一类矩阵线性组合的对合性
§7.3线性变换和矩阵.
1．在向量空间 3 F 3中,设1, 1, 1, 1, 是F3的两个基, F 3), 1) 3到 基§7.3 线性变换和矩 阵 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 1 2, 1, 1 3 的过渡矩阵； 1,2,3 2) 在基1, 2, 3下的矩阵； 3)求基1, 2, 3下的矩阵； 4)设 (2,1,3) ,分别求在基 1, 2, 3与1 设三维向量空间V 的线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵是 a11a12a13 A a21a22a23 a31a32a33 1)求在基3, 2, 1下的矩阵； 2)求在基1,k 2 , 3下的矩阵, 其中0k F；2 2． 12 12 3 下的坐标．3) 在基3下的矩阵． 3．在向量空间M 2 (F) 中,定义线性变换 (x)= a b a b (X)= a c b d X c a d b
在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 4.在F 2 2中，求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为 1020 0102 A 3040 0304 的线性变换 . 5. 在n维向量空间V中， L(V)，存在向量V ，使得 n1 0，但 n 0 .证 明：V中存在一个基，使得在这个基下的矩阵是 0E n1 00 6. 设A s B，C s D,证明 A0B0 s 0C0C 7. 设A可逆，证明：AB^BA. 8. 在向量空间F3 3中，设 ab c c a b b c a A b c a ， B a b c， C c a b ca b b c a a b c 证明：A，B， C 彼此此相似. 9.设V 是数域 F 上n 维向量空间，证明：V 的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 10.设V是数域F上n维向量空间，问V中是否有线性变换，，使其中I 是恒等变换，为什么？对无限维空间结论又如何？ I.
线性变换与矩阵地关系
线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学 ： 学号：
线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业， 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明：
○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}
线性变换和矩阵.
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上 的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个 向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它 扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
结构化学自测练习1剖析
结构化学自测练习Ⅰ 一、选择题（45分） 1. 下列说法正确的是（） A. ψ的平方模∣ψ∣2 = ψ*ψ表示概率； B. ∣ψ∣2 = ψ*ψdτ表示概率密度； C．对于一个微观体系，不同状态的波函数相互正交； D. 合格波函数是满足归一条件的。 2. 下列说法正确的是（） A. 微观粒子不可能同时具有确定的能量及位置坐标； B．测不准关系可用来判别实物粒子的行为是属于经典力学范畴还是量子力学范畴； C. 一维势箱中运动粒子的能量与势箱的长度L2 成反比； D. 一维势箱中运动粒子的能量与势箱的长度L2 成正比。 3. 下列说法正确的是（） A. 一维势箱中运动粒子的波函数ψ的节点随能级的升高而增多； B. 一维势箱中运动粒子的波函数ψ的节点随能级的升高而减少； C. 在基态时，立方势箱的波函数ψ1为球对称，节面数 = 0； D. 在激发态时，立方势箱的波函数ψ2为“双椭球”状，简并度 = 3，节面数 = 1。 4.下列说法正确的是（） A. 核外电子的运动状态需要四个量子数 n、l、m、m s 来确定，主量子数n决定波函数的径向节面数和总节面数； B. 角量子数l和磁量子数m决定原子轨道的形状和空间取向； C. 径向分布函数 D(r)表示：在半径为r的球面附近单位厚度球壳中电子出现的概率； D. 角度波函数 Y l,m(θ,φ)主要由角量子数l和磁量子数m决定，它反映着轨道的形状和空间取向。 5. 3d轨道的径向节面数是（） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3。 6. 3d轨道的角度节面数是（） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3。 —79—
高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，
。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。
结构化学 第三章
一、单项选择题(每小题1分) 1. σ型分子轨道的特点是( ) a. 能量最低 b. 其分布关于键轴呈圆柱形对称 c. 无节面 d. 由s 原子轨道组成 答案：b. 2. F 2+，F 2，F 2- 的键级顺序为( ) 3/2, 1, 1/2 a. F 2+ > F 2 > F 2- b. F 2+ < F 2 < F 2- c. F 2 > F 2- > F 2+ d. F 2 < F 2- < F 2+ 答案：a. 3. 分子轨道的含义是( ) a. 分子空间运动的轨迹 b. 描述分子电子运动的轨迹 c. 描述分子空间轨道运动的状态函数 d. 描述分子中单个电子空间运动的状态函数 答案：d. 4. π型分子轨道的特点是( ) a. 分布关于键轴呈圆柱形对称 b. 有一个含键轴的节面 c. 无节面 d. 由p 原子轨道组成 答案：b. 5. F 2+，F 2，F 2- 的键长顺序为( ) a. F 2+ > F 2 > F 2- b. F 2+ < F 2 < F 2- c. F 2 > F 2- > F 2+ d. F 2 < F 2- < F 2+ 答案：b. 6.CO 分子的一个成键轨道O C c c φφψ 21+=，且|c 1|>|c 2|，此 分子轨道中电子将有较大的几率出现在( ) a. C 核附近 b. O 核附近 c. CO 两核连线中点 d. CO 两核之间 答案：a. 7.由分子轨道法比较O 2+ ，O 2，O 2- 的键长顺序为( ) a. O 2+>O 2>O 2- b. O 2+
线性变换的矩阵表示式
§5 线性变换的矩阵表示式 上节例10中，关系式 ()T x Ax = ()n x R ∈ 简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即 ()n i Ae i i ,,2,1 ==α， 可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式 ()11122(), ,() n n n T x T e e x T x e x e x e ==++ +???? 1122()()() n n x T e x T e x T e =++ + ()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα=== 总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式 ()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =. 把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有 定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基 n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为 11112121212122221122(),(),(), n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++ +??=+++???? =++ +? 记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为
结构化学习题答案
《结构化学》第三章习题 3001 H 2+的H ?= 212 - a r 1 - b r 1 +R 1， 此种形式已采用了下列哪几种方法： ------------------------------ ( ) (A) 波恩-奥本海默近似 (B) 单电子近似 (C) 原子单位制 (D) 中心力场近似 3002 分析 H 2+的交换积分(积分) H ab 为负值的根据。 3003 证明波函数 ()()() ()b a b a ψψψψψψS S s 1s 121u s 1s 121g 221221--=++= 是相互正交的。 3004 通过变分法计算得到的微观体系的能量总是：----------------- ( ) (A) 等于真实基态能量 (B) 大于真实基态能量 (C) 不小于真实基态能量 (D) 小于真实基态能量 3006 什么叫分子轨道？按量子力学基本原理做了哪些近似以后才有分子轨道的概念？ 这些近似的根据是什么？ 3007 描述分子中 _______________ 空间运动状态的波函数称为分子轨道。 3008 对于"分子轨道"的定义，下列叙述中正确的是：----------------- ( ) (A) 分子中电子在空间运动的波函数 (B) 分子中单个电子空间运动的波函数 (C) 分子中单电子完全波函数(包括空间运动和自旋运动) (D) 原子轨道线性组合成的新轨道 3009 试述由原子轨道有效地形成分子轨道的条件。 3010 在 LCAO-MO 中，所谓对称性匹配就是指两个原子轨道的位相相同。这种说法是否 正确？ 3011 在LCAO-MO 方法中，各原子轨道对分子轨道的贡献可由哪个决定： ----------------- ( ) (A) 组合系数 c ij (B) (c ij )2
#第七章 线性变换(小结)
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.
线性变换及其矩阵
第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线 性变换 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但 （4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-
第二章习题
第二章 一、单项选择题（每小题1分） 1. σ型分子轨道的特点是（ ） a. 能量最低 b. 其分布关于键轴呈圆柱形对称 c. 无节面 d. 由s 原子轨道组成 2. F 2+，F 2，F 2- 的键级顺序为（ ） a. F 2+ > F 2 > F 2- b. F 2+ < F 2 < F 2- c. F 2 > F 2- > F 2+ d. F 2 < F 2- < F 2+ 3. 呋喃的分子图为 ，关于它的反应活性，下列说法正确的是 （ ） a. 自由基易在3位发生反应 b. 亲核基团易在1位发生反应 c. 亲核基团易在3位发生反应 d. 亲电试剂易在3位发生反应 4. 以下哪个分子的π电子离域能最大（ ） a. 环丙稀自由基 b. 环丁二烯 c. 环戊二烯负离子 d. 苯分子 5. 属于下列点群的分子哪个为非极性分子（ ） a. D 6h b. C s c. C 3v d. C ∞v 6. 分子轨道的含义是（ ） 7. 分子空间运动的轨迹 b. 描述分子电子运动的轨迹 c. 描述分子空间轨道运动的状态函数 d. 描述分子中单个电子空间运动的状态函数 7. π型分子轨道的特点是（ ） a. 分布关于键轴呈圆柱形对称 b. 有一个含键轴的节面 c. 无节面 d. 由p 原子轨道组成 8. F 2+，F 2，F 2- 的键长顺序为（ ） a. F 2+ > F 2 > F 2- b. F 2+ < F 2 < F 2- c. F 2 > F 2- > F 2+ d. F 2 < F 2- < F 2+ 答案：b. 9.CO 分子的一个成键轨道O C c c φφψ21+=，且|c 1|>|c 2|，此分子轨道中电子将有
线性变换和矩阵
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换在某组基下对应的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变， 因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211） =1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就 知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与?在这组基上的作用 相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i Λ= 那么A= B. 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出， 基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个 线性变换 A , 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ=
定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ= 定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)） =A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下 ???+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是 ]练习：7, 8, 9
(完整版)结构化学第三章题目及答案
姓名： 班级： 学号： 3001 H 2+的H ?= 21?2- a r 1 - b r 1 +R 1， 此种形式已采用了下列哪几种方法： ------------------------------ ( A C ) (A) 波恩-奥本海默近似 (B) 单电子近似 (C) 原子单位制 (D) 中心力场近似 3002 分析 H 2+的交换积分(β积分) H ab 为负值的根据。 H ab =∫ψa [-21?2- a r 1 - b r 1 +R 1 ] ψb d τ=E H S ab + R 1 S ab - ∫a r 1ψa ψb d τ = E H S ab + K 因 E H = -13.6e V , S ab 为正值,故第一项为负 值; 在分子的核间距条件下, K 为负值。 所以 H ab 为负值 3003 证明波函数 ()()()()b a b a ψψψψψψS S s 1s 121u s 1s 121g 221221--=++= 是相互正交的。 ∫ψg ψu d τ=(4 - 4S 2)-1/2∫(ψa s 1+ψb s 1)((ψa s 1-ψb s 1)d τ = (4 - 4S 2)-1/2∫[ψa s 12 -ψb s 12 ] d τ = (4 - 4S 2)-1/2 [ 1 - 1 ] = 0 故相互正交 3004 通过变分法计算得到的微观体系的能量总是：----------------- ( C ) (A) 等于真实基态能量 (B) 大于真实基态能量 (C) 不小于真实基态能量 (D) 小于真实基态能量 3006 什么叫分子轨道？按量子力学基本原理做了哪些近似以后才有分子轨道的概念？ 这些近似的根据是什么？ 描述分子中单个电子空间运动状态的波函数叫分子轨道。3个近似 (1) 波恩 - 奥本海默近似 (2) 非相对论近似(3) 单电子近似 3007 描述分子中 ______单个电子_________ 空间运动状态的波函数称为分子轨道。 3008 对于"分子轨道"的定义，下列叙述中正确的是：----------------- ( B ) (A) 分子中电子在空间运动的波函数 (B) 分子中单个电子空间运动的波函数 (C) 分子中单电子完全波函数(包括空间运动和自旋运动) (D) 原子轨道线性组合成的新轨道 3009 试述由原子轨道有效地形成分子轨道的条件。 (1) 能级高低相近 (2) 对称性匹配 (3) 轨道最大重叠 3010 在 LCAO-MO 中，所谓对称性匹配就是指两个原子轨道的位相相同。这种说法是否正确？否 3011 在LCAO-MO 方法中，各原子轨道对分子轨道的贡献可由哪个决定： ----------------- ( B ) (A) 组合系数 c ij (B) (c ij )2 (C) (c ij )1/2 (D) (c ij )-1/2 3012 在极性分子 AB 中的一个分子轨道上运动的电子，在 A 原子的φA 原子轨道上出现的概率为80%， B 原子的φB 原子轨道上出 现的概率为20%， 写出该分子轨道波函数 。 ψ= (0.8)1/2φA + (0.2)1/2φB 3013 A B A 和 B 的原子轨道， 其对应的原子轨道能量为E A 和E B ，如果两者满足__能量相近, 对称 性匹配, 最大重叠原则可线性组合成分子轨道 = c A φA + c B φB 。对于成键轨道， 如果E A ___>___ E B ，则 c A __<____ c B 。(注： 后二个空只需填 "=" ， ">" 或 "等比较符号 ) 3014 两个能量不同的原子轨道线性组合成两个分子轨道。在能量较低的分子轨道中，能量较低的原子轨道贡献较大；在能量较高的分 子轨道中，能量较高的原子轨道贡献较大。这一说法是否正确？ 正确 3018 AB 为异核双原子分子，若φA yz d 与φB y p 可形成π型分子轨道，那么分子的键轴为__Z__轴。 3019 两个原子的 d yz 轨道以 x 轴为键轴时， 形成的分子轨道为--------------------- ( C ) (A) σ轨道 (B) π轨道 (C) δ轨道 (D) σ-π轨道 3023 若以x 轴为键轴，下列何种轨道能与p y 轨道最大重叠？-------------------------- ( B )
7.3线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。 空间V 中任一向量ξ可以被基12,, ,n εεε表示出，即有关系式 1122n n x x x ξεεε=++ +， （1） 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的象A ξ与基的象12,,,n A A A εεε之间也必然有相同的关系： )(2211n n x x x A A εεεξ+++= )()()(2211n n A x A x A x εεε+++= （2） 上式表明，如果我们知道了基12,,,n εεε的象，那么线性空间中任意一个向量ξ的象也就知道了，或者说 1．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相 同，即 n i B A i i ,,2,1, ==εε， 那么A =B 。 证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量ξ，等式A B ξξ=成立。而由（2）及假设，即得 ξεεεεεεξB B x B x B x A x A x A x A n n n n =+++=+++= 22112211 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说， 2．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。对于任意一组向量12,,,n ααα一定有一个线性变换A 使 ,1,2, ,i i A i n εα== （3） 证明 我们来作出所要的线性变换。设 ∑==n i i i x 1εξ 是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为 1 n i i i A x ξα ==∑ （4） 下面来证明变换A 是线性的。 在V 中任取两个向量， ∑∑====n i i i n i i i c b 1 1 ,εγεβ。 于是 ∑=+=+n i i i i c b 1 )(ελβ， P k kb k n i i i ∈=∑=,1εβ。 按所定义的A 的表达式（4），有
高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有， ，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，， 则有 ，
。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数； 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有， ，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，， 。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的 变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：，，；， ，；，， ，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。 （2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，， 都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故；同理有：，得， 即得；依次类推可得，即得，进而得 。
第四章(2) 分子轨道理论
第三节分子轨道理论（MOT） 一、概述 要点： A、配体原子轨道通过线性组合，构筑与中心原子轨道对称性匹配的配体群轨道。 B、中心原子轨道与配体群轨道组成分子轨道。 形成LCAO-MO的三原则： 二、金属与配体间σ分子轨道（d轨道能级分裂） 1．可形成σ分子轨道的中心原子轨
(n-1)d x2-y2, (n-1)d z2, ns, np x, np y, np z (可形成σ分子轨道) 三、ABn型分子构筑分子轨道的方法 1、步骤 1）列出中心原子A及配位原子B中参与形成分子轨道的原子轨道； 2）将中心原子轨道按照以它们为基的不可约表示分类； 3）将B原子轨道按等价轨道集合分类（由对称操作可彼此交换的轨道称为等价轨道）；
4）将每一等价轨道集合作为表示的基，给出表示；再将其分解为不可约表示； 5）用每一组等价轨道集合构筑出对应于上一步所求出的不可约表示的配体群轨道； 6）将对称性相同的配体群轨道与中心原子轨道组合得分子轨道。 2、以AB6（O h群）为例 1）A原子用ns、np、(n-1)d 9个轨道，每个B原子用3个p(p x、p y、p z)轨道，共27个轨道形成分子轨道。
C、规定p z向量指向中心原子，则p x、p y向量应存在于垂直于p z向量的平面内； D、规定第一个B原子的p x向量与y 轴平行（* 方向相同），则该B原子的p y向量应与z轴平行（* 方向相同）； E、其余（6-1）个B原子的p x和p y 向量的方向由O h群对称性决定。 2）A原子价轨道在O h群对称下，属于下列表示： A1g: s E g: d x2-y2，d z2 T1u: p x，p y，p z
(整理)05 第五节 线性变换的矩阵表示.
第五节 线性变换的矩阵表示 分布图示 ★ 线性变换的矩阵表示式 ★ 线性变换在给定基下的矩阵 ★ 线性变换与其矩阵的关系 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-5 内容要点 一、线性变换在给定基下的矩阵 定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为 ???????+++=??????????+++=+++=, )(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为 A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =， 其中A =??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定. 二、线性变换与其矩阵的关系 设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ， 下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα , 结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的. 三、线性变换在不同基下的矩阵 已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则 AP P B 1-=. 定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩. 结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r . (ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -. 例题选讲
03线性变换及其矩阵(精)
第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ?x,y ∈V , k,l ∈K 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点旋转θ 角的操作就是一个线性变换。 [证明] 12x ξξ??=???? 12y Tx ηη?? ==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθ ηξθξθ =+?? =-+? 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ??????=??????-? ????? 2 R ∈ 可见该操作T 为变换，下面证明其为线性变换 12x x x ???=???? 12z z z ?? =????2R ∈，k ，l R ∈ 11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +?????? ++=?????? +?????? 1122cos sin ()sin cos kx lz T kx lz kx lz θ θθθ+?? ??+=??? ?+-???? 1122cos sin cos sin sin cos sin cos x z k l x z θ θθθθ θθ θ???? ????=+????????--? ??????? ()()k Tx l Tz =+ ∴ T 是线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为
04 线性变换及其矩阵
第四讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 1，定义：T 是到自身的一个映射，满足()n V F x ?∈V 中的任意元，均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足线性性：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y ∈V , k,l F ?∈称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?????????=∈????????????? ，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 θ[证明] 12 2,x R x ξξ?????∈=????12y Tx ηη????==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξ?=+????=?+??θ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ???? ??????? ?=????????????? 2R ∈ 可见T 为变换，下面证明其为线性变换. [例2] 次数不超过-1的全体实多项式[x]构成实数域上的一个n 维的线性空 间，微分算子n n P d dx D =是[x]上的一个线性变换。 n P [证明] Remark: [x]上的积分变换n P 0 (())()x J p x p s ds =∫ 不是[x]上的线性变换，为 C[0,1]上的线性变换。 n P [例3])上对任意固定α为线性变换0=时称零变 (n V F ,()F T λα∈=λ。换； λ
1λ=时称恒等变换。 [例4] 上定义，选定，为上线性变换。 n F (),n n A T X AX A F ×=∈A T n F 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素（T(0)=T(0x)=0(Tx)=0） （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素（T (-x )=(-1)(Tx )=-(Tx )） （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] Remark: 线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。 3, 线性变换相关的空间 ★象空间 {}|(),..()n V F s t T βαβα=?∈=()R T ()N T dimR(T)为线性变换T 的秩 ★零空间 {}|()0T αα== dimN(T)为线性变换T 的零度。 [例] 求线性变换的象空间和零空间。 A T 4. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0 ,0x V T x ?∈=（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有， 则称1T ＝2T . 12T x T x =（4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，2() 121T T x T x Tx +=+（5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()() kT x k Tx =负变换：() (T x Tx ?=?)