初二动点问题及中学考试压轴题
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初二动点问题及中考压轴题
1.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向
D以1cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts.
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?
(3)当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形?
分析:
(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ.
(2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE.
(3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.
所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:(1)∵四边形PQCD平行为四边形
∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得:t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.
(2)过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形
∴QC-PD=2CE
即3t-(24-t)=4
解得:t=7(s)
即当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形.
(3)由题意知:QC-PD=EC时,
四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2
解得:t=6.5(s)
即当t=6.5(s)时,四边形PQCD为直角梯形.
点评:
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中.
2.如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E.
(1)试说明EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论;
(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论.
分析:
(1)根据CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等的角,即∠OEC=∠ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.
(2)利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
(3)利用已知条件及正方形的性质解答.
解答:
解:(1)∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠ECB,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
同理,OC=OF,
∴OE=OF.
(2)当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形.
如图AO=CO,EO=FO,
∴四边形AECF为平行四边形,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE= ∠ACB,
同理,∠ACF= ∠ACG,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°,
∴四边形AECF是矩形.
(3)△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形,
∴AC⊥EN,故∠AOM=90°,
∵MN∥BC,
∴∠BCA=∠AOM,
∴∠BCA=90°,
∴△ABC是直角三角形.
点评:
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论(1),再利用结论(1)和矩形的判定证明结论(2),再对(3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.
3.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C 作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q 运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
(4)探究:t为何值时,△PMC为等腰三角形.
分析:
(1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解;∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM:CA=CN:CB,(2)CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM;
四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解;
(3)可先根据QN平分△ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值.然后根据得出的t的值,求出△MNC的面积,即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值.
(4)由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论:
①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值.
②当CM=CP时,可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.
③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值.
综上所述可得出符合条件的t的值.
解答:
解:(1)∵AQ=3-t
∴CN=4-(3-t)=1+t
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中,cos∠NCM= = ,CM= .