第五公设与平行公理的等价证明
第6章 几何公理法简介
6.3 第五公设问题
6.3.1普雷菲定理
1795年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好些，通称欧几里得几何平行公理：通过直线外一点有唯一直线与该线平行．
先证第五公设蕴涵平行公理．
设u 为平面上一已知直线，M 是不在u 上的任一已知点，求证有唯一直线通过M 而与u 不相交．
作u MN ⊥于点N ，用'u 表示在M 与MN 垂直的直线，则'
u 不可能与u 相交，否则
MN u u ,,'将构成一三角形，与外角定理矛盾．平行线的存在性证明了．再设''u 是通过M 与'u 相异的任一直线，那么''u 必然在直线MN 的某一侧跟MN 组成锐角．应用眼前的假设第五公设于两直线'',u u 及截线MN ，可知''u 必与u 在这一侧相交．
再证平行公理蕴涵第五公设．
设直线b a ,被直线c 所截，在c 一侧的内角之和
d 212<+βα （d 表直角），
从而另一侧内角和
d 221>+βα．
通过a 跟c 的交点引直线'a ，使其与c 所成的角'
2'1,αα满足
d d 2,22'11'2=+=+βαβα．
于是12'12ββα=-=d ，所以b a '，因为若'a 跟b 相交，要得出与外角定理相矛盾的结果． 由假设通过c a ,的交点只有一直线与b 平行，所以与'a 相异的直线a 必与b 相交．还要证明a 和b 相交于2α和1β所在的一侧，这可从1212ββα=->d 以及外角定理立即得出．
6.3.2 萨开里的试证
1733年意大利数学家萨开里出版了名为《免除一切污点的欧几里得》，这里“欧几里得”指《原本》．在这里他对第五公设的试证工作发展得相当远，得到一系列结果．如果在关键
的时刻他再推进一步，高斯、波里埃和罗巴切夫斯基的发现就可提前一世纪．他的后继人也没做这样的工作．似乎他的工作被人遗忘了．后来意大利有名的数学家倍尔脱拉米（1835——1900年）才指出，一般归之于勒戎得、罗巴切夫斯基、波里埃的一些定理，萨开里已发现过了．
他讨论一种四角形被称为“萨开里四角形”，两下底角是直角，两侧边相等：
.,d B A BD AC =∠=∠=
定理1 在四边形CABD 中，若
d B A =∠=∠且BD AC =，则
.D C ∠=∠
证明 我们只需取下底AB 的中垂线KL 为对称轴折叠即得．
由此推出 LD CL d KLD KLC ==∠=∠,
即是说：萨开里四角形两底中点的联线是两底的中垂线．
定理2 设四边形ABCD 中d B A =∠=∠，且BD AC <，则D C ∠>∠．
证明 延长AC 至C '使BD C A ='，则按定理1有
D DB C C ∠>'∠='∠
又在C DC '?应用外角定理得C C '∠>∠．所以
D C C ∠>'∠>∠
萨开里关于他的四角形CABD 曾做过三种假设：
⑴ 锐角假设：d D C <∠=∠，于是推出AB CD >，并且三角形的内角和小于二直角．
⑵ 直角假设：d D C =∠=∠，于是推出AB CD =，并且三角形的内角和等于二直角。．
⑶ 钝角假设：d D C >∠=∠，于是推出AB CD <，并且三角形的内角和大于二直角．
由于推理步骤相似，我们只就锐角假设讨论．
定理3 在锐角假设下有AB CD >．
证明 既然假设A d C ∠=<∠，
又由定理1 d L K =∠=∠
于是鉴于定理1和蔼从四角形AKLC 得
.AK CL >
故有 AB AK CL CD =>=22，即 AB CD >．
定理4 在锐角假设下，三角形的内角和小于两直角．
证明 由于一个三角形可分解成两个直角三角形，我们只须就直角三角形加以证明．设在ABC ?中，.d A =∠如图作AB BD ⊥并取AC BD =，则CABD 为萨开里四角形．于是由锐角假设和定理3，.AB CD >现在就ABC ?和DBC ?看，有两边相等而第三边不等，所以γβ>，从而有
d =+<+βαγα(作图)
所以 d A 2<++∠γα
萨开里证明过，只要在一个萨开里四角形中，上底角是直角，那么第五公设就成立．他
象所有数学家一样相信直角假设成立面另外两个假设必须抛弃．他首先把钝角假设导致矛盾，所以只要将锐角假设也导致矛盾，那么第五公设就证明了．他从锐角假设出发得出一系列属于罗巴切夫斯基几何的命题，尽管这些命题与我们的直观不相符，却找不到一个逻辑矛盾。但在一连串正确推理以后，他发现倘若锐角假设成立，那么无限地接近的两直线在无穷远点应有共同的垂线，他认为这是“与直线的本质抵触的．”于是他认为第五证明了．明白地，他本人也感到锐角假设的逻辑矛盾并未找到，他重新回到证明它“自相矛盾”的问题．为此，他用两种方法计算一条线段的长度，得到两个结果，他认为找到矛盾了．实际是他计算中有错误．
6.3.3勒戎得的试证
勒戎得不仅在分析和力学方面有出名的工作，在几何方面也很有成就．1794年他的著作《几何原理》对后来的教科书有很大的影响．他试证第五公设时讨论了三种互相排斥的假定：
I ．三角形的内角和大于两直角，
II ．三角形的内角和等于两直角，
III ．三角形的内角和小于两直角．
他用正确的推理把第一个假定推向矛盾，若能把第三个假定也引向矛盾，那就证明了三角形内角和等于两直角．同时也就证明了第五公设．可惜在把第三个假定引向矛盾时，他自己不觉察用上一个与第五公设等价的命题．
定理I 如果每个三角形的内角和等于二直角，则第五公设成立．
证明 设每个三角形的内角和为二直角，又设a 为一直线，A 为其外一点。求证通过A 只有一直线与a 不相交．
作a AB ⊥于B ，并过A 作直线AB a ⊥'，我们知道a '与a 不相交．
设b 是通过A 的任意直线，而β是b 与线段AB 所成的锐角．我们来证明直线b 与直线a 相交在锐角所在的一侧．为此，在直线a 上锐角所在的一侧作点1B 使AB BB =1．再在同一侧作2B 使121AB B B =．一般，作点n B 使.11--=n n n AB B B 我们来观察三角形.,,,1211n n B AB B AB ABB -Λ因为假设每个三角形的内角和为π，所以在等腰1ABB ?中，顶点为A 和1B 的内角都等于.4π由此推出21B AB ?中顶点为2B 的内角等于.8
π一般，在n n B AB 1-?中顶点为n B 的内角等于.21+n π
因之 .221+-=∠n n BAB ππ
既然设β为锐角，就有επ
β-=2，其中0>ε．取n 充分大，使 επ<+12n
于是有 n BAB ∠<β