“一动一静”碰撞模型及解题技巧(经典)
动碰静弹性碰撞公式
动碰静弹性碰撞公式
一动一静弹性碰撞结论公式是：V2'=2M1V1/(M1+M2)。
能量守恒方程：
(1/2)M1V1²+(1/2)M2V2²=(1/2)M1V1'²+(1/2)M2V2'²。
M1V1+M2V2=M1V1'+M2V2'。
其中,V2=0。
(1/2)M1V1²=(1/2)M1V1'²+(1/2)M2V2'²。
M1V1=M1V1'+M2V2'。
由第二个方程解得V2'=(M1V1-M1V1')/M2，代入第一个方程。
解得V1'==(M1+M2)V1/(M1+M2)。
代回求得V2'=2M1V1/(M1+M2)。
能量的单位与功的单位相同，在国际单位制中是焦耳（J）。
在原子物理学、原子核物理学、粒子物理学等领域中常用电子伏（eV）作为单位，1电子伏=1.602,18×10－19焦。
物理领域，也用尔格（erg）作为能量单位，1尔格=10－7焦。
能量守恒定律表明，能量只能从一种形式变为另一种形式而无法凭空产生或者是消灭。
能量守恒是时间的平移对称性（平移不变性）得出的数学结论（见诺特定理）。
高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习
高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习摘要：一运动的物体与一静止的物体发生弹性碰撞构成一种重要碰撞模型，即“一动一静”一维弹性碰撞模型，碰撞过程动量、机械能守恒，碰后两物体速度可求．两物体通过弹簧弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体；或一物体在另一物体表面运动，通过物体间的弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体也可构成“隐蔽”的“一动一静”一维弹性碰撞模型．关键词：“一动一静”一维弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒，动能，弹性势能，重力势能。
2017届全国考纲把选修3-5由先前的选考内容角色变换成必考内容角色，这要求我们广大高三物理老师提高对选修3-5复习的重视程度，下面谈谈我如何复习选修3-5动量中“一动一静”一维弹性碰撞重要模型，不足之处请同仁指正．一运动的弹性小球碰撞一静止的弹性小球，两小球接触碰撞过程中相互作用的力较大，时间又短，系统动量守恒；两小球从开始接触到共速这短暂过程中小球的动能向小球的弹性势能转化，两小球从共速到开始分离这短暂过程中小球的弹性势能向小球的动能转化，系统机械能也守恒．如图，在光滑的水平面上质量m1、速度v1弹性小球1向右运动与质量m2、静止弹性小球2发生正碰．设m1、m2碰撞分离后的速度分别为v’1、v’2系统动量守恒m1v1=m1v’1+m2v’2系统机械能守恒12m1v12 =12m1v’12+12m2v’22解得错误!或错误!（增根舍去）（Ⅰ）当m1>m2时，v’1与v1同向（大撞小，同向跑）；当m1>>m2时,v’1≈v1、v’2≈2v1（Ⅱ）当m1=m2时，v’1与v1换速，即v’1=0、v’2=v1（Ⅲ）当m1<m2时，v’1与v1反向（小撞大，被弹回）；当m1<<m2时,v’1≈-v1、v’2≈0下面从三个方面分析“一动一静”一维弹性碰撞模型的应用情景一：两弹性体组成的系统，系统能量由动能→物体间挤压的弹性势能→动能例1、如图所示，两个半径相同的小球A、B分别被不可伸长的细线悬吊着，静止时两根细线竖直，两小球刚好接触，且球心在同一条水平线上．现向左移动小球A，使A球与最低点的高度差为h（悬吊A球的细线张紧），然后无初速释放小球A，小球将发生碰撞．碰撞过程没有机械能损失，且碰撞前后小球的摆动平面不变．碰后A、B上升的最大高度分别为h A 和h B（最大高度均未超过绳长）（）A ．若m A ＜mB ，则h A 、h B 中有一个可能大于hB ．若m A ＞m B ，则一定为h B ＞h ＞h AC ．若m A ＞m B ，则h A =h B 是可能的D ．无论质量关系如何，h A 、h B 一定不可能相等【解答】小球A 下摆过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：m A gh=12m A v A 2 解得：v A =2gh两个小球碰撞过程在水平方向动量守恒，系统机械能守恒（“一动一静”一维弹性碰撞模型）. 错误!解得：v A ’=错误!v A ，v B ’=错误!v A碰撞后两小球向上运动的过程中，两小球机械能守恒：12 m A v A ’2=mgh A ，12m B v B ’2=mgh B A 、若m A ＜m B ，碰撞后A 球反弹，向左摆动，B 球向右摆动，系统机械能守恒，h A 、h B 可能相等，但都不可能大于h ，故AD 错误；B 、若m A ＞m B ，碰撞后两球都向右摆动，则一定为h B ＞h ＞h A ，h A 、h B 不可能相等，故B 正确，C 错误；故选B ．例2、如图，光滑水平面上两个体积相同的小球A 和B 静止在同一直线上，B 球右侧有一固定的竖直挡板。
碰撞—“一动一静”模型
v1
家国情怀，国际视野
例5：如图所示，光滑水平面上，质量为2 m的小球A连接着轻质弹簧， 处于静止；质量m的小球B以初速度v0向左匀速运动，接着逐渐压缩 弹簧并使A运动，过一段时间，A与弹簧分离，设小球A、B与弹簧相 互作用过程中无机械能损失 ，弹簧始终处于弹性限度以内。弹簧恢 复原长时两球速度分别是多少？方向如何？
功能关系： 1 2
mv
2 0
0
1 （m
2
M））
2
共
E
∆E=mgh
家国情怀，国际视野
二、“一动一静”弹性碰撞模型
设两个小球发生弹性碰撞
动量守恒：
m1v1 0 m1v1' m2v2'
机械能守恒：
1 2
m1v12
0
1 2
m1v1'2
1 2
m2v2'2
解得：
v1'
m1 m1
m2 m2
v1
v2'
2m1 m1 m2
解析：小球滑上斜面后，只要小球水平方向 的分速度大于斜面体的速度，小球将继续上滑，高度将继续增加， 重力势能也继续增大。当二者的速度相等时，小球上升到最大高度， 重力势能最大，系统动能的损失也最大。
家国情怀，国际视野
小球和斜面体之间的相互作用也可等效为“一动一静”完全非弹性 碰撞，则
动量守恒：mv0 0 (m M )v共
平地面光滑。mA、mB原来静止,在瞬间给mB一很大的冲量,使mB获
得初速度v0,则在以后的运动中,弹簧的最大弹性势能是多少?
解析：弹簧的最大弹性势能临界情况是，当两滑块刚好具有共同速 度，弹簧拉伸最长。符合“一动一静”完全非弹性碰撞模型。
家国情怀，国际视野
高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习
高考物理碰撞中“一动一静”一维弹性碰撞模型复习摘要：一运动的物体与一静止的物体发生弹性碰撞构成一种重要碰撞模型，即“一动一静”一维弹性碰撞模型，碰撞过程动量、机械能守恒，碰后两物体速度可求．两物体通过弹簧弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体；或一物体在另一物体表面运动，通过物体间的弹力作用，把一物体的动能转移给另一物体也可构成“隐蔽”的“一动一静”一维弹性碰撞模型．关键词：“一动一静”一维弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒，动能，弹性势能，重力势能。
2017届全国考纲把选修3-5由先前的选考内容角色变换成必考内容角色，这要求我们广大高三物理老师提高对选修3-5复习的重视程度，下面谈谈我如何复习选修3-5动量中“一动一静”一维弹性碰撞重要模型，不足之处请同仁指正．一运动的弹性小球碰撞一静止的弹性小球，两小球接触碰撞过程中相互作用的力较大，时间又短，系统动量守恒；两小球从开始接触到共速这短暂过程中小球的动能向小球的弹性势能转化，两小球从共速到开始分离这短暂过程中小球的弹性势能向小球的动能转化，系统机械能也守恒．如图，在光滑的水平面上质量m1、速度v1弹性小球1向右运动与质量m2、静止弹性小球2发生正碰．设m1、m2碰撞分离后的速度分别为v’1、v’2系统动量守恒m1v1=m1v’1+m2v’2系统机械能守恒12m1v12 =12m1v’12+12m2v’22解得错误!或错误!（增根舍去）（Ⅰ）当m1>m2时，v’1与v1同向（大撞小，同向跑）；当m1>>m2时,v’1≈v1、v’2≈2v1（Ⅱ）当m1=m2时，v’1与v1换速，即v’1=0、v’2=v1（Ⅲ）当m1<m2时，v’1与v1反向（小撞大，被弹回）；当m1<<m2时,v’1≈-v1、v’2≈0下面从三个方面分析“一动一静”一维弹性碰撞模型的应用情景一：两弹性体组成的系统，系统能量由动能→物体间挤压的弹性势能→动能例1、如图所示，两个半径相同的小球A、B分别被不可伸长的细线悬吊着，静止时两根细线竖直，两小球刚好接触，且球心在同一条水平线上．现向左移动小球A，使A球与最低点的高度差为h（悬吊A球的细线张紧），然后无初速释放小球A，小球将发生碰撞．碰撞过程没有机械能损失，且碰撞前后小球的摆动平面不变．碰后A、B上升的最大高度分别为h A 和h B（最大高度均未超过绳长）（）A ．若m A ＜mB ，则h A 、h B 中有一个可能大于hB ．若m A ＞m B ，则一定为h B ＞h ＞h AC ．若m A ＞m B ，则h A =h B 是可能的D ．无论质量关系如何，h A 、h B 一定不可能相等【解答】小球A 下摆过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：m A gh=12m A v A 2 解得：v A =2gh两个小球碰撞过程在水平方向动量守恒，系统机械能守恒（“一动一静”一维弹性碰撞模型）. 错误!解得：v A ’=错误!v A ，v B ’=错误!v A碰撞后两小球向上运动的过程中，两小球机械能守恒：12 m A v A ’2=mgh A ，12m B v B ’2=mgh B A 、若m A ＜m B ，碰撞后A 球反弹，向左摆动，B 球向右摆动，系统机械能守恒，h A 、h B 可能相等，但都不可能大于h ，故AD 错误；B 、若m A ＞m B ，碰撞后两球都向右摆动，则一定为h B ＞h ＞h A ，h A 、h B 不可能相等，故B 正确，C 错误；故选B ．例2、如图，光滑水平面上两个体积相同的小球A 和B 静止在同一直线上，B 球右侧有一固定的竖直挡板。
“一动碰一静”的弹性碰撞模型及拓展
“一动碰一静”的弹性碰撞模型及拓展作者：杨福来源：《理科考试研究·高中》2012年第03期一、基本模型如图1，质量为m2的小球2静止在光滑水平面上.质量为m1的小球1以v0与球2发生弹性正碰，求碰后球1、球2的速度.解碰撞过程动量守恒,有m1v0=m1v1+m2v2(1)碰撞前后总动能不变，有12m1v20=12m1v21+12m2v22(2)(1)式整理为m1(v0-v1)=m2v2(3)(2)式整理为12m1(v20-v21)=12m2v22(4)由(3)、(4)式解得两组解.第一组解为v1=v0,v2=0.第二组解为(m1-m2)v0m1+m2,2m1v0m1+m2.讨论当m1>m2时，二者同向；当m1=m2时，二者交换速度；当m1根据碰撞的物理情景此模型仅能取第二组解.这种情况的应用常出现在某计算题的一部分.请赏析这两道高考题.1.(宁夏卷)光滑水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动.在小球的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图2所示.球A与球B发生正碰后二者均向右运动.小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ=1.5PO.假设小球间的碰撞及球与墙壁间的碰撞都是弹性的，求两球质量之比m1/m2.2.(全国卷1)如图3所示.质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂.现将绝缘球拉至与竖直方向成600角的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性正碰，在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场.已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处.求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大偏角将小于45°.变式练习1.如图4.一个带有光滑圆弧轨道、质量为M的小车静止于光滑水平面上，一质量为m的光滑小球以速度v0水平冲上小车，当小球上滑再返回并脱离小车时.有①小球一定水平向左做平抛运动②小球可能水平向左做平抛运动③小球可能做自由落体运动④小球一定水平向右做平抛运动以上说法正确的是A.①B.②③C.④D.都不对2.如果上题中小车为带有14光滑圆弧轨道的小车且小球能从小车最高处滑出，情况又如何？3.质量为m的球A，沿光滑水平面以v的速率与质量为3m的静止小球B发生正碰.碰后A 球的速度可能是A.v4与B球速度同向B.v3与B球速度同向C.v2与B球速度反向D.2V3与B球速度反向二、拓展模型如图，质量为m2的表面光滑的凸形物体静止在光滑水平面上，一质量为m1的光滑小球以v0滑上凸形物体，且恰好过最高点又从另一侧曲面滑下，求球与凸形物体分离后二者速度v1、v2.解二者作用过程动量守恒，有m1v0=m1v1+m2v2(1)二者作用前后总动能不变，有m1v202=12m1v21+12m2v22(2)(1)式整理为m1(v0-v1)=m2v2(3)(2)式整理为12m1(v20-v21)=12m2v22(4)由(3)、(4)式解得两组解.第一组解为v1=v0,v2=0.第二组解为(m1-m2)v0m1+m2),2m1v0m1+m2.根据此拓展模型的物理情景，仅能取第一组解，而不能取第二组解.由于思维定势，同学容易记住碰撞情况的第二组解直接写出答案，却是错的.这个拓展模型和基本模型解法(解题所列方程)相同，结果互补.值得我们总结.请做两个同类题.1.如图5所示，水平面上有质量为m1=1 kg的小球和质量为m2=2 kg的凸形物体.小球以v0=6 m/s的速度向右滑上凸形物体，且恰好到达最高点又从另一侧曲面滑下.已知凸形物体与平面平滑衔接，不计一切摩擦.求：(1)小球越过凸形物体的过程中，小球对凸形物体所做功的最大值.(2)小球越过凸形物体后，小球与凸形物体的速度.2.如图5所示，小车的上面由中凸的两个对称曲面组成，整个小车质量为m，原来静止在光滑水平面上，今有一个可看作质点的小球质量也为m，以水平速度v从左端滑上小车，恰好到达小车最高点后又从另一个曲面滑下.关于这个过程的说法正确的是A.小球滑离小车时，小车又回到了原来的位置B.小球滑上曲面的过程中，对小车压力的冲量的大小是mv2C.小球和小车作用前后，它们的速度可能没有变化D.车上曲面的竖直高度不会刁于v24g参考答案一、基本模型1.m1m2=212.3次变式练习1.B2.小球滑出车轨道最高处后相对车竖直上抛，然后又以原速率从车轨道最高处落回，最后结果同第一题.3.A C二、拓展练习1.(1)4 J(2)v小球=6 m/s，v凸形物体=02.C D。
“一动一静”碰撞模型(精品 )
“一动一静”碰撞模型一、“一动一静”完全非弹性碰撞模型建立模型在光滑水平面上，质量为的物体以初速度去碰撞静止的物体，碰后两物体粘在一起具有共同的速度，这种碰撞称为“一动一静”完全非弹性碰撞，此时系统动能损失最大。
（1）基本特征碰后两物体速度相等，由动量守恒定律得：（2）功能关系系统内力做功，实现系统动能与其它形式能量的转化。
当两物体速度相等时，系统动能损失最大，即：二、 应用（1）滑动摩擦力做功，系统动能转化为内能s2ds1v0v例1. 在光滑水平面上，有一静止的质量为M的木块，一颗初动量为的子弹mv0，水平射入木块，并深入木块d，且冲击过程阻力(f)恒定。
解析：得：（2）重力做功，系统动能转化为重力势能例2. 在光滑水平面上静止一质量为M的斜面体，现有一质量为m的小球以水平速度滑上斜面，如图2所示。
若斜面足够长且光滑，求小球能在斜面上滑行的最大高度。
分析：小球滑上斜面后，只要小球水平方向的分速度大于斜面体的速度，小球将继续上滑，高度将继续增加，重力势能也继续增大。
当二者的速度相等时，小球上升到最大高度，重力势能最大，系统动能的损失也最大。
小球和斜面体之间的相互作用也可等效为“一动一静”完全非弹性碰撞，则解以上两式得：二、“一动一静”完全弹性碰撞模型例3.如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m的小球A以初速度v0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间，A与弹簧分离，设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内。
求m2mABv0（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E．（2）弹簧恢复原长时两球速度分别是多少？方向如何？例3. 解：(1)当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则：A、B系统动量守恒，有由机械能守恒：联立两式得 (2) V1=﹣VO V2=VO例4.在光滑水平面上静止一质量为M的斜面体，现有一质量为m的小球以水平速度滑上斜面，如图2所示。
近三年高考(一动一静模型)
近三年高考（07—09全国卷·四川卷）中的“一动一静正碰”模型高中物理的《动量》一章，在力学板块中占据相当重要的地位，因为它提供了一种典型的物理分析、解决问题的方法，其中碰撞问题是一种常规的，重要的表现形式，而“一动一静正碰”模型又是其中一种特殊的，简单的表现，因而在07—09三年全国卷和四川卷高考中频频出现，因此这种“一动一静正碰”应引起我们的高度重视。
一．“一动一静正碰”模型1．设水平面内有两个物体，质量分别为m 1和m 2，m 1以速度v 1去和静止的m 2发生正碰，碰后m 1速度v 1\，m 2速度v 2\，由于碰撞时间短，相互作用内力大，一般远大于外力，故系统动量守恒有m 1v 1= m 1v 1\+ m 2v 2\…………………………①若碰撞无能量损失，为弹性正碰，有2\222\11211212121v m v m v m +=…………② 由①②得 12121\1v m m m m v +-=………………③ 1211\22v m m m v +=………………④ 2．讨论：①若m 1>>m 2，有v 1\=v 1 v 2\=2v 1即碰后m 1的速度几乎不变，m 2以m 1碰前两倍速度同向运动。
②若m 1>m 2，有v 1\>0 v 2\>0即碰后m 1和m 2均沿v 1方向同向运动且v 1\<v 2\③若m 1=m 2，有v 1\=0 v 2\=v 1即碰后m 1静止，m 2获得m 1的速度，此为“速度互换”。
④若m 1<m 2，有v 1\<0 v 2\>0即碰后m 1反弹，m 2沿v 1方向运动⑤若m 1<<m 2，有v 1\=-v v 2\=0即碰后m 1以碰前速度反弹，m 2几乎不动。
二．“一动一静”模型在近三年高考全国卷和四川卷中的考查1．07全国I 卷22题（2）——实验题22．（07全国Ⅰ）实验题：（2）碰撞的恢复系数的定义为,||||102012υυυυ--e 其中10υ和20υ分别是碰撞前两物体的速度，21υυ和分别是碰撞后两物体的速度。
(完整版)“一动一静”谈碰撞
碰撞的“一动一静”模型在物理中的应用碰撞的过程是指：作用时间很短，作用力很大.碰撞过程两物体产生的位移可忽略. 一个运动物体以以一定的速度碰撞一个静止的物体是一个常见的碰撞问题,下面就”一动一静"谈谈碰撞问题。
一、"一动一静”的弹性正碰。
如图( 1 )一个质量为m 1的小球以速度v 0向右运动,与一个静止的质量为m 2的小球发生弹性正碰,这种最典型的碰撞具有一系列应用广泛的重要规律. (1）动量守恒，初、末动能相等，即101122m v m v m v ①222101122111222m v m v m v ② （2）根据①、②式,碰撞结束时,主动球（m 1）与被动球（m 2)的速度分别为:12101212122m m v v m m m v v m m(3）判断碰撞后的速度方向当m 1〉m 2时,v 1>0,v 2〉0，两球均沿v 0方向运动.当m 1=m 2时, v 1=0，v 2=v 0,两球交换速度,主动球停止，被动球以v 0开始运动。
当m 1〈m 2时，v 1<0,v 2〉0， 主动球反弹,被动球沿v 0方向开始运动.1112212121000211121222122,,011m m m m m m m m m v v v v v v v m m m m m m m m 当时，主动球以v 0反弹，被动球静止不动。
(4）不动球获得最大速度、最大动量和最大动能的条件01202121122m01201022211222v 2m 1m m m ,v v 2v 2m m v 2m v m v m m m 1m m v v m m P 当时最大为 所示当m 2〉〉m 1，P 2最大为P m =2m 1v 0=2 P 01这一结果还可以简捷地根据21P P ∆=-∆得出,请读者试一试.2221012k 222210212122m v 4m m 111m v m m v 22m m 2m m E当m 2=m 1时，E k2最大为2k210k011m v 2E E例(1）带有光滑圆弧轨道的滑块质量为M 静止在光滑水平面上,轨道足够高且轨道下端的切线方向水平.今有一质量为m 的小球以水平初速度v 0滚上滑块,如图(2）所示,求 (1）小球沿圆弧轨道上升的最大高度h（2)小球又滚回来和轨道分离时两者的速度大小 解: 小球沿光滑圆弧轨道运动的过程可以看作弹性正碰的过程,系统总动量和总机械能守恒（1）当小球与滑块的速度相同时，小球上升的高度最大,设此时小球和滑块的共同速度为v,有:02201122mv mM vmv mghm M v得: 202Mv hM m g(2）设小球又滚回来时,M 的速度为v 1，球的速度为v 2，有： 012222012111222mv Mv mv mv Mv mv 的: 10202,mm Mv v v v M mM m例（2）如图(3）所示，质量为M 的平板车在光滑水平面上以速度v 0匀速运动，车身足够长，其上表面粗糙，质量为m 的小球自h 高处由静止下落，与平板车碰撞后,每一次上升高度仍然为h ，每次碰撞过程中，由于摩擦力的冲量不能忽略，撞击几次后,小球水平方向的速度逐渐增大.求平板车的最终速度?解: 准确理解题意，应用动量守恒的条件判断，挖掘隐含条件是解决本题的关键. 车和球组成的系统在水平方向上动量守恒,由动量守恒定律得:0v m v M M ＝∴0v v m M＝二、”一动一静”的完全非弹性碰撞。
一动一静弹性碰撞公式
一动一静弹性碰撞公式由于弹性碰撞后的速度公式不好推导，该公式又比较繁杂不好记。
因此导致这类考题的得分率一直较低。
下面探讨一下该公式的巧记方法。
一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？图1设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：m1v1=m1v1＇+m2v2＇①②由①③由②④由④/③⑤联立①⑤解得⑥⑦上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。
为此可做如下分析：，由动量守恒定律当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共得：m1v1= （m1+m2）v共=m1v1 /（m1+m2）。
而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2解出v共继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。
如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。
在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。
因为只有m1>m2，才有v1＇>0。
否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。
由此可轻松记住⑤式。
再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。
二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？图2设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得：m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇①②由①③由②④由④/③⑤由③⑤式可以解出⑥⑦要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。
一动一静弹性碰撞公式
一动一静弹性碰撞公式两小球一动一静碰撞，M1:V1不等于0 M2:V2=0得到公式：V1'=(M1+M2)V1/M1+M2V2'=2M1V1/M1+M2这属于完全弹性碰撞,没有能量损失,同时满足能量守恒方程和动量守恒方程能量守恒方程：(1/2)M1V1²+(1/2)M2V2²=(1/2)M1V1'²+(1/2)M2V2'²M1V1+M2V2=M1V1'+M2V2'其中,V2=0(1/2)M1V1²=(1/2)M1V1'²+(1/2)M2V2'²M1V1=M1V1'+M2V2'由第二个方程解得V2'=(M1V1-M1V1')/M2,代入第一个方程解得V1'==(M1+M2)V1/(M1+M2)代回求得V2'=2M1V1/(M1+M2)根据碰撞过程动能是否守恒分为：1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）；2）非完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）；3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。
一.完全弹性碰撞：能量守恒，动量守恒。
若两质量为m1,m2的物体，以初速度为v10,v20发生碰撞，设碰撞后的速度各为v1,v2。
则根据：m1v10+m2v20 = m1v1+m2v21/2 m1v10^2 + 1/2 m2v20^2 = 1/2 m1v1^2+ 1/2m2v2^2 易证得：v1 = [(m1-m2)v10 + 2m2v20] / (m1+m2)v2 = [(m2-m1)v20 + 2m1v10] / (m1+m2)二非弹性碰撞：必须满足三个约束：1）动量约束：即碰撞前后动量守恒2）能量约束：即碰撞前后系统能量不增加3）运动约束：即碰撞前若A物体向右碰撞B物体，那么碰撞后A物体向右的速度不可超越B物体。
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“一动一静”碰撞模型及解题技巧(经典）
一、“一动一静”完全非弹性碰撞模型 建立模型
在光滑水平面上，质量为
的物体以初速度
去碰撞静止的物体
，碰后两物体粘在一
起具有共同的速度，这种碰撞称为“一动一静”完全非弹性碰撞，此时系统动能损失最大。
（1）基本特征
碰后两物体速度相等，由动量守恒定律得：
（2）功能关系
系统内力做功，实现系统动能与其它形式能量的转化。
当两物体速度相等时，系统动能损失最大，即：
()2212112
1
21v m m v m E k +-=∆
二、 应用
（1）滑动摩擦力做功，系统动能转化为内能
例1. 在光滑水平面上，有一静止的质量为M 的木块，一颗初动量为的子弹mv 0，水平射入木块，并深入木块d ，且冲击过程阻力(f )恒定。
解析：()m v m m v 1112=+
()22121
21v m M mv E +-=
得：21)
(2v M m mM E +=
例2.如图所示，质量为M 的长木板静止在光滑水平面上，质量为m 的小物块以水平速度v0从长木板左端开始运动，为使小物块不从长木板右端滑落，长木板至少多长？
分析：小物块不从长木板上滑落的临界情况是，当小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度，符合“一动一静”完全非弹性碰撞模型，系统损失的动能转化为系统产生的内能，结合摩擦生热公式可解出长木板的长度。
解：小物块不从长木板上滑落的临界情况是小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度。
据动量守恒定律：
()v m M mv +=0
据能量的转化与守恒：
2
2
0)(2
121
v m M mv mgL +-=μ
联立解得：
)(220
m M g Mv L +=
μ 即为长木板的最小长度
例3.光滑水平面上静止一长木板A ，A 的两端各有一竖直挡板。
另有一木块B （可视为质点）以的初速度v1=5m/s 向右运动，如图所示。
若A 与B 之间的动摩擦因数μ=0.05，且A 与B 的质量相等，求B 在A 上滑行的总路程（假设B 与挡板碰撞时无机械能损失）。
解析：B 在A 上来回滑动并与两挡板发生碰撞，由于滑动摩擦力的作用，B 最终必停在A 上并与A 以共同的速度运动。
A 与B 之间的相互作用即为“一动一静”完全非弹性碰撞。
解：设A 与B 的质量均为m ，系统动量守恒，有
mv mv 12=
能量的转化与守恒：μmgs mv mv =-121
22122
·
解以上两式得：s v g m ==⨯⨯=122
45400510125μ..()
（2）重力做功，系统动能转化为重力势能
例4. 在光滑水平面上静止一质量为M 的斜面体，现有一质量为m 的小球以水平速度
滑上斜面，如图2所示。
若斜面足够长且光滑，
求小球能在斜面上滑行的最大高度。
分析：小球滑上斜面后，只要小球水平方向的分速度大于斜面体的速度，小球将继续上滑，高度将继续增加，重力势能也继续增大。
当二者的速度相等时，小球上升到最大高度，重力势能最大，系统动能的损失也最大。
小球和斜面体之间的相互作用也可等效为“一动一静”完全非弹性碰撞，则
()()2
2112
121v m M m v m gh v
M m m v m +-=
+= 解以上两式得：
二、“一动一静”完全弹性碰撞模型
两小球弹性碰撞理论推导
设两个小球发生弹性碰撞
根据动量守恒定律，
112211
22m v m v m v m v ''+=+ （1） 根据弹性碰撞过程机械能守恒，
222
211221122
11112222
m v m v m v m v ''+=+ （2） 由（1）式移项，得
1111
2222m v m v m v m v ''-=- （3） 由（3）式，得
()()111
222m v v m v v ''-=- （4） 由（2）式移项，得
2222
1111
222211112222
m v m v m v m v ''-=- （5） 由（5）式，整理得
()()()()111
1122222m v v v v m v v v v ''''-+=-+ （6） 将（4）式代入（6）式左边，整理得
11
22v v v v ''+=+ （7） 由（1）和（7）式，解得
122
11212122m m m v v v m m m m -'=+++ （8）
211
2
212121
2m m m v v v m m m m -'=+++ （9）
例如：在光滑水平面上，质量为m1的物体以初速度v0去碰撞静止的物体m2，碰后的m1速度是v1，m2的速度是v2，碰撞过程无机械能损失………… 求解：据动量守恒定律：
221101v m v m v m +=
据能量守恒定律得：2
2
2211201212121v m v m v m +=
得：
212
11v m m m m v +-=
例5. 在光滑水平面上静止一质量为M 的斜面体，现有一质量为m 的小球以水平速度v 1滑上斜面，如图2所示。
若斜面足够长且光滑，求小球和斜面体最后的速度。
例5答案：0m v M m M v +-=球，0m
2v M
m v +=斜
例6.如图所示，光滑水平面上，质量为2m 的小球B 连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m 的小球A 以初速度v 0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过一段时间，A 与弹簧分离，设小球A 、B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内。
求
（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E ． （2）弹簧恢复原长时两球速度分别是多少？方向如何？ 例6. 解：(1)当A 球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B 球在
弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A 、B 速度相同时，弹簧的势能
最大．
设A 、B 的共同速度为v ，弹簧的最大势能为E ，则：
A 、
B 系统动量守恒，有v m m mv )2(0+=
由机械能守恒：E v m m mv ++=22
0)2(2
121
联立两式得 2
03
1
mv E =
(2) V1=﹣31VO V2=3
2
VO
练习：
1、在光滑水平面上，有一固定在绝缘底座上的平行板电容器，电容器右极板开有小孔，电容器连同底座总质量为M 。
现有一质量为m ，带电量为的点电荷（不
计重力）以初速度
从小孔水平射入电容器，如图4所示。
若电荷射
入电容器的最大深度为
，求电容器两极板间电场强度的大小。
解析：电荷射入电容器最大深度时共速，有()v M m mv +=1
m
A B
02
11
22v m m m v +=
()2212121v m M mv Eqd m +-=
得：21)(2v qd M m mM E m
+=。