高等数学积分公式和微积分公式大全
高等数学一(微积分)常用公式表
高等数学一(微积分)常用公式表-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 （2）(a-b)²=a ²-2ab+b ²（3）(a+b)(a-b)=a ²-b ² （4）a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) （5）a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)2、指数公式：（1）a 0=1 （a ≠0）（2）a P -=P a 1（a ≠0）（3）amn=mna（4）a m a n =a n m +（5）a m ÷a n=n m aa =a nm -（6）（am）n =amn（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n n ba （9）（a ）2=a （10）2a =|a|3、指数与对数关系： （1）若a b=N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN （3）若be =N ，则b=㏑N4、对数公式： （1）b a b a =log , ㏑eb=b （2）N aaN=log ，eNln =N（3）aN N a ln ln log =（4）a b be aln = （5）N M MN ln ln ln +=（6）N M NMln ln ln -= （7）Mn M n ln ln =（8）㏑nM =M nln 15、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)²（4）αααtan cos sin =（5）αααcot sin cos =（6）ααtan 1cot =（7）ααcos 1csc =（8）ααcos 1sec =7.倍角公式： （1）αααcos sin 22sin = （2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a - （2）（2cosα）2=2cos 1a + （3）2tan α=a a sin cos 1+=a acos 1sin +常用公式表（二）1、求导法则：（1）（u+v ）/=u /+v / （2）（u-v ）/=u /-v /（3）（cu ）/=cu / （4）（uv ）/=uv /+u/v （5）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、定积分公式：（1）⎰⎰=babadtt f dx x f )()( （2）⎰=aadx x f 0)(（3）()()dx x f dx x f abba⎰⎰-= （4）⎰⎰⎰+=bac ab cdxx f dx x f dx x f )()()(（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰-=aadx x f 0)(（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则6、积分定理：（1）()()x f dt t f xa ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ()()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2（3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰7.积分表()C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 2()C a xa dx x a +=+⎰arctan 11322 ()C a x dx x a +=-⎰arcsin 1422()C a x ax a dx ax ++-=-⎰ln 211522 8．积分方法()()bax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。
积分公式如同数学世界中的宝库，为我们解决各种问题提供了有力的武器。
下面就为大家详细介绍一下高等数学中常见的积分公式。
一、基本积分公式1、常数积分公式∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对一个常数进行积分，结果是这个常数乘以自变量 x 再加上一个常数 C。
2、幂函数积分公式∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式很好理解。
比如∫x² dx ＝（1/3)x³＋ C 。
3、指数函数积分公式∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
4、对数函数积分公式∫（1/x) dx ＝ ln|x| ＋ C这是对数函数积分的基本形式。
二、三角函数积分公式1、正弦函数积分公式∫sin x dx ＝ cos x ＋ C2、余弦函数积分公式∫cos x dx ＝ sin x ＋ C3、正切函数积分公式∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C4、余切函数积分公式∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C三、反三角函数积分公式1、反正弦函数积分公式∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C2、反余弦函数积分公式∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C3、反正切函数积分公式∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2)ln(1 ＋ x²) ＋ C四、有理函数积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如 P(x)／Q(x) 的有理函数积分，通常需要先将其分解为部分分式，然后再利用上述基本积分公式进行积分。
五、定积分的基本性质1、线性性质∫kf(x) ＋ lg(x) dx ＝k∫f(x) dx ＋l∫g(x) dx （k，l 为常数）2、区间可加性∫a,b f(x) dx ＝∫a,c f(x) dx ＋∫c,b f(x) dx （a ＜ c ＜ b）六、换元积分法换元积分法是积分计算中的一种重要方法。
自考高等数学一(微积分)常用公式表
高 数 常 用 公 式 表常用公式表(一)1、乘法公式(1) (a+b )²=a 2+2ab+b 2 (2) (a-b )²=a ²-2ab+b ² (3) (a+b)(a-b)=a ²-b ²(4) a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) (5) a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)2、指数公式：(1) a 0=1 (a ≠0)(4) a m a n=am+n(7) (ab) n =a n b n1n(2) a一P= aP(a ≠0) (3) a m =m a nm(5) a m÷a n= a n=a m 一na a n(8) ( b ) n = b n(10) a 2 = |a| 3、指数与对数关系：(1)若a b=N ，则 b = log a N (2)若10b=N ，则b=lgN (3)若 e b =N ，则b=㏑N 4、对数公式：(1) log a a b = b , ㏑ e b=b (2) a log aN = N ，eln N=N(3) log a N =ln Nlna(4) a b = e bln a (5) ln MN=ln M +ln N(6) lnM= ln M 一 ln N (7) ln M n = nln M (8)㏑ n M = 1ln M N n5、三角恒等式：(1) (Sin α)²+ (Cos α)²=1 (2) 1+ (tan α)²=(sec α)²(3) 1+(cot α)²=(csc α)² (4)sin acosa = tan a (5) cosasina= cota(6) cot a =1tana (7) csc a = 1cosa (8) sec a =1cosaa(9) ( a ) (6) ( a m ) n=a=am n26、特殊角三角函数值：7.倍角公式：(1) sin 2a = 2sina cosa (2) tan2a =2tana1tan 2a(3) cos2a = cos 2 a sin 2 a = 2cos 2 a 1= 1 2sin 2 a8.半角公式(降幂公式)：1 cosa 1+ cosa 1+ cosa sin a (1) ( sin a )2 = 2 (2) ( cos a ) 2 = 2 (3) tan a= sin a = 1+ cosa2 2 29、三角函数与反三角函数关系：(1)若x=siny ，则y=arcsinx (2)若x=cosy ，则y=arccosx (3)若x=tany ，则y=arctanx (4)若x=coty ，则y=arccotx 10、函数定义域求法：1(1)分式中的分母不能为0， ( a α≠0)(2)负数不能开偶次方， ( a α≥0) (3)对数中的真数必须大于 0， (log a N N>0)(4)反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足： (--1≤x ≤1) (5)上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
全部高等数学计算公式
全部高等数学计算公式高等数学是数学的一个分支，包括微积分、线性代数、数理方程、概率论、复分析等多个内容。
每个分支都有大量的计算公式，下面将分别介绍这些分支中一些经典的计算公式。
一、微积分公式1.极限公式：(1)函数极限公式：$lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)$$lim(f(x)g(x))=limf(x)·limg(x)$$lim\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{limf(x)}}{{limg(x)}}$(2)常见函数极限：$lim\frac{{sinx}}{{x}}=1$$lim(1+\frac{1}{{n}})^n=e$$lim(1+\frac{1}{{n}})^{n(p-q)}=e^{(p-q)}$2.导数公式：(1)基本导数公式：$(c)'=0$$(x^n)'=nx^{n-1}$$(e^x)'=e^x$$(a^x)'=a^xlna$$(lnx)'=\frac{1}{{x}}$$(sinx)'=cosx$$(cosx)'=-sinx$$(tanx)'=sec^2x$(2)导数的四则运算：$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$(3)链式法则：$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$3.积分公式：(1)基本积分公式：$\int{cx^n}dx=\frac{{cx^{n+1}}}{{n+1}}+C$$\int{e^x}dx=e^x+C$$\int{a^x}dx=\frac{{a^x}}{{lna}}+C$$\int{\frac{{1}}{{x}}}dx=ln，x，+C$$\int{sinx}dx=-cosx+C$$\int{cosx}dx=sinx+C$$\int{sec^2x}dx=tanx+C$(2)常用积分公式：$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$\int{sin^2x}dx=\frac{{x}}{2}-\frac{{sin2x}}{4}+C$$\int{cos^2x}dx=\frac{{x}}{2}+\frac{{sin2x}}{4}+C$4.泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2+...+\frac{{f^{(n)}}}{{n!}}(x-a)^n+R_n(x)$二、线性代数公式1.行列式公式：(1)二阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$(2)三阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+c dh-ceg-afh-bdi$2.矩阵运算公式：(1)两个矩阵的和：$A+B=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix }+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{2 2}\end{bmatrix}$(2)两个矩阵的乘积：$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{ 21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}$3.特征值与特征向量公式：$A-\lambda I=0$其中，A为矩阵，$\lambda$为特征值，I为单位矩阵。
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高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴ c⑵ x x1⑶ sin x cos x⑷ cosx sin x⑸ tan xsec 2 x⑹ cot xcsc 2 x⑺ sec x sec x tan x⑻ csc xcsc x cot x⑼ e xe x⑽ a xa x ln a⑾ ln x1x⑿ log a x1 ⒀ arcsin x1 x2 ⒁ arccos x1x ln a11 x 2⒂ arctan x1 ⒃ arccot x1 2⒄x1⒅x1 1 x 21 x2 x二、导数的四则运算法规u vuvuvu v uvu u v uvvv2三、高阶导数的运算法规（ 1） u x v xnnv x nncu n xu x（2） cu xnnn（ 3） u ax ba n u n ax b（ 4） u x v xc n k u n k x v ( k ) xk 0四、基本初等函数的 n 阶导数公式（ 1） xnnn!（ 2） eaxbnaneax b (3) axna x ln na(4) sin ax bna nsin axb n(5)cos axb naxb n2a n cos21nna nn!nn 1a n n 1 !(6)(7)1 ax b1ax n 1ln ax baxnbb五、微分公式与微分运算法规⑴ d c 0⑵ d xx1dx⑶ d sin x cosxdx⑷ d cosx sin xdx ⑸ d tan xsec 2 xdx⑹ dcot xcsc 2 xdx⑺ d secx secx tan xdx⑻ d cscx cscx cot xdx⑼ dexe xdx⑽ daxa xln adx⑾ d ln x1dxx⑿ dlog a x1 dx ⒀ d arcsin x1 dx ⒁ d arccos x1 dxx ln a1 x 21 x 2⒂ d arctan x12 dx⒃ darccot x1dx1x 1 x 2六、微分运算法规⑴ du v du dv⑵d cu cdu⑶ duv vdu udv⑷ d uvdu udvvv 2七、基本积分公式⑴kdx kx c⑵ x dxx 1c⑶dx ln xc1x⑷a xdx a xc⑸ e x dxe x c⑹ cosxdxsin x cln a⑺sin xdxcosx c⑻1 dxsec 2 xdx tan x ccos 2 x ⑼ 12xdxcot xc⑽ 1 2 dx arctan x csin 2xcsc x1⑾1dxarcsin x c1x 2八、补充积分公式tan xdx ln cos x ccot xdx ln sin x csecxdx ln secx tan x ccscxdx ln cscx cot x c11x1 a 2dx1 x aa2x 2 dx a arctan a cx22a l n x ac1dx arcsinxc1dx ln xx 2 a 2ca 2 x 2ax 2 a 2九、以下常用凑微分公式积分型换元公式f axb dx1 f ax b d ax bu ax baf x x 1dx 1 f x d xu xf ln x1dxfln x d ln xu ln xxf e x e x dx f e x d e xf a x a x dx 1 f a x d a xln af sin x cosxdx f sin x d sin x f cos x sin xdx f cosx d cosx f tan x sec2 xdx f tan x d tan x f cot x csc2 xdx f cot x d cot xf12 dx f arcta n x d arc ta n x arctan xx1f arcsin x 1 dx f arcsin x d arcsin x1 x2十、分部积分法公式⑴形如x n e ax dx ，令u x n， dv e ax dx形如x n sin xdx 令u x n，dv sin xdx形如x n cos xdx 令u x n，dv cosxdx⑵形如x n arctanxdx ，令 u arctan x ，dv x n dx形如x n ln xdx ，令 u ln x ，dv x n dx⑶形如e ax sin xdx，e ax cos xdx令u e ax ,sin x,cos x 均可。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高等数学微积分公式大全
高等数学完整版计算公式一、0101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m−−→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩（系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）lim 1n →∞= （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7）lim arccot 0x x →∞= （8）lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→=三、下列常用等价无穷小关系（0x→）sin x x ∼ tan x x ∼ arcsin x x ∼ arctan x x ∼ 211cos 2x x −∼()ln 1x x +∼ 1x e x −∼ 1ln x a x a −∼ ()11x x ∂+−∂∼四、导数的四则运算法则()u v u v ′′′±=± ()uv u v uv ′′′=+ 2u u v uv v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠五、基本导数公式⑴()0c ′= ⑵1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− ⑺()sec sec tan x x x ′=⋅ ⑻()csc csc cot x x x ′=−⋅ ⑼()xxee′= ⑽()ln xxaaa ′= ⑾()1ln x x′=⑿()1log ln xax a ′=⒀()arcsin x ′= ⒁()arccos x ′=⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arccot 1x x′=−+⒄()1x ′=⒅′=六、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x −=⋅=⎡⎤⎣⎦∑七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b −⋅−+=−⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ−= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =− ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =− ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =−⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x dx = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+九、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠十、基本积分公式⑴kdx kx c =+∫ ⑵11x x dx c μμμ+=++∫ ⑶ln dxx c x=+∫ ⑷ln xxa a dx c a=+∫ ⑸x x e dx e c =+∫ ⑹cos sin xdx x c =+∫ ⑺sin cos xdx x c =−+∫ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫⑼221csc cot sin xdx x c x ==−+∫∫⑽21arctan 1dx x c x =++∫ ⑾arcsin x c =+十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式tan ln cos xdx x c =−+∫ cot ln sin xdx x c =+∫ sec ln sec tan xdx x x c =++∫ csc ln csc cot xdx x x c =−+∫2211arctan xdx c a x a a=++∫ 2211ln 2x adx c x a a x a−=+−+∫c ln c =+十三、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ∫，令n u x =，axdv e dx = 形如sin n x xdx ∫令nu x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ∫令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ∫，令arctan u x =，ndv x dx = 形如ln n x xdx ∫，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx ∫，cos ax e xdx ∫令,sin ,cos axu e x x =均可。
高等数学公式(定积分微积分三角函数导函数等等应有尽有)
高等数学公式根本积分表〔1〕kdx kx C =+⎰ 〔k 是常数〕〔2〕1,1x x dx C μμμ+=++⎰(1)u ≠- 〔3〕1ln ||dx x C x =+⎰〔4〕2tan 1dxarl x C x =++⎰ 〔5〕arcsin x C =+〔6〕cos sin xdx x C =+⎰ 〔7〕sin cos xdx x C =-+⎰〔8〕21tan cos dx x C x =+⎰〔9〕21cot sin dx x C x =-+⎰〔10〕sec tan sec x xdx x C =+⎰ 〔11〕csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 〔12〕x x e dx e C =+⎰〔13〕ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 〔14〕shxdx chx C =+⎰ 〔15〕chxdx shx C =+⎰〔16〕2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ 〔17〕2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ 〔18〕sinxarc C a=+〔19〕ln(x C =++〔20〕ln |x C =++〔21〕tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ 〔22〕cot ln |sin |xdx x C =+⎰ 〔23〕sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ 〔24〕csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数根本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。