初二动点问题及中学考试压轴题
人教版八年级下册数学期末复习：动点问题压轴题
人教版八年级下册数学期末复习：动点问题压轴题1．如图，已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE 对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G 点处．(1)求证：四边形OECH是平行四边形；(2)当点B运动到使得点F，G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；(3)当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，直接．．写出点B的坐标．2．如图1，正方形ABCD边长为4，点P是直线BC上的一动点，连接DP，以DP为边在直线DP右侧作等边三角形DPE．(1)请直接写出正方形ABCD的面积；(2)当BP为何值时，点C落在DPE的边上；(3)如图2，若点P在线段BC上从B向C运动，当BP为何值时，线段CE的长度最小？请求出CE的最小值，并直接写出点E所经过的路径的长度．3．如图，已知ABC 为等腰直角三角形，且面积为4．点D 是BC 的中点，点F 是直线AB 上一动点，连结DF ．(1)求线段BC 的长；(2)当点E 在射线BC 上，且2CE BC =时，连结FE ，若3AF AB =，试判断DEF 是否为等腰三角形，并说明理由；(3)直线AB 上是否存在点F （F 不与AB 重合），使ACF 的其中两边之比为存在，求出BF 的长；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（5，0），点B 在第一象限内，且AB ＝4，OB ＝3．(1)试判断△AOB 的形状，并说明理由．(2)点P 是线段OA 上一点，且PB －P A ＝1，求点P 的坐标；(3)如图2，点C 、点D 分别为线段OB 、BA 上的动点，且OC ＝BD ，求AC ＋OD 的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣34x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．(1)求点B的坐标及点O到直线AB的距离；(2)求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；(3)当S△ABP＝72时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．6．如图，直线y kx b=+经过点75,04A⎛⎫⎪⎝⎭，点()0,25B，与直线34y x=交于点C，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．（1）求点C的坐标；（2）当23DE OA=时，求△CDE的面积；（3）当OAD△沿着OD折叠，当点A落在直线OC上时，直接写出点D的坐标．7．点P为等边ABC的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．（1）如图1，若2BP AB ==，依题意补全图形，并直接写出线段AD 的长度； （2）如图2，线段AD 交PC 于点E ， △设BCP α∠=，求AEC ∠的度数； △求证：AE CE DE =+．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝﹣x ＋5与y 轴交于点A ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点B (﹣4，0)和点C ，且与直线l 1交于点D (2，m )．（1）求直线l 2的解析式；（2）若点E 为线段BC 上一个动点，过点E 作EF △x 轴，垂足为F ，且与直线l 1交于点G ，当EG ＝6时，求点G 的坐标；（3）若在平面上存在点H ，使得以点A ，C ，D ，H 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H 的坐标．9．如图1，直线AB ：y x b =-+分别与x ，y 轴交于()6,0A ，B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且:3:1OB OC =．()1求直线BC的函数表达式；()2在x轴是否存在一点M，使得BCM是一个等腰三角形，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由；()3如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为一腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．10．如图，直线1与直线m交于点Q89,55⎛⎫⎪⎝⎭，直线m与坐标轴分别交于A、B两点，直线l与y轴交与点C，已知B、C两点关于x轴对称且BC＝6．（1）求直线l和直线m的解析式；（2）若P为直线l上一动点，S△P AB＝32S△OAB，求点P的坐标；（3）M为直线l上一动点，N为平面内一点，直接写出所有使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．11．如图，在四边形ABCD 中，AD △BC ，△B ＝90°，△C ＝60°，AD ＝24cm ，CD ＝8cm ．点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动；点Q 从点B 同时出发，以3cm /s 的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q 的运动时间为x （s ）． （1）BC ＝ cm ，AB ＝ cm ； （2）当PQ ＝CD 时，x ＝ ；（3）当四边形ABQP 为矩形时，求x 的值．12．如图，正比例函数34y x =与一次函数7y ax =+的图像相交于点()4,P n ，过点(),0A t 作x 轴的垂线l ，且04t <<，交一次函数的图像于点B ，交正比例函数的图像于点C ，连接OB ． （1）求a 值；（2）设OBP 的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式；（3）当2t =时，在正比例函数34y x =与一次函数7y ax =+的图像上分别有一动点M 、N ，是否存在点M 、N ，使CMN △是等腰直角三角形，且90CNM ∠=︒，若存在，请直接写出点M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE△BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且△DBF＝45°，作△BFD的角平分线FG交AB于点G．（1）求△BFD的度数；（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．14．如图所示，点A是平面直角坐标系内一点坐标为（1，AB是过点A的一条直线，B是直线与x轴的交点，以OA、OB为邻边作平行四边形AOBC．若OD是△AOB的平分线，且D是AC的中点．（1）求B、D两点的坐标；（2）求直线AB的解析式；S平行四边形AOBC，请直接写出满足条件（3）若P是直线AB上一动点，且S△POD 12的点P的坐标．15．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数y＝23x b-+的图象与边OC，AB分别交于点D，E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求b的值；（2）当DM：ME＝1：2时，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方的平面内的一点，当以点O，M，D，N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点N的坐标．16．在矩形ABCD中，BC，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，交AB于点M，求证：点M在线段EF 的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，直接写出点G运动路线长．交△BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；（2）四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由；（4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？18．如图，在平面直角坐标系中，直线123y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点A．（1）求AOC△的面积；（2）点P是直线AC上的动点，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F，E，若2PF PE=，请求出点P的坐标；（3）点117,39B⎛⎫⎪⎝⎭在直线AC上，坐标轴上存在动点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．把△COB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕．（1）求线段AB的长；（2）求直线BC的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，点M在线段AB上运动（不与点A，B重合），连接OM．（1）求线段OB的长；（2）设点M的横坐标为m，△BOM的面积为S，求S关于m的函数关系式（不必写出自变量m的取值范围）；（3）若点M为线段AB的中点，点P为射线BO上的动点，将△APM沿直线PM折叠得到△A1PM，若以点A1、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点A1的横坐标．参考答案：1． (2)B （0）；四边形OECH 是菱形(3)点B 的坐标是（00， 2．(1)16(2)4或4343或4(3)4-；2；E 所经过的路线的长度是43．(1)线段BC 的长为4；(2)△DEF 是等腰三角形(3)存在，BF 的长为或或-2．4．(1)△AOB 是直角三角形，(2)P (4514，0)5．(1)B （4，0），125(2)922n -(3)（5，7）或（8，3）或（92，72） 6．（1）点C 的坐标为(12，9)；（2）△CDE 的面积为752；（3）点D 的坐标为(15，5)或(-15，45)． 7．（1）AD =（2）△60AEC ∠=︒；△证明见解析．8．（1）122y x =+；（2）(﹣2，7)；（3）(2，0)或(2，6)或(﹣2，4)．9．()136y x =+； ()2 存在，M 的坐标为()12M --，()22M -+，()38,0M ，()42,0M ； ()3不变化，()0,6K -．10．（1）直线l 的解析式为33y x =-，直线m 的解析式为334y x =-+；（2）P （25，95-）或P （145，275）；（3）N 1（2910，2710）或N 2（295+，35-N 3（295-，35-）或N 4（4-，0）或N 5（75-，395） 11．（1）28，（2）5或7；（3）6．12．（1）1a =-；（2）7142s t =-+；（3）存在，1133,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3973,1616N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2053M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，7311,1212N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．13．（1）120°；（2）BF +DF ＝GF ；（314．（1）B 点的坐标是（4，0），D 点的坐标是（3．（2）y （3）（4，0）或（0． 15．（1）3；（2）M （1，73）；（3）N （3613，5413）或N （﹣94，32）． 16．（1）见解析；（2）见解析；（3）103π 17．（1）OE =OF ，证明见解析；（2）不是；（3）点O 运动到AC 的中点；（4）△ACB 为直角18．（1）6；（2）612,77P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,027⎛⎫ ⎪⎝⎭或920,9⎛⎫- ⎪⎝⎭ 19．（1）AB =10；（2）y =2x +6；（3）存在，满足条件的P 点的坐标为（3，2）或（-4，8）．20．（1）4；（2）S =m +4；（3）-1或-3。
2022-2023学年人教版八年级上数学期末压轴题动点问题含答案
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题1．在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上且AB AE =，AF 平分CAE ∠交DE 于点F ，连接FC ．(1)如图1，求证：ABE ACF ∠=∠；(2)如图2，当60ABC ∠=︒时，求证：AF EF FB +=；(3)如图3，当=45ABC ∠︒，且AE BC ∥时，请直接写出BD 和EF 之间的数量关系：(不用写证明过程)．2．如图，在ABC 中，90B ，16AB =cm ，12BC =cm ，20AC =cm ，P 、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 开始从点B 沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．(1)BP =__________；BQ =__________（用t 的代数式表示）； (2)当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒后，PQB △是等腰三角形？(3)点Q 在边CA 上运动，连接BQ ，出发几秒后，能使BCQ △形成以CQ 为腰的等腰三角形？3．如图，点P Q 、分别是等边ABC 边AB BC 、上的动点（端点除外），点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ CP 、交于点M ．(1)ABQ 与CAP 全等吗？请说明理由；(2)当点P Q 、分别在AB BC 、边上运动时，QMC ∠变化吗？若变化，请说明理由；若不变， 求出它的度数．4．在ABC 中，AB AC =，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使,AD AE DAE BAC =∠=∠，连接CE ，设,BAC m DCE n ∠=∠=(1)如图1，当点D 在线段CB 上，且60m =时，那么n =_________度； (2)当60m ≠①如图2，当点D 在线段CB 上时，求m 与n 间的数量关系；①如图3，当点D 在线段CB 的延长线上时，请将图3补充完整，并求出m 与n 之间的数量关系5．如图，ABC 是等边三角形，6AB ＝，动点P 沿折线AB ﹣BC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动；同时，动点Q 沿折线CA AB BC --以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，连接PQ ，设点P 的运动时间为t （s ）（012t <<）．(1)用含t 的式子表示BP 的长；(2)当APQ 是等边三角形时，求t 的值；(3)当线段PQ 在ABC 的某条边上时，求t 的取值范围；(4)在（3）的条件下，当以点P 、Q 、A 、C 中的任意三个点为顶点构成的三角形是以PQ 为底的等腰三角形时，直接写出t 的值．6．如图，在平面直角坐标系中，点()3,0C ，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，AB AC =，点D 是x 轴上的一动点（点D 不与B 、C 重合），90CAB EAD ∠=∠=︒，AD AE =，连接CE ．(1)如图1，直接写出点A ，B 的坐标；(2)如图2，当点D 在边BC 上时，求证：①BC CE CD =+，①BC CE ⊥； (3)当5CD =时，求点E 坐标．7．在平面直角坐标系中，点(06)(80)10A B AB =，，，，，如图作DBO ABO CAy BAO ∠=∠∠=∠，，直线CD 过点O ．(1)写出线段AC BD 、的关系；(2)动点P 从A 出发，沿A O B --路线运动，速度为1，到B 点处停止；动点Q 从B 出发，沿B O A --运动，速度为2，到A 点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE CD ⊥于点E ，QF CD ⊥于点F ．问两动点运动多长时间时OPE 与OQF △全等？8．如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ﹔动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2cm/s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1cm/s 的速度运动；已知6cm AC =，设动点D ，E 的运动时间为t ．(1)当点D 沿射线AM 方向运动，满足:2:3ADB BEC S S =△△，试求运动时间t 的值；(2)当点D 在射线AM 或射线AM 的反向延长线上运动时，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值：若不存在，请说出理由．9．如图①，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABC 的边AB 在x 轴上，A ，B 两点的坐标分别为(,0)m ，(,0)n ，且2(4)|2|0m n ++-=，点C 的坐标为(0,，4BC =，点P 为x 轴上一动点.(1)点A 的坐标是__________，点B 的坐标是__________. (2)如图①，连接CP ，当14COP AOC S S =△△时，求AP 的长. (3)如图①，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，已知60OBC ∠=︒，设运动时间为(03)t t ≤≤秒．当PQB △是直角三角形时，求t 的值.10．已知等边ABC ，点P Q ，分别是直线AB BC ，上的动点．(1)如图，若点P 从顶点A 沿AB 向B 点运动，点Q 同时以相同速度从点B 沿BC 向C 点运动，连接CP 交AQ 于M ．①求证：ABQ CAP ≌△△；①点P Q 、在运动的过程中，CMQ ∠变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；(2)如图，当点P 在BA 的延长线上，Q 在BC 上，若PQ PC =，请判断AP CQ ，和AC 之间的数量关系，并说明理由．11．已知正方形ABCD ，边长为4，动点P 以每秒1个单位的速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒4个单位速度从A 点出发沿正方形的边AD DC CB --方向顺时针作折线运动，当点Q 回到A 点时停止运动，设点P 的运动时间为t ．(1)当85t =时，证明：ABP BCQ ≌△△； (2)当6ADQS=时，ABP S △的面积是多少？(3)ADQ S △是否有最大值？如果有，请直接写出3个满足的t 的值；如果没有，请说明理由．12．如图，已知()2,0A -，()0,4B -，()1,1C ．点P 为线段OB 上一动点（不包括点O ），CD CP ⊥，CD 交x 轴于点D ，CP 交x 轴于点K ，当P 点运动时．(1)求证：CPO CDO ∠=∠； (2)求证： C P CD =；(3)下列两个结论：①AD BP -的值不变：①AD BP +的值不变，选择正确的结论求其值．13．如图，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=，点D 是直线AB 上的一动点（不和A ，B 重合），BE CD ⊥于E ，交直线AC 于F ．(1)点D 在边AB 上时，证明：DA FA =； (2)在（1）的条件下，证明：AB FA BD =+；(3)点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，探索AB ，FA ，BD 这三条线段之间的数量关系，请画出图形并直接写出正确结论．14．如图1，在ABC 中，BO AC ⊥于点O ，3AO BO ==，1OC =，过点A 作AE BC ⊥于点E ，交BO 于点F ．(1)求线段OF 的长度；(2)连接OE ，求证：45OEF ∠=︒；(3)如图2，若点P 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交线段OA 延长线于N 点，则BPMAPNS S-的值是否发生改变，若改变，请求出BPMAPNSS-的变化范围；若不改变，请求出BPMAPNS S-的值．15．已知ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE （顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．(1)如图①，当点D 在边BC 上时，求证：①BD CE =，①AC CE CD =+；(2)如图①，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC CE CD =+是否成立？若不成立，请写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图①，当点D 在边BC 的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系．16．如图所示，ABC 是边长为9的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由点A 向点C 运动（与A ，C 不重合），Q 是CB 延长线上的一点，与点P 同时以相同的速度由点B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PQ 交AB 于点D ．(1)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长．(2)试说明：在运动过程中，点D 是线段PQ 的中点．(3)在运动过程中，线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长：如果变化，请说明理由．17．如图，已知：射线AF 交CD 于E ，180CEF BAF ∠+∠=︒．(1)求证：AB CD ∥．(2)如图2，Y 为射线ED 上一动点，直接写出BAF AFY CYF ∠∠∠，，之间的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY ，延长FY 交射线AB 于W ，N 为线段AW 上一动点，若AY 平分BAF ∠，YN 平分30WYE NWY ∠∠=︒，时，求2AYN FEY ∠+∠的值．18．如图，60MON ∠=︒，点A 、B 分别是射线OM 、射线ON 上的动点，连接AB ，AMB ∠的角平分线与NBA ∠的角平分线交于点P ．(1)当OA OB =时，求证：AP OB ∥；(2)在点A 、B 运动的过程中，P ∠的大小是否发生改变？若不改变，请求出P ∠的度数；若改变请说明理由；(3)连接OP ，C 是线段OP 上的动点，D 是线段OA 上的动点，当12AOBS =，6OB =时，求AC CD +的最小值．参考答案1． (3)2BD EF =． 2．(1)()16t -cm ，2t cm (2)当163t =时，PQB △是等腰三角形 (3)11或12秒3．(1)全等，(2)QMC ∠不变，60QMC ∠=︒4．(1)120；(2)①180m n +=，①m n =5．(1)6BP t ＝﹣； (2)2t =s ；(3)当312t ≤<，且6t ≠时，线段PQ 在ABC 的某条边上；(4)当4t =或8t =时，满足以点P 、Q 、A 、C 中的任意三个点为顶点构成的三角形是以PQ 为底的等腰三角形．6．(1)()0,3A ，()3,0B - (3)E 点为()3,1或()3,117．(1)10AC BD =-，AC BD ∥ (2)当运动时间为2秒或143秒或12秒时，OPE 与OQF △全等．8．(1)当127t =s 或12s 时，满足:2:3ADB BEC S S =△△ (2)存在，2s 或6s9．(1)()40-,，(2,0)； (2)3AP =或5AP =； (3)32t =或125t =．10．(1)①不变化， (2)AP CQ AC +=，11． (2)72或132(3)有，23t ≤≤都可，答案不唯一12． (3)AD BP +的值不变，是813． (3)点D 在AB 的延长线上时，AB AF BD =-；点D 在AB 的反向延长线上时，AB BD AF =-14．(1)1(3)BPM APN SS ﹣的值不发生改变，等于9415． (2)结论AC CE CD =+不成立，CE AC CD =+，(3)补全图形见解析，CD AC CE =+，理由见解析16．(1)3(3)在运动过程中，线段ED 的长不发生变化，为定值4.517． (2)180AFY CYF BAF ∠+∠+∠=︒；(3)2150AYN FEY ∠+∠=︒．18． (2)P ∠的大小不变，60P ∠=︒(3)AC CD +的最小值为4。
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(含答案)
人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练1．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．(1)求证：△BAD＝△EDC：(2)用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．2．如图，已知△ ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t 秒．(1)当t为何值时，△ AFD与△ CFE全等；(2)当t为何值时，△ BDE为直角三角形．3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：△BD＝CE，△AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．4．在等边△ABC中，(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，△BAP＝20°，求△AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．△依题意将图2补全；△求证：P A＝PM．5．如图，在三角形ABC中，D是射线BC上一动点．(1)如图1，点D在BC边上（不与点B，C重合），△ 按要求作图：分别过点D作DE BA∥交边AB于点F；∥交边AC于点E，作DF CA△ 在△的条件下，判断△EDF与△A的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若点D在BC的延长线上，DF CA∥，△EDF=△A，试判断DE与BA的位置关系，并说明理由．6．如图1，等腰Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD△AE，垂足为F．(1)求证△CAE=△ABD；(2)连接DE，满足△AEB=△DEC，求证：BD=DE+AE；(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足△AEB=△GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．7．已知：如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为()s t，解答下列各问题：(1)ABC的面积为多少？△是等边三角形？(2)当t为何值时，PBQ△是直角三角形时，求t的值．(3)当PBQA a，将点A向右平移b个单位得到点B，其中a，b满足8．如图△所示，点A的坐标为(0,)+-=．a b50(2)如图△，坐标轴上有两个动点P ，Q ，点P 从A 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点出发以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，点P 、Q 同时出发，点P 到达O 点时整个运动结束．设运动时间为t 秒，问t 为何值时，使得12OBP BOQ S S =△△？并求出此时点P 和点Q 的坐标； (3)如图△所示，点F 为x 轴上一点，作△BOF 的平分线OG ，且OG △FB ，垂足为G ，△AOB 的平分线OE 与射线FB 交于点E ，求△E 的度数．9．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(a ，0)，(b ，0)，且a ，b 满足()23-20a b ++=．现同时将点A ，B 分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标为：A ___________， B ___________．(2)若点P 是线段AC 上的一个动点，Q 是线段CD 的中点，连接PQ ，PO ，当点P 在线段AC 上移动时（不与点A ，C 重合），请找出PQD ∠，OPQ ∠，POB ∠的数量关系，并证明你的结论．(3)在坐标轴上是否存在点M ，使三角形MAD 的面积与三角形ACD 的面积相等？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．10．已知：直线AD BC ∥，动点P 在直线EF 上运动，探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系．(1)【问题发现】若25ADP ∠=︒，35BCP ∠=︒，求DPC ∠的度数．(2)【结论猜想】当点P 在线段AB 上时，猜想ADP ，DPC ∠，BCP ∠三个角之间的数量关系，并说明理(3)【拓展延伸】若点P 在射线AE 上或者在射线BF 上时（不包括端点），试着探究ADP ，DPC ∠，BCP ∠之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由．11．ABC 中，70C ∠=︒，点D ，E 分别是ABC 边AC ，BC 上的点，点P 是一动点，令1PDA ∠=∠，2PEB ∠=∠，DPE α∠=∠．初探：(1)如图1，若点P 在线段AB 上，且60α∠=︒，则12∠+∠=_____________； (2)如图2，若点P 在线段AB 上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P 在线段AB 的延长线上运动，则△1，△2，α∠之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P 运动到ABC 的内部，写出此时△1，△2，α∠之间的关系，并说明理由．12．如图，AB 、CD 被AC 所截，AB CD ∥，△CAB ＝108°，点P 为直线AB 上一动点（不与点A 重合），连CP ，作△ACP 和△DCP 的平分线分别交直线AB 于点E 、F ．(1)当点P 在点A 的右侧时△若△ACP ＝36°，则此时CP 是否平分△ECF ，请说明理由． △求△ECF 的度数．(2)在点P 运动过程中，直接写出△APC 与△AFC 之间的数量关系．(1)求证：AB CD ∥；(2)如图2，若3ABE EBF ∠=∠，120BFD ∠=︒，试求CDFBDF∠∠的值；(3)如图3，若H 是直线CD 上一动点（不与D 重合），BI 平分HBD ∠，则EBI ∠与BHD ∠的数量关系为______．14．如图1，在△ABC 中，BO AC ⊥于点O ，3,1AO BO OC ===，过点A 作AH BC ⊥于点H ，交BO 于点P ．(1)求线段OP 的长度；(2)连接OH ，求证：点O 到△AHC 的两边距离相等；(3)如图2，若点D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN DM ⊥交线段OA 延长线于N 点，则BDM ADN S S ∆∆-的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．15．在ABC 中，BAC ABC ∠>∠，三个内角的平分线交于点O ．(1)填空：如图1，若80BCA ∠=︒，则BOA ∠的大小为________度；(3)如图2，CO 的延长线交AB 于点E ，点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥于点N ，请探索AMN ∠、ABC ∠、BAC ∠三者之间的数量关系．16．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=︒(1)请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；(2)如图2，在（1）的结论下，当90E ∠=︒保持不变，移动直角顶点E ，使MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系？(3)如图3，在（1）的结论下，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点，当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？17．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以每秒3cm 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以每秒3cm 的速度向点A 运动，运动时间是t 秒．(1)在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△BPD 和△CQP 全等，若存在，求出t 的值．若不存在，请说明理由．18．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何?请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形?若能，请求出t，若不能，请说明理由．(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形?2,0，以线段OA为边在第四象限内作等边AOB，点C 19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()OC>，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，连接DA．为x轴正半轴上一动点()2(1)求证：OBC ABD≌；(2)是否存在点C，使得ACD△为直角三角形．若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)是否存在点C，使得ACD△为等腰三角形．若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．B-(0,4)点4(6,)A -．(1)如图1，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴向上运动，当点P 运动到点A 时，P 、Q 同时停止运动，设点P 运动时间为t 秒．用含t 的式子表示P ，Q 两点的坐标．(2)如图2，点D 为线段OA （端点除外）上某一点，当点D 在线段上运动时，过点D 作直线EF 交x 轴正半轴于E ，交直线AB 于F ，,EOD AFD ∠∠的平分线相交于点N ，若ODF α∠=，请用含α的式子表示ONF ∠的大小，并说明理由．答案1． (2)AB ＝CD +CE 2．(1)103t =(2)t ＝2或53．(2)AC+CD ＝CE ，4．(1)80°5．(1)；△△EDF =△A ， (2)DE BA ∥，6． (3)BG =AE +EG ，7．(1)2cm (2)3 (3)2或48．(1)(0,2)A ，(3,2)B (2)65t =，点0,54P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)△E ＝45°9．(1)（−3，0）；（2，0）(2)△DQP ＋△QPO ＋△BOP ＝360°； (3)（0，163）或（0，−43）或（−8，0）或（2，0）10．(1)60°；(2)△DPC =△ADP +△PCB(3)△PCB =△DPC +△ADP ；或△ADP =△DPC +△PCB11．(1)130︒；(2)1270α∠+∠=︒+∠； (3)1270α∠-∠=︒+∠； (4)12430α∠+∠=︒-∠，12．(1)△平分，；△36°(2)当点P 在点E 的右侧时，2APC AFC ∠=∠；当点P 、点E 在点A 的左侧，点F 在点A 的右侧时，2180AFC APC ∠+∠=︒；当点P 、点E 、点F 均在点A 的左侧时， 2180AFC APC ∠-∠=︒．13． (2)4(3)△BHD =2△EBI 或△EBI =90°-12△BHD14．(1)OP =1；(3)不变，9415．(1)130(3)2360AMN ABC BAC ∠=∠-∠+︒或2AMN BAC ABC ∠=∠-∠16．(1)平行，(2)存在，1902BAE MCD ∠+∠=︒(3)BAC PQC QPC ∠=∠+∠17．(1)43t = (2)当1t =时，△BPD △△CQP18．(1)PQ 与AB 垂直，(2)能，当4s t =时，△BPQ 是等边三角形(3) 2.4s t =或6s t =，△BPQ 是直角三角形19． (2)C （4,0）(3)不存在，20．(1)P （2t ，-4），Q （0，3t ）； (2)12ONF α∠=，。
人教版八年级数学上册动点问题压轴题训练
1. 如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D．∠ACE=90∘，且AC=6cm，CE=7cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→⋯运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过点P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为________.2. 如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C,△ABC的边上有两个动点D，E，点D以1cm/s的速度从点A出发沿AC−CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC−CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D，E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M，N．若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=________s时，以点D，M，C为顶点的三角形与以点E，N，C为顶点的三角形全等．3. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=15,AB=25，点D为斜边AB上动点．(1)如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；(2)如图2，当AD=AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；(3)如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．4. 如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0).(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．5. 如图所示，直线AB交x轴于点A(a,0)交y轴于点B(0,b)，且a、b满足√a−b+(a−6)2=0，P为线段AB上的一点．(1)如图1，若AB=6√2，当△OAP为AP=AO的等腰三角形时，求BP的长．(2)如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶的值是否点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．(3)如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．6. 如图1，OA=2,OB=4，以AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,∠BAC=90∘.(1)求C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，∠APD=90∘，过D作DE⊥x轴于E点，求OP−DE的值；(3)如图3，点F坐标为(−2,−2)，点G(0,m)在y轴负半轴上，点H(n,0)在x轴正半轴上，且FH⊥FG，求m+n的值．7. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD，DE.(1)如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE=DC；(2)如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数.8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为(7.5,0)，(3,6)，(0,3)，直线AB交y轴于点D，点D的坐标是(0,10)，动点P从点C出发沿着y轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿着射线AB以每秒a个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．(1)求BD的长；(2)当△PQD与△BDC全等时，求a的值．一、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ） 1.【答案】 1或135或275 【考点】全等三角形的判定 动点问题 【解析】【解答】解：当点P 在AC 上，点Q 在CE 上时，∵ 以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等， ∵ PC =CQ ，∵ 6−2t =7−3t ，解得t =1；当点P 在AC 上，点Q 第一次从点C 返回时，∵ 以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等， ∵ PC =CQ ，∵ 6−2t =3t −7，解得t =135；当点P 在CE 上，点Q 第一次从E 点返回时，∵ 以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等， ∵ PC =CQ ，∵ 2t −6=21−3t ，解得t =275；当点P 在CE 上，点Q 第二次从点C 返回时，若PC =CQ ，即2t −6=3t −21，解得t =15（不符合题意，舍去）． 综上所述，符合题意的t 的值为1或135或275.故答案为：1或135或275. 2. 【答案】 1或72或12 【考点】全等三角形的性质与判定【解析】分当E在BC线段上时，此时D在AC线段上；当E在AC线段上时，且D在AC线段上；当E到达A时，且D在BC线段上，三种情况进行讨论，相应列出方程求解即可．【解答】解：①当E在BC线段上时，此时D在AC线段上，0<t<83，故CE=8−3t，CD=6−t.当DC=CE时，△DCM≅△CEN,故8−3t=6−t，解得：t=1；②当E在AC线段上时，且D在AC线段上，83<t<143，故CE=3t−8，CD=6−t，当DC=EC时，△DCM≅△ECN,故3t−8=6−t，解得：t=72；③当E到达A时，且D在BC线段上，143<t<14，故CE=6，CD=t−6，当DC=CE时，△DCM≅△CEN,故6=t−6,解得：t=12.综上所述：t=1或72或12时，以点D，M，C为顶点的三角形与以点E，N，C为顶点的三角形全等．故答案为：1或72或12．二、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）3.【答案】解：(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,AC=15,AB=25，BC2=AB2−AC2=400，∵ BC=20，∵ S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC，∵ 12×25⋅CD =12×20×15，解得：CD =12； (2)如图，连接AE ，∵ DE ⊥AB ，∵ ∠ADE =∠C =90∘， 在Rt △ADE 和Rt △ACE 中，{AD =AC ，AE =AE ，Rt △ADE ≅Rt △ACE(HL)， ∵ DE =CE .设DE =CE =x ，则BE =20−x ， 又BD =25−15=10，在Rt △BDE 中，由勾股定理，得 102+x 2=(20−x )2， 解得：x =152，∵ CE =152；(3)在Rt △ABC 中，有AB =25,AC =15,BC =20，点C 到AB 的距离为12； 当△ACD 为等腰三角形时，可分为三种情况： ①当AD =AC 时，AD =15；②当AC =CD 时，如图，作CE ⊥AB 于点E ，则AD =2AE ，∵ CE =12，由勾股定理，得 AE =9，∵ AD =2AE =18； ③当AD =CD 时，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，当点D是AB中点时，有AD=BD=CD，∵ AD=12AB=12×25=252.综合上述，当△ACD为等腰三角形时，AD的长度为：15或18或252.【考点】三角形的面积勾股定理等腰三角形的判定与性质直角三角形全等的判定全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,AC=15,AB=25，BC2=AB2−AC2=400，∵ BC=20，∵ S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC，∵ 12×25⋅CD=12×20×15，解得：CD=12；(2)如图，连接AE，∵ DE ⊥AB ，∵ ∠ADE =∠C =90∘， 在Rt △ADE 和Rt △ACE 中，{AD =AC ，AE =AE ，Rt △ADE ≅Rt △ACE(HL)， ∵ DE =CE .设DE =CE =x ，则BE =20−x ， 又BD =25−15=10， 在Rt △BDE 中，由勾股定理，得 102+x 2=(20−x )2， 解得：x =152，∵ CE =152；(3)在Rt △ABC 中，有AB =25,AC =15,BC =20，点C 到AB 的距离为12； 当△ACD 为等腰三角形时，可分为三种情况： ①当AD =AC 时，AD =15；②当AC =CD 时，如图，作CE ⊥AB 于点E ，则AD =2AE ，∵ CE =12，由勾股定理，得 AE =9，∵ AD =2AE =18； ③当AD =CD 时，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，当点D是AB中点时，有AD=BD=CD，∵ AD=12AB=12×25=252.综合上述，当△ACD为等腰三角形时，AD的长度为：15或18或252. 4.【答案】解：(1)∵ △ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，∵ 由勾股定理，得AC=√102−62=8.如图，连接BP，当PA=PB时，PA=PB=2t，PC=8−2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，即(8−2t)2+62=(2t)2，解得t=258，故当t=258s时，PA=PB．(2)如图1，过P作PE⊥AB，∵ 点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90∘，AB=10，BC=6，∵ CP=EP，∵ △ACP≅△AEP(HL)，∵ AC=8=AE，BE=2.设CP=x，则BP=6−x，PE=x，在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，即22+x2=(6−x)2，解得x=83，∵ CP=83，∵ CA+CP=8+83=323，∵ t=323÷2=163(s)．(3)①如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则2t=8−6，解得t=1(s)；②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，则AC+CB+BP=8+6+6=20，所以t=20÷2=10(s)；③如图4，若点P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，∵ 由等面积法，得CD=AC⋅BCAB=4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=3.6，∵ PB=2BD=7.2，∵ CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，此时t=21.2÷2=10.6(s)；④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，则PD为△ABC的中位线，AB=5，∵ AP=BP=12∵ AC+CB+BP=8+6+5=19，(s)；∵ t=19÷2=192s时，综上所述，t为1s或10.6s或10s或192△BCP为等腰三角形．【考点】勾股定理动点问题角平分线的性质直角三角形全等的判定等腰三角形的性质【解析】(1)答案未提供解析．(2)答案未提供解析．(3)答案未提供解析．【解答】解：(1)∵ △ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，∵ 由勾股定理，得AC=√102−62=8.如图，连接BP，当PA=PB时，PA=PB=2t，PC=8−2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，即(8−2t)2+62=(2t)2，解得t=258，故当t=258s时，PA=PB.(2)如图1，过P作PE⊥AB，∵ 点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90∘，AB=10，BC=6，∵ CP=EP，∵ △ACP≅△AEP(HL)，∵ AC=8=AE，BE=2.设CP=x，则BP=6−x，PE=x，在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，即22+x2=(6−x)2，解得x=83，∵ CP=83，∵ CA+CP=8+83=323，∵ t=323÷2=163(s)．(3)①如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，则2t=8−6，解得t=1(s)；②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，则AC+CB+BP=8+6+6=20，所以t=20÷2=10(s)；③如图4，若点P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，=4.8，∵ 由等面积法，得CD=AC⋅BCAB在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=3.6，∵ PB=2BD=7.2，∵ CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，此时t=21.2÷2=10.6(s)；④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，则PD为△ABC的中位线，AB=5，∵ AP=BP=12∵ AC+CB+BP=8+6+5=19，(s)；∵ t=19÷2=192s时，综上所述，t为1s或10.6s或10s或192△BCP为等腰三角形．5.【答案】解：(1)∵ a、b满足√a−b+(a−6)2=0，∵ a−b=0，a−6=0，∵ a=b=6，∵ 点A(6,0)，点B(0,6)，∵ AO=BO=6.∵ AP=AO=6，BP=AB−AP，∵ BP=6√2−6.(2)如图：连接OP，∵ OA=OB，∠AOB=90∘，∵ △AOB是等腰直角三角形，∠BAO=45∘.∵ 点P是AB中点，∵ OP=AP=BP，∠BOP=∠AOP=45∘=∠BAO.∵ 点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∵ AM=ON，且OP=AP，∠BOP=∠BAO.∵ △PNO≅△PMA(SAS).∵ S△OPN=S△APM.∵ S四边形PNOM=S△POM+S△OPN=S△POM+S△APM，∵ S四边形PNOM =S△AOP=12S△AOB=12×12×6×6=9.(3)OD=AE.理由如下：如图，过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M.∵ BD⊥OP，∠AOB=90∘，∵ ∠DBO+∠BOF=90∘，∠BOF+∠AOM=90∘，∵ ∠DBO=∠AOM，又AO=BO，∠BOD=∠MAO=90∘，∵ △BOD≅△OAM(ASA)，∵ ∠BDO=∠AMO，OD=AM.∵ AM⊥OA，∠BAO=45∘，∵ ∠BAM=∠BAO=45∘.∵ ∠BDO=∠AEP，∠BDO=∠AMO，∵ ∠AEP=∠AMO，又∠BAM=∠BAO=45∘，AP=AP，∵ △APM≅△APE(AAS).∵ AM=AE，又AM=OD.∵ OD=AE.【考点】非负数的性质：算术平方根非负数的性质：偶次方全等三角形的性质与判定三角形的面积等腰直角三角形【解析】暂无暂无暂无【解答】解：(1)∵ a、b满足√a−b+(a−6)2=0，∵ a−b=0，a−6=0，∵ a=b=6，∵ 点A(6,0)，点B(0,6)，∵ AO=BO=6.∵ AP=AO=6，BP=AB−AP，∵ BP=6√2−6.(2)如图：连接OP，∵ OA=OB，∠AOB=90∘，∵ △AOB是等腰直角三角形，∠BAO=45∘.∵ 点P是AB中点，∵ OP=AP=BP，∠BOP=∠AOP=45∘=∠BAO.∵ 点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∵ AM=ON，且OP=AP，∠BOP=∠BAO.∵ △PNO≅△PMA(SAS).∵ S△OPN=S△APM.∵ S四边形PNOM=S△POM+S△OPN=S△POM+S△APM，∵ S四边形PNOM =S△AOP=12S△AOB=12×12×6×6=9.(3)OD=AE.理由如下：如图，过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M.∵ BD⊥OP，∠AOB=90∘，∵ ∠DBO +∠BOF =90∘，∠BOF +∠AOM =90∘， ∵ ∠DBO =∠AOM ，又AO =BO ，∠BOD =∠MAO =90∘，∵ △BOD ≅△OAM(ASA)，∵ ∠BDO =∠AMO ，OD =AM .∵ AM ⊥OA ，∠BAO =45∘，∵ ∠BAM =∠BAO =45∘.∵ ∠BDO =∠AEP ，∠BDO =∠AMO ，∵ ∠AEP =∠AMO ，又∠BAM =∠BAO =45∘，AP =AP ，∵ △APM ≅△APE(AAS).∵ AM =AE ，又AM =OD .∵ OD =AE .6.【答案】解：(1)如图1，过C 作CM ⊥x 轴于M 点，∵ ∠MAC +∠OAB =90∘，∠OAB +∠OBA =90∘， ∵ ∠MAC =∠OBA ，在△MAC 和△OBA 中，{∠CMA =∠AOB =90∘,∠MAC =∠OBA,AC =AB,∴ △MAC ≅△OBA(AAS)，∴ CM =OA =2，MA =OB =4，∴ OM =OA +AM =2+4=6，∴ 点C 的坐标为(−6,−2)．(2)如图2，过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE =OQ ，∴ OP −DE =OP −OQ =PQ .∵ ∠APO +∠QPD =90∘，∠APO +∠OAP =90∘，∴ ∠QPD =∠OAP ，在△AOP 和△PQD 中，{∠AOP =∠PQD =90∘,∠OAP =∠QPD,AP =PD,∴ △AOP ≅△PQD(AAS)，∴ PQ =OA =2，即OP −DE =2．(3)如图3，过点F 分别作FS ⊥x 轴于S 点，FT ⊥y 轴于T 点，则FS =FT =2，∠FHS =∠HFT =∠FGT ，则△FSH ≅△FTG(AAS)，则GT =HS .又∵ G(0,m)，H(n,0)，点F 坐标为(−2,−2)，∴ OT =OS =2，OG =|m|=−m ，OH =n ，∴ GT =OG −OT =−m −2，HS =OH +OS =n +2， 则−2−m =n +2，则m +n =−4．【考点】全等三角形的性质与判定等腰直角三角形【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：(1)如图1，过C 作CM ⊥x 轴于M 点，∵ ∠MAC +∠OAB =90∘，∠OAB +∠OBA =90∘， ∵ ∠MAC =∠OBA ，在△MAC 和△OBA 中，{∠CMA =∠AOB =90∘,∠MAC =∠OBA,AC =AB,∴ △MAC ≅△OBA(AAS)，∴ CM =OA =2，MA =OB =4， ∴ OM =OA +AM =2+4=6， ∴ 点C 的坐标为(−6,−2)．(2)如图2，过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE =OQ ，∴ OP −DE =OP −OQ =PQ . ∵ ∠APO +∠QPD =90∘，∠APO +∠OAP =90∘，∴ ∠QPD =∠OAP ，在△AOP 和△PQD 中，{∠AOP =∠PQD =90∘,∠OAP =∠QPD,AP =PD,∴ △AOP ≅△PQD(AAS)，∴ PQ =OA =2，即OP −DE =2．(3)如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，则△FSH≅△FTG(AAS)，则GT=HS.又∵ G(0,m)，H(n,0)，点F坐标为(−2,−2)，∴ OT=OS=2，OG=|m|=−m，OH=n，∴ GT=OG−OT=−m−2，HS=OH+OS=n+2，则−2−m=n+2，则m+n=−4．7.【答案】(1)证明：∵ △ABC是等边三角形，且AD=DB，∠ACB=30∘.∵ ∠DCB=12由题意得，AD=BE，∵ DB=BE，∵ ∠BDE=∠BED．∵ ∠BDE+∠BED=∠ABC=60∘，∵ ∠BDE=∠BED=30∘，∵ ∠DCE=∠BED，∵ DE=DC.(2)解：DE=DC，理由如下：如图，作DF//AC交BC于F，则∠BDF=∠A=60∘，∠DFB=∠ACB=60∘，∵ △DBF为等边三角形，∵ DB=DF=BF，∠DBF=∠DFB=60∘，∵ FC=AD=BE，∠DBE=∠DFC.在△DBE和△DFC中，{BE=FC，∠DBE=∠DFC，DB=DF，∵ △DBE≅△DFC(SAS)，∵ DE=DC.(3)解：如图，在BE上截取BH=BD，连接DH，∵ ∠DBH=∠ABC=60∘，∵ △BDH为等边三角形，∵ DH=DB，∠BDH=∠BHD=60∘，∵ ∠DHE=∠DBC=120∘.∵ AD=BE，BH=BD，AB=BC，∵ HE=BC.在△DHE和△DBC中，{HE=BC，∠DHE=∠DBC，DH=DB，∵ △DHE≅△DBC(SAS)，∵ ∠DEH=∠DCB.∵ ∠EDC=90∘，∵ ∠DEC=180∘−∠EDC2=45∘.【考点】三角形的外角性质等边三角形的性质全等三角形的性质与判定平行线的性质等边三角形的性质与判定三角形内角和定理【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：∵ △ABC是等边三角形，且AD=DB，∵ ∠DCB=12∠ACB=30∘.由题意得，AD=BE，∵ DB=BE，∵ ∠BDE=∠BED．∵ ∠BDE+∠BED=∠ABC=60∘，∵ ∠BDE=∠BED=30∘，∵ ∠DCE=∠BED，∵ DE=DC.(2)解：DE=DC，理由如下：如图，作DF//AC交BC于F，则∠BDF=∠A=60∘，∠DFB=∠ACB=60∘，∵ △DBF为等边三角形，∵ DB=DF=BF，∠DBF=∠DFB=60∘，∵ FC=AD=BE，∠DBE=∠DFC.在△DBE和△DFC中，{BE=FC，∠DBE=∠DFC，DB=DF，∵ △DBE≅△DFC(SAS)，∵ DE=DC.(3)解：如图，在BE上截取BH=BD，连接DH，∵ ∠DBH=∠ABC=60∘，∵ △BDH为等边三角形，∵ DH=DB，∠BDH=∠BHD=60∘，∵ ∠DHE=∠DBC=120∘.∵ AD=BE，BH=BD，AB=BC，∵ HE=BC.在△DHE和△DBC中，{HE =BC ，∠DHE =∠DBC ，DH =DB ，∵ △DHE ≅△DBC (SAS )，∵ ∠DEH =∠DCB .∵ ∠EDC =90∘，∵ ∠DEC =180∘−∠EDC 2=45∘.8.【答案】解：(1)过B 作BE ⊥y 轴于E 点，如下图，∵ OA =7.5，OD =10，OE =6，BE =3，OC =3， ∵ DE =4，CD =7.在Rt △DEB 中， BD =√DE 2+EB 2=√42+32=5.(2) 如图①，∵ △DPQ ≅△DBC ，∵ DP =DB =5，DQ =DC =7，∵ AD =√(152)2+102=252,∵ CP =7−5=2，AQ =252−7=112.∴ {CP =1⋅t =2，AQ =at =112， 解得{t =2，a =114.如图②，∵ △DPQ ≅△DBC ，∴ DP =BD =5，DQ =DC =7，∴ CP =7+5=12，AQ =252+7=392，{CP =1⋅t =12，AQ =at =392，解得{t =12，a =138.如图③，∵ △DPQ ≅△DCB ，∵ DP =CD =7，QD =BD =5，∵ CP =14，AQ =252+5=352， {CP =1⋅t =14，AQ =at =352，{t =14，a =54.∵ 综上，a =114或138或54. 【考点】勾股定理全等三角形的性质动点问题【解析】暂无暂无【解答】解：(1)过B 作BE ⊥y 轴于E 点，如下图，∵ OA =7.5，OD =10，OE =6，BE =3，OC =3， ∵ DE =4，CD =7.在Rt △DEB 中，BD =√DE 2+EB 2=√42+32=5.(2) 如图①，∵ △DPQ ≅△DBC ，∵ DP =DB =5，DQ =DC =7， ∵ AD =√(152)2+102=252,∵ CP =7−5=2，AQ =252−7=112.∴ {CP =1⋅t =2，AQ =at =112，解得{t =2，a =114. 如图②，∵ △DPQ ≅△DBC ，∴ DP =BD =5，DQ =DC =7， ∴ CP =7+5=12，AQ =252+7=392，{CP =1⋅t =12，AQ =at =392，解得{t =12，a =138. 如图③，∵ △DPQ ≅△DCB ，∵ DP =CD =7，QD =BD =5， ∵ CP =14，AQ =252+5=352，{CP =1⋅t =14，AQ =at =352，{t =14，a =54. ∵ 综上，a =114或138或54.。
八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总
八年级数学全等三角形中的动点问题压轴题汇总教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题思路：1.利用图形想到三角形全等2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论.【典型例题】例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD之间的位置关系为_____________，数量关系为______________．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．例2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF.（1）求证：△ADF≌△CEF.（2）试证明△DFE是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）求△CDE面积的最大值．变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3. 正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．例4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？变式如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q 点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【拓展提高】1..两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3. 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证12DEF CEF ABCS S S+=△△△．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．4. 如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B做BK⊥BE与B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G.（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE.5.正方形四条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．6.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形.（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕点A旋转到图3位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.7.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_________度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.8.思考与推理如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD，AB⊥BC，CD⊥AD，∠BCD=120°. ∠PCQ=60°，两边分别交线段AB、AD于点P、Q，把△PBC绕点C顺时针旋转120°得到△MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（△PBC与△MDC除外）.探究与应用在上边的条件下，若∠PCQ绕顶点C在∠BCD内转动，两边始终与线段AB、AD相较于点P、Q，试探究在转动过程中△APQ的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由.9.问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为______________.10.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．11.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？12.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．。
专题8填空题压轴题之动点问题(原卷版)
专题8填空题压轴题之动点问题（原卷版）模块一 2022中考真题训练类型一用函数观点描述几何图形1．（2022•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为．2．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A 出发，点P以√2cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x=72（s）时，则y＝cm2．3．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C 停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．类型二三角形、多边形上的动点问题4．（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB=√2．当AM+BN的值最小时，CM的长为．5．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．6．（2022•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为．7．（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．8．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．9．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．10．（2022•盘龙区）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．类型三有关圆的动点问题11．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为．12．（2022•东城区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为；②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴正半轴上，则点P的坐标为．模块二2023中考押题预测13．（2022•驻马店二模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．14．（2022•普定县模拟）如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE=√5，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是．15．（2022•徐州二模）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为．16．（2022•仁怀市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为．17．（2022•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3，3），B（6，0），点D、E是OB的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE＝a，则a需满足的条件是：．18．（2022•夏邑县校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E 为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为．19．（2022•新昌县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ．把△ABC分割成三个三角形．若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是．20．（2022•新化县一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5．点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是．21．（2022•顺城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点M是射线AC上的一个动点，MC＝1，连接BM，以AB为边在AB的上方作∠ABE＝∠AMB，直线BE交AC的延长线于点F，则CF＝．23．（2022•碧江区一模）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为．24．（2022•抚顺县二模）如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且AC CB =13，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 ．25．（2022•德保县二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是边长为4的等边三角形，OD 是AB 边上的高，点P 是OD 上的一个动点，若点C 的坐标是（0，−√3），则P A +PC 的最小值是 ．26．（2022•元宝区校级一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B →A 匀速运动；同时点Q 从点A 出发以同样的速度沿A →C →B 匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．27．（2022•大理州二模）如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为 ．28．（2022•锡山区校级模拟）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，∠ABC 的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD ＝BD ，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连结DE ，当△BDE 是等腰三角形时，则AE 的长为 ．29．（2022•衡南县校级二模）等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到P A与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒．30．（2022•大冶市校级模拟）如图，已知四边形ABCD是正方形AB=2√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）CE+CG＝；（2）若四边形DEFG面积为5时，则CG＝．31．（2022•玉树市校级一模）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB边一个动点，E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为．32．（2022•浉河区校级模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝5，点F是AB的中点，点E为AD上一动点，作△AEF关于直线EF的对称图形，点A的对应点为点A′，作△A′EF关于直线A′E 的对称图形，点F的对应点为F'．当点F'落在矩形ABCD的边上时，AE的长为．33．（2022•嵩县模拟）如图，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点E是AB边上一个动点，点G在AD 边上，AB=√2cm，连接BF，CF，若△BCF恰为等腰三角形，则AE的长为cm．34．（2022•赣州模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点E是边CD的中点，点P在AB边上运动，点F为DP的中点；当△DEF为等腰三角形时，则AP的长为．35．（2022•华龙区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，则GH的最小值为．36．（2022•柘城县校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=√2，点E为射线AD上的动点（不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A'，连接A'B，A'D，A'C，当△A'BC是以BC为底边的等腰三角形时，AE的长为．37．（2022•武汉模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝5，BD＝4√5，动点E、F分别在边AD、BC上，且AE ＝CF，过点B作BP⊥EF于P，当E点从A点运动到D点时，线段CP的长度的取值范围为．38．（2022•保亭县二模）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A →E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x 之间的函数关系图象如图2，则BC的长为；当x＝6时，PQ的长为．39．（2022•丹江口市模拟）已知定点P（a，b），且动点Q（x，y）到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程．已知一次函数的y＝﹣2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的⊙C 的面积最小时，⊙C的方程为40．（2022•香洲区校级三模）如图正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点且CE＝1，F是线段DE上的动点．连接CF，将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是．41．（2022•韶关模拟）如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接CF，连接AF与CD相交于点G，连接DF，当DF 最小时，四边形CEGF的面积是．42．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是线段BC上一动点，将线段P A 绕点P顺时针转90°得到线段P A'，连接DA'，则DA'的最小值为．43．（2022•仁怀市模拟）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段FE，连接AF，若AB＝4，AF=√19，则CF的长为．44．（2022•大庆二模）如图是边长为2的等边三角形ABC，D为△ABC内（包括△ABC的边）一动点，且满足CD2＝AD2+BD2，则CD的长度m的取值范围为．45．（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，则DF的最小值为．46．（2022•沈阳二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E（不与点B重合）是BC边上一个动点，将线段EB绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当△DFC是直角三角形时，那么BE的长是．47．（2022•台山市校级一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙O与BC相切，BD与⊙O相交于点E，那么AE的最大值为．48．（2022•蓬江区校级一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P为矩形内一个动点．且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为．49．（2022•芜湖二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是．50．（2022•周至县一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC，BC＝6，点O 为线段AD上的动点，若以点O为圆心，1为半径的⊙O在△ABC内（⊙O可以与△ABC的边相切），则点D到⊙O上的点的距离最大值为．51．（2022•丹东模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），点M是y轴上的一个动点，当∠BMA＝30°时，点M的坐标为．52．（2022•常山县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AD上一点，且AE＝2，F为BC 边上的动点，以EF为直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为．53．（2022•元宝区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M 是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则△MBC面积的最小值为．54．（2022•亭湖区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝6，BD＝4，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，若△AEP与△ABD相似，AP的长．55．（2022•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（1，2），（6，2），（6，0）．点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ．当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，点B 经过的路径长是 ．。
初二动点问题及中考压轴题
初二动点问题及中考压轴题1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C 作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D 运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q 分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．7.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．动点问题及四边形难题习题1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；3.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． A BDC O P xy（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.（1）求证：CD ∥AB ；（2）求证：△BDE ≌△ACE ；（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝12BE.5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．6、如图1－4－38，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠ DBC ＝45○ ,翻折梯形使点B 重合于点 D ，折痕分别交边 AB 、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8，求BE 的长．7、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． A QC DB P(1)求证：CF AB ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．8、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ． （1）请证明0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．9已知：如图4-26所示，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，P 为BC 的延长线上一点，PE ⊥直线AB 于点E ，PF ⊥直线AC 于点F ．求证：DE ⊥DF 并且相等．10已知：如图4-27，ABCD 为矩形，CE ⊥BD 于点E ，∠BAD 的平分线与直线CE 相交于点F ．求证：CA=CF ．FEDCBA11已知：如图4-56A ．，直线l 通过正方形ABCD 的顶点D 平行于对角线AC ，E 为l 上一点，EC=AC ，并且EC 与边AD 相交于点F ．求证：AE=AF ．本例中，点E 与A 位于BD 同侧．如图4-56B ．，点E 与A 位于BD 异侧，直线EC 与DA 的延长线交于点F ，这时仍有AE=AF ．请自己证明．动点问题练习题1、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．C P Q BA MNO M A N B C yx2、如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)．(1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．A D CB M NA P C QB DEDBCAQP3、如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。
苏教版八年级上册复习专题练习一：动点问题压轴题(含答案)
初二数学期中复习专题一：动点问题3、动点中的旋转问题1、如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点O 在AC 上，且AO＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是．2、如图所示：一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC 固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H 始终在边AB、BC 上．（1）在旋转过程中线段BG 和CH 大小有何关系？证明你的结论．（2）若AB＝BC＝4cm，在旋转过程中四边形GBHD 的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．（3）若交点G、H 分别在边AB、BC 的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．3、如图1，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A、C 分别在DG 和DE 上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2 证明你的结论；②若BC＝DE＝4，当AE 取最大值时，求AF 的值．4、点的移动问题4、如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B、P 在直线a 的异侧，BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；（2）若直线a 绕点A 旋转到图3 的位置时，点B、P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．5、在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D 从点B 出发沿射线BC 移动，以AD 为边在AB 的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D 在BC 边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D 在BC 的延长线上运动．①∠BCE 的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE 的面积为．6、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．7、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1 米，∠B＝90°，BC＝4 米，AC＝8 米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．8、【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．【简单运用】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是（填序号）；（2）如图1，已知等边三角形ABC，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D，使△ABD 为“智慧三角形”，并写出作法；【深入探究】（3）如图2，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF＝CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；【灵活应用】（4）如图3，等边三角形ABC 边长5cm．若动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿△ABC 的边AB ﹣BC﹣CA 运动．若另一动点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿边BC﹣CA﹣AB 运动，两点同时出发，当点Q首次回到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t（s），那么t为．（s）时，△PBQ为“智慧三角形”．动点问题压轴题1、【解答】解：∵∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，∴∠APO＝∠COD，在△APO 和△COD 中，，∴△APO≌△COD（AAS），即AP＝CO，∵CO＝AC﹣AO＝6，∴AP＝6．故答案为6．2、【解答】解：（1）BG和CH为相等关系，如图1，连接BD，∵等腰直角三角形ABC，D 为AC 的中点，∴DB＝DC＝DA，∠A＝∠DBH＝45°，BD⊥AC，∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠GDB＝90°，∴∠BDG+∠BDH＝90°，∴∠ADG＝∠HDB，∴在△ADG 和△BDH 中，，∴△ADG≌△BDH（ASA），∴AG＝BH，∵AB＝BC，∴BG ＝HC ，（2） ∵等腰直角三角形 ABC ，D 为 AC 的中点，∴DB ＝DC ＝DA ，∠DBG ＝∠DCH ＝45°，BD ⊥AC ，∵∠GDH ＝90°，∴∠GDB +∠BDH ＝90°，∴∠CDH +∠BDH ＝90°，∴∠BDG ＝∠HDC ，∴在△BDG 和△CDH 中，，∵△BDG ≌△CDH （ASA ），∴S 四边形 DGBH ＝S △BDH +S △GDB ＝S △ABD ，∵DA ＝DC ＝DB ，BD ⊥AC ，∴S △ABD ＝ S △ABC ，∴S 四边形 DGBH ＝S △ABC ＝4cm 2，∴在旋转过程中四边形 GBHD 的面积不变，（3） 当三角板 DEF 旋转至图 2 所示时，（1）的结论仍然成立，如图 2，连接 BD ，∵BD ⊥AC ，AB ⊥BH ，ED ⊥DF ，∴∠BDG ＝90°﹣∠CDG ，∠CDH ＝90°﹣∠CDG ，∴∠BDG ＝∠CDH ，∵等腰直角三角形 ABC ，∴∠DBC ＝∠BCD ＝45°，∴∠DBG ＝∠DCH ＝135°，∴在△DBG 和△DCH 中，，∴△DBG ≌△DCH （ASA ），∴BG ＝CH ．3、.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG 就可以得出结论；②由①可知BG＝AE，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．【解答】解：（1）BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D 是BC 的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG 是正方形，∴DE＝DG．在△BDG 和△ADE 中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．故答案为：BG＝AE；（2）①成立BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC 中，D 为斜边BC 中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD 为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG 和△ADE 中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；②∵BG＝AE，∴当BG 取得最大值时，AE 取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG ＝AE．∵BC＝DE＝4，∴BG＝2+4＝6．∴AE＝6．在Rt△AEF 中，由勾股定理，得AF＝＝，∴AF＝2 ．4、【解答】证明：（1）①如图2：∵BM⊥直线a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 边中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE∴PM＝ME，∴在Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN；（2）成立，如图3．延长MP 与NC 的延长线相交于点E，∵BM⊥直线 a 于点M，CN⊥直线a 于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P 为BC 中点，∴BP＝CP，在△BPM 和△CPE 中，，∴△BPM≌△CPE，（ASA）∴PM＝PE，∴PM＝ME，则Rt△MNE 中，PN＝ME，∴PM＝PN．5、【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ACE 和△ABD 中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ACE 和△ABD 中∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°；② 11746、【解答】解：（1）90°．理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，∴∠BCE＝∠B+∠ACB，又∵∠BAC＝90°∴∠BCE＝90°；（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD 与△ACE 中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；②当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°；理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵在△ABD 和△ACE 中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∴α+β＝180°；当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．理由：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∵在△ADB 和△AEC 中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，即α＝β．7、【解答】解：如图，连接CD，假设AE＝x，可得EC＝8﹣x．∵正方形DEFH 的边长为1 米，即DE＝1 米，∴DC2＝DE2+EC2＝1+（8﹣x）2，AE2+BC2＝x2+16，∵DC2＝AE2+BC2，∴1+（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝，所以，当AE＝米时，有DC2＝AE2+BC2．故答案是：．8、【解答】解：（1）因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”．故答案为①（2）用刻度尺分别量取AC、BC 的中点D、D′．点D、D′即为所求．（3）结论：△AEF 是“智慧三角形“．理由如下：如图，设正方形的边长为4a∵E 是BC 的中点∴BE＝EC＝2a，∵CF＝CD∴FC＝a，DF＝4a﹣a＝3a，在Rt△ABE 中，AE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2在Rt△ECF 中，EF2＝（2a）2+a2＝5a2在Rt△ADF 中，AF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2∴AE2+EF2＝AF2∴△AEF 是直角三角形，∠AEF＝90°∵直角三角形斜边AF 上的中线等于AF 的一半∴△AEF为“智慧三角形”．（4）如图3 中，①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段BC 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴5﹣t＝4t，解得t＝1．若∠BPQ＝90°，则BQ＝2PB，∴2t＝2（5﹣t）∴t＝．②当点Q在线段AC上时，不存在“智慧三角形”．③当点P 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上时，若∠PQB＝90°，则BP＝2BQ，∴t﹣5＝2（15﹣2t），∴t＝7，若∠QPB＝90°，则BQ＝2PB，∴15﹣2t＝2（t﹣5），∴t＝，综上所述，满足条件的t 的值为1 或或或7．故答案为1 或或或7．。
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初二动点问题及中考压轴题1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C 作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D 运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q 分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．7.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．动点问题及四边形难题习题1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；3.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． A BDC O P xy（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.（1）求证：CD ∥AB ；（2）求证：△BDE ≌△ACE ；（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝12BE.5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．6、如图1－4－38，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠ DBC ＝45○ ,翻折梯形使点B 重合于点 D ，折痕分别交边 AB 、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8，求BE 的长．7、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． A QC DB P(1)求证：CF AB ；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．8、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ． （1）请证明0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．9已知：如图4-26所示，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，P 为BC 的延长线上一点，PE ⊥直线AB 于点E ，PF ⊥直线AC 于点F ．求证：DE ⊥DF 并且相等．10已知：如图4-27，ABCD 为矩形，CE ⊥BD 于点E ，∠BAD 的平分线与直线CE 相交于点F ．求证：CA=CF ．FEDCBA11已知：如图4-56A ．，直线l 通过正方形ABCD 的顶点D 平行于对角线AC ，E 为l 上一点，EC=AC ，并且EC 与边AD 相交于点F ．求证：AE=AF ．本例中，点E 与A 位于BD 同侧．如图4-56B ．，点E 与A 位于BD 异侧，直线EC 与DA 的延长线交于点F ，这时仍有AE=AF ．请自己证明．动点问题练习题1、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．C P Q BA MNO M A N B C yx2、如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)．(1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．A D CB M NA P C QB DEDBCAQP3、如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。