相似三角形 类比探究

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(探索版)相似三角形的研究与探索

(探索版)相似三角形的研究与探索

(探索版)相似三角形的研究与探索目标
本文旨在研究和探索相似三角形的性质和应用。

我们将通过深入分析相似三角形的特点和定理,探讨其在几何学中的重要性和实际应用。

相似三角形的定义
相似三角形是指具有相等比例的相似边的三角形。

相似三角形的性质
1. AAA相似性质:如果两个三角形的对应角度相等,则它们是相似的。

2. AA相似性质:如果两个三角形的一个角相等,并且两个角的对应边成比例,则它们是相似的。

3. SSS相似性质:如果两个三角形的对应边成比例,则它们是相似的。

相似三角形的定理
1. 相似三角形内部的对应角度相等。

2. 相似三角形的对应边成比例。

3. 相似三角形的高线成比例。

相似三角形的应用
相似三角形在几何学中有广泛的应用,例如:
1. 测量不可直接访问的高度或距离:通过相似三角形的比例关系,我们可以使用已知的距离和高度,来测量无法直接测量的高度或距离。

2. 建模和设计:相似三角形的性质可以用于建模和设计各种物体和结构,例如建筑、桥梁和机械零件。

3. 地图和导航:地图和导航系统中常用相似三角形的性质来计算位置、距离和方向。

4. 绘图和艺术:相似三角形的比例关系可以用于绘画和雕塑等艺术形式中,以创造出逼真和对称的效果。

总结
相似三角形是几何学中重要的概念之一,具有广泛的应用。

通过深入研究和探索相似三角形的性质和定理,我们可以更好地理解几何学的基本原理,并将其应用于实际问题中。

希望本文对读者在学习和应用相似三角形方面有所帮助。

三角形全等之类比探究

三角形全等之类比探究

三角形全等之类比探究在我们的数学世界中,三角形全等是一个极其重要的概念。

它不仅是解决几何问题的有力工具,也是培养我们逻辑思维和空间想象能力的重要途径。

今天,咱们就来深入探究一下三角形全等这个有趣的话题,通过类比的方法,让我们更好地理解和掌握它。

首先,咱们得弄清楚啥是三角形全等。

简单来说,两个三角形如果形状和大小完全相同,那就叫全等。

这意味着它们的三条边长度相等,三个角的度数也相等。

那怎么判断两个三角形是不是全等呢?这就有好几种方法啦。

比如“边边边”(SSS)定理,就是说如果两个三角形的三条边都对应相等,那这两个三角形就全等。

想象一下,三条边都一样长,那围出来的三角形能不一样吗?肯定是一模一样的呀。

再比如“边角边”(SAS)定理,当两个三角形有两条边及其夹角对应相等,它们就全等。

为啥夹角这么重要呢?因为夹角决定了这两条边的相对位置,位置定了,形状大小也就定了。

还有“角边角”(ASA)定理,要是两个三角形的两个角及其夹边对应相等,那它们也是全等的。

这就好比我们先确定了三角形的两个角,再确定夹在这两个角中间的边,那这个三角形也就确定下来了。

“角角边”(AAS)定理也很有用,两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

那类比一下,这些定理之间有啥相似之处呢?其实它们都是通过确定三角形的一些关键元素,来判断整个三角形是否全等。

就像盖房子,我们先把重要的支柱和框架搭好,房子的形状也就基本确定了。

咱们再来说说三角形全等在实际生活中的应用。

比如说建筑工人在建造房屋的时候,需要确保一些结构部件的形状和尺寸完全一致,这时候三角形全等的知识就能派上用场啦。

通过测量和计算,判断相关的三角形是否全等,就能保证建筑的稳定性和安全性。

在制造业中,生产零件也需要保证精度。

如果零件的形状是三角形的,那么利用三角形全等的原理,可以检测零件是否符合标准。

那如果我们碰到一些复杂的几何问题,怎么利用三角形全等去解决呢?这就需要我们灵活运用这些定理,善于发现隐藏在问题中的全等三角形。

八下 4.6.1探索三角形相似的条件》学案

八下 4.6.1探索三角形相似的条件》学案

4.6 探索三角形相似的条件学案【重点难点】掌握相似三角形判定的条件和有关的基本图形是重点;基本图形的相互关系及相关结论是难点。

【学习导航】类比探究三角形全等条件的方法来探究三角形相似的条件。

通过图形的变化,体会由特殊到一般一般到特殊思想方法的运用。

【知识链接】我们知道,三角对应相等、三边对应相等的两个三角形全等,你还记得三角形全等的判定定理吗?判断两个三角形全等并不需要三角相等,三边也相等,而只需具备特定的条件即可。

我们知道,两个三角形相似,那么两个三角形相似一定要具备这些条件吗?符合特定条件的三角形是否可以相似呢?【探究新知】(同桌同学为组开展活动。

)1、画一个△ABC,使得∠BAC=600。

你们所画的三角形相似吗?检查一下除了等于600的角相等外,还有其它相等的角吗?.2、一人画△ABC,另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α,∠B和∠B′都等于给定的∠β。

比较你们画的两个三角形,∠C与∠C′相等吗?对应边的比相等吗?这样的两个三角形相似吗?由此我们可以得到怎样的猜想?结论:的两个三角形相似。

【运用新知】例如图1,D、E分别是△ABC的边BA,CA延长线上的点,DE∥BC。

(1)图中有哪些相等的角?(2)找出图中的相似三角形,并说明理由;(3)写出三组成比例的线段。

解:(学生讨论回答;学生质疑,教师解难。

)友情提示:运用本定理的关键是在两个三角形找到两对对应角相等。

(1)(2)。

理由是:∵∴。

(3)【运用新知】变形一:把上图中的直线DE向平行于BC方向移动到如力的位置,变为图2,回答上面的问题。

(1)(2)(3)变形二:B CAE D图1AD EB C图2移动线段DE ,使∠AED =∠B ,变为图3,回答上面的问题。

(1)(2) (3) 。

反思: 的对应点由 变为E 、D ,因而对应角和对应线段也发生了相应的变化。

变形三:继续移动线段DE ,使E 点与C 点重合,并保持∠AED =∠B ,变为图4,回答上面的问题。

第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

相似之类比探究(讲义)一、 知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合,由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解决思想方法一脉相承的综合性题目,常以几何综合题为主. ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比(照搬),类比上一问的思路方法(如照搬字母,照搬辅助线等).探究变化过程中的不变特征(如常见结构),是类比的前提.● 类比探究中的常见结构平行结构:由比例找平行,构造A 字型或X 型; 直角结构:由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形.二、 精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题:如图1,在□ABCD 中,点E 是BC 边的中点,点F 是线段AE 上一点,BF 的延长线交射线CD 于点G ,若3AFEF=,求CD CG 的值. (1)尝试探究:在图1中,过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H , 则AB 和EH 的数量关系是_____________,CG 和EH 的数量关系是_____________,CDCG的值是_________.(2)类比延伸:如图2,在原题的条件下,若AFm EF=(m >0), 则CD CG的值是_________(用含m 的代数式表示),试写出 解答过程.图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G(3)拓展迁移:如图3,在梯形ABCD 中,DC ∥AB ,点E是BC 的延长线上一点,AE 和BD 相交于点F .若ABa CD=,BCb BE=(a >0,b >0),则AF EF 的值是________(用含a ,b 的代数式表示).2. 数学课上,魏老师出示图1和下面框中条件:(1)①当点C 与点F 重合时,如图2所示,可得AMDM的值为___________;②在平移过程中,AMDM的值为___________(用含x 的代数 式表示).(2)将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点A 落在线段DF 上时,如图3所示,请计算AMDM的值. (3)将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度,090m <≤,原题中的其他条件保持不变,如图4所示,请计算AMDM的值(用含x 的代数式表示).如图1,两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上,∠ABC =∠DEF =90°,AB =1,DE =2.将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°,交直线AD 于点M .将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移,设C ,E 两点间的距离为x .图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1,将三角板放在正方形ABCD 上,使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合,三角板的一边交CD 于点F ,另一边交CB 的延长线于点G .(1)求证:EF =EG .(2)如图2,移动三角板,使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成 立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”, 且使三角板的一边经过点B ,其他条件不变,若AB =a ,BC =b ,求EFEG的值.E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G ,EF ⊥BE 交AB 于点F ,AC =mBC ,CE =nEA (m ,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系.(1)如图2,当m =1,n =1时,EF 与EG 的数量关系是 ____________.(2)如图3,当m =1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关 系是______________,并证明你的结论.(3)如图1,当m ,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关 系是______________.(写出关系式,不必证明)三、 回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.(1)AB =3EH ;CG =2EH ;32(2)2m;提示:过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H (3)ab ;提示:过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.(1)①1;②2x(2)提示:过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ,连接AG ,证AG ∥DE ,得△AMG ∽△DME ,所以212AM AG DM DE ===(3)提示:过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ,连接AG ,证AG ∥DE ,得△AMG ∽△DME ,所以2AM AG xDM DE ==.3.(1)提示:证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA),所以EF =EG ; (2)成立.理由如下: 证明:如图,I HEAB CD FG过点E 分别作BC ,CD 的垂线,垂足分别为H ,I , 证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA),所以EF =EG ; (3)解:如图,MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ,CD 的垂线,垂足分别为M ,N , 证明△GME ∽△FNE ,所以EF bEG a. 4. (1)EF =EG .(2)EF =1nEG ;作EM ⊥AB 于点M ,EN ⊥CD 于点NN MEC FAG(3)EF =1mnEG . I H C EF DA BG相似之类比探究(每日一题) 姓名_________1. 在△ABC 中,D 为BC 边的中点,E 为AC 边上的任意一点,BE 交AD 于点O ,某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:(1)当11211==+AE AC 时,有22321==+AO AD ; (2)当11312==+AE AC 时,有22422==+AO AD ; (3)当11413==+AE AC 时,有22523==+AO AD ; (4)当11=+AE AC n 时,参照上述研究结论,请你猜想用n 表示AOAD的一般结 论,并给出证明(其中n 是正整数).OE D CBA2. 在图1至图3中,直线MN 与线段AB 相交于点O ,∠1=∠2=45°. (1)如图1,若AO =OB ,请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系. (2)将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2,其中AO =OB . 求证:AC =BD ,AC ⊥BD .(3)将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3,求BDAC的值. ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33. 已知:线段OA ⊥OB ,点C 为OB 中点,D 为线段OA 上一点.连接AC ,BD 交于点P .(1)如图1,当D 为OA 中点时,求APPC 的值; (2)如图2,当AD :DO =1:m 时,求APPC的值;(3)如图3,把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”,当AD :DO =1:m 时,直接写出APPC的值. ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34. (1)如图1,已知正方形ABCD ,E 是AD 上一点,F 是BC 上一点,G 是AB 上一点,H 是CD 上一点,线段EF ,GH 交于点O ,∠EOH =∠C .求证:EF =GH .(2)如图2,若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”,且AD =mAB ,其他 条件不变,探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明.(3)根据前面的探究,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能, 写出推广命题,画出图形,并证明;若不能,说明理由.A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25. 在矩形ABCD 中,E 是BC 的中点,点F 在BC 的延长线上,CM 平分∠DCF ,连接AE ,作EM ⊥AE 交CM 于点M .(1)如图1,当AB =BC 时,请判断AE 与EM 的数量关系并证明; (2)如图2,当AB =nBC 时,请判断AE 与EM 的数量关系并证明; (3)如图3,把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”,当AB =nBC 时, 请判断AE 与EM 的数量关系并证明.图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1.解:当11=+AE AC n 时,2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下:过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ,△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==,AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n,即:2=2AOAD n+2.解:(1)由题意知∠BOD=∠1=45°,此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD,OB⊥BD∴AO=BD,AO⊥BD(2)如图2,EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E,延长AC,DB交于点F.∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°,∠ACO=∠BEO,∠OAC=∠OBE ∴△BED,△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE,AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE,∴AC=BE∴AC=BD,AC⊥BD(3)如图3,EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E,延长AC,DB交于点F.∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°,∠ACO=∠BEO,∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形,且△AOC∽△BOE∴BD=BE,BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3.解:(1)如图1,E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E,∠ADE=∠O,∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B,∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2(2)如图2,E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E,∠ADE=∠O,∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+,1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B,∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ,则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++,PC =EC -EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m(3)1n m+ 4.证明:(1)如图1,Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ,过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ,且GN ⊥FM ,设它们的垂足为Q ,EF ,GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°,∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM . ∵ ∠GNH =∠FME =90°,FM =GN , ∴ △GNH ≌△FME . ∴ EF =GH(2)GH=mEF证明如下:如图2,MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,设EF,GN交于点R,GN,MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°,∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM.∵∠GNH=∠FME=90°,∴△GNH∽△FME.∴GH ADEF AB=m,即:GH=mEF(3)A E M DHNCQORFGB如图,已知平行四边形ABCD,E是AD上一点,F是BC上一点,G是AB上一点,H是CD上一点,线段EF,GH交于点O,∠EOH=∠C,AD=mAB,则GH=mEF.证明:如图,过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,设EF,GN交于点R、GN,MF交于点Q,在四边形MQND中,∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°.∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF.∵∠ORG=∠QRF,∴∠HGN=∠EFM.∵∠FME=∠GNH=90°,∴△GNH∽△FME.∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=,即:GH=mEF5.解:(1)AE=EM,理由如下:如图1,G图1ME FDCBA取AB的中点G,连接GE.∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E,G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM(2)当AB=nBC时,AE=(2n-1)EM,理由如下:如图2,G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE,连接GE,则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC,BC=2BE=2EC,BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM(3)当AB=nBC,BE=mEC时,AE=(mn+n-m)EM,理由如下:如图3,ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE,连接GE,则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC,BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究(随堂测试)1. 已知:在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∠A =30°,点P 在AC 上,且∠MPN =90°.当点P 为线段AC 的中点,点M ,N 分别在线段AB ,BC 上时(如图1),过点P 作PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥BC 于点F ,可证Rt △PME ∽Rt △PNF ,得出PN(不需证明).当PCP A ,点M ,N 分别在线段AB ,BC 或其延长线上,如图2、图3这两种情况时,请写出线段PN ,PM 之间的数量关系,并任选一种情况给予证明.图3B NAPMC【参考答案】如图2,如图3中都有结论:PNPM .理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究(作业)2. 原题:如图1,D 是△ABC 的边BC 上一点,过点D 的一条直线交AC 于点F ,交BA 的延长线于点E .若BD =CD ,CF =2AF ,则EAEB的值是_____________.(1)如图2,在原题的条件下,若BD =CD ,CF =mAF ,则EAEB的值是__________(用含m 的代数式表示),试写出解答过程.(2)如图3,若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ,交AB 于点E ”,且BD =aCD ,CF =bAF ,则EAEB的值是__________(用含a ,b的代数式表示).图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,点O 是AC 边上一点,连接BO ,交AD 于点F ,OE ⊥OB 交BC 于点E . (1)求证:△ABF ∽△COE ; (2)如图2,当O 为边AC 中点,2AC AB =时,求OFOE的值; (3)如图3,当O 为边AC 中点,ACn AB=时,请直接写出OFOE的值.DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图,在△ABC 中,∠A =60°,BD ,CE 分别是AC ,AB 上的高.求证:(1)△ABD ∽△ACE ;(2)△ADE ∽△ABC ; (3)BC =2ED .DCAEB【参考答案】1. 原题:12; (1)1m ; (2)1ab;2. 解:(1)略(2)2OF OE=.提示:如图,过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ,证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA(3)OFn OE = 3.(1)略;(2)略;(3)略。

相似三角形ppt课件

相似三角形ppt课件

∴DE=FC,∴

=


=

.

又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=

.






2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2





探究二 相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,



=


=

.

又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7


=
8
8+12
=

35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5





建 模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3





解:△ADE与△ABC相似.

专项34相似三角形-手拉手模型综合应用(原卷版)

专项34相似三角形-手拉手模型综合应用(原卷版)

专项34 相似三角形-手拉手模型综合应用模型一:有公共顶点的直角三角形模型二:有公共顶点的任意三角形【类型1:有公共顶点的直角三角形】【典例2】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放,点B,C,E在同一条直线上,其中∠ECF=90°.【初步探究】(1)如图②,将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转,连接BF,DE,请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系:;【类比探究】(2)如图③,将(1)中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF,其中∠ECF=90°,且,其他条件不变.①判断线段BF与DE的数量关系,并说明理由;②连接DF,BE,若CE=6,AB=12,求DF2+BE2的值.【变式1-1】如图,在△ABC与△DEC中,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=6,BC=3,CD=5,CE=2.5,连接AD,BE.(1)求证:△ACD∽△BCE;(2)若∠BCE=45°,求△ACD的面积.【变式1-2】如图1,在Rt△ABC中,AC=BC=5,等腰直角△BDE的顶点D,E分别在边BC,AB上,且BD=,将△BDE绕点B按顺时针方向旋转,记旋转角为α(0°≤α<360°).(1)问题发现当α=0°时,的值为,直线AE,CD相交形成的较小角的度数为;(2)拓展探究试判断:在旋转过程中,(1)中的两个结论有无变化?请仅就图2的情况给出证明:(3)问题解决当△BDE旋转至A,D,E三点在同一条直线上时,请直接写出△ACD的面积.【典例2】已知:如图,△ABD∽△ACE.求证:△DAE∽△BAC.【变式2-1】如图,已知△ABD∽△ACE,求证:△ABC∽△ADE.【变式2-2】(2022春•龙岗区期末)(1)如图1,△ABC为等边三角形,点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等边△ADE,连接CE.易求∠DCE=°;(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE,类比题(1),请你猜想:线段BD、CD、DE之间的关系,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,若D点在BC的延长线上运动,以AD为边作等腰Rt △ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE.CE=10,BC=6,求AE的长.【变式2-3】(1)如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;(2)如图(2),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,延长BD到点E,使∠CAE=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2,求出AD的长.(3)如图(3),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,=,试证明△ADF∽△ECF,并求出的值.1.(2021秋•邵阳县期末)如图,在△ABC与△DEC中,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC =6,BC=3,CD=5,CE=2.5,连接AD,BE.(1)求证:△ACD∽△BCE;(2)若∠BCE=45°,求△ACD的面积.2.(2021•长垣市模拟)(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.①线段AD,BE之间的数量关系为;②∠AEB的度数为.(2)拓展探究:如图2,△ACB和△AED均为等腰直角三角形,∠ACB=∠AED=90°,点B,D,E在同一直线上,连接CE,求的值及∠BEC的度数;(3)解决问题:如图3,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=,且∠BPD=90°,请直接写出点C到直线BP的距离.3.(2022•南山区校级一模)(1)【问题发现】如图①,正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上,连接CF.填空:①线段CF与DG的数量关系为;②直线CF与DG所夹锐角的度数为.(2)【拓展探究】如图②,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转,在旋转的过程中,(1)中的结论是否仍然成立,请利用图②进行说明.(3)【解决问题】如图③,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=10,O为AC的中点.若点D在直线BC上运动,连接OE,则在点D的运动过程中,线段OE长的最小值为(直接写出结果).4.(2020秋•赣榆区期末)问题背景:(1)如图1,已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE;尝试应用:(2)如图2,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F,点D在BC边上,BD=3,CD=5,求的值;灵活运用:(3)如图3,点A是△BCD内一点,∠ADB=∠ABC=30°,∠BAC=90°,BD=3,CD=,直接写出AD的长.。

初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)

初中数学中考[图形的认识]第4讲相似三角形(教师版)

【知识梳理】【方法技巧】1、判定三角形相似的基本思路:一是条件中若有一组等角,可再找一组等角(找相等的角时注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角或者同角的补角)或找夹这组等角的两组对应边成比例;二是条件中若有两组对应边成比例,可找夹角相等或计算第三组对应边的比,考虑三组对应边成比例(具体方法如下:首先把三角形的边分别按照从小到大的顺序排列,找出两个三角形的对应边;再分别计算小、中、大边的比,最后看三个比是否相等)。

2、解决圆中的相似问题时,要充分运用圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系定理,切线的性质等找出角之间的关系,进而利用相似三角形的判定定理及性质求解。

3、相似三角形的基本模型:(1)“A ”字型(2)“X ”字型(3)“K ”字型(4)旋转型:符合旋转型的两个三角形,常用“两边成比例及夹角相等”来证明相似BBB CB C CQ DBA(5)母子型:在“母子三角形”中,应用公共边可得到关于三条线段的乘方式,由此可证明相似问题中的等积式。

4、位似图形必须同时满足两个条件:(1)两个图形是相似图形(2)两个图形的每组对应顶点的连线都经过同一点5、关于位似的警示点:(1)位似图形一定是相似图形,但是相似图形不一定是位似图形(2)位似图形可能在位似中心的同侧,也可能在位似中心的两侧,因此作一个图形关于某点的位似图形往往有两个。

如图: O A B C D OA B CD D CB AC D B A6、在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、如果2x=3y(x、y均不为0),那么下列各式中正确的是()A.=B.=3 C.=D.=变式1、已知=,那么的值为()A.B.C.D.变式2、下列各组中的四条线段成比例的是()A.1cm、2cm、20cm、30cm B.1cm、2cm、3cm、4cmC.5cm、10cm、10cm、20cm D.4cm、2cm、1cm、3cm例2、△ABC与△DEF的相似比为1:4,则△ABC与△DEF的周长比为()A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:16变式1、已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为()A.B.C.D.变式2、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,如果S△ACD:S△ABC=1:2,那么S△AOD:S△BOC是()A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:6例3、如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C,直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F,AC与DF相交于点H,如果AH=2,BH=1,BC=5,那么的值等于()A.B.C.D.变式1、如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c 于点D,E,F,若=,则=()A.B.C.D.1例4、如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A.B.C.D.解:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确;D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误.故选C.变式1、如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C.D.例5、在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法沿虚线剪下,能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是()A.B.C.D.变式2、如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A.B.C.D.考点2:位似例1、在平面直角坐标系中,△ABC顶点A(2,3).若以原点O为位似中心,画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′的相似比为,则A′的坐标为()A.B.C.D.变式1、如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,画△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为2,则点B的对应点B1的坐标是.变式2、如图所示是△ABC位似图形的几种画法,其中正确的是个数是()A.1B.2C.3D.4例2、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形.△A′B′C′的面积为6cm2,△A′B′C′的周长是△ABC的周长一半.则△ABC的面积等于()A.24cm2B.12cm2C.6cm2D.3cm2变式1、如图,△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,若C1为OC的中点,AB=4,则A1B1的长为()A.1B.2C.4D.8考点3:相似的应用例1、小明身高1.5米,在操场的影长为2米,同时测得教学大楼在操场的影长为60米,则教学大楼的高度应为()A.45米B.40米C.90米D.80米变式1、如图,身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=4米,CA=2米,则树的高度为()A.6米B.4.5米C.4米D.3米例2、如图,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,E,使点A,B,D 在一条直线上,且AD⊥DE,点A,C,E也在一条直线上且DE∥BC.如果BC=24m,BD=12m,DE=40m,则河的宽度AB约为()A.20m B.18m C.28m D.30m变式1、如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2cm,BC=14m,则楼高CD为()m.A.10.5 B.12 C.13 D.15变式2、如图,在河两岸分别有A、B两村,现测得A、B、D在一条直线上,A、C、E在一条直线上,BC∥DE,DE=90米,BC=70米,BD=20米,则A、B两村间的距离为()A.50米B.60米C.70米D.80米变式3、为了估算河的宽度,我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A,再在河的这一边选点B和点C,使得AB⊥BC,然后再在河岸上选点E,使得EC⊥BC,设BC与AE交于点D,如图所示,测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,那么这条河的大致宽度是()A.75米B.25米C.100米D.120米考点3、常见相似模型例1、如图,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③,④,⑤AC2=AD•AE,使△ADE与△ACB一定相似的有()A.①②④B.②④⑤C.①②③④ D.①②③⑤变式1、如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是()A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C C.=D.=例2、如图,点P是⊙O直径AB的延长线上一点,PC切⊙O于点C,已知OB=3,PB=2.则PC等于()A.2 B.3 C.4 D.5变式1、如图,PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线,如果PB=2,PC=4,则PA的长为.例3、如图,在△ABC中,∠C=60°,以分别交AC,BC于点D,E,已知圆O的半径为.则DE的长为.变式1、如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=()A.6 B.7 C.8 D.9例4、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E是AB上一点,且DE⊥CE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE与DE的数量关系正确的是()A.CE=DE B.CE=DE C.CE=3DE D.CE=2DE变式1、如图,边长为4的正方形ABCD中有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上,若BF=1,则小正方形的边长为()A.B.C.D.变式2、如图(1)矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F,当PN旋转至PC处时,∠MPN的旋转随即停止(1)特殊情形:如图(2),发现当PM过点A时,PN也恰好过点D,此时,△ABP △PCD(填:“≌”或“~”)(2)类比探究:如图(3)在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;(3)拓展延伸:设AE=t,△EPF面积为S,试确定S关于t的函数关系式;当S=4.2时,求所对应的t的值.例5、如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC上(不与B,C重合)一动点,∠ADE=∠B=α,DE 交AC于点E.写出相似三角形________________.变式1、等边△ABC边长为6,P为BC边上一点,∠MPN=60°,且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F.(1)如图1,若点P在BC边上运动,且保持PE⊥AB,设BP=x,四边形AEPF面积的y,求y与x 的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)如图2,若点P在BC边上运动,且∠MPN绕点P旋转,当CF=AE=2时,求PE的长.例6、如图,在Rt△ABC中,CD是边AB上的高,若AC=4,AB=10,则AD的长为()A.B.2 C.D.3变式1、如图,△ABC中,∠C=90°,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则CD= .变式2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CD=2,BD=1,则AD的长是,AC 的长是.例7、如图,矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上,其他两个顶点分别在边AB、AC上,已知△ABC 的边BC=120cm,BC边上的高AD为80cm;求:(1)当矩形EFHG是正方形时,求这个正方形的边长;(2)设EG的长为x cm,x为何值时,矩形EFHG的面积最大?并求面积的最大值.变式1、如图,锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y,则y与x 的函数图象大致是()A.B.C.D.【分层训练】<A组>1.△ABC∽△DEF,且相似比为2:1,△ABC的面积为8,则△DEF的面积为()A.2 B.4 C.8 D.162.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是()A.75cm,115cm B.60cm,100cm C.85cm,125cm D.45cm,85cm3.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值为()A.B.5 C.或5 D.无数个4.如图,点A、B、C、D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C、D、E 为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是()A.(4,2) B.(6,0) C.(6,3) D.(6,5)5.小明身高1.5米,在操场的影长为2米,同时测得教学大楼在操场的影长为60米,则教学大楼的高度应为()A.45米B.40米C.90米D.80米6.我们在制作视力表时发现,每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形),如图,小明在制作视力表时,测得l1=14cm,l2=7cm,他选择了一张面积为4cm2的正方形卡纸,刚好可以剪得第②个小“E”形图.那么下面四张正方形卡纸中,能够刚好剪得第①个大“E”形图的是()A.面积为8cm2的卡纸B.面积为16cm2的卡纸C.面积为32cm2的卡纸D.面积为64cm2的卡纸7.如图,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2,6),B(4,2),C(6,2),D(6,4),在第一象限内,画出以原点为位似中心,相似比为的位似图形A1B1C1D1,并写出各点坐标.8.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A 处时,张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m).<B组>1.如图,以点O为支点的杠杆,在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起,当杠杆OA 水平时,拉力为F;当杠杆被拉至OA1时,拉力为F1,过点B1作B1C⊥OA,过点A1作A1D⊥OA,垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA•OC=OB•OD;③OC•G=OD•F1;④F=F1.其中正确的说法有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.九年级某班开展数学活动,活动内容为测量如图所示的电杆AB的高度.在太阳光的照射下,电杆影子的一部分(BE)落在地面上,另一部分(EF)落在斜坡上,站在水平面上的小明的影子为DG,已知斜坡的倾角∠FEH=30°,CD=1.6m,DG=0.8m,BE=2.1m,EF=1.7m,则电杆的高约为m.(精确到0.1,参考数据:,)3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.4.如图,点B在线段AC上,点D、E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.(1)求证:AC=AD+CE;(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q;(i)当点P与A、B两点不重合时,求的值;(ii)当点P从A点运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结果,不必写出解答过程)5.【提出问题】(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.【类比探究】(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.【拓展延伸】(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.参考答案【考点突破】考点1、基本概念与定理例1、解:∵2x=3y,∴=,∴选项A不正确;∵2x=3y,∴=,∴==3,∴选项B正确;∵2x=3y,∴=,∴==,∴选项C不正确;∵2x=3y,∴=,∴==,∴∴选项D不正确.故选:B.变式1、解:∵=,∴设a=2k,则b=3k,则原式==.故选B.变式2、解:A.1×30≠2×20,故本选项错误;B.3×2≠1×4,故本选项错误;C.5×20=10×10,故本选项正确;D.4×1≠3×2,故本选项错误;故选C.例2、解:∵△ABC与△DEF的相似比为1:4,∴△ABC与△DEF的周长比为1:4;故选:C.变式1、解:∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为,∴△ABC与△DEF对应中线的比为,故选:A.变式2、解:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,而且S△ACD:S△ABC=1:2,∴AD:BC=1:2;∵AD∥BC,∴△AOD~△BOC,∵AD:BC=1:2,∴S△AOD:S△BOC=1:4.故选:B.例3、解:∵直线l1∥l2∥l3,∴,∵AH=2,BH=1,BC=5,∴AB=AH+BH=3,∴,∴,故选D.变式1、解:∵a∥b∥c,∴==.故选B.例4、解:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确;D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误.故选C.变式1、解:∵∠1=∠2,∴∠DAE=∠BAC,A、添加∠C=∠E,可用两角法判定△ABC∽△ADE,故本选项错误;B、添加∠B=∠ADE,可用两角法判定△ABC∽△ADE,故本选项错误;C、添加=,可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE,故本选项错误;D、添加=,不能判定△ABC∽△ADE,故本选项正确;故选D.例5、解:三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6.A、==,对应边==≠,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;B、=,对应边==≠,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;C、==,对应边==≠,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;D、==,对应边===,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似,故此选项正确;故选:D.变式2、解:∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2,,同理:A中各边的长分别为:,3,;B中各边长分别为:,1,;C中各边长分别为:1、2,;D中各边长分别为:2,,;∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例,且相似比为。

专题7 类比探究—图形旋转中三角形相似题型(学生版)

专题7 类比探究—图形旋转中三角形相似题型(学生版)

专题7类比探究—图形旋转中三角形相似题型知识归纳图形的类比探究常以三角形、四边形为背景,与翻折、旋转相结合,考查三角形全等或相似的性质与判定,难度较大.此类题目第一问相对简单,后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答.根据其特征大致可分为:几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形相似题型进行总结,对其解法进行归纳总结,所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

知识点睛(1)类比探究属于几何综合题,类比(类比字母,类比辅助线,类比思路)是解决此问题的主要方法,做好类比需要把握变化过程中的不变特征.(2)类比探究问题中常见结构举例①旋转结构②中点结构(类)倍长中线平行夹中点中位线方法总结(1)类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合,由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解决思想方法一脉相承的综合性题目,常以几何综合题为主.(2)解决类比探究问题的一般方法:①根据题干条件,结合分支条件先解决第一问;②用解决第一问的方法类比解决下一问,整体框架照搬.整体框架照搬包括照搬字母,照搬辅助线,照搬思路。

(3)用铅笔做讲义第1,2题,并将计算、演草保留在讲义上,先看知识点睛,再做题,思路受阻时(某个点做了2~3分钟)重复上述动作,若仍无法解决,课堂重点听.常考题型专练一、解答题1.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点P为线段CA延长线上一动点,连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转,旋转角为α,得到线段PD,连接DB,DC.(1)如图1,当α=60°时,①求证:PA=DC;②求∠DCP的度数;(2)如图2,当α=120°时,请直接写出PA和DC的数量关系.(3)当α=120°时,若AB=6,BP=31,请直接写出点D到CP的距离为.2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C,A′C与AB交于点D.(1)如图1,当A′B′∥AC时,过点B作BE⊥A′C,垂足为E,连接AE.①求证:AD=BD;②求S△ACE S△ABE的值;(2)如图2,当A′C⊥AB时,过点D作DM∥A′B′,交B′C于点N,交AC的延长线于点M,求DN NM的值.3.(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.4.在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1)观察猜想如图1,当α=60°时,的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.(2)类比探究如图2,当α=90°时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.5.已知,ABC中,AB=AC,∠BAC=2α°,点D为BC边中点,连接AD,点E为线段AD上一动点,把线段CE 绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF,连接FG,FD.(1)如图1,当∠BAC=60°时,请直接写出BFAE的值;(2)如图2,当∠BAC=90°时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请写出正确的结论,并说明理由;(3)如图3,当点E在AD上移动时,请直接写出点E运动到什么位置时DFDC的值最小.最小值是多少?(用含α的三角函数表示)6.在ABC ∆中,CA CB =,(0180)ACB αα∠=<<.点P 是平面内不与A ,C 重合的任意一点,连接AP ,将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ,连接AD ,CP 点M 是AB 的中点,点N 是AD 的中点.(1)问题发现,如图1,当60α=时,MN PC 的值是,直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是;(2)类比探究,如图2,当120α=时,请写出MN PC的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由;(3)解决问题,如图3,当90α=时,若点E 是CB 的中点,点P 在直线ME 上,MN =请直接写出点B ,P ,D 在同一条直线上时PD 的长.7.如图(1),在矩形ABCD中,AD=nAB,点M,P分别在边AB,AD上(均不与端点重合),且AP=nAM,以AP和AM为邻边作矩形AMNP,连接AN,CN.【问题发现】(1)如图(2),当n=1时,BM与PD的数量关系为,CN与PD的数量关系为.【类比探究】(2)如图(3),当n=2时,矩形AMNP绕点A顺时针旋转,连接PD,则CN与PD之间的数量关系是否发生变化?若不变,请就图(3)给出证明;若变化,请写出数量关系,并就图(3)说明理由.【拓展延伸】(3)在(2)的条件下,已知AD=4,AP=2,当矩形AMVP旋转至C,N,M三点共线时,请直接写出线段CN的长8.(1)问题发现如图1,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=45°,点D是线段AB上一动点,连接BE.填空:①BEAD的值为;②∠DBE的度数为.(2)类比探究如图2,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,点D是线段AB上一动点,连接BE.请判断BEAD的值及∠DBE的度数,并说明理由.(3)拓展延伸如面3,在(2)的条件下,将点D改为直线AB上一动点,其余条件不变,取线段DE的中点M,连接BM、CM,若AC=2,则当△CBM是直角三角形时,线段BE的长是多少?请直接写出答案.。

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相似: 22(10分)(1)如图1,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=5,∠MPN=90°,且 ∠MPN 的直角顶点在BC 边上,BP=1.①特殊情形:若MP 过点A ,NP 过点D ,则PAPD _______.②类比探究:如图2,将∠MPN 绕点P 按逆时针方向旋转,使PM 交AB 边于点E ,PN 交AD 边于点F ,当点E 与点B 重合时,停止旋转.在旋转过程中,PEPF 的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.(2)拓展探究:在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD ⊥AB ,⊙A 的半径为1,点E 是⊙A 上一动点,CF ⊥CE 交AD 于点F .请直接写出当△AEB 为直角三角形时ECFC 的值. AB CDMP NE FA DNCPBMDCBAEF22(10分)如图1,菱形ABCD 是边长为2,∠BAD=60°,对角线AC ,BD 交于点O .(1)操作发现小芳同学将△CBD 绕点O 旋转得△CEF ,当CF 落在AD 上时(如图2),连接ED ,请直接写出ED 与AC 的位置关系和数量关系. (2)问题解决小芳同学继续旋转△CEF (A ,C 不重合),如图3,连接ED ,AC ,她认为(1)中的结论仍然成立,你同意吗?说明理由. (3)深入思考若直线ED 与直线AC 的交点为H ,请直接写出BH 的最大值.ABC ODF ED O CBADA BCOEF22.(10分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,=,CD ⊥AB 于点D ,点E 是直线AC 上一动点,连接DE ,过点D 作FD ⊥ED ,交直线BC 于点F . (1)探究发现:如图1,若m =n ,点E 在线段AC 上,则=_____________ ;(2)数学思考:①如图2,若点E 在线段AC 上,则=____________ (用含m ,n 的代数式表示);②当点E 在直线AC 上运动时,①中的结论是否任然成立?请仅就图3的情形给出证明;(3)拓展应用:若AC =,BC =2,DF =4,请直接写出CE 的长.22.(10分)阅读下列材料:已知:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点,以PB,PA为边构造□APBQ,求对角线PQ的最小值及此时的值是多少.在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.进而,小明构造出了如图2的辅助线,并求得PQ的最小值为3.参考小明的做法,解决以下问题:(1)继续完成阅读材料中的问题:当PQ的长度最小时,=;(2)如图3,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE,PB为边作□PBQE,那么对角线PQ的最小值为,此时=;(3)如图4,如果P为AB边上的一动点,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数),以PE,PC为边作□PCQE,那么对角线PQ的最小值为,此时=.22.(10分)(1)【问题发现】如图1,在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,点D 为BC 的中点,以CD 为一边作正方形CDEF ,点E 恰好与点A 重合,则线段BE 与AF 的数量关系为 . (2)【拓展探究】在(1)的条件下,如果正方形CDEF 绕点C 旋转,请判断线段BE 与AF 的数量关系,并就图2的情形说明理由. (3)【问题解决】当AB =AC =2,且第(2)中的正方形CDEF 旋转到B ,E ,F 三点共线时,请直接写出线段AF 的长.如图1,在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中,AB =2,AB′2,连接CC′.(1)问题发现:CC BB '='__________;(2)拓展探究:将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转,记旋转角为θ,连接BB′,试判断:当0°≤θ<360°时,CC BB''的值有无变化?请仅就图2中的情形给出你的证明;(3)问题解决:请直接写出在旋转过程中,当C ,C′,D′三点共线时BB′的长.D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图如图1,已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上,GE ⊥BC ,垂足为点E ,GF ⊥CD ,垂足为点F . (1)证明与推断:①求证:四边形CEGF 是正方形;②推断AGBE的值为_______.(2)探究与证明:将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图2所示,试探究线段AG 与BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)拓展与运用:正方形CEGF 在旋转过程中,当B ,E ,F 三点在一条直线上时,如图3所示,延长CG 交AD 于点H .若AG =6,GH =22,则BC =________.GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图322.(10分)(1)问题发现如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,=1,点P 是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD =90°,∠APD =∠B ,连接CD . 填空:①=________ ;②∠ACD 的度数为_________ . (2)拓展探究如图2,在Rt △ABC 中,∠A =90°,=k .点P 是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD =90°,∠APD =∠B ,连接CD ,请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系,并说明理由. (3)解决问题如图3,在△ABC 中,∠B =45°,AB =4,BC =12,P 是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD =∠BAC ,∠APD =∠B ,连接CD .若PA =5,请直接写出CD 的长.1. 问题发现:如图1,△ABC 是等边三角形,点D 是边AB 上的一点,过点D作DE ∥BC 交AC 于E ,则线段BD 与CE 的数量关系为___________; 拓展探究:如图2,将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α(0°<α<360°),上面的结论是否仍然成立?如果成立,请就图中给出的情况加以证明;问题解决:如果△ABC 的边长等于23,AD =2,直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长.图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D CBA22.(10分)如图1,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,D ,E 两点分别在AC ,BC 上,且DE ∥AB ,将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现:当α=0°时,的值为 ;(2)拓展探究:试判断:当0°⩽α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.(3)问题解决:设CE =13,AC =12,当△EDC 旋转至A ,B ,E 三点共线时,直接写出线段BE 的长.22.(10分)如图1,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,D ,E 两点分别在AB ,AC 上,且DE ∥AB ,将△ADE 绕点A 顺时针旋转,记旋转角为α.(1)问题发现 当a =0°时,线段BD ,CE 的数量关系是 ; (2)拓展探究 当0°≤a <360°时,(1)中的结论有无变化?请仅就图2的情形给出证明; (3)问题解决 设DE =,BC =3,0°≤α<360°,△ADE 旋转至A ,B ,E三点共线时,直接写出线段BE 的长.1. (本小题分10分)(1)问题发现:如图1,在等边三角形ABC 中,点M 为BC 边上异于B ,C 的一点,以AM 为边作等边三角形AMN ,连接CN ,NC 与AB 的位置关系为_________; (2)深入研究:如图2,在等腰三角形ABC 中,BA =BC ,点M 为BC 边上异于B ,C 的一点,以AM 为边作等腰三角形AMN ,使∠ABC =∠AMN ,AM =MN ,连接CN ,试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系,并说明理由; (3)拓展延伸:如图3,在正方形ADBC 中,点M 为BC 边上异于B ,C 的一点,以AM 为边作正方形AMEF ,点N 为正方形AMEF 的中心,连接CN ,若BC =10,CN 2,试求EF 的长.NM C BA图1 图2 图31. (11分)如图1,正方形ABCD 和正方形AEFG ,连接DG ,BE .F EDABCMNAB CM N(1)发现当正方形AEFG 绕点A 旋转,如图2,①线段DG 与BE 之间的数量关系是______________. ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是_________________. (2)探究如图3,若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形,且AD =2AB ,AG =2AE ,求证:直线DG ⊥BE . (3)应用在(2)情况下,连接GE (点E 在AB 上方),若GE ∥AB ,且ABAE =1,则线段DG 是多少?(直接写出结论)G FEDCB AGFE D CBAGFEDCB A图1 图2 图31. 在正方形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点P 在线段BC 上(不含点B ),∠BPE =12∠ACB ,PE 交BO 于点E ,过点B 作BF ⊥PE ,垂足为F ,交AC 于点G .(1)当点P 与点C 重合时(如图1),求证:△BOG ≌△POE ; (2)结合图2,通过观察、测量,猜想:BFPE=__________,并证明你的猜想; (3)把正方形ABCD 改为菱形,其他条件不变(如图3),若AC =8,BD =6,直接写出BFPE的值. 图3图2图1ADGO F EBPC PADG OF EBCC (P )G F E O DBA(1)问题发现:如图1,在等边△ABC 中,点D 为BC 边上一动点,DE ∥AB 交AC 于点E ,将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ,连接CF .则AE 与FC 的数量关系是__________,∠ACF 的度数为_________.(2)拓展探究:如图2,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∠ACB =60°,点D 为BC边上一动点,DE ∥AB 交AC 于点E ,当∠ADF =∠ACF =90°时,求AEFC的值.(3)解决问题:如图3,在△ABC 中,BC :AB =m ,点D 为BC 的延长线上一点,过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ,直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC的值.图1ABCD EF图2ABC D EF图3AB C DEF。

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