第一数学归纳法及其应用 毕业论文

2012届本科毕业论文

第一数学归纳法及其应用

院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名

学号

指导教师

完成时间2012.5

第一数学归纳法及其应用

摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧.

关键词：归纳法第一数学归纳法不等式数列

1 引言

对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法, 并证明了

2

135(21)

+++++=, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如n n

经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯

卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式()n

展开式的系数公式,

a b

从而得到有名的帕斯卡三角阵.

继帕斯卡之后, 数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具, 如在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们的出色工作中, 都可以找到数学归纳法的例子, 1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano, 1858～1932, 意大利)发表《算术原理新方法》, 给出自然数的公里

体系, 使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．现在开始我们重新认识一

下数学归纳法.

2 数学归纳法的原理

2.1 归纳法在现实中的一些运用

先从少数的事例中摸索出规律来, 再从理论上来证明这一规律的一般性, 这

是人们认识客观世界的方法之一. 不论在数学上, 或在其他场合, 从对一系列具

体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程, 叫做归纳法. 人们从有限的

经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的, 在这个过程中人们自觉或不自觉地运用

了归纳法. 许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等, 都是应用归纳法的

产物. 如“兵贵神速”、“骄兵必败”, 都是对战争的胜负规律的一种认识, 同

样“滴水石穿”、“有志竟成”是人们考察了古往今来许多有成就者的经历后得

出的.

2.2 数学归纳法的本原

理解了归纳法我们再具体到数学中来, 以识数为例. 小孩子识数, 先学会数

1个、2个、3个, 过些时候, 能够数到10了, 又过些时候, 会数到20, 30, …100了, 但后来, 就不再是这样一段段地增长了, 而是飞越前进. 倒了某个时候, 他领悟了, 就什么数都会数了, 这一飞跃, 竟是从有限到无穷!怎样会有这种方

式呢? 首先, 他知道从头数; 其次, 他知道一个一个按次序数, 而且不愁数了一

个以后, 下一个不会数, 也就是领悟了下一个数的表达方式, 可以由上一个数来

决定, 于是, 他也就会数任何数了. 解释这个飞跃的原理就是, 正是运用了数学

归纳法的思想, 数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物, 由简到繁, 由有限到无穷.

1979年6月9日, 在英国伦敦, 一群记者和上千名观众静静注视着一个人,急切的等待着一项基尼斯世界纪录的诞生. 这个人就是迈克·凯尼, 他用13天的时间, 用了169713块骨牌搭出一个长达6900米的多米诺牌阵, 当迈克·凯尼走到第一块骨牌前, 用手轻轻推到它时, 奇迹出现了——将近17万张骨牌组成的长达6900米的多米诺阵在半小时内统统颠覆. 这就是神奇的多米诺现象, 在这个过程中要使所有的骨牌倒下必须满足两个条件, （1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌, 只要前一块倒下, 后一块必定倒下. 这样我们就会发现这与数学中一个极其重要的证明方法——数学归纳法如出一辙. 并且摆多米诺阵的人应该注意的关键问题竟然也和使用数学归纳法的人应该注意的关键问题神似韵合. 2.3 命题的长蛇阵

在前面我们屡次提到数学归纳法, 那么究竟什么是数学归纳法？我们现在先看一个命题.

试证：在一个正方形的纸上有n个点, 已知这n个点连同正方形的4个顶点, 其中任意3点都不共线．试证：至多可以剪得顶点属于上述4

n+个点的三角形纸片22

n+个．

我们可以把这个命题看成是无穷多个命题组合而成, 这无穷多个命题列举如下：

命题1：在一个正方形纸上有1个点, 已知这5个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5个点的三角形4个.

命题2：在一个正方形纸上有2个点, 已知这6个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉6个点的三角形6个.

命题3：在一个正方形纸上有3个点, 已知这7个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉7个点的三角形8个.

……

命题k：在一个正方形纸上有k个点, 已知这4

k+个点中任意3点都不共线证明：至多可以剪得顶点属于上诉4

k+个.

k+个点的三角形22