信号与系统第05章

3. 稳定性及可靠性好
离散系统的基本运算是加法、乘法， 离散系统的基本运算是加法、乘法，采 用的是二进制，所以工作稳定， 用的是二进制，所以工作稳定，受环境影响 抗干扰能力强，且数据可以存储。 小，抗干扰能力强，且数据可以存储。
4. 数字系统的集成化程度高，体积 数字系统的集成化程度高， 功耗低， 功能强， 小 ， 功耗低 ， 功能强 ， 价格越来越 便宜
虽然自由响应与零输入响应都是齐次解的 形式，但它们的系数并不相同， 形式，但它们的系数并不相同，czi仅由系 统初始状态决定，而ci是由初始状态和激 统初始状态决定， 励共同决定的。两种分解方式有明显区别。 励共同决定的。两种分解方式有明显区别。
3.2.4 单位样值响应
如果系统的输入为单位样值信号δ 初始状态y ［n］，初始状态y［-1］，y［-2］，…，y 均为零， ［-N］均为零，由δ［n］产生的系统零状 态响应定义为单位样值响应，记为h 态响应定义为单位样值响应，记为h［n］。 研究单位样值响应的意义在于单位样值信 号是一种基本信号， 号是一种基本信号 ， 系统在任一信号激励 下的零状态响应能够用单位样值响应求解。 下的零状态响应能够用单位样值响应求解 。 此外， 此外 ， 单位样值响应还可用于研究系统的 性质，它表征了系统本身的传递特性。 性质，它表征了系统本身的传递特性。
1. 精度高
离散系统的精度高， 离散系统的精度高 ， 更确切地说是精 度可控制。因为精度取决于系统的字长 位数） 字长越长， 精度越高。 （ 位数 ） 。 字长越长 ， 精度越高 。 根据实 际情况适当改变字长， 际情况适当改变字长 ， 可以获得所要求的 精度。 精度。
2. 灵活
数字处理系统的性能主要由乘法器的 各系数决定。 只要改变乘法器的系数， 各系数决定 。 只要改变乘法器的系数 ， 系 统的性能就改变了，方便设计。 统的性能就改变了，方便设计。
3.2.1 差分方程求解的常用方法
建立了系统的差分方程后， 建立了系统的差分方程后，下面的任 务就是求解这个差分方程， 务就是求解这个差分方程 ， 求解常系数线 性差分方程的常用方法有以下几种。 性差分方程的常用方法有以下几种。
1.递推法
递推法是代入初始值逐次求解的方法。 递推法是代入初始值逐次求解的方法 。 这种方法概念清楚，也比较简单， 这种方法概念清楚 ， 也比较简单 ， 适合计 算机求解， 算机求解 ， 但不能直接给出一个完整的解 析式作为解答。当系统的阶数较高， 析式作为解答 。 当系统的阶数较高 ， 并且 激励复杂时，这种方法就不太适用了， 激励复杂时 ， 这种方法就不太适用了 ， 而 时域经典法可以较好地解决这个问题。 时域经典法可以较好地解决这个问题。
由于以上优点，离散系统得以广泛应用。 由于以上优点 ， 离散系统得以广泛应用 。
3.1 离散时间系统的时域数学模 型 ห้องสมุดไป่ตู้—差分方程 ——差分方程
3.1.1 线性时不变离散时间系统
和连续时间系统相比， 和连续时间系统相比，离散时间系统的 作用是将输入序列转变为输出序列， 作用是将输入序列转变为输出序列，它们都 是在时间域这个范围进行分析的系统， 是在时间域这个范围进行分析的系统，系统 的功能是完成x 转变为y 的运算， 的功能是完成x[n]转变为y[n]的运算，记为 y［n］=T｛x［n］｝
3.完全解
求线性差分方程的完全解，一般步骤如下。 求线性差分方程的完全解 ， 一般步骤如下 。 (1)写出与该方程相对应的特征方程 ， 写出与该方程相对应的特征方程， 求出特征根，并写出其齐次解通式。 求出特征根，并写出其齐次解通式。 (2) 根据原方程的激励函数的形式，写 根据原方程的激励函数的形式， 出其特解的通式。 出其特解的通式。
3.2.2 常系数差分方程时域经典求解
时域解析法） 法（时域解析法）
如果单输入、 如果单输入、单输出的离散线性时不变系 统的激励为x 响应为y 则描述激励x 统的激励为x[n]，响应为y[n]，则描述激励x[n] 与响应y 之间关系的是N阶常系数差分方程。 与响应y[n]之间关系的是N阶常系数差分方程。 差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。 差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。
3.3 卷 积 和
3.3.1离散时间信号分解与卷积和定义
在离散时间系统中：激励信号本身就 在离散时间系统中： 是一个离散序列。所以， 是一个离散序列 。 所以 ， 第一步分解工作 很容易进行， 很容易进行 ， 离散的激励信号序列中的每 一个离散量施加于系统， 一个离散量施加于系统，
离散系统输出一个与之相应的响应序 列 ， 每一个响应序列也均是一个离散序列 ， 每一个响应序列也均是一个离散序列， 最后把这些响应叠加起来， 最后把这些响应叠加起来 ， 便得到系统对 任意激励信号的零状态响应。 任意激励信号的零状态响应 。 这种叠加是 离散叠加，即为求和运算， 离散叠加 ， 即为求和运算 ， 而不是积分运 算，叠加的过程表现为求卷积和。 叠加的过程表现为求卷积和。
——差分方程的建立
1. LTI离散系统基本运算单元的框图表示 LTI离散系统基本运算单元的框图表示
构成LTI 离散系统的基本运算单元是延 构成 LTI离散系统的基本运算单元是延 时器、乘法器和加法器。 时器、乘法器和加法器。延时器的框图及流 图如图3 所示。其中D是单位延时器， 图如图3.2所示。其中D是单位延时器，有时 亦用T表示。 亦用 T表示 。 离散系统延时器的作用与连续 系统中的积分器相当。 系统中的积分器相当。利用离散系统的基本 运算单元，可以构成任意LTI离散系统 离散系统。 运算单元，可以构成任意LTI离散系统。
第3章 离散时间系统的时域分析
3.1 离散时间系统的时域数学模型——差分方程 3.2 离散时间系统的时域分析——差分方程的求解 3.3 卷 积 和 3.4 用MATLAB进行离散时间系统的时域分析
与连续时间系统相对应， 与连续时间系统相对应，离散时间系 统同样也有几种分析方法， 统同样也有几种分析方法 ， 即差分方程分 析法、卷积和分析法和MATLAB分析法等 分析法等。 析法、卷积和分析法和MATLAB分析法等。 离散时间系统的分析是重要的研究领域， 离散时间系统的分析是重要的研究领域 ， 特别是在计算机技术和数字信号处理技术 迅猛发展的今天更是如此。 迅猛发展的今天更是如此。 与连续时间系统相比， 与连续时间系统相比 ， 离散系统的主 要优点如下。 要优点如下。
（2）零状态响应
零状态响应是指初始状态为零时仅由 输入信号所引起的响应， 表示。 输入信号所引起的响应，用yzs[n]表示。
（3）完全响应
线性时不变系统的完全响应是零输入响应与 零状态响应之和， 零状态响应之和，即
Y[n]=yzi[n]+yzs[n] ]=y ]+y
完全响应也可分解为自由响应和强迫响应。 完全响应也可分解为自由响应和强迫响应。
1.齐次解
（1）特征根均为单根 （2）特征根为重根 （3）如果λ1是特征方程的r重根 （4）特征方程有复根
2.特解
与常系数微分方程特解的求法相类似， 与常系数微分方程特解的求法相类似， 差分方程特解的形式也与激励函数的形式 有关。选定特解后，把它代入到原差分方 有关。选定特解后， 程，求出其待定系数，就得出方程的特解。 求出其待定系数，就得出方程的特解。
离散时间系统的原理框图如图3 所示。 离散时间系统的原理框图如图 3.1 所示 。
图3.1 离散时间系统的框图
与连续LTI系统类似 离散LTI系统满 与连续LTI系统类似，离散LTI系统满 系统类似， 足叠加、比例以及时不变特性。 足叠加、比例以及时不变特性。
3.1.2 LTI离散时间系统的数学模型
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，使用卷积分析法 求解零状态响应时，单位冲激函数δ 求解零状态响应时，单位冲激函数δ[t]和单 位冲激响应h 起着非常关键的作用。 位冲激响应h[t]起着非常关键的作用。在离 散时间系统中，单位样值序列（ 散时间系统中 ， 单位样值序列 （ 简称单位 样值） 样值）δ[n]和单位样值响应序列h[n]也同样 和单位样值响应序列h 起着十分重要的作用。 起着十分重要的作用。
与连续时间系统相似， 与连续时间系统相似 ， 欲用时域法求 离散系统的零状态响应y 离散系统的零状态响应yzs［n］，需要先求 离散系统的单位样值响应h 离散系统的单位样值响应h［n］。通常可 用递推法求单位样值响应。 用递推法求单位样值响应。
当描述系统的差分方程右端只有δ 当描述系统的差分方程右端只有δ［n］ 项时，由于δ =0处值为 处值为1 项时，由于δ［n］在n=0处值为1，在n≥1 处值均为零，可采用递推方法求出h 处值均为零，可采用递推方法求出h ［n］。当n≥1时，差分方程右端变为零， ］。当 ≥1时 差分方程右端变为零， 则可按求解零输入响应的方法求出h 则可按求解零输入响应的方法求出h［n］ 当差分方程右端还有移位的信号时， ，当差分方程右端还有移位的信号时， 可进行多步递推， 可进行多步递推，直至方程右端为零 。
4.变换域方法
利用z变换求解差分方程有许多优点， 利用z变换求解差分方程有许多优点， 它是在实际应用中最简便而有效的方法。 它是在实际应用中最简便而有效的方法 。 我们在第6章将详细讨论它。 我们在第6章将详细讨论它。
5. 转移算子法
转移算子法可以完整地描述离散系统 的输入输出关系， 的输入输出关系， 或者说集中反映了系统 对输入序列的传输特性。 对输入序列的传输特性。
(3) 将特解通式代入原方程求出待定系 确定特解形式。 数，确定特解形式。 (4) 写出原方程的通解的一般形式 ( 即 写出原方程的通解的一般形式( 齐次解+特解) 齐次解+特解)。 (5) 把初始条件代入，求出齐次解的待 把初始条件代入， 定系数值。 定系数值。
3.2.3 零 输 入 响 应 和 零 状 态 响 应
（1）建立的数学模型（即差分方程）的 建立的数学模型（即差分方程） 阶数与未知序列变量序号的最高值与最低值 之差是一致的。 之差是一致的。 （2）对单输入、单输出的线性时不变离 对单输入、 散系统的求解已经转换为差分方程的求解。 散系统的求解已经转换为差分方程的求解。