函数，进一步利用函数的周期求出函数的值．解答：解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5故选：B点评：本题考查的知识要点：函数的奇偶性的应用和周期性的应用，属于基础题型．8．若直线y=kx+1（k≠0）与圆x2+（y﹣1）2=1相交于A，B两点，C点坐标（3，0），若点M（a，b）满足++=，则a+b=（）A． 1 B． C． D．考点：直线和圆的方程的应用；向量的加法及其几何意义；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：画出图形判断M的特征为三角形的重心，求出M的坐标，即可求出a，b．解答：解：如图：直线y=kx+1（k≠0）与圆x2+（y﹣1）2=1相交于A，B两点，C点坐标（3，0），若点M（a，b）满足++=，所以M是三角形ABC的重心，仔细恒过圆的圆心，所以M三等分NC，N（0，1），C（3，0），所以M（1，），又点M（a，b），即a=1，b=，a+b=．故选：C．点评：本题考查仔细与圆的位置关系，的方程的综合应用，向量的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．已知数列{a n}是公差不等于零的等差数列，若a1，a k，a2k（k∈N*且k≥2）是公比为q的等比数列，则公比q的最大值为（）A． B． C． D． 2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用a1，a k，a2k（k∈N*且k≥2）是公比为q的等比数列，可得=，结合q==1+（k﹣1）•，即可得出结论．解答：解：由题意，设公差为d，则q==1+（k﹣1）•，∵a1，a k，a2k（k∈N*且k≥2）是公比为q的等比数列，∴a k2=a1a2k，∴=，∴q=1+≤2，∴公比q的最大值为2，故选：D．点评：本题考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．如图所示，∠xoy=60°，，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是（）A． 1 B． C． C D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：根据=（p，q），且的模长为1，进而（p+q）2﹣pq=1，再利用ab，即可得答案．解答：解：∵=（p，q），的模长为1，∴=|p+q|=1，∴1=p2+2pqcos60°+q2=p2+pq+q2∴（p+q）2﹣pq=1，即（p+q）2=1+pq，则故﹣≤p+q≤所以p+q的最大值为故选：B点评：本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，属中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．“对任意实数x，都有x2﹣2x+2＞0”的否定是存在实数x，使x2﹣2x+2≤0 ．考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称的否定是特称写出结果即可．解答：解：因为全称的否定是特称，所以，“对任意实数x，都有x2﹣2x+2＞0”的否定是：存在实数x，使x2﹣2x+2≤0．故答案为：存在实数x，使x2﹣2x+2≤0．点评：本题考查的否定特称与全称的否定关系，基本知识的考查．12．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为 3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域；将目标函数变形；画出目标函数对应的直线；将直线平移由图求出函数的范围即可．解答：解：画出的可行域如图，将z=2x+y变形得y=﹣2x+z，画出对应的直线，由图知当直线过A时，z最小；由，可得，即A（1，1）则z=2x+y的最小值是3．故答案为：3．点评：本题考查线性规划的应用，画不等式组表示的平面区域、利用图形求二元函数的最值，是解题的一般思路．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体为一个正三棱柱截去上面一个三棱锥余下的部分，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．解答：解：由三视图可知，该几何体为一个正三棱柱截去上面一个三棱锥余下的部分，∵三棱柱的高为2，底面边长为2，截去三棱锥的高为1，所以该几何体和体积V=×2×2×2×sin60°﹣××2×2×1×sin60°=．故答案为：点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．14．某场生产某种产品x件的总成本：C（x）=x2+1000（元），且产品单价的平方与产品件数x成反比，已知生产100件这样的产品的单价为50元，则当总利润最大时，产量应定为25 件．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：分析题目数据建立数学模型，得出总利润函数L=L（x）=p（x）﹣c（x）=•x ﹣（x2+1000），然后利用导数求其最值，还原为实际问题即可．1解答：解：设产品单价为p，则有p2=，将x=100，p=50代入，得k=250000，所以p=p（x）=设总利润为L，L=L（x）=p（x）﹣c（x）=•x﹣（x2+1000）（x＞0）L′（X）=﹣2x令L'（X）=0，得x=25，因为x=25是函数L（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，且是极大值点，从而是最大值点．故答案为：25点评：本题考查利用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤，属于中档题．15．定义：若m﹣＜x≤m+（其中m是整数），则m叫做距实数x最近的整数，记作（x），即（x）=m，对于函数f（x）=|x﹣（x）|的五个，其中正确的有②③④⑤（写出所有正确的序号）．①函数y=f（x）的值域是[0，+∞）；②函数y=f（x）是偶函数；③函数y=f（x）是周期函数且最小正周期是1；④函数y=f（x）的递增区间是[k，k+]，k∈z；⑤函数y=f（x）﹣lgx有4个零点．考点：的真假判断与应用；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域判断①的正误；通过函数的奇偶性的定义判断②的正误；通过判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；通过函数的周期性以及函数的图象判断④的正误；利用函数的零点通过数形结合来判断⑤的正误．解答：解：①中，函数f（x）=|x﹣（x）|=|x﹣m|，令x=m+a，a∈[﹣，）∴f（x）=|[x]﹣x|=|m﹣（m+a）|=|a|∈[0，]，所以①不正确；②中，∵m﹣＜x≤m+（m∈Z），∴﹣m﹣≤﹣x＜﹣m+（m∈Z）∴f（﹣x）=|﹣x﹣（﹣x）|=|﹣（﹣m）﹣x|=|x﹣m|，f（x）=|x﹣（x）|=|x﹣m|∴f（﹣x）=f（x）所以②正确．③中，∵f（x+1）=|x+1﹣（x+1）|=|x﹣（x）|=f（x）所以周期为1，故③正确；④中，由题意x﹣（x）=x﹣m，f（x）=|x﹣（x）|=|x﹣m|，m=0时，﹣＜x≤， f（x）=|x|，m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，由函数的周期性以及函数的图象可知，函数y=f（x）的递增区间是[k，k+]，k∈z；∴④正确．⑤中，函数y=f（x）﹣lgx=|x﹣m|﹣lgx，令|x﹣m|﹣lgx=0，可得：y=|x﹣m|，y=lgx．当x，lgx，由两个函数的图象可知，两个函数有4个交点，即有4个零点，故⑤正确．综上所述，②③④⑤正确．故答案为：②③④⑤．点评：本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断的真假，要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，函数的零点的判断方法，对5个结论进行验证．三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f（x）=cos（x﹣）+2cos2﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c若f（B）=，b=1，c=求a 的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=sin（x+），由正弦函数的图象和性质可得f（x）的值域．（2）由f（B）=，可得sin（B+）=1，由0＜B＜π，可求B的值，由余弦定理得a2﹣3a+2=0，即可解得a的值．解答：解：（1）f（x）=cosx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），故f（x）的值域为[﹣，]…（6分）（2）由f（B）=sin（x+）=，∴sin（B+）=1又∵0＜B＜π，∴B=，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB得a2﹣3a+2=0，解得a=1或a=2…（12分）（注：第（2）问也可用正弦定理求解）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．考点：分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案．解答：解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴=，解得n=40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P=．点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．18．设数列{a n}为等比数列，且a1+a2=3，a4+a5=24（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n+1，设的前n项和为S n，若S n=，求n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出；（2）b n=log2a n+1==n．可得==，利用“裂项求和”即可得出．解答：解（1）设数列{a n}的公比为q，由a1+a2=3，a4+a5=24，∴24=q3（a1+a2）=3q3，解得q=2．代入a1+a2=3，可得a1+2a1=3，解得a1=1，∴数列数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）b n=log2a n+1==n．∴==，∴其前n项和为S n=+…+=1﹣=．∵S n=，∴，解得n=2014．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了计算能力，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD和ABEF均为矩形，M为AF的中点，BN⊥CE与N．（1）求证：CF∥平面MBD；（2）求证：平面EFC⊥平面BDN．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OM，由三角形中位线定理得CF∥OM，由此能证明CF∥平面MBD．（Ⅱ）由四边形ABCD和ABEF均为矩形，得AB⊥平面BCE，从而BN⊥面EFC，由此能证明平面EFC⊥平面BDN．解答：证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OM．因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点．因为M为AF的中点，所以CF∥OM，又OM⊂平面MBD，CF⊄平面MBD，所以CF∥平面MBD．（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD和ABEF均为矩形，所以AB⊥平面BCE，所以AB⊥BN，又AB∥EF，所以BN⊥EF，又BN⊥EC（已知），所以BN⊥面EFC，又BN⊂平面BDN，所以平面EFC⊥平面BDN．（12分）点评：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解答：解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明+++…+＜（n∈N*且n＞1）解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）=1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）=当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜=即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．点评：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．。
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2(x2−x)>1}，则A∩B=()A.(2, 4]B.[2, 4]C.(−∞, 0)∪[0, 4]D.(−∞, −1)∪[0, 4]【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解．【解答】A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2(x2−x)>1}={x|x2−x>2}={x|x>2或x<−1}，则A∩B={x|2<x≤4}，2. 已知复数z=1−i（i为虚数单位），复数z为z的共轭复数，则z2−2zz−1=()A.−2iB.2iC.4−2iD.4+2i【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z=1−i，得z=1+i，则z2−2zz−1=(1−i)2−2(1+i)1−i−1=2+4i i=−i(2+4i)−i2=4−2i．故选C.3. 已知函数f(x)=1x(x+1)，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.20172018 B.20182019C.20182017D.20192018【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =11×2+12×3+...+12018×2019的值，由裂项法即可计算得解． 【解答】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S =11×2+12×3+...+12018×2019的值， 可得：S =11×2+12×3+...+12018×2019 =(1−12)+(12−13)+...+(12018−12019)=1−12019=20182019．4. 在平面直角坐标系xOy 中，设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是PF 1的中点，且OM ⊥PF 1，2|PF 1|=|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ）A.√6B.√5C.2D.√3【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|=|PF 2|2，=|F 1F 2|2．，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围． 【解答】P 为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF 2|−|PF 1|=2a ， 由|PF 2|=2|PF 1|，则|PF 2|=4a ，|PF 1|=2a ， ∵ M 是PF 1的中点，且OM ⊥PF 1∴ 由△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|=|PF 2|2，=|F 1F 2|2． ∴ 5a 2=c 2 即有e =√5． 5. 设a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 三个数从大到小的排列顺序为（ ）A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】 b =ln33=ln √33=ln √96>ln √86=ln √2=a ，同理可得a 与c 的大小关系．【解答】 b =ln33=ln √33=ln √96>ln √86=ln √2=a ，a =ln √2510>ln √5210=c ． ∴ b >a >c ．6. 若函数f(x)=√3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)为奇函数，且在[−π4,0]上为减函数，则θ的一个值为（ ）A.−π3B.−π6C.5π6D.2π3【答案】 C【考点】两角和与差的正弦公式 两角和与差的余弦公式 正弦函数的单调性 【解析】首先根据已知将函数f(x)化简为f(x)=2sin(2x +θ+π6)，然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项． 【解答】解：∵ f(x)=√3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)=2sin(2x +θ+π6)为奇函数， 故有θ+π6=kπ，即：θ=kπ−π6(k ∈Z)，可淘汰A 、D 选项， 然后分别将B 和C 选项代入检验， 易知当θ=5π6时，f(x)=−2sin2x 其在区间[−π4, 0]上单调递减. 故选C ．7. 将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A.1 3B.25C.12D.35【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=C62C42C22=90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C31C31C21C21C11C11=36，由此能求出每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率．【解答】将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n=C62C42C22=90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C31C31C21C21C11C11=36，∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p=mn =3690=25．8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A.81πB.33πC.56πD.41π【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD为等腰三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，再求出其外接球的半径，则其外接球的表面积可求．【解答】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，下底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PAD 为等腰三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．棱锥的高为1，设三角形PAD 的外心为G ，则PDsin∠DAP =2PG ，∴ PG =52．再设该四棱锥外接球的半径为R ，则R =√(52)2+22=√412则该几何体的外接球的表面积为4π×(√412)2=41π．9. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位，所得到的函数g(x)的解析式为（ ）A.g(x)=2sin 14x B.g(x)=2sin2x C.g(x)=2sin(14x −π6) D.g(x)=2sin(2x −π6)【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f(x)的解析式；通过平移变换规律即可求解g(x)． 【解答】由题设图象知，A =2，周期T =4(x 0+π−x 0)=4π， ∴ ω=2πT=12． ∵ 点(0, 1)在函数图象上， ∴ 2sin(φ)=1，即sin(φ)=12． 又∵ 0<φ<π2， ∴ φ=π6．故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(12x +π6)，将图象横坐标缩短到原来的14，可得2sin(2x +π6)，再向右平移π6个单位，可得2sin[2(x −π6)+π6]=2sin(2x −π6)， 即 g(x)=2sin(2x −π6)，10. 已知函数f(x)={2x 2+4x +1,x <02e x ,x ≥0 ，g(x)=−f(−x)，则方程f(x)=g(x)的解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】 A【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】作出y =f(x)的图象，由题意可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称，作出y =g(x)的图象，由两图象的交点个数，可得方程解的个数． 【解答】函数f(x)={2x 2+4x +1,x <02e x ,x ≥0 的图象如图所示， 由g(x)=−f(−x)，可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称，作出y =g(x)的图象，可得y =f(x)和y =g(x)的图象有4个交点， 则方程f(x)=g(x)的解的个数为（4）11. 已知抛物线C:y 2=8x ，圆F ：(x −2)2+y 2=4，直线l:y =k(x −2)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A.|M 1M 3|⋅|M 2M 4| B.|FM 1|⋅|FM 4| C.|M 1M 2|⋅|M 3M 4| D.|FM 1|⋅|M 1M 2| 【答案】 C【考点】 抛物线的求解 【解析】利用抛物线的定义和：|M 1F|=x 1+2就可得出|M 1M 2|=x 1，同理可得|M 3M 4|=x 4，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得． 【解答】分别设M 1，M 2，M 3，M 4四点横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4， 由y 2=8x 可得焦点F(2, 0)，准线 l 0:x =−(2) 由定义得：|M 1F|=x 1+2， 又∵ |M 1F|=|M 1M 2|+2， ∴ |M 1M 2|=x 1， 同理：|M 3M 4|=x 4，将y =k(x −2)时，代入抛物线方程，得：k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0， ∴ x 1x 4=4，∴ |M 1M 2|⋅|M 3M 4|=412. 已知l1，l2分别是函数f(x)=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(0, +∞)D.(1, +∞)【答案】A【考点】对数函数的图象与性质【解析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】设P1(x1, y1)，P2(x2, y2)(0<x1<1<x2)，当0<x<1时，f′(x)=−1x ，当x>1时，f′(x)=1x，∴l1的斜率k1=−1x1，l2的斜率k2=1x2，∵l1与l2垂直，且x2>x1>0，∴k1⋅k2=−1x1⋅1x2=−1，即x1x2=(1)直线l1:y=−1x1(x−x1)−lnx1，l2:y=1x2(x−x2)+lnx2．取x=0分别得到A(0, 1−lnx1)，B(0, −1+lnx2)，|AB|=|1−lnx1−(−1+lnx2)|=|2−(lnx1+lnx2)|=|2−lnx1x2|=(2)联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=2x1x2x1+x2，∴S△PAB=12|AB|⋅|x P|=12×2×2x1x2x1+x2=2x1+1x1，∵函数y=x+1x在(0, 1)上为减函数，且0<x1<1，∴x1+1x1>1+1=2，则0<1x1+1x1<12，∴0<2x1+1x1<(1)∴△PAB的面积的取值范围是(0, 1)．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.已知向量a→,b→满足|a→|=1，|b→|=√2，且a→⊥(a→−b→)，则向量a→与向量b→的夹角为________．【答案】π4【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知中a →⊥(a →−b →)，可得a →∗(a →−b →)=0，即a →∗b →=a →2=1，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】∵ |a →|=1,|b →|=√2，∴ a →2=1，b →2=2又∵ a →⊥(a →−b →) ∴ a →∗(a →−b →)=0 即a →∗b →=a →2=1设向量a →与b →的夹角为θ 则cosθ=a →∗b→|a →|∗|b →|=√22∵ θ∈[0, π] ∴ θ=π4(x −2y +y 2)6的展开式中，x 2y 5的系数为________． 【答案】 −480 【考点】二项式定理的应用 【解析】通项公式T r+1=∁6r x 6−r (y 2−2y)r ，令6−r =2，解得r =(4)T 5=∁64x 2(y 2−2y)4．又(y 2−2y)4，展开即可得出．x 2y 5的系数为∁64×(−∁43⋅23)=−4(80)【解答】通项公式T r+1=∁6r x6−r(y 2−2y)r ， 令6−r =2，解得r =(4)∴ T 5=∁64x 2(y 2−2y)4．又(y 2−2y)4=(y 2)4−∁41(y 2)3⋅2y +∁42(y 2)2∗(2y)2−∁43y 2∗(2y)3+∁44(2y)4，∴ x 2y 5的系数为∁64×(−∁43⋅23)=−4(80)在平面直角坐标系中，若不等式组{x +y −1≥0x −1≤0ax −y +1≥0 （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a 的值为________． 【答案】 1【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．【解答】当a<0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为1，则AB=2，即点B的坐标为(1, 2)，代入y=ax+1得a=(1)故答案为：1；△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin(A−C)=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=20B=2，则四边形OACB面积的取值范围是________．【答案】(√34,5√34+2]【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】根据sinB+sin(A−C)=sin2A，可得sin(A+C)+sin(A−C)=sin2A，可得A的大小．由b=c，可知B和C的大小；四边形OACB面积=12AO⋅OB⋅sin∠AOB+12bcsinA，利用余弦定理转化为三角函数的有界限求解范围．【解答】根据sinB+sin(A−C)=sin2A，可得sin(A+C)+sin(A−C)=sin2A，可得2sinAcosC=2sinAcosA，即cosC=cosA，那么b=c=a，三角形△ABC时等边三角．由OA=20B=2，四边形OACB面积S=12AO⋅OB⋅sin∠AOB+12bcsinA，则四边形OACB面积S=√34c2+sin∠AOB=√34(5−4cos∠AOB)+sin∠AOB=sin∠AOB−√3cos∠AOB+5√34=2sin(∠AOB−π3)+5√34∵0<∠AOB<π∴−π3<∠AOB−π3<2π3那么：−√3<2sin(∠AOB−π3)≤2∴OACB面积的取值范围是(√34,5√34+2]三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=(1+1n)a n+(n+1)∗2n．(Ⅰ)设b n=a nn，求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n}的前n项和S n．【答案】(I)由已知有a n+1n+1=a nn+2n∴b n+1=b n+2n，又b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列{b n}的通项公式：∴b n=2n−1(n∈N∗)；(II)由(I)知a n=n∗2n−n，∴S n=(1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n)−(1+2+3+⋯+n)而1+2+3+⋯+n=12n(n+1)，令T n=1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n①①×2得2T n=1∗22+2∗23+3∗24+⋯+n∗2n+1②①-②得−T n=2+22+23+⋯+2n−n∗2n+1=2(1−2n)1−2−n∗2n+1 =−2+(1−n)⋅2n+1T n=2+(n−1)∗2n+1∴S n=2+(n−1)∗2n+1−n(n+1)2．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(I)由已知有a n+1n+1=a nn+2n，从而b n+1=b n+2n，由此利用累差叠加即可求出数列{b n}的通项公式．(II)由a n=n∗2n−n，得S n=(1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n)−(1+2+3+⋯+n)，由此利用分组求和法和错位相减法能求出数列{a n}的前n项和S n．【解答】(I)由已知有a n+1n+1=a nn+2n∴b n+1=b n+2n，又b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列{b n}的通项公式：∴b n=2n−1(n∈N∗)；(II)由(I)知a n=n∗2n−n，∴S n=(1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n)−(1+2+3+⋯+n)而1+2+3+⋯+n=12n(n+1)，令T n =1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n ∗2n ①①×2得2T n =1∗22+2∗23+3∗24+⋯+n ∗2n+1② ①-②得−T n =2+22+23+⋯+2n −n ∗2n+1=2(1−2n )1−2−n ∗2n+1=−2+(1−n)⋅2n+1T n =2+(n −1)∗2n+1 ∴ S n =2+(n −1)∗2n+1−n(n+1)2．如图所示，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60∘，∠PDC =90∘，E 为棱AP 的中点，且AD ⊥CE ．(Ⅰ)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)当直线PB 与底面ABCD 成30∘角时，求二面角B −CE −P 的余弦值．【答案】（1）证明：取AD 的中点O ，连OE ，OC ，CA ，∵ ∠ABC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，得AD ⊥OC ， 又AD ⊥CE ，∴ AD ⊥平面COE ，得AD ⊥OE ， 又OE // PD ，∴ AD ⊥PD ，又∠PDC =90∘，∴ PD ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）由(Ⅰ) 知OE ⊥平面ABCD ，AD ⊥OC ，以OC ，OD ，OE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设菱形ABCD 的边长为2，则OC =√3，BD =2√3， ∵ 直线PB 与底面ABCD 成30∘角，即∠PBD =30∘， ∴ PD =BD ⋅tan∠PBD =2√3⋅√33=2，∴ B(√3,−2,0),C(√3,0,0),E(0,0,1),P(0.1,2)， ∴ CE →=(−√3,0,1),CB →=(0,−2,0),EP →=(0,1,1)， 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的一个法向量，则{n 1→⋅CE →=0n 1→⋅CB →=0⇒{−√3x 1+z 1=0−2y 1=0 ，令x 1=1，则z 1=√3，∴ n 1→=(1,0,√3)； 设n 2→=(x 2,y 2,z 2)为平面PCE 的一个法向量，则{n 2→⋅CE →=0n 2→⋅EP →=0 ⇒{−√3x 2+z 2=0y 2+z 2=0 ，令x 2=1，则y 2=−√3,z 2=√3， ∴ n 2→=(1,−√3,√3)．由题可知二面角B −CE −P 的平面角为钝角， 二面角B −CE −P 的余弦值为−2√77．【考点】二面角的平面角及求法 平面与平面垂直的判定 【解析】(Ⅰ)取AD 的中点O ，连OE ，OC ，CA ，由∠ABC =60∘，可得△ACD 为等边三角形，得AD ⊥OC ，结合AD ⊥CE ，得AD ⊥OE ，进一步得到AD ⊥PD ，再由∠PDC =90∘，得PD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的判定可得平面PAD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)由(Ⅰ) 知OE ⊥平面ABCD ，AD ⊥OC ，以OC ，OD ，OE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为2，则OC =√3，BD =2√3，再由直线PB 与底面ABCD 成30∘角，求得PD =2，然后求出所用点的坐标，求出平面BCE 与平面PCE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −CE −P 的余弦值． 【解答】（1）证明：取AD 的中点O ，连OE ，OC ，CA ，∵ ∠ABC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，得AD ⊥OC ， 又AD ⊥CE ，∴ AD ⊥平面COE ，得AD ⊥OE ， 又OE // PD ，∴ AD ⊥PD ，又∠PDC =90∘，∴ PD ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）由(Ⅰ) 知OE ⊥平面ABCD ，AD ⊥OC ，以OC ，OD ，OE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设菱形ABCD 的边长为2，则OC =√3，BD =2√3， ∵ 直线PB 与底面ABCD 成30∘角，即∠PBD =30∘， ∴ PD =BD ⋅tan∠PBD =2√3⋅√33=2，∴ B(√3,−2,0),C(√3,0,0),E(0,0,1),P(0.1,2)， ∴ CE →=(−√3,0,1),CB →=(0,−2,0),EP →=(0,1,1)， 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的一个法向量，则{n 1→⋅CE →=0n 1→⋅CB →=0⇒{−√3x 1+z 1=0−2y 1=0 ，令x 1=1，则z 1=√3，∴ n 1→=(1,0,√3)； 设n 2→=(x 2,y 2,z 2)为平面PCE 的一个法向量，→→∴ n 2→=(1,−√3,√3)． ∴ cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=2⋅√7=2√77， 由题可知二面角B −CE −P 的平面角为钝角， 二面角B −CE −P 的余弦值为−2√77．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：(Ⅱ)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(Ⅲ)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值． 【答案】（I ）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度， 第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度， 则该户本年度应交电费为：4600×0.5653+(4200−2160)×0.05+(4600−4200)×0.3=2822.38元． (II)设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，1，2，3，（4） p(X =0)=C 40C64C 104=114， p(X =1)=C 41C63C 104=821， p(X =2)=C 42C62C 104=37，p(X =4)=C 44C60C 104=1210，故X 的分布列是：所以E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85． (III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X ∼B(10, 25)，可知p(X =k)=C 10k(25)k (35)10−k (k =0, 1.2.(3)…10)， ∵ 抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，∴ {C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k+1(25)k+1(35)9−k C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k−1(25)k−1(35)11−k，解得175≤k ≤225，∵ k ∈N ∗ 所以当k =4时，概率最大，所以k =(4) 【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】（I ）由第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，由此能求出该户本年度应交电费．( II)设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，1，2，3，（4）分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． (III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X ∼B(10, 25)，可知p(X =k)=C 10k (25)k (35)10−k (k =0, 1.2.(3)…10)，由此能求出结果．【解答】（I ）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度， 第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度， 则该户本年度应交电费为：4600×0.5653+(4200−2160)×0.05+(4600−4200)×0.3=2822.38元． (II)设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，1，2，3，（4） p(X =0)=C 40C64C 104=114， p(X =1)=C 41C63C 104=821， p(X =2)=C 42C62C 104=37， p(X =3)=C 43C61C 104=435， p(X =4)=C 44C60C 4=1210，所以E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85． (III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X ∼B(10, 25)，可知p(X =k)=C 10k(25)k (35)10−k (k =0, 1.2.(3)…10)， ∵ 抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，∴ {C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k+1(25)k+1(35)9−k C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k−1(25)k−1(35)11−k，解得175≤k ≤225，∵ k ∈N ∗ 所以当k =4时，概率最大，所以k =(4)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =√32，O 为坐标原点，圆O:x 2+y 2=45与直线AB 相切．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB//DC ．记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1⋅k 2是否为定值？证明你的结论． 【答案】（1）解：由题知直线AB 的方程为xa +yb =1， 即bx +ay −ab =0， 由圆O 与直线AB 相切， 得√a 2+b 2=√45，即a 2b 2a 2+b2=45①． 又e =ca=√32， 所以b 2a 2=1−e 2=14②．由①②得a 2=4，b 2=1． 故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：k 1⋅k 2=14为定值，证明过程如下： 由（1）得直线AB 的方程为y =−12x +1， 故可设直线DC 的方程为y =−12x +m ，由{x 24+y 2=1,y =−12x +m消去y 整理得x 2−2mx +2m 2−2=0， 因为直线与椭圆交于两点， 所以Δ=8−4m 2>0． 设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2−2．又k 1=y1x 1−2，k 2=y 2−1x 2， 所以k 1⋅k 2=y 1x1−2⋅y 2−1x 2=(−12x 1+m)x 1−2⋅(−12x 2+m)−1x 2 =14x 1x 2−m 2(x 1+x 2)+m 2+12x 1−mx 1x 2−2x 2=14⋅(2m 2−2)−m 2⋅(2m)+m 2+2m −x 22−m(2m 2−2)−2x 2 =m 22−12−x 222m 2−2−2x 2=14．故k 1⋅k 2是定值． 【考点】 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：由题知直线AB 的方程为xa +yb =1， 即bx +ay −ab =0， 由圆O 与直线AB 相切， 得√a 2+b 2=√45，即a 2b 2a 2+b2=45①． 又e =ca=√32， 所以b 2a 2=1−e 2=14②．由①②得a 2=4，b 2=1． 故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：k 1⋅k 2=14为定值，证明过程如下：故可设直线DC 的方程为y =−12x +m ， 显然m ≠±1．由{x 24+y 2=1,y =−12x +m消去y 整理得x 2−2mx +2m 2−2=0， 因为直线与椭圆交于两点， 所以Δ=8−4m 2>0． 设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2−2． 又k 1=y 1x1−2，k 2=y 2−1x 2， 所以k 1⋅k 2=y 1x 1−2⋅y 2−1x 2=(−12x 1+m)x 1−2⋅(−12x 2+m)−1x 2 =14x 1x 2−m 2(x 1+x 2)+m 2+12x 1−mx 1x 2−2x 2=14⋅(2m 2−2)−m 2⋅(2m)+m 2+2m −x 22−m (2m 2−2)−2x 2 =m 22−12−x 222m 2−2−2x 2=14． 故k 1⋅k 2是定值．已知函数f(x)＝lnx −12ax 2+x(a ∈R)，函数g(x)＝−2x +3． (Ⅰ)判断函数F(x)＝f(x)+12ag(x)的单调性；(Ⅱ)若−2≤a ≤−1时，对任意x 1，x 2∈[1, 2]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤t|g(x 1)−g(x 2)|恒成立，求实数t 的最小值． 【答案】(I)F(x)=f(x)+12ag(x)=lnx −12ax 2+(1−a)x +32a ，其定义域为为(0, +∞)，F ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x+1x=(−ax+1)(x+1)x．（1）当a ≤0时，F ′(x)≥0，函数y ＝F(x)在(0, +∞)上单调递增； （2）当a >0时，令F ′(x)>0，解得0<x <1a ；令F ′(x)<0，解得x >1a ． 故函数y ＝F(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减． (II)由题意知t ≥0.f ′(x)=1x−ax +1=−ax 2+x+1x，即f(x 2)+tg(x 2)≤f(x 1)+tg(x 1)对任意−2≤a ≤−1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立． 记ℎ(x)＝f(x)+tg(x)＝lnx −12ax 2+(1−2t)x +3t ，则ℎ(x)在[1, 2]上单调递减．得ℎ(x)=1x −ax +(1−2t)≤0对任意a ∈[−2, −1]，x ∈[1, 2]恒成立．令H(a)=−xa +1x +(1−2t)，a ∈[−2, −1]，则H(a)max =H(−2)=2x +1x +1−2t ≤0在x ∈(0, +∞)上恒成立．则2t −1≥(2x +1x )max ，而y ＝2x +1x 在[1, 2]上单调递增， 所以函数y ＝2x +1x 在[1, 2]上的最大值为92． 由2t −1≥92，解得t ≥114．故实数t 的最小值为114． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(I)F(x)=f(x)+12ag(x)=lnx −12ax 2+(1−a)x +32a ，其定义域为为(0, +∞)，F′(x)=(−ax+1)(x+1)x，由此利用导数性质能判断函数F(x)=f(x)+12ag(x)的单调性．( II)由题意知t ≥0.f ′(x)=1x−ax +1=−ax 2+x+1x，当−2≤a ≤−1时，函数y ＝f(x)单调递增，设1≤x 1≤x 2≤2，又函数y ＝g(x)单调递减，所以原问题等价于：当−2≤a ≤−1时，f(x 2)+tg(x 2)≤f(x 1)+tg(x 1)对任意−2≤a ≤−1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立．记ℎ(x)＝f(x)+tg(x)＝lnx −12ax 2+(1−2t)x +3t ，利用导数性质能求出实数t 的最小值． 【解答】(I)F(x)=f(x)+12ag(x)=lnx −12ax 2+(1−a)x +32a ，其定义域为为(0, +∞)，F ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x+1x=(−ax+1)(x+1)x．（1）当a ≤0时，F ′(x)≥0，函数y ＝F(x)在(0, +∞)上单调递增； （2）当a >0时，令F ′(x)>0，解得0<x <1a ；令F ′(x)<0，解得x >1a ． 故函数y ＝F(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减． (II)由题意知t ≥0.f ′(x)=1x−ax +1=−ax 2+x+1x，即f(x 2)+tg(x 2)≤f(x 1)+tg(x 1)对任意−2≤a ≤−1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立． 记ℎ(x)＝f(x)+tg(x)＝lnx −12ax 2+(1−2t)x +3t ，则ℎ(x)在[1, 2]上单调递减．得ℎ(x)=1x −ax +(1−2t)≤0对任意a ∈[−2, −1]，x ∈[1, 2]恒成立．令H(a)=−xa +1x +(1−2t)，a ∈[−2, −1]，则H(a)max =H(−2)=2x +1x +1−2t ≤0在x ∈(0, +∞)上恒成立．则2t −1≥(2x +1x )max ，而y ＝2x +1x 在[1, 2]上单调递增， 所以函数y ＝2x +1x 在[1, 2]上的最大值为92． 由2t −1≥92，解得t ≥114．故实数t 的最小值为114．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =1+√2ty =√2t（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点．(Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)把直线l 与x 轴的交点记为A ，求|AP|⋅|AQ|的值． 【答案】(Ⅰ)∵ 直线l 的参数方程是{x =1+√2ty =√2t（t 为参数），∴ 直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −1=0， ∵ 曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12， ∴ 曲线C 的直角坐标方程为3x 2+4y 2=(12)(II)解法一：在x −y −1=0中，令y =0，得x =1，则A(1, 0)， 联立{3x 2+4y 2=12x −y −1=0，消去y ，得7x 2−8x −8=(0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，其中x 1<x 2，则有x 1+x 2=87，x 1x 2=−87． |AP|=√1+12|x 1−1|=−√2(x 1−1)， |AQ|=√1+12|x 2−1|=√2(x 2−1)，故|AP|⋅|AQ|=−2(x 1−1)(x 2−1)=−2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=187．解法二：把{x =1+√2t =1+√22∗(2t)y =√2t =√22(2t)，则t 1t 2=−914，则|AP|⋅|AQ|=(−2t 1)⋅(2t 2)=−4t 1t 2=187．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程；由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．(II)法一：在x −y −1=0中，令y =0，得x =1，则A(1, 0)，联立{3x 2+4y 2=12x −y −1=0 ，得7x 2−8x −8=(0)由此利用韦达定理能求出|AP|⋅|AQ|． 法二：把{x =1+√2t =1+√22∗(2t)y =√2t =√22(2t) ，代入3x 2+4y 2=12，得14t 2+6√2t −9=0，由此能求出|AP|⋅|AQ|． 【解答】(Ⅰ)∵ 直线l 的参数方程是{x =1+√2ty =√2t（t 为参数），∴ 直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −1=0， ∵ 曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12， ∴ 曲线C 的直角坐标方程为3x 2+4y 2=(12)(II)解法一：在x −y −1=0中，令y =0，得x =1，则A(1, 0)， 联立{3x 2+4y 2=12x −y −1=0，消去y ，得7x 2−8x −8=(0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，其中x 1<x 2，则有x 1+x 2=87，x 1x 2=−87． |AP|=√1+12|x 1−1|=−√2(x 1−1)， |AQ|=√1+12|x 2−1|=√2(x 2−1)，故|AP|⋅|AQ|=−2(x 1−1)(x 2−1)=−2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=187．解法二：把{x =1+√2t =1+√22∗(2t)y =√2t =√22(2t)，代入3x 2+4y 2=12，得14t 2+6√2t −9=0， 则t 1t 2=−914，则|AP|⋅|AQ|=(−2t 1)⋅(2t 2)=−4t 1t 2=187．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x +4x −m|+m ．(Ⅰ)当m =0时，求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)若函数f(x)≤5在x ∈[1, 4]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)当m =0时，f(x)=|x +4x|=|x|+|4x|≥2√x ∗4x=4，当且仅当|x|=|4x |，即x =±2时等式成立，试卷第21页，总21页 (Ⅱ)当x ∈[1, 4]时，函数f(x)的最大值为5⇔|x +4x −m|+m ≤5在x ∈[1, 4]上恒成立，⇔|x +4x −m|≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔m −5≤x +4x−m ≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔2m −5≤x +4x ，且x +4x ≤5在x ∈[1, 4]上恒成立， 函数y =x +4x 在[1, 2]上单调递减，在[2, 4]上单调递增． ∵ x +4x ≥4，当且仅当x =2时等式成立，而x +4x ≤5在x ∈[1, 4]上是恒成立的． ∴ 2m −5≤4∴ m ≤92，即实数m 的取值范围是(−∞,92brack ．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值即可；(Ⅱ)问题转化为2m −5≤x +4x ，根据函数y =x +4x 的单调性求出m 的范围即可．【解答】(Ⅰ)当m =0时，f(x)=|x +4x |=|x|+|4x |≥2√x ∗4x =4， 当且仅当|x|=|4x |，即x =±2时等式成立， 所以，当x =±2时，f(x)min =(4)(Ⅱ)当x ∈[1, 4]时，函数f(x)的最大值为5⇔|x +4x −m|+m ≤5在x ∈[1, 4]上恒成立，⇔|x +4x −m|≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔m −5≤x +4x −m ≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔2m −5≤x +4x ，且x +4x≤5在x ∈[1, 4]上恒成立， 函数y =x +4x 在[1, 2]上单调递减，在[2, 4]上单调递增． ∵ x +4x ≥4，当且仅当x =2时等式成立，而x +4x ≤5在x ∈[1, 4]上是恒成立的． ∴ 2m −5≤4∴ m ≤92，即实数m 的取值范围是(−∞,92brack ．。
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(文科)
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.>1}，B={x|0<x<2}，则A∩B=()1. 已知集合A={x|1xA.(0, 1)∪(1, 2)B.(1, 2)C.(0, 1)D.(0, 2)【答案】C【考点】交集及其运算【解析】>1即可得出A，然后进行交集的运算即可．解分式不等式1x【解答】A={x|0<x<1}；∴A∩B=(0, 1)．2. 已知复数z=sinθ−icosθ，则“θ=2kπ(k∈Z)”是“z为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若θ=2kπ(k∈Z)，则z=sin2kπ−icos2kπ=−i，故z是纯虚数，是充分条件，反之，若z是纯虚数，则θ不一定是2kπ(k∈Z)，比如θ=kπ也可，不是必要条件.故选A.3. 圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A.√3 4πB.3√34πC.√2πD.√3π【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设圆内每一个小正三角形的边长为r，求出三个正三角形的面积及圆的面积，由测度比是面积比得答案．【解答】设圆内每一个小正三角形的边长为r，则一个三角形的面积为12×r×√32r=√34r2，∴阴影部分的面积为3√34r2．又圆的面积为πr2，∴点A落在区域M内的概率是3√34r2πr2=3√34π．4. 已知变量x，y满足{x−y≥−2x+y≥−2x≥0，则z=−2x+y的取值范围为（）A.[−2, 2]B.(−∞, −2)C.(−∞, 2]D.[2, +∞)【答案】C【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，最大，从而得出目标函数z=−2x+y的取值范围．【解答】画出变量x，y满足{x−y≥−2x+y≥−2x≥0表示的平面区域：将目标函数变形为z=−2x+y，作出目标函数对应的直线，直线过A(0, 2)时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为2；则目标函数z=−2x+y的取值范围是(−∞, 2]．5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A.323B.163C.8√33D.16√23【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为4的正方形，高PO=1，再由棱锥体积公式求解．【解答】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为4的正方形，高PO=1，∴该几何体的体积V=13×4×4×1=163．6. 函数y=x3e x(其中e为自然对数的底数)的大致图象是( ) A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可．方法二：根据导数和函数的单调性即可判断【解答】解：根据题意求导可得y′=x2(3−x)e x，由y′>0，可得x<3时函数单调递增，由y′<0，可得x>3时函数单调递减.故选B.7. 若圆C:x2+y2−4x−2y+1=0关于直线l:ax+by−2=0(a>0, b>0)对称，则1a +2b的最小值为（）A.1B.5C.4√2D.4【答案】D【考点】基本不等式【解析】可求出圆C的圆心为(2, 1)，根据圆C关于直线l对称即知圆心在l上，从而得出2a+b=2，从而得出1a +2b=a+b2a+2a+bb，从而根据均值不等式即可求出1a+2b的最小值．【解答】圆C：(x−2)2+(y−1)2=4的圆心为(2, 1)；圆C关于直线l:ax+by=2对称；∴圆心在l上；∴2a+b=2；∴a+b2=1；又a>0，b>0；∴1a +2b=a+b2a+2(a+b2)b=1+b2a+2ab+1≥2√b2a∗2ab+2=4；∴1a +2b的最小值为(4)8. 在等差数列{a n}中，a7a6<−1，若它的前n项和Sn有最大值，则当S n>0时，n的最大值为（）A.11B.12C.13D.14【答案】A【考点】等差数列的前n项和【解析】公差d<0，首项a1>0，{a n}为递减数列，由等差数列的性质知：2a6=a1+a11>0，a6+a7=a1+a12<0，由此能求出结果．【解答】∵数列{a n}是等差数列，它的前n项和S n有最大值，∴公差d<0，首项a1>0，{a n}为递减数列，∵a7a6<−1<0，∴a6⋅a7<0，a6+a7<0，由等差数列的性质知：2a6=a1+a11>0，a6+a7=a1+a12<0，∵S n=n2(a1+a n)，∴S n>0时，n的最大值为（11）9. 在如图所示的程序框图中，若输入的s＝2，输出的s>2018，则判断框内可以填入的条件是（）A.i>9B.i≤10C.i≥10D.i≥11【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得s＝2，i＝1不满足条件，执行循环体，s＝4，i＝2不满足条件，执行循环体，s＝8，i＝3不满足条件，执行循环体，s＝16，i＝4不满足条件，执行循环体，s＝32，i＝5不满足条件，执行循环体，s＝64，i＝6不满足条件，执行循环体，s＝128，i＝7不满足条件，执行循环体，s＝256，i＝8不满足条件，执行循环体，s＝512，i＝9不满足条件，执行循环体，s＝1024，i＝10不满足条件，执行循环体，s＝2048，i＝11由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为2048．则判断框内可以填入的条件是i≥11？．10. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f(x+π12)是偶函数，下列判断正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的图象关于点(7π12, 0)对称C.函数f(x)的图象关于直线x=−7π12对称D.函数f(x)在[3π4, π]上单调递增【答案】D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】由题意可求f(x)的周期T，利用周期公式可求ω，函数f(x+π12)是偶函数，可得π6+φ=kπ+π2，k∈Z，又|φ|<π2，解得φ，可得解析式f(x)=sin(2x+π3)，利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．【解答】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，∴函数f(x)的周期T=π，故A错误；∵ω>0∴ω=2，∴函数f(x+π12)的解析式为：f(x)=sin[2(x+π12)+φ]=sin(2x+π6+φ)，∵函数f(x+π12)是偶函数，∴π6+φ=kπ+π2，k∈Z，又|φ|<π2，解得：φ=π3．∴f(x)=sin(2x+π3)．∴由2x+π3=kπ，k∈Z，解得对称中心为：(kπ2−π6, 0)，k∈Z，故B错误；由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，解得对称轴是：x=kπ2+π12，k∈Z，故C错误；由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ−5π12, kπ+π12]，k∈Z，故选D．11. 如图，已知F1，F2是双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F2作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，若切线段PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（）A.2B.√2C.√3D.√52【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的性质和圆的有关系性质和解三角形可得ba=√3，即可求出离心率．【解答】∵F1，F2是双曲线的左，右焦点，过F2点作以F1为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P为切点，∴F2(c, 0)，|F1F2|=2c，|PF1|=c，∴PF1⊥PF2，∴∠PF1F2=60∘，过点P做PA⊥x轴，垂足为A，∴PA=c⋅sin60∘=√32c，AC=c−c⋅cos60∘=12c，∴P(−12c, √32c)，∵切线段PF2被一条渐近线平分，其渐近线方程为y=bax，∴PF2的中点坐标为(14c, √34c)∴√34c=ba⋅14c，∴ba=√3，∴b2a2=3，∴e=√1+b2a2=√1+3=2，12. 偶函数f(x)定义域为(−π2,π2)，其导函数是f′(x)．当0<x<π2时，有f′(x)cosx+f(x)sinx<0，则关于x的不等式f(x)<√2f(π4)cosx的解集为（）A.(π4,π2 )B.(−π2,−π4)∪(π4,π2)C.(−π4,0)∪(0,π4)D.(−π4,0)∪(π4,π2)【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，设g(x)=f(x)cosx ，结合题意求导分析可得函数g(x)在(0, π2)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数g(x)为偶函数，进而将不等式f(x)<√2f(π4)cosx转化为g(x)<g(π4)，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得|x|>π4，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，设g(x)=f(x)cosx ，其导数为g′(x)=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x，又由0<x<π2时，有f′(x)cosx+f(x)sinx<0，则有g′(x)<0，则函数g(x)在(0, π2)上为减函数，又由f(x)为定义域为(−π2,π2)的偶函数，则g(−x)=f(−x)cos(−x)=f(x)cosx=g(x)，则函数g(x)为偶函数，f(x)<√2f(π4)cosx⇒f(x)cosx<√2f(π4)⇒f(x)cosx<f(π4)cosπ4⇒g(x)<g(π4)，又由g(x)为偶函数且在(0, π2)上为减函数，且其定义域为(−π2,π2)，则有|x|>π4，解可得：−π2<x<−π4或π4<x<π2，即不等式的解集为(−π2,−π4)∪(π4,π2)；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡的横线上.已知向量a→=(−1,2)，b→=(2,3)，若(ka→+b→) // (a→−3b→)，则实数k的值为________．【答案】−1 3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由已知求出ka→+b→与a→−3b→的坐标，再由平面向量共线的坐标运算列式求解．【解答】∵a→=(−1,2)，b→=(2,3)，∴ka→+b→=(−k+2, 2k+3)，a→−3b→=(−7, −7)，由(ka→+b→) // (a→−3b→)，得(−k+2)×(−7)−(2k+3)×(−7)=(0)解得：k=−13．若sin(π6−α)=14，则cos(2α−π3)的值为________．【答案】78【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由已知可求sin(α−π6)的值，根据条件利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】∵sin(π6−α)=14，∴sin(α−π6)=−14，∴cos(2α−π3)=1−2sin2(α−π6)=1−2×(−14)2=78，已知正三棱锥P−ABC的体积为112，其外接球球心为O，且满足OA→+OB→+OC→=0→，则正三棱锥P−ABC的外接球半径为________．【答案】√33【考点】球的体积和表面积【解析】由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径即可．【解答】正三棱锥D−ABC的外接球的球心O满足OA→+OB→+OC→=0，可得三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，0→设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：3R2，底面三角形ABC的边长为：√3R，正三棱锥的体积为：13×√3R×32R×12×R=112，解得此三棱锥外接球的半径是R=√33．若对于正整数m，g(m)表示m的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设S n= g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+...+g(2n−1)，则S n=________．【答案】13(4n−1)【考点】数列的求和【解析】由题意可得：g(1)=1，g(2k−1)=2k−1，g(2n)=g(n)．n≥2时，S n=g(1)+ g(2)+g(3)+g(4)+...+g(2n−1)=[g(1)+g(3)+......+g(2n−1)]+[g(2)+g(4)+......+g(2n−2)]=[g(1)+g(3)+......+g(2n−1)]+[g(1)+g(2)+......+g(2n−1−1)]=4n−1+S n−1．可得S n−S n−1=4n−1．利用累加求和方法【解答】由题意可得：g(1)=1，g(2k −1)=2k −1，g(2n)=g(n)．n ≥2时，S n =g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+...+g(2n −1)=[g(1)+g(3)+......+g(2n −1)]+[g(2)+g(4)+......+g(2n −2)]=[g(1)+g(3)+......+g(2n −1)]+[g(1)+g(2)+......+g(2n−1−1)] =[1+3+......+2n −1]+S n−1 =2n−1(1+2n −1)+S n−1=4n−1+S n−1．∴ S n −S n−1=4n−1．可得：S n =4n−1+4n−2+……+4+1 =4n −14−1 =13(4n −1)． 故答案为：13(4n −1)．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =45，tan(A −B)=13，b =10．(Ⅰ)求sinB 的值；(Ⅱ)求△ABC 的面积． 【答案】(Ⅰ)在△ABC 中，由cosA =45， 得sinA =35，tanA =34 由tan(A −B)=13，得tan(A −B)=tanA−tanB1+tanAtanB =13， tanB =13，∴ sinB =√1010(Ⅱ)由正弦定理得a =bsinA sinB=10×35√1010=6√10，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050∴ S △ABC =12absinC =12×6√10×10×13√1050=78【考点】三角形求面积(Ⅰ)直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．(Ⅱ)利用已知条件和正弦定理及三角形的面积公式求出结果．【解答】(Ⅰ)在△ABC中，由cosA=45，得sinA=35，tanA=34由tan(A−B)=13，得tan(A−B)=tanA−tanB1+tanAtanB =13，tanB=13，∴sinB=√1010(Ⅱ)由正弦定理得a=bsinAsinB =10×35√1010=6√10，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=13√1050∴S△ABC =12absinC=12×6√10×10×13√1050=782016年10月9日，教育部考试中心下发了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．宿州市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全市范围内开设书法课，经典诵读等课程．为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了200位市民进行了解，发现支持开展的占75%，在抽取的男性市民120人中持支持态度的为80人．(Ⅱ)为了进一步征求对开展传统文化的意见和建议，从抽取的200位市民中对不支持的按照分层抽样的方法抽取5位市民，并从抽取的5人中再随机选取2人进行座谈，求选取的2人恰好为1男1女的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】80,40,120,70,10,80,150,50,200【考点】独立性检验【解析】(Ⅰ)根据分层抽样原理计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】（1）抽取的男性市民为120人，持支持态度的为200×75%=150人，男性公民中持支持态度的为80人，列出2×2列联表如下：所以κ2=200×(80×10−40×70)2150×50×120×80=1009≈11.11>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为性别与支持与否有关；（2）抽取的5人中抽到的男性的人数为：5×4050=4，女性的人数为：5×1050=1；记被抽取4名男性市民为A，B，C，D，1名女性市民为e，从5人中抽取的2人的所有抽法有：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，共有10种，恰有1名女性的抽法有：Ae，Be，Ce，De，共有4种，由于每人被抽到是等可能的，所以由古典概型得p=mn =410=25．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，点M在线段PC上，且PM=2MC，O为AD的中点．(Ⅰ)若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，且AB=2，求三棱锥P−OBM的体积．【答案】(Ⅰ)证明：∵PA=PD，AO=OD，∴PO⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，∴BO⊥AD，而PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，又AD⊂平面PAD，∴平面POB⊥平面PAD；(Ⅱ)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵OB⊂平面ABCD，∴PO⊥OB∵△PAD为等边三角形，AD=AB=2，∴PO=√3，∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AB=2，∴BO=√3，∴S△POB=12×BO×PO=12×√3×√3=32，由(Ⅰ) AD⊥平面POB，∴BC⊥平面POB．∴V P−OBM=V M−POB=23V C−POB=23×13S△POB×BC=23×13×32×2=23．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)由PA=PD，AO=OD，可得PO⊥AD，再由底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，可得BO⊥AD，由线面垂直的判定可得AD⊥平面POB，进一步得到平面POB⊥平面PAD；(Ⅱ)由已知可证得PO⊥平面ABCD，则PO⊥OB，在求解三角形得到PO=√3，BO=√3，即可求得三角形POB的面积，由(Ⅰ)知AD⊥平面POB，则BC⊥平面POB，再由V P−OBM=V M−POB=23V C−POB求解．【解答】(Ⅰ)证明：∵PA=PD，AO=OD，∴PO⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，∴BO⊥AD，而PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，又AD⊂平面PAD，∴平面POB⊥平面PAD；(Ⅱ)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵OB⊂平面ABCD，∴PO⊥OB∵△PAD为等边三角形，AD=AB=2，∴PO=√3，∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AB=2，∴BO=√3，∴S△POB=12×BO×PO=12×√3×√3=32，由(Ⅰ) AD⊥平面POB，∴BC⊥平面POB．∴V P−OBM=V M−POB=23V C−POB=23×13S△POB×BC=23×13×32×2=23．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点，△BF 1F 2为等边三角形，且其面积为√3，A 为椭圆的右顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l:y =kx +m 与椭圆C 相交于M ，N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且满足MA ⊥NA ，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由． 【答案】解：(1)由已知{b =√3c,S △BF 1F 2=12⋅2c ⋅√3c =√3. 解得b =√3,c =1， ∴ a 2=b 2+c 2=4， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)直线l 过定点，定点坐标为(27,0). 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 联立{y =kx +m,x 24+y 23=1. 得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，∴ Δ=64m 2k 2−16(3+4k 2)(m 2−3)>0， 即3+4k 2−m 2>0， 且{x 1+x 2=−8mk3+4k 2,x 1⋅x 2=4(m 2−3)3+4k2.又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m) =k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =3(m 2−4k 2)3+4k 2，∵ 椭圆的右顶点为A(2, 0)， ∴ k MA k NA =−1，即y 1x1−2⋅y 2x2−2=−1，∴ y 1y 2+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0， ∴3(m 2−4k 2)3+4k 2+4(m 2−3)3+4k 2+16mk3+4k 2+4=0，∴ 7m 2+16mk +4k 2=0， 解得：m 1=−2k ，m 2=−2k7，且均满足3+4k 2−m 2>0， 当m 1=−2k 时，l 的方程为y =k(x −2)，直线过定点(2, 0)，与已知矛盾； 当m 2=−2k7时，l 的方程为y =k(x −27)，直线过定点(27,0)． ∴ 直线l 过定点，定点坐标为(27,0).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的标准方程 【解析】(Ⅰ)根据三角形的面积公式，以及等边三角形的性质即可求出b ，c ，再根据a 2=b 2+c 2，即可得到．(II)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程组根据根与系数的关系，利用MA ⊥NA ，得到k MA k NA =−1，即可得出． 【解答】解：(1)由已知{b =√3c,S △BF 1F 2=12⋅2c ⋅√3c =√3. 解得b =√3,c =1， ∴ a 2=b 2+c 2=4， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)直线l 过定点，定点坐标为(27,0). 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 联立{y =kx +m,x 24+y 23=1.得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0， ∴ Δ=64m 2k 2−16(3+4k 2)(m 2−3)>0， 即3+4k 2−m 2>0， 且{x 1+x 2=−8mk3+4k 2,x 1⋅x 2=4(m 2−3)3+4k2.又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m) =k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 =3(m 2−4k 2)3+4k 2，∵ 椭圆的右顶点为A(2, 0)， ∴ k MA k NA =−1，即y 1x1−2⋅y 2x2−2=−1，∴ y 1y 2+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0， ∴3(m 2−4k 2)3+4k 2+4(m 2−3)3+4k 2+16mk3+4k 2+4=0，∴ 7m 2+16mk +4k 2=0，解得：m1=−2k，m2=−2k7，且均满足3+4k2−m2>0，当m1=−2k时，l的方程为y=k(x−2)，直线过定点(2, 0)，与已知矛盾；当m2=−2k7时，l的方程为y=k(x−27)，直线过定点(27,0)．∴直线l过定点，定点坐标为(27,0)已知函数f(x)=ax2+x+lnx(a∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当a=0时，设斜率为k的直线与曲线y=f(x)交于A(x1, y1)、B(x2, y2)(x1<x2)两点，求证：k>f′(x1+x22)．【答案】（1）f′(x)=2ax+1+1x =2ax2+x+1x(x>0)当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上是增函数；当a<0时，由f′(x)=0，得x=−1−√1−8a4a（取正根），在区间(0,−1−√1−8a4a )内，f′(x)>0f(x)是增函数；在区间(−1−√1−8a4a,+∞)内，f′(x)<0，f(x)是减函数．综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0, +∞)，没有减区间；当a<0时，f(x)的减区间是(−1−√1−8a4a ,+∞)，增区间是(0,−1−√1−8a4a)．（2）当a=0时，f(x)=x+lnx(x>0),f′(x)=1+1x，k>f′(x1+x22)⇔f(x2)−f(x1)x2−x1>1+1x1+x22⇔x2+lnx2−lnx1−x1x2−x1>1+2x1+x2⇔1+lnx2−lnx1x2−x1>1+2x1+x2⇔lnx2−lnx1x2−x1>2x1+x2⇔lnx2−lnx1>2(x2−x1)x1+x2⇔ln x2x1>2(x2x1−1)x2x1+1，设x2x1=t，∵0<x1<x2，∴t>1，∴k>f′(x1+x22)⇔lnt>2(t−1)t+1⇔(t+1)lnt>2t−2⇔(t+1)lnt−2t+2>0，设g(t)=(t+1)lnt−2t+2(t>1)，g′(t)=lnt+(t+1)×1t −2=lnt+1t−1，设ℎ(t)=g′(t)，则ℎ(t)=1t −1t2=t−1t2，∴当t>1时，ℎ′(t)>0恒成立，即当t>1时，ℎ(t)为增函数，ℎ(t)>ℎ(1)=0∴当t>1时，g′(t)>0恒成立，即当t>1时，g(t)为增函数，∴当t>1时，g(t)>g(1)=0，∴k>f′(x1+x22)【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)f′(x)=2ax+1+1x =2ax2+x+1x(x>0)分a≥0时，当a<0时，讨论即可．(Ⅱ)当a=0时，f(x)=x+lnx(x>0),f′(x)=1+1x ，k>f′(x1+x22)⇔f(x2)−f(x1)x2−x1>1+1x1+x22⇔x2+lnx2−lnx1−x1x2−x1>1+2x1+x2⇔1+lnx2−lnx1x2−x1>1+2x1+x2⇔lnx2−lnx1x2−x1>2x1+x2⇔lnx2−lnx1>2(x2−x1)x1+x2⇔ln x2x1>2(x2x1−1)x2x1+1，设x2x1=t，t>1，设g(t)=(t+1)lnt−2t+2(t>1)，g′(t)=lnt+(t+1)×1t −2=lnt+1t−1，利用导数求解．【解答】（1）f′(x)=2ax+1+1x =2ax2+x+1x(x>0)当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上是增函数；当a<0时，由f′(x)=0，得x=−1−√1−8a4a（取正根），在区间(0,−1−√1−8a4a )内，f′(x)>0f(x)是增函数；在区间(−1−√1−8a4a,+∞)内，f′(x)<0，f(x)是减函数．综上，当a≥0时，f(x)的增区间为(0, +∞)，没有减区间；当a<0时，f(x)的减区间是(−1−√1−8a4a ,+∞)，增区间是(0,−1−√1−8a4a)．（2）当a=0时，f(x)=x+lnx(x>0),f′(x)=1+1x，k>f′(x1+x22)⇔f(x2)−f(x1)x2−x1>1+1x1+x22⇔x2+lnx2−lnx1−x1x2−x1>1+2x1+x2⇔1+lnx2−lnx1x2−x1>1+2x1+x2⇔lnx2−lnx1x2−x1>2x1+x2⇔lnx2−lnx1>2(x2−x1)x1+x2⇔ln x2x1>2(x2x1−1)x2x1+1，设x2x1=t，∵0<x1<x2，∴t>1，∴k>f′(x1+x22)⇔lnt>2(t−1)t+1⇔(t+1)lnt>2t−2⇔(t+1)lnt−2t+2>0，设g(t)=(t+1)lnt−2t+2(t>1)，g′(t)=lnt+(t+1)×1t −2=lnt+1t−1，设ℎ(t)=g′(t)，则ℎ(t)=1t −1t2=t−1t2，∴当t>1时，ℎ′(t)>0恒成立，即当t>1时，ℎ(t)为增函数，ℎ(t)>ℎ(1)=0∴当t>1时，g′(t)>0恒成立，即当t>1时，g(t)为增函数，∴当t>1时，g(t)>g(1)=0，∴k>f′(x1+x22)选择题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =1+2ty =2−2t （t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2cosθsin 2θ．(Ⅰ)将曲线C 1的方程化为普通方程；将曲线C 2的方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)若点P(1, 2)，曲线C 1与曲线C 2的交点为A 、B ，求|PA|+|PB|的值． 【答案】(Ⅰ)∵ 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+2ty =2−2t （t 为参数），∴ 曲线C 1的直角坐标方程为：x +y =3，即：x +y −3=0； ∵ 曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2cosθsin 2θ．∴ C 2:ρ2sin 2θ=2ρcosθ，∴ 曲线C 2的方程化为直角坐标方程为：y 2=2x ． (Ⅱ)方法一：C 1的参数方程为{x =1−√22ty =2+√22t，代入C 2:y 2=2x ，得t 2+6√2t +4=0， ∴ t 1+t 2=−6√2，∴ |PA|+|PB|=|t 1+t 2|=6√2． 方法二：把C 1:{x =1+2ty =2−2t代入C 2:y 2=2x ，得2t 2−6t +1=0， 所以t 1+t 2=3所以|PA|+|PB|=√22+(−2)2|t 1+t 2|=6√2． 方法三：把C 1:x +y =3代入C 2:y 2=2x ，得x 2−8x +9=0 所以x 1+x 2=8，x 1x 2=9所以|PA|+|PB|=√1+12|x 1−1|+√1+12|x 2−1|=√2×(|x 1−1|+|x 2−1|) =√2×(|x 1−1+x 2−1|)=√2×(|8−2|)=6√2． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的直角坐标方程；曲线C 2的极坐标方程转化为C 2:ρ2sin 2θ=2ρcosθ，由此能求出曲线C 2的方程化为直角坐标方程． (Ⅱ)法一：C 1的参数方程代入C 2:y 2=2x ，得t 2+6√2t +4=0，由此能求出|PA|+|PB|的值．法二：把C 1:{x =1+2ty =2−2t 代入C 2:y 2=2x ，得2t 2−6t +1=0，由此能求出|PA|+|PB|的值．法三：把C 1:x +y =3代入C 2:y 2=2x ，得x 2−8x +9=0，由此能求出|PA|+|PB|的值． 【解答】(Ⅰ)∵ 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+2ty =2−2t（t 为参数），∴ 曲线C 1的直角坐标方程为：x +y =3，即：x +y −3=0； ∵ 曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2cosθsin θ．∴ C 2:ρ2sin 2θ=2ρcosθ，∴ 曲线C 2的方程化为直角坐标方程为：y 2=2x ． (Ⅱ)方法一：C 1的参数方程为{x =1−√22ty =2+√22t ，代入C 2:y 2=2x ，得t 2+6√2t +4=0， ∴ t 1+t 2=−6√2，∴ |PA|+|PB|=|t 1+t 2|=6√2． 方法二：把C 1:{x =1+2ty =2−2t代入C 2:y 2=2x ，得2t 2−6t +1=0， 所以t 1+t 2=3所以|PA|+|PB|=√22+(−2)2|t 1+t 2|=6√2． 方法三：把C 1:x +y =3代入C 2:y 2=2x ，得x 2−8x +9=0 所以x 1+x 2=8，x 1x 2=9所以|PA|+|PB|=√1+12|x 1−1|+√1+12|x 2−1|=√2×(|x 1−1|+|x 2−1|) =√2×(|x 1−1+x 2−1|)=√2×(|8−2|)=6√2． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +a|−|x −a 2−a|(a ∈R)． (Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)≤1的解集；(Ⅱ)若对任意a ∈[−1,13]，不等式f(x)≤b 的解集为R ，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）当a =1时，|x +1|−|x −2|≤1∴ {x <−1−x −1+x −2≤1 ，或{−1≤x ≤2x +1+x −2≤1 ，或{x >2x +1−x +2≤1 ，解得：x <−1或−1≤x ≤(1)∴ 不等式f(x)≤1解集为{x|x ≤1}．（2）不等式f(x)≤b 的解集为R ，∴ f(x)max ≤b ，∵ f(x)=|x +a|−|x −a 2−a|≤|(x +a)−(x −a 2−a)|=|a 2+2a|， ∴ f(x)max =|a 2+2a|≤b 对任意a ∈[−1,13]恒成立．∵ |a 2+2a|=|(a +1)2−1|，∴ 当a =−1时，|a 2+2a|取得最大值1， ∴ b ≥(1) 【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（I ）讨论x 的符号，分情况去绝对值符号得出解集；(II)利用绝对值三角不等式得出f(x)的最大值关于a 的函数，求出此函数的最大值即可得出b 的范围． 【解答】（1）当a=1时，|x+1|−|x−2|≤1∴{x<−1−x−1+x−2≤1，或{−1≤x≤2x+1+x−2≤1，或{x>2x+1−x+2≤1，解得：x<−1或−1≤x≤(1)∴不等式f(x)≤1解集为{x|x≤1}．（2）不等式f(x)≤b的解集为R，∴f(x)max≤b，∵f(x)=|x+a|−|x−a2−a|≤|(x+a)−(x−a2−a)|=|a2+2a|，∴f(x)max=|a2+2a|≤b对任意a∈[−1,13]恒成立．∵|a2+2a|=|(a+1)2−1|，∴当a=−1时，|a2+2a|取得最大值1，∴b≥(1)试卷第21页，总21页。
安徽省宿州市褚兰中学2018届高三数学第一次摸底考试卷理201808020146
褚兰中学2018届高三第一次摸底考试理科数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)22．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为()i－1A．－1 B．0 C．i D．13．sin 210°cos120°的值为()1 3 3A. B．－C．－ D.4 4 2 3 44．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－2n，则a2＋a18＝()A．36 B．35 C．34 D．335．已知f(x)＝Error!且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2 B．2 C．3 D．－36. 在x4,6,y2,4内随机取出两个数，则这两个数满足x y30的概率为（）1111A．B．C．D．4810167. 若圆x2y212x160与直线y kx交于不同的两点，则实数k的取值范围为（）A．(3,3)B．(5,5)C．(5,5)D．(3,3)2222π8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC3的面积是()9 3 3 3A．3 B. C. D．32 239．《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图- 1 -如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．6＋4 210. 运行如下程序框图，如果输入的t 0, 5，则输出S 属于（ ）开始输入 tt ≥2?是S t 24t输出 S否结束S 5tA ．4,10B ．5, 2C ．4, 3D ．2, 511．设向量 a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝ 3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3f xax x 2 ln x5 ln 2 a12.已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数 的取值范围为（ ）A ．,4B ．4,C ．,2D ．2,第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第 13题～第 21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第 22题～第 23题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题（本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分）n213．若二项式展开式中的第 5项是常数，则自然数 n 的值为________．xx- 2 -y 2≤0,x ＋y － 6x 3≥0,14．已知 x ，y 满足则的取值范围是________．x －4x y 1≤0.15．下列说法中正确的是________．①命题“若 x 2－3x ＋2＝0，则 x ＝1”的逆否命题为“若 x ≠1，则 x 2－3x ＋2≠0” ②“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件③若命题 p ：∃x 0∈R ，使得 x 20－x 0＋1≤0，则¬p ：对∀x ∈R ，都有 x 2－x ＋1>0 ④若 p ∨q 为真命题，则 p ，q 均为真命题16．已知 F 是抛物线 y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的 边长为________．三、解答题（本大题共 6小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y (单位：万千瓦 时)与该河上游在六月份的降雨量 X (单位：毫米)有关．据统计，当 X ＝70时，Y ＝460；X 每增 加 10，Y 增加 5.已知近 20年 X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,16 0.(1)完成如下的频率分布表： 近 20年六月份降雨量频率分布表降雨量70 110140 160200220频率1 204 202 20(2)假定今年六月份的降雨量与近 20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求 今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率．18．（本小题满分 10分）已知曲线 C 1的参数方程为Error!曲线 C 2的极坐标方程为 ρ＝2 2(cos θ π－ )，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系． 4 (1)求曲线 C 2的直角坐标方程；(2)求曲线 C 2上的动点 M 到曲线 C 1的距离的最大值．19.（本小题满分 12分）已知数列a为公差不为 0的等差数列，满足a ，且n15a a a2 , 9 , 30成等比数列.（1）求a的通项公式；n- 3 -zE8G 6CB4 D111（2）若数列b ，求数列b满足a n N，且b的前n项和T.n n1n nb b3n1nA220. （本小题满分12分）已知在四棱锥C ABDE中，DB 平面ABC,AE//DB,△ABC2AE 1M AB是边长为的等边三角形，，为的中点.10551015D2E4MA B6C8（1）求证：CM EM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B CD E的大小.x2 y221.（本小题满分12分）如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分a2 b25别为A，B，且|AB|＝|BF|.2(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．3x2＋ax22.（本小题满分12分）设函数f(x)＝(a∈R)．e x(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．- 4 -褚兰中学2018届高三第一次摸底考试理科数学参考答案1.C2.B3.A4.C5.B6.B7.C8.C9.C10.A 11.B 12.B1313.1214. 15.①②③16.8＋4 或8－41, 3 3717.解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70 110 140 160 200 220频率120320420720320220X(2)由已知可得Y＝＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)2＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)1 32 3＝＋＋＝.20 20 20 103故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.10π18.解：(1)ρ＝2 2cos( 4)＝2(cos θ＋sin θ)，即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，θ－可得x2＋y2－2x－2y＝0，故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)C1的普通方程为x＋3y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆|1＋3＋2| 3＋3 心到直线C1的距离d＝＝，12＋（3）223＋3＋2 2所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.219.（1）设等差数列a的公差为d(d 0)，由a a a成等比数列可知2,9,30na d a da d2a d 2a 2n 315,又，解得,∴.………………4分n1129181111（2）由N，得，a n a n2,n Nn n1b b b bn1n n n1- 5 -当 n 2 时，1 1111111b b bbbb b bnnn 1 n 1n 22 111 1 a aan 1 2n 63 n n 2 ， …………………8分n 1n21b211 1b上式也成立，∴，∴bN对n n 2 n1n3bn1 1 1 1，n n 2 2 n n 2 ∴Tn11 1 1 1 1 1 3 1 112 3 2 4n n 2 2 2 n 1 n 23n 5n 2 412nn……………………… 12分20.（1）因为△ABC 是等边三角形， M 为 AB 的中点，所以CM AB .又因为 DB 平面 ABC ,DB CM ，可得CM 平面 ABDE ，因为 EM平面 ABDE ，所以CM EM ；（4分）（2）如图，以点 M 为坐标原点， MC ,MB 所在直线分别为 x , y 轴，过 M 且与直线 BD 平行 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.因为 DB平面 ABC ，所以 DMB 为直线 DM 与平面ABC所成的角.（6分）BDBD 2B0,1,0C 3,0,由题意得tan DMB2，即，故，，MBD0,1,2,E 0,1,1，于是BC 3,1,0，BD 0,0,2，CE 3,1,1，CD3,1,2，设平面BCD与平面CDE的法向量分别为，m x1,y1,z1n m BC03x y0x y z x y2,2,21113，则由得，令，得，所以11BD 02z 0m1m 3231,3,0.同理求得n，（10分）1,,33所以cos m,n m n 0，则二面角的大小为90.（12分）B CD Em n- 6 -4DA210551015 z D 2E4BMAy 6xC81012y 5 5 21.解:(1)由已知|A3B x|-＝2y+4|=B0F|，即a2＋b2＝a，x+y-4=02 214c 3x+2y=0(3,1)4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.x a 2x2 y2(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.4b2 b2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由Error!消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，217 即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b> .173216－4b2 x1＋x2＝－，x1x2＝.17 17∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5(16－4b2) 1285x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而－＋4＝0，17 172 17 x2解得b＝1，满足b> .∴椭圆C的方程为＋y2＝1.17 4(6x＋a)e x－(3x2＋ax)e x－3x2＋(6－a)x＋a22.解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝＝，(e x)2 e x因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.3x2 －3x2＋6x 3 3当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))e x e x e e3 3处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－e y＝0.e e－3x2＋(6－a)x＋a(2)由(1)知f′(x)＝.e x6－a－a2＋36 6－a＋a2＋36 令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0解得x1＝，x2＝.6 6当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；- 7 -当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．6－a＋a2＋36 9 由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，629,故a的取值范围为.2褚兰中学2018届高三第一次摸底考试理科数学答题卡姓名：______________________________班级：条码粘贴处准考证号缺考标记考生禁止填涂缺考标记-！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
安徽省宿州市高考数学一模试卷
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4] 2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A．81πB．33πC．56πD．41π9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）=2sin2xC．D．10．（5分）已知函数，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．111．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（）A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2|12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为．14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为．15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin （A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）在数列{an }中，a1=1，．（Ⅰ）设，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PDC=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：用户编号12345678910年用电量（度）1000126014001824218024232815332544114600（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O为坐标原点，圆与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k 2，试问k1•k2是否为定值证明你的结论．21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A．2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i【解答】解：由z=1﹣i，得，则==．故选：C．3．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，可得：S=++…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：B．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|=2a，由|PF2|=2|PF1|，则|PF2|=4a，|PF1|=2a，∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|=|PF2|2，=|F1F2|2．∴5a2=c2即有e=．故选：B．5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【解答】解：b===＞ln=ln=a，a=＞=c．∴b＞a＞c．故选：B．6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+）为奇函数，故有θ+=kπ，即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰A、C选项，然后分别将B和C选项代入检验，易知当θ=时，f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选：C．7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n==90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36，∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===．故选：B．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A．81πB．33πC．56πD．41π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD为等腰三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．棱锥的高为1，设三角形PAD的外心为G，则=2PG，∴PG=．再设该四棱锥外接球的半径为R，则则该几何体的外接球的表面积为．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f （x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）=2sin2x C．D．【解答】解：由题设图象知，A=2，周期T=4（x0+π﹣x）=4π，∴ω==．∵点（0，1）在函数图象上，∴2sin（φ）=1，即sin（φ）=．又∵0＜φ＜，∴φ=．故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），将图象横坐标缩短到原来的，可得2sin（2x+），再向右平移个单位，可得2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x），即 g（x）=2sin（2x），故选：D．10．（5分）已知函数，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：函数的图象如图所示，由g（x）=﹣f（﹣x），可得g（x）和f（x）的图象关于原点对称，作出y=g（x）的图象，可得y=f（x）和y=g（x）的图象有4个交点，则方程f（x）=g（x）的解的个数为4．故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（）A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2|【解答】解：分别设M1，M2，M3，M4四点横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2=8x可得焦点F（2，0），准线 l：x=﹣2．由定义得：|M1F|=x1+2，又∵|M1F|=|M1M2|+2，∴|M1M2|=x1，同理：|M3M4|=x4，将y=k（x﹣2）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x1x2=4，∴|M1M2|•|M3M4|=4故选：C．12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=﹣，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率k1=﹣，l2的斜率k2=，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2=﹣•=﹣1，即x1x2=1．直线l1：y=﹣（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y=（x﹣x2）+lnx2．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴S△PAB =|AB|•|xP|=×2×=，∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x1+＞1+1=2，则0＜＜，∴0＜＜1．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为．【解答】解：∵，∴，=2又∵∴即设向量与的夹角为θ则cosθ==∵θ∈[0，π]∴θ=故答案为：14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为﹣480 ．【解答】解：通项公式T=，r+1令6﹣r=2，解得r=4．∴T=．5又（y2﹣2y）4=（y2）4﹣•2y+﹣+，∴x2y5的系数为×（﹣•23）=﹣480．故答案为：﹣480．15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为 1 ．【解答】解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为1，则AB=2，即点B的坐标为（1，2），代入y=ax+1得a=1．故答案为：1；16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin （A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是．【解答】解：根据sinB+sin（A﹣C）=sin2A，可得sin（A+C）+sin（A﹣C）=sin2A，可得2sinAcosC=2sinAcosA，即cosC=cosA，那么b=c=a，三角形△ABC时等边三角．由OA=2OB=2，四边形OACB面积S=AO•OB•sin∠AOB+bcsinA，则四边形OACB面积S=+sin∠AOB=（5﹣4cos∠AOB）+sin∠AOB=sin∠AOB﹣cos ∠AOB=2sin（∠AOB﹣）∵0＜∠AOB＜π∴＜∠AOB﹣那么：＜2sin（∠AOB﹣）≤2∴OACB面积的取值范围是故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）在数列{an }中，a1=1，．（Ⅰ）设，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn．【解答】解：（I）由已知有∴，又b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列{bn}的通项公式：∴（n∈N*）；（II）由（I）知，∴而，令①①×2得②①﹣②得==﹣2+（1﹣n）•2n+1∴．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PD C=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连OE，OC，CA，∵∠ABC=60°，∴△ACD为等边三角形，得AD⊥OC，又AD⊥CE，∴AD⊥平面COE，得AD⊥OE，又OE∥PD，∴AD⊥PD，又∠PDC=90°，∴PD⊥平面ABCD，又PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OE⊥平面ABCD，AD⊥OC，以OC，OD，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形ABCD的边长为2，则，，∵直线PB与底面ABCD成30°角，即∠PBD=30°，∴，∴，∴，设为平面BCE的一个法向量，=1，则，则，令x1∴；设为平面PCE的一个法向量，则，令x=1，则，2∴．∴，由题可知二面角B﹣CE﹣P的平面角为钝角，二面角B﹣CE﹣P的余弦值为．19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：12345678910用户编号年用电1000126014001824218024232815332544114600量（度）（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．【解答】解：（I）因为第二档电价比第一档电价多元/度，第三档电价比第一档电价多元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为：4600×+（4200﹣2160）×+（4600﹣4200）×=元．（II）设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X可取0，1，2，3，4．，，，，，故X的分布列是：X01234P所以．（III）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X～B（10，），可知（k=0，…10），∵抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，∴，解得，∵k∈N*所以当k=4时，概率最大，所以k=4．20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O为坐标原点，圆与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k 2，试问k1•k2是否为定值证明你的结论．【解答】解：（I）直线AB的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0，由圆O与直线AB相切，得=，即=，①设椭圆的半焦距为c，则e==，∴=1﹣e2=，②由①②得a2=4，b2=1．故椭圆的标准方程为；（ II）k1•k2=为定值，证明过程如下：由（I）得直线AB的方程为y=﹣x+1，故可设直线DC的方程为y=﹣x+m，显然m≠±1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2=0，则△=8﹣4m2＞0，解得﹣＜m＜，且m≠±1，∴x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2．由，，则=，=，=，==．21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．【解答】解：（I），其定义域为为（0，+∞），=．（1）当a≤0时，F'（x）≥0，函数y=F（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＞0时，令F'（x）＞0，解得；令F'（x）＜0，解得．故函数y=F（x）在上单调递增，在上单调递减．（II）由题意知t≥0.，当﹣2≤a≤﹣1时，函数y=f（x）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，又函数y=g（x）单调递减，所以原问题等价于：当﹣2≤a≤﹣1时，对任意1≤x1≤x2≤2，不等式f（x2）﹣f（x1）≤t[g（x1）﹣g（x2）]恒成立，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意﹣2≤a≤﹣1，1≤x1≤x2≤2恒成立．记h（x）=f（x）+tg（x）=lnx﹣+（1﹣2t）x+3t，则h（x）在[1，2]上单调递减．得对任意a∈[﹣2，﹣1]，x∈[1，2]恒成立．令，a∈[﹣2，﹣1]，则2t≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．则2t﹣1≥（2x+）max，而y=2x+在[1，2]上单调递增，所以函数y=2x+在[1，2]上的最大值为．由2t﹣1，解得t．故实数t的最小值为．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0，∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12．（II）解法一：在x﹣y﹣1=0中，令y=0，得x=1，则A（1，0），联立，消去y，得7x2﹣8x﹣8=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，则有x1+x2=，x1x2=﹣．|AP|=|x1﹣1|=﹣（x1﹣1），|AQ|=|x2﹣1|=（x2﹣1），故|AP|•|AQ|=﹣2（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．解法二：把，代入3x2+4y2=12，得14t2+6﹣9=0，则t1t2=﹣，则|AP|•|AQ|=（﹣2t1）•（2t2）=﹣4t1t2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=0时，，当且仅当，即x=±2时等式成立，所以，当x=±2时，f（x）min=4．（Ⅱ）当x∈[1，4]时，函数f（x）的最大值为5⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔，且在x∈[1，4]上恒成立，函数在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增．∵，当且仅当x=2时等式成立，而在x∈[1，4]上是恒成立的．∴2m﹣5≤4∴，即实数m的取值范围是．。
安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)
安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2 ，x∈R}，则A∩B=（）A . {x|﹣1≤x≤1}B . {x|x≥0}C . {x|0≤x≤1}D . ∅2. （2分） (2016高一上·澄海期中) 设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A . f：x→y=x2B . f：x→y=3x﹣2C . f：x→y=﹣x+4D . f：x→y=4﹣x23. （2分） (2018高一上·台州期末) 设，，，则（）A .B .C .D .4. （2分）已知、为单位向量，其夹角为，则向量与向量的关系是（）A . 相等B . 垂直C . 平行D . 共线5. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A . 3B . 2C .D .6. （2分） (2017高一下·宿州期中) 若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A . 9B . 4C . 6D . 37. （2分）(2017·松江模拟) 已知a，b∈R，则“ab＞0“是“ ＞2”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件8. （2分） (2016高一上·西城期末) 函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·怀化期中) 如图所示的程序运行后输出的结果是（）A . ﹣5B . ﹣3C . 0D . 110. （2分）有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A . 150B . 180C . 200D . 28011. （2分）下图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（）A .B .C . 8D . 1612. （2分） (2019高一上·大庆月考) 函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·福州模拟) 点P在曲线 =1上，点Q在曲线x2+（y﹣3）2=4上，线段PQ的中点为M，O是坐标原点，则线段OM长的最小值是________．14. （1分） (2015高三上·太原期末) （）6的展开式中，常数项为________（用数字作答）15. （1分）半径为的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为________16. （1分）若是函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R且为常数）的零点，则f（x）的最大值是_________三、解答题： (共7题；共55分)17. （10分） (2016高三上·西安期中) 在等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的通项公式为，求数列{an•bn}的前n项的和Tn ．18. （5分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19. （10分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．20. （5分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），离心率e= ，已知点P（0，）到椭圆C的右焦点F的距离是．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．21. （5分） (2015高二下·射阳期中) 已知函数f（x）=x2+alnx．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ 在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．22. （10分） (2016高二下·黄骅期中) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．23. （10分）已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4] 2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A．81πB．33πC．56πD．41π9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）=2sin2xC．D．10．（5分）已知函数，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．111．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（）A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2|12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为．14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为．15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin （A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）在数列{an }中，a1=1，．（Ⅰ）设，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PDC=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：12345678910用户编号1000126014001824218024232815332544114600年用电量（度）（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O 为坐标原点，圆与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k，1k 2，试问k1•k2是否为定值？证明你的结论．21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，B={x|log2则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A．2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i【解答】解：由z=1﹣i，得，则==．故选：C．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）3．A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，可得：S=++…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：B．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|=2a，由|PF2|=2|PF1|，则|PF2|=4a，|PF1|=2a，∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|=|PF2|2，=|F1F2|2．∴5a2=c2即有e=．故选：B．5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【解答】解：b===＞ln=ln=a，a=＞=c．∴b＞a＞c．故选：B．6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+）为奇函数，故有θ+=kπ，即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰A、C选项，然后分别将B和C选项代入检验，易知当θ=时，f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选：C．7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n==90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36，∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===．故选：B．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A．81πB．33πC．56πD．41π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD为等腰三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．棱锥的高为1，设三角形PAD的外心为G，则=2PG，∴PG=．再设该四棱锥外接球的半径为R，则则该几何体的外接球的表面积为．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）=2sin2xC．D．【解答】解：由题设图象知，A=2，周期T=4（x0+π﹣x）=4π，∴ω==．∵点（0，1）在函数图象上，∴2sin（φ）=1，即sin（φ）=．又∵0＜φ＜，∴φ=．故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），将图象横坐标缩短到原来的，可得2sin（2x+），再向右平移个单位，可得2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x），即 g（x）=2sin（2x），故选：D．10．（5分）已知函数，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：函数的图象如图所示，由g（x）=﹣f（﹣x），可得g（x）和f（x）的图象关于原点对称，作出y=g（x）的图象，可得y=f（x）和y=g（x）的图象有4个交点，则方程f（x）=g（x）的解的个数为4．故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（）A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2|【解答】解：分别设M1，M2，M3，M4四点横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2=8x可得焦点F（2，0），准线 l：x=﹣2．由定义得：|M1F|=x1+2，又∵|M1F|=|M1M2|+2，∴|M1M2|=x1，同理：|M3M4|=x4，将y=k（x﹣2）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x1x2=4，∴|M1M2|•|M3M4|=4故选：C．12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=﹣，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率k1=﹣，l2的斜率k2=，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2=﹣•=﹣1，即x1x2=1．直线l1：y=﹣（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y=（x﹣x2）+lnx2．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴S△PAB =|AB|•|xP|=×2×=，∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x1+＞1+1=2，则0＜＜，∴0＜＜1．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为．【解答】解：∵，∴，=2又∵∴即设向量与的夹角为θ则cosθ==∵θ∈[0，π]∴θ=故答案为：14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为﹣480 ．【解答】解：通项公式T=，r+1令6﹣r=2，解得r=4．=．∴T5又（y2﹣2y）4=（y2）4﹣•2y+﹣+，∴x2y5的系数为×（﹣•23）=﹣480．故答案为：﹣480．15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为 1 ．【解答】解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为1，则AB=2，即点B的坐标为（1，2），代入y=ax+1得a=1．故答案为：1；16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin （A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是．【解答】解：根据sinB+sin（A﹣C）=sin2A，可得sin（A+C）+sin（A﹣C）=sin2A，可得2sinAcosC=2sinAcosA，即cosC=cosA，那么b=c=a，三角形△ABC时等边三角．由OA=2OB=2，四边形OACB面积S=AO•OB•sin∠AOB+bcsinA，则四边形OACB面积S=+sin∠AOB=（5﹣4cos∠AOB）+sin∠AOB=sin∠AOB﹣cos∠AOB=2sin（∠AOB﹣）∵0＜∠AOB＜π∴＜∠AOB﹣那么：＜2sin（∠AOB﹣）≤2∴OACB面积的取值范围是故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）在数列{an }中，a1=1，．（Ⅰ）设，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn．【解答】解：（I）由已知有∴，又b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列{bn}的通项公式：∴（n∈N*）；（II）由（I）知，∴而，令①①×2得②①﹣②得==﹣2+（1﹣n）•2n+1∴．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PDC=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连OE，OC，CA，∵∠ABC=60°，∴△ACD为等边三角形，得AD⊥OC，又AD⊥CE，∴AD⊥平面COE，得AD⊥OE，又OE∥PD，∴AD⊥PD，又∠PDC=90°，∴PD⊥平面ABCD，又PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OE⊥平面ABCD，AD⊥OC，以OC，OD，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形ABCD的边长为2，则，，∵直线PB与底面ABCD成30°角，即∠PBD=30°，∴，∴，∴，设为平面BCE的一个法向量，则，令x=1，则，1∴；设为平面PCE的一个法向量，=1，则，则，令x2∴．∴，由题可知二面角B﹣CE﹣P的平面角为钝角，二面角B﹣CE﹣P的余弦值为．19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：12345678910用户编号1000126014001824218024232815332544114600年用电量（度）（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．【解答】解：（I）因为第二档电价比第一档电价多元/度，第三档电价比第一档电价多元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为：4600×+（4200﹣2160）×+（4600﹣4200）×=元．（II）设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X可取0，1，2，3，4．，，，，，故X的分布列是：X01234P所以．（III）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X～B（10，），可知（k=0，…10），∵抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，∴，解得，∵k∈N*所以当k=4时，概率最大，所以k=4．20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O为坐标原点，圆与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k 2，试问k1•k2是否为定值？证明你的结论．【解答】解：（I）直线AB的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0，由圆O与直线AB相切，得=，即=，①设椭圆的半焦距为c，则e==，∴=1﹣e2=，②由①②得a2=4，b2=1．故椭圆的标准方程为；（ II）k1•k2=为定值，证明过程如下：由（I）得直线AB的方程为y=﹣x+1，故可设直线DC的方程为y=﹣x+m，显然m≠±1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2=0，则△=8﹣4m2＞0，解得﹣＜m＜，且m≠±1，∴x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2．由，，则=，=，=，==．21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．【解答】解：（I），其定义域为为（0，+∞），=．（1）当a≤0时，F'（x）≥0，函数y=F（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＞0时，令F'（x）＞0，解得；令F'（x）＜0，解得．故函数y=F（x）在上单调递增，在上单调递减．（II）由题意知t≥0.，当﹣2≤a≤﹣1时，函数y=f（x）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，又函数y=g（x）单调递减，所以原问题等价于：当﹣2≤a≤﹣1时，对任意1≤x1≤x2≤2，不等式f（x2）﹣f（x1）≤t[g（x1）﹣g（x2）]恒成立，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意﹣2≤a≤﹣1，1≤x1≤x2≤2恒成立．记h（x）=f（x）+tg（x）=lnx﹣+（1﹣2t）x+3t，则h（x）在[1，2]上单调递减．得对任意a∈[﹣2，﹣1]，x∈[1，2]恒成立．令，a∈[﹣2，﹣1]，则2t≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．则2t﹣1≥（2x+）max，而y=2x+在[1，2]上单调递增，所以函数y=2x+在[1，2]上的最大值为．由2t﹣1，解得t．故实数t的最小值为．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0，∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12．（II）解法一：在x﹣y﹣1=0中，令y=0，得x=1，则A（1，0），联立，消去y，得7x2﹣8x﹣8=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，则有x1+x2=，x1x2=﹣．|AP|=|x1﹣1|=﹣（x1﹣1），|AQ|=|x2﹣1|=（x2﹣1），故|AP|•|AQ|=﹣2（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．解法二：把，代入3x2+4y2=12，得14t2+6﹣9=0，则t1t2=﹣，则|AP|•|AQ|=（﹣2t1）•（2t2）=﹣4t1t2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=0时，，当且仅当，即x=±2时等式成立，所以，当x=±2时，f（x）min=4．（Ⅱ）当x∈[1，4]时，函数f（x）的最大值为5⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔，且在x∈[1，4]上恒成立，函数在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增．∵，当且仅当x=2时等式成立，而在x∈[1，4]上是恒成立的．∴2m﹣5≤4∴，即实数m的取值范围是．。