一类矩阵线性组合的对合性
立方 幂等 矩 阵 、 合矩 阵 以及 它 们 线 性 组 合 的研 究 对 不仅 在代 数学 上有 着 重 要 意 义 ， 统 计 学 中也 有 着 在
重要 的应用 ¨ ．
Ａ 、 交 换 性 的 条件 下 ， 出 了 当 Ａ Ａ 无 给 和 Ａ 分 别 是 非零 的幂 等矩 阵 和 立 方 幂 等矩 阵 时 ， 其线 性 组 合
ｔｉ ｔ ｎ ｔｉ ｒｐｏｅ ｔｍａｒｘ，ｗｅ ｃ ａ ａ ｔ ｒｚ ｄ ｔ ｅ ｓ ｆ ｃ ｅ ｔａ ｄ ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ｃ ｎ ｔｏ ｓｆ ｒｔ ｅ ｉ ｖ ｌ ｔ ｅ ｃ ｍｂ ｎａｉｎ ｏ ，ｗｉｈ ｈ ｒ ｃｅ ｅ ｈ ｕ ｉｎ ｎ ｅ ｅ ｓ ｒ ｏ ｄｉ ｎ ｏ ｈ ｎ ｏ ｕ ｉ ｏ ｉ ｔｏ ｆＡ ｉ ｉ ｉ ｖ ｔ Ａ ， ｓｉ ｅ １ Ａ２ａ ｄ ｍｐｏｅ ｎ ｒｐ ｔｎ ｔｉ ｅ ｔｎｔａ ｄ ｔｉ ｏ ｅ ｔｍａ ｒｃ ｓ，ｒ ｓ ｅ ｔｖ ｌ ｅ ｐ ｃｉ ｅｙ，ｗｉｈ ｕ ｈ ｓ ｕ ｔｏ ｈ ｔ １ Ａ２ １ ｔ ｏ ｔｔ ｅ ａ ｓ ｍｐ ｉｎ ｔ ａ Ａ２ Ａ Ａ ．
对矩阵线性组合 的幂等性 、 立方幂等性 以及对合性 的研究在很多 领域都有 着重要 的应用． 利用立 方幂等 矩阵 的标准 型 ， 且在 Ａ 、 无交换性条件 下 ， 出了当 Ａ。 Ａ 给 为幂等 矩阵 ， 为立方幂等矩 阵时 ， Ａ： 它们 的线性组 合 Ａ 是对合 矩阵 的充 分必
要条件．
立 方幂 等矩 阵 Ａ。Ａ 、 的线 性 组 合 进行 研 究 ， Ａ 、 在 Ａ 可交 换 的条 件下 ， 出 了其线 性组 合 Ａ 为立 方幂 给
等 矩 阵的充 分 必要 条 件． 述 文 献 中的 很 多 结论 都 上
是 在矩 阵 Ａ 、 可 交 换 的 条件 下 得 出 的． 文 是在 Ａ 本
第 ３ 卷第 １ １ 期
２１ ０ ０年 １ 月
哈
尔
滨
工
程
大
学
学
报
Ｖｏ ． １３ｌ № ． 】
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｒ ｉ ｇｎ ｅ ｎ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ ｆＨａｂｎ Ｅｎ ｉｅ ｒ ｇ Ｕ ｉｅｓｔ ｉ ｙ
Ｊｎ２ １ ａ ．００
ｄｉ１． ９９ ｊｉ ｎ １０ ７ ４ ． ００ ０ ．２ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ．０ ６— ０３ ２ １ ．１ ０２ ｓ
一
类 矩 阵 线 性 组 合 的 对 合 性
Ｉ长江 ， 国莉 ， 、 ． 冯 孙艳玲 ， 李 娜
（ 尔滨 工 程 大 学 理 学 院 ， 龙 江 哈 尔 滨 １０ ０ ） 哈 黑 ５０ １
摘
要： Ａ 设 和 Ａ： ２个 ｎ×ｎ的非零复矩阵 ， 是 矩阵 Ａ为 Ａ 、 的线性组合 ， Ａ＝ ｌ ＋ ２ ， 中 ｃ、： Ａ 即 ｅＡ ＣＡｚ其 ｃ 为非 ０复数．
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｌ ｔＡ ａ ｄ Ａ２ｂｅ ｎ ｎ ｅｏ ｃ ｍｐ ｅ ｔｉｅ ． Ｄｅ ｏ ｅ ａ ｌｎ ａ ｏ ｉ ａｉ ｎ ｏ ｈ ｔ ｔ ｃ ｓ ｂ ＝ ｓ ｒ ｃ ： ｅ Ｉ ｎ ｏ ｚ ｒ ｏ ｌｘ ｍａｒｃ ｓ ｎ ｔ ｉ ｅ ｒ ｃ ｍｂ ｎ ｔｏ ｆｔ ｅ ｗｏ ｍａ ｒ ｅ ｙ Ａ ｉ Ｃ Ａ １ ｌ＋。Ａ２，ｗｈｅｅ。 Ｃ ∈Ｃ ｒ ｏ ｚ ｒ ｃ ｌｒ ． Ｔｈ ｔ ｄ ｆｉ ｅ ｐ ｔｎ ｙ，ｔｉ ｏｅ ｃ ｎ ｎｖ ｌ ｔ ｎ ｏ ｉ ａ ２ ｒ １，２ ａ ｅ ｎ ｎ ｅｏ ｓ ａａ ｓ ｅ ｓｕ ｙ ｏ ｄ ｍｏ ｏｅ ｃ ｒｐ ｔ ｎ ｙ ａ ｄ ｉ ｏ ｕｉ ｆｌ ｏ ｎｅ ｒ
Ｋ ｅ ｗｏ ｄｓ ｉ ｅ ｐ ｔ ｎ ｔｉ ｙ ｒ ：ｄ ｍ ｏ ｅ ｔｍａｒｘ；ｔｉ ｏｅ ｔｍａｒｘ；ｉ ｖ ｌ ｔｖ ｔｉ ｌ ａ ｏ ｂｎａｉ ｎ ｒｐ ｔ ｎ ｔｉ ｎ ｏｕ ｉ ｅ ｍａ ｒｘ； ｉ ｎｅ ｒｃ ｍ ｉ ｔｏ ｓ
本 文 中 Ｃ表 示 复数域 ， ｛ 表 示非 零 复 数 集 Ｃ＼ ０｝ 合 ， “ Ｃ 表示 复数 域 上 ｎ阶方 阵 的集 合． ｃ ，： 设 。ｃ ∈ Ｃ＼０｝ ４ ， ∈Ｃ 为 非 零 的 复 矩 阵 ， 阵 Ａ 为 ｛ ， Ａ 矩 Ａ、 ，Ａ：的线 性组 合 ， Ａ ＝ １ ＋ 。 对幂 等矩 阵 、 即 ＣＡ ｃ ． Ａ
关键词 ： 幂等矩阵 ； 立方 幂等矩阵 ； 对合矩 阵 ； 线性组合
中 图分 类 号 ： １ １ １ ８ 文 献 标 识 码 ： 文 章 编 号 ：０６７ ３ ２ １ ） １ １５０ ０ ５ ．２ ，Ｃ １ Ａ １０ －０ （０ ０ Ｏ － ２ —３ ４ ０
Ｉ ｖ ｌ ｉ ｅ ｅ ｓ ｏ ｉ ｅ ｒ ｃ ｍ ｂ ｎ ｔ ｎ ｏ ｌ ｓ ａ ｒｘ ｎ ０ ｕｔ ｎ ｓ ｆ ａ ｌ ａ ｏ ｖ ｎ ｉ ａ ｉ ｆａ ｃａ ｓｍ ｔｉ ｏ
・
Ｂ ｈ ｎ － ａ ｇ Ｅ ｕ — ， Ｕ ａ —ｎ ，Ｌ ａ Ｕ Ｃ ａ ｇ ｉ ，Ｆ ＮＧ Ｇ ｏｌ Ｓ Ｎ Ｙ ｎｌ ｇ ＩＮ ｊｎ ｉ ｉ
（ ｏ ｅｅｏ Ｓ ｉ ｃ ，Ｈ ｒｉ ｎｉｅｒ ｇＵ ｉ ｒ ｔ， ａｂｎ１０ ０ ， ｈｎ ） Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃｅ ｅ ａｂｎＥ ｇ ｅｉ ｎｖ ｓｙ Ｈ ｒｉ ５ ０ １ Ｃ ｉａ ｌ ｎ ｎ ｎ ｅｉ
ｃ ｍｂ ｎ ｔ ｎ ｆｍａｒｃ ｓ ｈ ｓ ｉ ｏ ｔｎ ｐ ｌｃ ｔ ｎ ｎ ｍ ａ ｅｄ ． Ｉ ｈ ｓｐａ ｅ ，ｂｙ ｕ ｅ ｏ ｈ ｔｎｄ ｒ ｏ ｍ ｆａ ｏ ｉ ａｉ ｓ ｏ ｔ ｅ ａ ｍｐ ｒａ ｔａ ｐ ｉａｉ ｓ ｉ ｎｙ ｆ ｌ ｓ ｎ ｔ ｉ ｐ ｒ ｏ ｉ ｏ ｉ ｓ ｆｔ ｅ ｓａ ａ ｄ ｆ ｒ ｏ
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
3/23
给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
矩阵的合同
矩阵的合同矩阵的合同是线性代数中一个重要的概念。
矩阵合同的概念可以用于描述两个矩阵之间的一种关系，即它们可以通过元素交换和行/列的线性组合等操作相互转化。
首先，我们来定义矩阵的合同。
假设A和B是两个n×n的矩阵，如果存在一个n×n的可逆矩阵P，使得P^TAP=B，那么我们称A和B是合同的。
通过这个定义，我们可以得出一些结论。
首先，合同是一种等价关系，即它满足自反性、对称性和传递性。
自反性：任意的矩阵A都与自己合同，因为可以选择单位矩阵作为P。
对称性：如果A与B合同，那么B与A也合同，因为只需要考虑P^TBP=(P^TAP)^T=A^T。
传递性：如果A与B合同，并且B与C合同，那么A与C也合同。
这可以通过将两个等式P^TAP=B和Q^TBQ=C相乘，得到(PQ)^TAT(PQ)=C，因此A与C合同。
其次，合同的概念可以用于矩阵的相似性。
如果矩阵A与B 合同，那么它们具有相同的特征值和特征向量。
这是因为特征值和特征向量是通过对矩阵进行相似变换来定义的。
特征值方程A·x=λ·x可以写成(P^TAP)·(P^Tx)=λ·(P^Tx)，令y=P^Tx，我们可以得到B·y=λ·y。
所以，矩阵B和特征值方程(A,λ)具有相同的特征值和特征向量。
通过矩阵的合同，我们可以进行一些矩阵的操作。
例如，两个合同的矩阵可以通过元素的交换来相互转化。
如果A与B合同，那么可以通过交换A和B的元素来得到B。
例如，如果A=[a b; c d]，那么B=[d b; c a]。
此外，我们还可以通过行和列的线性组合来转换矩阵。
如果A 与B合同，那么可以通过将A的行或列重新排列并加上或减去它们的线性组合来得到B。
这样的操作可以帮助我们研究和简化矩阵的性质和计算。
最后，合同的概念还可以用于矩阵的分类和求解。
通过对矩阵的合同进行分类，我们可以将矩阵分为不同的等价类，每个等价类中的矩阵具有相似的性质或结构。
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同引言在线性代数中，矩阵是一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵时，我们经常会遇到矩阵相似和矩阵合同这两个概念。
本文将介绍矩阵相似和矩阵合同的定义、性质和应用。
矩阵相似矩阵相似是一种关系，用来描述两个矩阵之间的某种变换关系。
两个矩阵相似，意味着它们可以通过一个相似变换相互转化。
具体来说，对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
相似关系具有以下性质：1.相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.相似矩阵具有相同的特征值。
3.相似矩阵具有相同的秩、行列式、迹等性质。
矩阵相似在实际应用中具有重要意义。
例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行对角化处理，而矩阵相似关系可以帮助我们找到相似矩阵来简化计算。
矩阵合同矩阵合同是另一种矩阵之间的关系。
与矩阵相似不同，矩阵合同是通过正交变换来定义的。
对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个正交矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。
合同关系具有以下性质：1.合同关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。
矩阵合同在实际应用中也具有重要意义。
例如，在数值计算中，我们经常需要将矩阵进行对称化处理，而矩阵合同关系可以帮助我们找到合同矩阵来简化计算。
相似与合同的关系矩阵相似和矩阵合同之间存在着一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵相似，则它们一定是合同的。
这是因为如果矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们可以取正交矩阵Q等于P-1，则有QTAQ = B，即A和B是合同的。
然而，矩阵合同并不一定意味着矩阵相似。
换句话说，合同关系是相似关系的一个子集。
这是因为矩阵相似要求相似变换是可逆的，而矩阵合同要求正交变换是可逆的。
正交矩阵是一类特殊的矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，因此正交变换一定是可逆的。
秩1矩阵的性质及其在统计学中的应用
T 这里 A j = x x 是秩为 1 的 n 阶方阵，就把对称阵 A 表示成了 n 个对称阵 A j = x j x j 的线性组合，其线性组
合系数为相应的特征值，其实也就是 Ai 的加权和，对称阵的谱分解和对角化放在一起就是谱定理文献[4]。
3.3. 在定理证明中的应用
在统计分析学习中，出现很多次的向量 x 与 x T ，并且由于 xx T 是对称阵而 x T x 是一个数的特殊性经 常被用到。 在矩阵特征值的性质中， n 阶对称阵 A 的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn ， x1 , , xn , xi ≠ 0 为 n 阶列向量， 则有。
(
)
3.2. 对称阵的谱分解
对称阵的谱分解是基于特征值和特征向量的分解，在多元统计分析的许多方法中起了重要的作用。
n n
= A 对称阵 A 可以表为它的特征值 λ1 , , λn 和相应标准化特征向量 x1 , , xn 的函数
T j j
j 1= j 1 =
= λ j x j xT ∑ ∑ λ j Aj ， j
th th st
Abstract
Rank 1 matrices is the product of the n dimensional column vectors x and xT. This paper discussed some properties of the matrices with rank 1, like the structure, multiplication, eigenvalues and eigenvectors etc., and further analyzed the applications of the matrices applied in Statistics.
线性组合
解：设α = k1α1 + k2α 2 + k3α 3，即有方程组
k1 + 5k2 + k3 = 2 2k1 − 5k2 − 3k3 = −1 −3k + 12k + 6k = 3 k 1 11k 2 3k 3 4 2 + 3 = 1+
§3.3线性相关性 3.3线性相关性
（1） ）
线性无关的. 则称向量组 α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 为线性无关的
§3.3线性相关性 3.3线性相关性
换句话说， 换句话说， 对于一个向量组 α1 ,α 2 ,⋯ ,α s , 若由
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + k sα s = 0
必有
k1 = k2 = ⋯ = k s = 0,
则称向量组 α1 ,α 2 ,⋯ ,α s 为线性无关的 线性无关的.
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0), ⋯ , ε n = (0,0,⋯ ,1)
的一个线性组合． 的一个线性组合． 事实上， 事实上，有对任意 α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) , 皆有
α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n .
浅谈对行列式,矩阵及线性相关性的理解
浅谈对行列式，矩阵及线性相关性的理解［摘要］行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了，所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
矩阵是线性代数课程中的最重要的一章之一，学好矩阵，对我们学习线性代数有着关键性的作用，故在此我也对矩阵这一章做出归纳总结。
线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论，对我们来说是很难理解的，故我把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”，这样在学习上可收到较好的效果。
［关键词］行列式性质，展开法则，初等矩阵，初等变换，线性相关，线性无关，多余，没有多余。
[正文] 1.行列式1.1、行列式定义举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。
（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。
1.2、行列式性质行列式的那几条性质其实也很容易记忆。
1、行列式转置值不变。
这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。
2、互换两行（列），行列式变号。
3、两行（列）相等，则行列式为0。
4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！5、两行（列）成比例，则行列式为0。
6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。
第一节 线性组合
2
(每份)
Quaker
天然麦片
130 3 , 2 18 5
9 混合物 4 8 , 8
方程:
x 1 1 x 2 2
x1 , x 2 :
两种麦片的数量
解:(2)
x 1 1 x 2 2
解: 是否存在 x 1 , x 2 , 使 x 1 1 x 2 2 3 ,
x1
1 2 5
2 7 x2 5 4 , 3 6
即:
2
9 16
x1 2 x 2 7 2 x1 5 x 2 4 5 x1 6 x 2 3
a b
三维向量
例2
1 2 向量 , , 求 2 , , 2 , 1 1
并在平面上画出它们. 解:
2 2 , 2
2
1 , 2
第四章
向
量
第一节
a1 a2 , an
线性组合
定义1.1 向量表示一组数,用 , 等表示.
n维列向量
n维行向量 T
( a1 , a 2 , , a n ) ,
ai :
第i个分量,
n : 向量维数.
向量组: 一组维数相同的列 (行)向量. 注： 向量是只有一行(列)的矩阵
即
1 1 0 x1 1 3 0 x 2 2 9 5 9 3 x2 4 x1 20 x 18 x 48 1 2 2 x1 8 5 x2
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算
线性变换的矩阵表示线性变换与矩阵的关系与计算线性变换的矩阵表示——线性变换与矩阵的关系与计算在数学中，线性变换是一类重要的变换，具有广泛的应用背景。
线性变换可以通过矩阵来表示，这为我们在计算和理解线性变换提供了便利。
本文将介绍线性变换与矩阵的关系，以及如何进行线性变换的矩阵计算。
一、线性变换与矩阵的关系线性变换是指保持直线性质和原点不动的变换。
对于一个n维向量空间V中的向量x，若存在一个线性变换T，将向量x映射为向量y，即y=T(x)，则称T为从V到V的一个线性变换。
线性变换可以通过矩阵的乘法运算来表示。
设V是n维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}，在这组基下，对于向量x和y，若y=T(x)，则存在一个n×n的矩阵A，使得y=Ax。
这个矩阵A就是线性变换T对应的矩阵表示。
矩阵表示的好处在于，通过矩阵的乘法运算，我们可以将线性变换转化为矩阵的计算，从而简化问题的求解过程。
二、线性变换的矩阵表示对于线性变换T，我们希望找到它对应的矩阵表示A。
假设V是n 维向量空间，取V中的一组基{v1,v2,...,vn}。
根据线性变换的定义，对于向量vi，有T(vi)=wi，我们可以将T(vi)表示为基向量w1,w2,...,wn的线性组合。
设T(vi)=w1i+w2i+...+wni，其中wi是基向量wi的系数。
我们可以将系数wi构成一个列向量Wi，将基向量构成一个矩阵W。
则有W=[w1,w2,...,wn]，Wi=AW，其中A是线性变换T对应的矩阵表示。
求解矩阵A的方法有很多种，最常用的方法是利用线性变换T在基向量上的作用。
将基向量vi映射为向量wi，我们可以在基向量的基础上用线性组合的方式得到wi。
将所有的基向量和对应的映射向量展开，我们可以得到矩阵A的表达式。
三、线性变换的矩阵计算在得到线性变换的矩阵表示后，我们可以利用矩阵的乘法运算对线性变换进行计算。
设矩阵A对应线性变换T，向量x对应向量y，即y=Ax。
矩阵的相似与相合
解方程
(I
A) xr
r 0.
由
8
当 1 1 时,
解方程
(
I
r A) x
r 0.
由
~ 1 1 1
I
A
0
3
0
1 1 1
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
1
得基础解系
r p1
0 1
,
故对应于 1 1 的全体特征向量为 kpr1 (k 0).
9
当 2 3 2 时,
解方程
(2I
例3. 已知三阶方阵A的特征值为 1,1, 2,求 A2 2A1-4I 的特征值及 A2 2A1-4I .
解. A2 2A1-4I的特征值为
(1)2 2(1)1 4= 5， 12 2(1)1 4= 1 (2)2 2(2)1 4=1
故 A2 2A1-4I =(-5)(1) 1 5. 14
特征向量
xr
r 0,
特征值问题是对方阵而言的.
2. 若向量 xr 是 A 的对应于特征值 的特征向量,
则 kxr (k 0) 也是 A 的对应于特征值 的特征向量.
且对应特征向量的非零线性组合也是 的特征向量.
3
3. n 阶方阵 A 的特征值, 就是使齐次线性方程组
( I
A) xr
r 0
有非零解的
值,
即满足方程
I A 0 的 都是矩阵 A 的特征值.
a11 a12 L
4. I A 0 a21 a22 L
L
LL
an1 an2 L
a1n a2n 0 L
ann
称以 为未知数的一元 n 次方程 I A 0 为
矩阵论 线性空间一(1-3)
例2、在线性空间 中，
例3 在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得
求解
注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求
解问题。
给定线性空间V 的两个向量组
与
，如果
中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向
量组
可以由向量组 线性表示；
如果向量组
与
组
与向量组
可以相互表示，则称向量 是等价的。
进而得x=0,及
故向量组x1 ,x2 , …,xt , y1 ,y2 , …,yr-t , z1 ,z2 , …,zs-t 线性无关，并构成S1+S2的基。
例3、求
的交空间与和空间的维 数与基
解 由于
并且
是
的极大线性无关组，故 是和空间L的一组基。
由维数公式得交空间的维数是1，现在要求交空间 的一组基。
一、子空间与生成子空间 1、定义：设V是一个线性空间，S是V的一个子集， 如果S关于V的加法及数乘也构成一个线性空间，则 称S是V的一个子空间。记为 定理 : 线性空间V的一个子集S是V的一个子空间 当且仅当S关于V的加法及数乘是封闭的，即
说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是 它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为 零子空间。
命题二 向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的充 要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表 示。
可以证明：
1、在线性空间
中，
线性无关。
其中 表示第i行元素第j列元素1，其它元素为0的 矩阵。
2、在线性空间
中，
线性无关。
定义 设
是线性空间V的向量组,如果
（1）
是线性无关组，