大连理工大学大学物理作业1 (静电场一)及答案详解

作业1 （静电场一）
1．关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？[ ]
A ．场强E
的大小与试探电荷0q 的大小成反比。

B ．对场中某点，试探电荷受力F
与0q 的比值不因0q 而变。

C ．试探电荷受力F 的方向就是场强E
的方向。

D ．若场中某点不放试探电荷0q ，则0F = ，从而0
E =。

答案： 【B 】
[解]定义。

场强的大小只与产生电场的电荷以及场点有关，与试验电荷无关，A 错；如果试验电荷是负电荷，则试验电荷受的库仑力的方向与电场强度方向相反，C 错；电荷产生的电场强度是一种客观存在的物质，不因试验电荷的有无而改变，D 错；试验电荷所受的库仑力与试验电荷的比值就是电场强度，与试验电荷无关，B 正确。

2．一个质子，在电场力作用下从A 点经C 点运动到B 点，其运动轨迹如图所示，已知质点运动的速率是递增的，下面关于C 点场强方向的四个图示哪个正确？
[ ]
答案： 【D 】
[解]a m E q
=，质子带正电且沿曲线作加速运动，有向心加速度和切线加速度。

存在向心加速度，即有向心力，指向运动曲线弯屈的方向，因此质子受到的库仑力有指向曲线弯屈方向的分量，而库仑力与电场强度方向平行（相同或相反），因此A 和B 错；质子沿曲线ACB 运动，而且是加速运动，所以质子受到的库仑力还有一个沿ACB 方向的分量（在C 点是沿右上方），而质子带正电荷，库仑力与电场强度方向相同，所以，C 错，D 正确。

3．带电量均为q +的两个点电荷分别位于X 轴上的a +和a -位置，如图所示，则
Y 轴上各点电场强度的表示式为E
= ，场强最大值的位置在y = 。

答案：j y a
qy
E 2
3
2
2
)(2+=
πε
，2/a y ±=
[解]21E E E += )
(42
2
021y a q
E E +=
=πε
关于y 轴对称：θcos 2,01E E E y x ==
j y a qy
j E E y 2
3
2
20)(2+=
=∴πε
沿y 轴正向的场强最大处
0=dy
dE
y y a y y a dy
dE 2)(2
3)
(2
5 2
2
2
3 2
2
⨯+-
+∝-- 2/a y = 2/a y ±=处电场最强。

4．如图所示，在一无限长的均匀带点细棒旁垂直放置一均匀带电的细棒M N 。

且二棒共面，
若二棒的电荷线密度均为λ+，细棒M N 长为l ，且M 端距长直细棒也为l ，那么细棒M N 受到的电场力为 。

答案：
2ln 20
2
πε
λ
，方向沿MN
[解] 坐标系建立如图：M N 上长为dx 的元电荷dx dq λ=受力Edq dF =。

无限长带电直线场强x
E 02πελ
=
， 方向：沿x 轴正向。

2ln 220
2
202
πε
λ
πελ
=
=
=
∴⎰⎰
dx x
dF
F l
l
；方向沿x 轴正向。

5．以点电荷为中心，半径为R 的球面上，场强的大小一定处处相等吗？
答案：如果点电荷是静止孤立的且周围介质均匀分布，则半径为R 的球面上，场强大小一定处处相等，在其它情形，不一定处处相等。

比如，点电荷周围还有其它的带电体，则球面上的场强应是各场强的叠加，可能不处处相等。

6．用不导电的细塑料棒弯成半径为R 的圆弧，两端间空隙为l ()l R <<，若正电荷Q 均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。

解：设棒上电荷线密度为λ，则：l
R Q -=
πλ2,
根据叠加原理，圆心处场强可以看成是半径为R ,电荷线密度为λ的均匀带电园环（带电量为λπR Q 21=）在圆心处产生的场强1E 与放在空隙处长为l ，电荷线密度为λ-的均匀带电棒（可以看成是点电荷l q λ-=）在圆心产生的场强2E 的叠加。

即： 2
10E E E +=;
)ˆ(4,02
012R
R
q E E E -=
=∴=πε
R
l R R lQ
R
R
l E ˆ)
2(4)ˆ(42
02
00-=--=
ππεπελ (方向从圆心指向空隙处)。

7．如图所示，将一绝缘细棒弯成半径为R 的半圆形，其上半段均匀带有电荷Q ，下半段均匀带有电量Q -，求半圆中心处的电场强度。

解：按题给坐标，设线密度为λ，有：)
2
/(R
Q
π
λ=。

上下段分割，任意dQ在圆心产生)
(-
+
E
d对称性：)
2(
2
,0
0y
y
oy
o
x
E
E
E
E
E
-
+
=
=
=，θ
cos
+
+
-
=dE
dE
y
2
2
2
2
2
04
cos
2
cos
4
2
cos
2
R
Q
Rd
R
R
dQ
dE
E
ε
π
θ
λ
πε
θ
θ
πε
θ
π
-
=
-
=
-
=
-
=
∴⎰
⎰
⎰+
方向沿y轴负方向。

8.线电荷密度为λ的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状，若圆弧半径为R，试求O点的场强。

答案：按题给坐标，O点的场强可以看作是两个半无限长直导线、半圆在O点产生场强的
叠加。

即：
3
2
1
E
E
E
E
+
+
=
由对称性，
1
E
和
2
E
在y方向的矢量和为零；在x方向矢量和是单根的2倍。

上半无限长导线取电荷元dx
dqλ
=
1
，它在O点的场强沿x方向的分量：
2
2
2
2
1)
(
4
1
x
R
x
x
R
qdx
dE
x
+
+
-
=
πε
R
x
R
x
R
x
R
d
x
R
x
x
R
dx
E
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
)
(
)
(
8
1
)
(
4
1
πε
λ
λ
πε
λ
πε
-
=
+
+
+
-
=
+
+
-
=⎰
⎰
∞
∞
R
E
E
x
x
2
12πε
λ
-
=
+，i
R
E
E
2
12πε
λ
-
=
+
由对称性，
3
E
在y方向的分量为零。

在圆弧上取电荷元θ
λRd
dq=
3
，它在O点的场强的x方向分量，
θ
θ
λ
πε
cos
4
1
2
3R
Rd
dE
x
=
R
R
Rd E x λ
πε
θθ
λπε
ππ0
2
2
2
321cos 41=
=
⎰
-
，i R
E
λπε
321=
03210=++=E E E E
9．一个金属球带上正电荷后，质量有所增大？减小？不变？
答案：理论上说金属带正电后因失去电子，质量有所减少，但测量很困难。