圆幂定理，敲重点
初中数学重点梳理：有关圆的综合
有关圆的综合知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理，圆内接四边形的性质和判定，点、直线、圆和圆的位置关系是今后我们学习综合题目的重要基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、几个重要定义外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图）折四边形2、圆内重要定理：（1）四点共圆定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补判定方法：1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆3．视角定理：若折四边形ABCD中，∠=∠ADB ACB，则A，B，C，D四点共圆证明：如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P因为∠=∠ADB ACB，所以180=∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=ΔCPB∽ΔDPA所以有再注意到因此Δ∽Δ因此由此（ΔABD的内角和）因此A，B，C，D四点共圆PC PBPD PACPD BPACPD BPAPCD PBABCD BAD BCA PCD BADBDA PBA BAD特别地，当∠=∠ADB ACB=90时，四边形ABCD有一外接圆（2）圆幂定理：圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。
相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则PA PB PC PD•=•证明：∠=∠∠=∠=•=•连，，则（等弧对等圆周角）而（对顶角相等）因此ΔAPC∽ΔDPB即，因此AC BD CAB CDBAPC DPBPA PCPA PB PC PDPD PB（3）（切）割线定理：P是圆外任意一点，过P任作圆的两割（切）线PAB，PCD，则PA PB PC PD•=•特别地，当C，D两点重合成为一点C’时，割线PCD变成为切线PC’而由割线定理，2'PA PB PC PD PC•=•=，此时割线定理成为切割线定理。
圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】
圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22OP r-二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。
1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··PAPB PC PD=()PAC PBD∆∆∽2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·PA PC PD=()PAC PDA∆∆∽3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·PA PB PC PD⋅=总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
22··PA PB PC PD r OP==-222·PA PC PD OP r==-22·PA PB PC PD OP r⋅==-例题讲解【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )A ．83B ．3C ．103D ．52【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )A ．4B ．5C ．23D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA的值为( )A ．231B ．23C 32D 32+【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC等于( )A 2B ．22C ．2D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3AE =，4AD =，2DE =，则BC 等于()A ．3B ．4C ．6D ．8【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．154D ．165【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )A ．9B ．7C ．3D ．92【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．【例11】圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．求证：2=⋅．PA PB PC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，∠+∠=︒．PAB BAO∴⊥，即90PA AO⋯阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4PE=，求DE的长．==，7PB BC挑战训练【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45FPB∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。
圆幂定理及其证明
圆幂的定义假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2；综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。
圆幂恒大于或等于零。
圆幂的由来过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。
圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有。
[1]圆幂定理的所有情况考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有圆幂定理的证明图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。
所以有：，即：图Ⅱ：割线定理。
如图，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得图Ⅲ：切割线定理。
如图，连接AC、AD。
∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有易证图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此所以PA=PC，所以综上可知，是普遍成立的。
证明完毕。
解析几何的圆幂定理
解析几何的圆幂定理
圆幂定理是解析几何中的重要定理，它描述了一个点到圆的切
线两个交点处的线段长度之积等于这个点到圆心的距离的平方。
具
体来说，设有一个圆C，圆心为O，半径为r，点P在圆外，作点P
到圆C的切线，切点分别为A和B，则有PA PB = PO^2 r^2。
这个定理可以从几何和代数两个角度来解释。
从几何角度来看，圆幂定理可以被解释为点到圆的切线的长度关系。
当点P在圆外时，PA和PB分别是点P到两个切点的距离，而PO是点P到圆心的距离，r是圆的半径。
根据圆的性质，PA PB的值等于PO^2 r^2。
从代数角度来看，圆幂定理可以被解释为代数方程式的关系。
设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，
r为半径，点P的坐标为(x, y)，则根据勾股定理可得到PO^2 =
(x-a)^2 + (y-b)^2。
另外，点P到切点A的距离可以表示为PA = sqrt((x1-x)^2 + (y1-y)^2)，同理PB也可以表示为sqrt((x2-
x)^2 + (y2-y)^2)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别为切点A和B的
坐标。
将PA和PB代入PA PB = PO^2 r^2的公式中，经过化简可
以得到圆幂定理的代数形式。
总之，圆幂定理是解析几何中的重要定理，它可以从几何和代数两个角度进行解释，对于圆的性质和相关问题的解决具有重要的意义。
数学竞赛辅导讲义圆幂与根轴
数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴一、圆幂的定义：在平面上，从点P 作半径为r 的圆O 的割线，从P 起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P 对于此圆周的圆幂.圆幂定理：（1）当P 在圆O 外时，点P 对于此圆的幂等于22OP r -； （2）当P 在圆O 内时，点P 对于此圆的幂等于22r OP -；（3）当P 在圆O 上时，规定：点P 对于此圆的幂等于0.二、根轴及其性质 1.根轴的定义：对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质：（1）若两圆1O 与2O 相离（半径分别为1r ，2r 且12r r ≤），点M 为12O O 的中点，点H 在线段1O M 上，且2221122r r MH O O -=，则此两圆的根轴是过点H 且垂直于12O O 的直线.特别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段12O O 的中垂线.（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？三、例题例1 如图，设I 和O 分别是ABC ∆的内心和外心，r 和R 分别是ABC ∆的内切圆和外接圆的半径，过I 作ABC ∆的外接圆的弦AK . 求证：（1）IK BK =；（2）2AI IK Rr ⋅=； （3）222OI R Rr =-.（欧拉公式）例2 如图，设圆1O 与圆2O 相离，引它们的一条外公切线切圆1O 于A ，切圆2O 于B ，又引它们的一条内公切线切圆1O 于C ，切圆2O 于D ，求证：（1）AC BD ⊥；（2）直线12O O 是分别以AB ，CD 为直径的圆3O ，4O 的根轴；（3）直线AC 和BD 的交点K 在两圆的连心线12O O 上 .例1K例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的1O 与2O 相交于M ，N 两点，且1O ，2O 分别与O 内切于S ，T 两点，S ，N ，T 三点共线，求证：OM MN ⊥.四、练习题1.点D ，E 为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，分别以BE ，CD 为直径的圆1O 与2O 交于点M ，N .求证：ABC ∆的垂心H 在直线MN 上.1.C例32. （第36届IMO ）设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆1O ，2O 交于点X ，Y ，直线XY 交BC 于点Z .若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与交圆1O 于点C 及M ，直线BP 与交圆2O 于点B 及N . 求证：（1）B ，M ，N ，C 四点共圆； （2）A ，M ，N ，D 四点共圆； （3）AM ，DN ，XY 共点.3. （第40届IMO 国家队选拔题）凸四边形ABCD 的四边满足AB AD CB CD +=+，圆O 分别与凸四边形ABCD 的AB ，BC 两边相切于G ，H 两点，与对角线AC 相交于E ，F 两点.求证：存在另一个过E ，F 两点，且分别与DA ，DC 的延长线相切的圆'O .2.3.BD。
圆幂定理及其相关问题解答
圆幂定理及其相关问题解答1. 圆幂定理简介圆幂定理是平面几何中的一个重要定理，用于解决与圆相关的问题。
它给出了在一个平面内，一个点到圆的两条切线所构成的线段与该点到圆心的距离乘积的平方等于该点到圆的距离与圆心到切点的距离乘积的平方。
圆幂定理的数学表达如下：PA * PB = PC * PD其中，P为点到圆的距离，A、B为切点，C为圆心到切点A的距离，D为圆心到切点B的距离。
2. 圆幂定理的证明圆幂定理的证明可以通过构造垂直，利用勾股定理和相似三角形推导得到。
具体证明过程如下：假设点P到圆O的两条切线分别与圆O相交于A、B两点。
连接线段OP，并设其交点为C。
根据正弦定理可得：PA / sin ∠PAC = PC / sin ∠CPAPB / sin ∠PBC = PC / sin ∠CPB由于∠CPA = ∠CPB，而sin ∠PAC = sin ∠PBC，因此有：PA / PB = sin ∠PBC / sin ∠PAC由于∠PAC和∠PBC都是直角，所以sin ∠PAC = PC/PA，sin ∠PBC = PC/PB。
将上述结果代入可得：PA * PB = PC^2同样的方式可以得到另一组切线的结论。
综上所述，圆幂定理得到证明。
3. 圆幂定理的应用圆幂定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值，下面介绍几个常见的问题及其解法：3.1 问题一：求解切线长度已知一个圆的半径为r，以及一个点P到该圆的距离d，求解与该点P到圆的两条切线的长度。
解法：根据圆幂定理可得：PA * PB = PC * PD = d^2 - r^2由于PA = PB，所以：PA = PB = sqrt(d^2 - r^2)因此，切线长度为sqrt(d^2 - r^2)。
3.2 问题二：判断两个圆的位置关系已知两个圆的半径分别为r1和r2，以及两个圆的圆心之间的距离d，判断两个圆的位置关系。
解法：根据圆幂定理可得：(r1 + r2)^2 = d^2根据以上公式，可以得到以下几种情况：•当d < r1 + r2时，两个圆相交•当d = r1 + r2时，两个圆相切•当d > r1 + r2时，两个圆相离3.3 问题三：求解切点坐标已知一个圆的半径为r，以及一个点P到该圆的距离d，求解与该点P到圆的两条切线的切点坐标。
第六节：圆幂定理
3.6 圆幂定理学习目标:能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆。
学习重点:切线的判定和画法，切线长定理。
学习难点:探索圆的切线的判定方法，作三角形内切圆的方法，切线长定理，相交弦的应用。
【知识要点】1.切线长定理：从圆外一点引圆的切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。
①如图：已知P为⊙O外一点，PA，PB为切线，A，B为切点，则切线长定理有两个结论：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；即OP是∠APB的平分线。
实际上，由圆的对称性知，⊙O关于OP所在直线对称，A、B是对称点，则有很多相关结论，常会用到1)ΔAOB，ΔAPB是等腰三角形 2)OP平分∠APB，OP平分∠AOB 3)OP垂直平分AB 注意：①切线长不是切线的长度，切线是直线，不可度量，而切线长是切线上一条线段的长，即圆外已知点到切点之间距离。
②以上图形是切线长定理的基本图形。
2.弦切角定理①弦切角必须具备三个条件：1.顶点在圆上(切点)；2.一边和圆相切；3.一边和圆相交(弦)；三者缺一不可。
②弦切角定理及推论：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
若两个弦切角所夹弧等，那么两个弦切角也相等，如图：图形中的两个角相等，有些同学常常意识不到。
③作用：可以将弦切角转化为圆内的角，这样可以使圆外、圆内的角联系在一起，常用于证明角度的关系。
3.和圆有关的比例线段相交弦定理：两弦AB，CD交于P，则PA·PB=PC·PD (如图一)推论：AB与直径CD垂直相交，则PA2=PC·PD (如图二)切割线定理及推论：PA为⊙O切线，PC、PF为割线，则有：PA2=PB·PC=PE·PF 注意：不要错写成PB·BC=PE·EF以上几个定理(相交弦定理及推论、切割线定理及推论)统称为圆幂定理。
用途：1)可以在圆中证明等积式或比例式。
1.3.1-圆幂定理-课件-(人教B版选修4-1)
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知识点三 圆幂定理 圆幂定理：已知⊙O(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割 线交圆于A、B两点，则当点P在圆外时，k＝PO2－r2； 当点P在圆内时，k＝r2－PO2； 当点P在圆上时，k＝0. 其中k叫点P对⊙O的“幂”．
(3)解：对于五边形 MEAFN 的五条边，从是否相等考虑，有： MN＝AE＝AF，EM＝FN. 证明如下： 先证明 AE＝AF，不妨假设正方形 ABCD 边长为 1，易证四边形 OMCN 是正方形，则 MO＝NO＝MC＝R＝2－ 2， MN＝ OM2＋ON2＝ 2R＝2 2－2. 而 BM＝DN＝1－MC＝1－(2－ 2)＝ 2－1，BC 切⊙O 于 M， ∴BM2＝BE·BA，即( 2－1)2＝BE·1， ∴BE＝3－2 2.同理 DF＝3－2 2. ∴AE＝AF＝1－BE＝2 2－2.
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分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延 长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半 径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．
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解：将 PO 延长交⊙O 于 D，根据割线定理， 可得 PA·PB＝PC·PD. 设半径为 r，则 6×(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)， 所以 r＝5.9 (cm)．
∴BDDA＝196.
答案：196
专题05 圆中的重要模型圆幂定理模型解析版
专题05 圆中的重要模型--圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。
可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner ）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet ）提出的。
圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型条件：在圆O 中，弦AB 与弦CD 交于点E ，点E 在圆O 内。
结论：CAE BDE ÞEC EA EB ED =ÞEC ED EB EA ×=×。
例1．（2023·广西·九年级假期作业）如图：若弦BC 经过圆O 的半径OA 的中点P ，且34PB PC ==，，则圆O 的直径为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【分析】延长AO 交O e 于D ，设AP OP x ==，证明出APB CPD ∽，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：延长AO 交O e 于点D ，连接,AB CD ，【答案】7【分析】根据题意易得与DE的积，又线段【详解】解：Q BC任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是e的半径．求O【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似，【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；设圆O的半径为cmr，而()15cmPF r=+，PD根据（1）中结论得AP g∴236r=，解得：6r=或【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理，圆周角定理，理解题意，熟练掌握运模型2.双割线模型条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：CEG CHFÞEC CGCH CF=ÞEC FC GC HC×=×(1)证明：ACD ABE ∽△△；(2)【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）根据圆周角定理可得（2）根据ACD ABE ∽△△，可得模型3.切割线模型条件：如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。
圆幂定理
圆幂定理圆幂定理就是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论统一归纳的结果。
ﻩﻩﻩﻩ圆幂=PO^2-Ｒ^2(该结论为欧拉公式)所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线与割线,切线长就是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于Ａ、B;C、D,则有PA·PB=PＣ·PＤ。
线),L2与圆交于C、D(可重合),则有ＰA·PB=PC·PD。
问题１相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明:连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得∠A=∠Ｄ,∠C=∠B。
∴△ＰAＣ∽△PDＢ∴ＰＡ/PD=PC/ＰＢ∴PＡ·PB=PC·PＤ问题２割线定理:从圆外一点Ｐ引两条割线与圆分别交于Ａ、B.C、D 则有PA·PB=PC·PD,当ＰA=ＰB,即直线AＢ重合,即ＰA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD证明:(令A在P、B之间,Ｃ在P、D之间)∵ＡBCＤ为圆内接四边形∴∠CAB+∠CDB=１80°又∠ＣAB＋∠PAC=180°∴∠PＡC=∠CＤB∵∠APC公共∴△AＰC∽△DPＢ∴PＡ/PD=PC/PB∴PA·PB=ＰC·PＤ切割线定理:从圆外一点引圆的切线与割线,切线长就是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言:∵PＴ切⊙O于点T,PBA就是⊙O的割线∴PT＾2=PA·ＰB(切割线定理)推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PＢA、PDC就是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PＢ(切割线定理推论)问题3过点Ｐ任作直线交定圆于两点A、B,证明PA·PB为定值(圆幂定理)。
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圆幂定理，敲重点
相交弦定理
定理：如图，弦AB与弦CD交于圆O内一点P，则PA·PB=PC·PD．证明：连接AD、BC，
根据有圆周角定理可得：
∠DAP=∠BCP，∠ADP=∠CBP，
∴△APD∽△CPB
∴PA:PC=PD:PB
∴PA·PB=PC·PD
切割线定理
定理：如图，P为圆O外一点，PA是圆的切线，PC是圆的割线，求证：PA²=PB·PC．
证明：连接AB、AC，
根据弦切角定理，可得：
∠PAB=∠C，
又∠P是公共角，
∴△PAB∽△PCA
∴PB:PA=PA:PC
∴PA²=PB·PC
割线定理
定理：如图，P是圆O外一点，PB、PD是圆的两条割线，则PA·PB=PC·PD．
证明：
法一：连接AC、BD，
根据圆内接四边形外角等于内对角，
可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，
∴△PAC∽△PDB
∴PA:PD=PC:PB
∴PA·PB=PC·PD
法二：连接AD、BC，
根据圆周角定理，
可得：∠B=∠D，
又∠P是公共角，
∴△PAD∽△PCB
∴PA:PC=PD:PB
∴PA·PB=PC·PD
圆幂定理
定义点P到圆O的幂：OP²-r²．
以上“相交弦定理”、“切割线定理”、“割线定理”统称为“圆幂定理”．
（1）相交弦满足：PA·PB=PC·PD=r²-OP²
（2）切线满足：PA²=OP²-r²
（3）割线满足：PA·PB=PC·PD=OP²-r²
【归纳】以上我们考察的量，如PA·PB、PA²等均等于OP²-r²或r²-OP²，故称圆幂定理．。