平面向量基本定理(教教案)
教学设计3：6.3.1 平面向量基本定理
6.3.1 平面向量基本定理一、教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.二、教学目标1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握平面向量正交分解及其坐标表示。
2、过程与方法：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。
3、情感态度与价值观：通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。
三、重点难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点：平面向量基本定理的运用.四、教学设想（一）导入新课思路 1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F 1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F 2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许，用多媒体教学，通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2，请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1，设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动：如图1，在平面内任取一点O，作=e 1，=e 2，=a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N .由向量的OA OB OC线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e 1，=λ2e2.由于，所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得：平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.讨论结果：①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：图2已知两个非零向量a 和b (如图2)，作=a ，=b ，则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然，当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向.因此，两非零向量的夹角在区间[0°，OM ON ON OM OC +=OA OB180°]内.如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便.讨论结果：①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°，180°]内；向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动：如图3，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j①这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.显然，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).教师应引导学生特别注意以下几点：(1)向量a与有序实数对(x，y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.如图所示，是表示a 的有向线段，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则向量a 的坐标为x =x 2-x 1，y =y 2-y 1，即a 的坐标为(x 2-x 1，y 2-y 1). (3)为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点，这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了，即点A 的坐标就是向量a 的坐标，流程表示如下：讨论结果：①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a =(x ，y ).②是一一对应的.（三）应用示例 思路1例1 如图4，ABCD ，=a ，=b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF =BC ，以a ，b 为基底分解向量.图4活动：教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解，让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤，并对书写认真且正确的同学提出表扬，对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解：由H 、M 、F 所在位置，有=b +a . =a b . 点评：以a 、b 为基底分解向量与，实为用a 与b 表示向量与.11B A AB AD 31HF AM 和+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 2121AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-=61-AM HF AM HF变式训练已知向量e 1、e 2(如图5)，求作向量-2.5e 1+3e 2.图5作法：(1)如图，任取一点O，作=- 2.5e 1，=3e 2.(2)作OACB .故OC 就是求作的向量.例2 如图6，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.图6活动：本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ，其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解，看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来，进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点，则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法，可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a 与b 关于y 轴对称，a 与c 关于坐标原点中心对称，a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a =+=x i +y j ，∴a =(2，3).同理，b =-2i +3j =(-2，3)；c =-2i -3j =(-2，-3)；d =2i -3j =(2，-3).点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.变式训练i ，j 是两个不共线的向量，已知=3i +2j ，=i +λj ，=-2i +j ，若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值.OA OB OC 1AA 2AA AB CB CD解：∵=-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ，又∵A 、B 、D 三点共线，∴向量与共线.因此存在实数υ，使得=υ，即3i +2j =υ[-3i+(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量，故∴∴当A 、B 、D 三点共线时，λ=3. 例 3 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解析：平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量.综上所述，②③正确.答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2例1 如图7，M 是△ABC 内一点，且满足条件0，延长CM 交AB 于N ，令=a ，试用a 表示.图7活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具.BD CD CB AB BD AB BD ⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ⎩⎨⎧=-=.3,1λv =++CM BM AM 32CM CN由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2，则 解：∵ ∴由=0，得0. ∴=0. 又∵A 、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 由平行向量基本定理，设∴0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.由于和不共线，∴∴ ∴∴=2a .点评：这里选取作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量，a =3e 1+4e 2，b =-2e 1+5e 2，若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2，求λ、μ的值.解：由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理，知 解之，得λ=1，μ=-1.⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a ,,NM BN BM NM AN AM +=+=CM BM AM 32++=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(CM BN NM AN 323+++,,NM CM BN AN μλ===+++NM BN NM BN μλ323BN NM BN NM ⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ⎩⎨⎧-=-=12μλ.MN NM CM =-=CM MN CM CN 2=+=NM BN ,⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ例2 如图8，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE =2EC ，求的值.图8活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后，然后结合向量的相等进行求解比值. 解：设 ∵=，即-=-， ∴=(+). 又∵=λ=λ(-)，∴==+.① 又∵=μ，即-=μ(-)， ∴(1+μ)=+μ= 又=，∴=+.② 比较①②，∵、不共线， ∴解之，得∴ 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q ，设=h ，，试GEBG GD AG 及μλ==GEBG GD AG ,BD DC AD AB AC AD AD 21AB AC AG GD AD AG AG λλ+1AD )1(2λλ+AB )1(2λλ+AC BG GE AG AB AE AG AG AB AG AE ,AE AB μμμ+++111AE 32AC AG AB μ+11)1(32μμ+AC AB AC ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ.23,4==GE BG GD AG OP OA OB k OQ =证： 解：设=a ，=b ，OG 交AB 于D ，则=()=(a +b )(图略). ∴==(a +b )，=(a +b )-k b =a +b ， =h a -k b . ∵P 、G 、Q 三点共线，∴.∴a +b =λh a -λk b .∴ 两式相除，得， ∴=3. （四）知能训练1.已知G 为△ABC 的重心，设=a ，=b ，试用a 、b 表示向量.2.已知向量a =(x +3，x 2-3x -4)与相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求x . 解答：1.如图9，=，图9 而a +(b -a )=a +b ， ∴(a +b )=a +b . 点评：利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A (1，2)，B (3，2)，∴=(2，0).∵a =，∴(x +3，x 2-3x -4)=(2，0).∴解得∴x =-1.311=+kh OA OB OD 21OB OA +21OG 32OD 31OQ OG QG -=3131331k -OQ OP QP -=QP QG λ=31331k -⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ.3311hk h k k h k =+⇒-=-kh 11+AB AC AG AB AG 32AD =+=+=BC AB BD AB AD 212121213232==AD AG 21213131AB AB ⎩⎨⎧=--=+043,232x x x ⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或AB点评：先将向量用坐标表示出来，然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图.。
平面向量基本定理(教案)
平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。
1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。
基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。
2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。
基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。
教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。
例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。
3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。
线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。
教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。
在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。
4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。
向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。
教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。
例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。
5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。
《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业
《6.3.1 平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1e1+λ2e2要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量. 四、典例分析、举一反三 题型一 正确理解向量基底的概念例1例1 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ 【答案】B【解析】①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e 1，e 2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 2＋e 1【答案】B.【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用基底a ，b 表示AB ―→，BC ―→.【答案】AB ―→＝12a －12b ，BC ―→＝12a ＋12b.【解析】 由题意知，AO ―→＝OC ―→＝12AC ―→＝12a ，BO ―→＝OD ―→＝12BD ―→＝12b .所以AB ―→＝AO ―→＋OB ―→＝AO ―→－BO ―→＝12a －12b ，BC ―→＝BO ―→＋OC ―→＝12a ＋12b.解题技巧： (用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ―→＝e 1，AB ―→＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC ―→，BC ―→，MN ―→.2、【答案】DC ―→＝k e 2.BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.MN ―→＝k ＋12e 2.【解析】法一：∵AB ―→＝e 2，DCAB＝k ，∴DC ―→＝k AB ―→＝k e 2.∵AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，∴BC ―→＝－AB ―→－CD ―→－DA ―→＝－AB ―→＋DC ―→＋AD ―→＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN ―→＋NB ―→＋BA ―→＋AM ―→＝0，且NB ―→＝－12BC ―→，AM ―→＝12AD ―→，∴MN ―→＝－AM ―→－BA ―→－NB ―→＝－12AD ―→＋AB ―→＋12BC ―→＝k ＋12e 2.法二：同法一得DC ―→＝k e 2，BC ―→＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ，由MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→)得MN ―→＝12(MA ―→＋AB ―→＋MD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋DC ―→)＝k ＋12e 2.题型三 平面向量基本定理的应用例3 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值．【答案】AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【解析】 设BM ―→＝e 1，CN ―→＝e 2，则AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝－3e 2－e 1，BN ―→＝BC ―→＋CN ―→＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP ―→＝λAM ―→＝－λe 1－3λe 2， BP ―→＝μBN ―→＝2μe 1＋μe 2.故BA ―→＝BP ―→＋PA ―→＝BP ―→－AP ―→＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ―→＝45AM ―→，BP ―→＝35BN ―→，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【答案】AP →＝311 a ＋211b ． 【解析】如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM//BE.设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ，∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911，∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311 a ＋211b ． 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题. 【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1 平面向量基本定理》导学案【学习目标】 知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换. 【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本25-27页，填写。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面向量基本定理教案
§ 平面向量基本定理教课方案教课目标：（1）认识平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都能够用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决本质问题的重要思想方法；（3）能够在详细问题中适合地选用基底，使其余向量都能够用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理 .教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.讲课种类：新讲课教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λ a（ 1） | λ a |=| λ|| a | ；（ 2）λ >0 时λ a 与 a 方向同样；λ <0 时λ a 与 a 方向相反；λ =0 时λ a =0 2．运算定律联合律：λ ( μ a )=( λμ)a；分派律：(λ μ) λ μ，λ ( a +b)=λa +λb + a = a + a3. 向量共线定理向量 b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λa .二、解说新课：1．提出问题：由平行四边形想到：（1）是否是每一个向量都能够分解成两个不共线向量且分解是独一（2）关于平面上两个不共线向量 e 1 ， e 2 是否是平面上的全部向量都能够用它们来表示2．设 e 1 ， e 2 是不共线向量， a 是平面内任一直量，aMe 1MChe 2O N BOA = e 1 ， OM =λ 1 e 2 ； OB = e 2 ， ON =λ 2 e 2 OC = a =OM +ON =λ1 e 1 +λ2 e 2 ，平面向量基本定理： 假如 e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ 1，λ 2 使 a =λ1 e 1 +λ 2 e 2 .研究：(1) 我们把不共线向量 ｅ１、ｅ２ 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底； (2) 基底不唯一，要点是不共线；(3) 由定理可将任一直量 a 在给出基底 ｅ１ 、ｅ２ 的条件下进行分解；(4) 基底给准时，分解形式唯一 . λ 1，λ 2 是被 a ， e 1 ， e 2 独一确立的数目3、两个非零向量的夹角：如下图，已知两个非零向量 a,b ，在平面上任取一点 O ，作 OA a,OB b ，则AOB0叫做向量 a 与 b 的夹角，bBAaObθθAbOBaa【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时， 一定先将这两个向量的起点移至同一个点；可是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的 0, 范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。
平面向量基本定理及坐标表示教案
2．3．4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量共线的坐标表示；（2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线． 教学重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一． λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作),(y x a =其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=．2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则),(2121y y x x ++=，),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。
3．练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP ， 求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= ．3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 如何求证：四边形ABCD 是梯形．？ 二、讲解新课：1．思考：（1）两个向量共线的条件是什么？ （2）如何用坐标表示两个共线向量？设=(x 1， y 1) ，=(x 2， y 2) 其中≠．由=λ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0∥ (≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵≠ ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
平面向量基本定理(教案)
《平面向量基本定理》教课设计【教材】人教版数学必修【教课对象】高一学生4（A版）第 105-106 页【课时安排】1个课时【讲课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材解析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的观点，它不单是交流代数与几何的桥梁，仍是解决很多实质问题的重要工具，所以拥有很高的教育价值。
2.本节在教课中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转变为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依靠，能够推行到 n 维向量空间，是此后引出空间向量用三维坐标表示的基础。
所以本节知识在本章中起承前启后的作用。
3.本节在教课思想方面的培育价值平面向量基本定理包含了转变的数学思想。
它是用基本因素用基本因素（基底、元）表达事物（向量空间、拥有某种性质的对象的会合），并把对事物的研究转变为对事物基本因素研究的典型典范，这是人们认识事物的一种重要方法。
【目标解析】知识与技术1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择适合的基底，将简单图形中的任一直量表2.示为一组基底的线性组合；认识平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如订交线交成线段比的问题等）。
过程与方法1.经过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步领会“某一方向上的向量的一维性”，培育“维数”的基本观点；2.经过对平面向量基本定理的研究过程，让学生领会数学定理的产生、形成过程，体验定理所包含的转变思想。
感情态度价值观1.培育学生主动研究知识、合作交流的意识，感觉数学思想的全过程；2.与物理学科之间的浸透，改良数学学习信念，提升学生学习数学的兴趣。
【学情解析】有益因素1.学生在前方已经掌握了向量的基本观点和基本运算（特别是向量加法平行四边形法例和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容供给了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解供给了认知准备。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的分解。
2. 学会用坐标表示平面向量，理解向量坐标与向量运算之间的关系。
3. 能够运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理：任何一个平面向量都可以唯一地表示为两个不共线向量的线性组合。
2. 向量的分解：将一个向量表示为两个不共线向量的线性组合。
3. 向量的坐标表示：用坐标表示向量，掌握向量坐标的运算规则。
4. 向量运算与坐标表示：理解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的具体运算。
三、教学重点与难点1. 重点：平面向量的基本定理，向量的分解，向量的坐标表示。
2. 难点：理解向量坐标与向量运算之间的关系，熟练运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解平面向量的基本定理及其坐标表示。
2. 利用多媒体演示，直观地展示向量的分解和坐标表示。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题。
4. 开展小组讨论，加强学生之间的互动交流。
五、教学安排1. 课时：2课时2. 教学过程：第一课时：1. 导入新课，介绍平面向量的基本定理。
2. 讲解向量的分解，引导学生理解平面向量基本定理。
3. 介绍向量的坐标表示，讲解坐标运算规则。
4. 课堂练习，巩固所学知识。
第二课时：1. 复习上节课的内容，回顾平面向量基本定理及其坐标表示。
2. 讲解向量加法、减法、数乘在坐标表示下的运算。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量基本定理及其坐标表示解决实际问题。
4. 课堂练习，提高学生运用知识解决问题的能力。
5. 总结本节课的内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面向量基本定理及其坐标表示的练习题，巩固所学知识。
2. 课堂练习：评价学生在课堂上运用平面向量基本定理及其坐标表示解决问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。
（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。
2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。
（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。
（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。
三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。
2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。
3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。
4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。
5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。
平面向量基本定理及其坐标表示教案
平面向量基本定理及其坐标表示教案教学目标：1. 理解平面向量的基本定理；2. 学会用坐标表示平面向量；3. 掌握平面向量的坐标运算。
教学重点：1. 平面向量的基本定理；2. 坐标表示平面向量；3. 平面向量的坐标运算。
教学难点：1. 平面向量的基本定理的理解；2. 坐标表示平面向量的推导；3. 平面向量的坐标运算的熟练运用。
教学准备：1. 教材或教案；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教鞭。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中阶段学习的向量知识，如向量的定义、向量的加法、减法等；2. 提问：向量是否可以只有大小没有方向？为什么？二、平面向量的基本定理（15分钟）1. 介绍平面向量的基本定理：任意两个平面向量都可以唯一地分解为两个互垂直的向量的和；2. 用图形和实例来说明基本定理的意义；3. 引导学生理解基本定理的重要性。
三、坐标表示平面向量（15分钟）1. 介绍坐标系的概念，如直角坐标系、平面极坐标系等；2. 推导平面向量的坐标表示方法，即用坐标表示向量的位置；3. 举例说明如何用坐标表示平面向量。
四、平面向量的坐标运算（15分钟）1. 介绍平面向量的坐标运算，如坐标加法、减法、数乘等；2. 用公式和实例来说明坐标运算的规则；3. 引导学生熟练掌握坐标运算的方法。
五、巩固练习（10分钟）1. 给出一些关于平面向量的练习题，让学生独立完成；2. 针对学生的疑问进行解答和讲解；3. 强调平面向量基本定理及其坐标表示的重要性。
教学反思：在教学过程中，要注意通过实例和图形来帮助学生理解平面向量的基本定理及其坐标表示，以及坐标运算的规则。
要鼓励学生积极参与课堂讨论，提出疑问，以提高他们的学习兴趣和动力。
六、向量加法的平行四边形法则（15分钟）1. 介绍平行四边形法则，即以两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线所代表的向量等于这两个向量的和；2. 用图形和实例来说明平行四边形法则的应用；3. 引导学生理解并掌握平行四边形法则。