山东省烟台市2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
2016-2017学年度第二学期高一期中自主练习（数学试题）参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高一年级举办歌咏比赛，7位裁判为某班级打出的分数如下图茎叶图所示，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，则这些数据的中位数是（ ）A.84B.85C.88D.892.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，则实数a 的值为（ ） A.2-B.4-C.6-D.8-3.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）A.a 为正相关，b 为负相关，c 为不相关B.a 为负相关，b 为不相关，c 为正相关C.a 为负相关，b 为正相关，c 为不相关D.a 为正相关，b 为不相关，c 为负相关4.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（ ）A.组距越大，频率分布折线图越接近于它B.样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C.阴影部分的面积代表总体在(),a b 内取值的百分比D.阴影部分的平均高度代表总体在(),a b 内取值的百分比5.圆()()22334x y -+-=上到直线34160x y +-=的距离等于1的点有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个6.中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”的四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A.312-B.32C.434- D.347.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）A.0B.2C.4D.148.袋中装有练球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个白球：红、黑球各一个B.至少有一个白球：至少有一个红球C.恰有一个白球：一个白球一个黑球D.至少有一个白球：都是白球9.以(),1a 为圆心，且与两直线10x y -+=及30x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）A.()2212x y +-= B.()()22212x y -+-= C.()2218x y +-=D.()()22218x y -+-=10.一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（ ） A.0.81B.0.9C.0.64D.0.811.现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）A.13B.23C.12D.3412.若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ） A.2B.3C.4D.6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1-50号，并分组，第一组1-5号，第二组6-10号，…，第十组46-50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得的号码为 ． 14.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．15.从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为 ．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，点P 在圆()()2220x a y a -+=>上运动，若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需要量（万件）236246257276286（1）利用所给数据求年需求量y 与年份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （2）预测该地2018年的商品需求量（结果保留整数）. 18.在ABC △中，已知4BC =，且AB ACλ=，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.19.已知正方形ABCD 的边长为1，弧BD 是以点A 为圆心的圆弧.（1）在正方形内任取一点M ，求事件“1AM ≤”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）.20.已知直线l ：()()12530k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上. （1）求定点P 的坐标； （2）求圆C 的方程；（3）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点()0,M m ，使得PMQ △为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21.从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a ，b 的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率； （3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.22.已知圆()()222:20M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点. ①若42AB MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2016-2017学年度第二学期高一期中自主练习参考答案及评分标准一、选择题1-5:CBDCC 6-10:ABABB 11、12：CC二、填空题13.37 14.8 15.4516.71a >- 三、解答题17.解：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升， 2012x =，260.2y =，()()()()2222424.2214.2215.8425.82606.5422440b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯===+++， 12817.8a y bx =-=-，所以所求回归直线方程为： 6.512817.8y x =-. （2）由（1），可预测2018年的商品需求量为：6.5201812817.8299.2300⨯-=≈（万件）.18.解：如图，以直线BC 为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系，则有()2,0B -，()2,0C ，设点A 的坐标为(),x y .由AB ACλ=()()222222x y x y ++=-+()()()()2222221141410x y x λλλλ-+--++-=，当21λ=时，1λ=，方程是0x =，轨迹是y 轴（除去原点）；当21λ≠时，配方得()()2222222211611x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭，所以点A 的轨迹是以()2221,01λλ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，241λλ-为半径的圆（除去圆与BC 的交点）. 19.解：（1）如图，在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M ，满足条件的点M 落在扇形BAD 内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有： ()14ABCDS P MA S π≤==阴影部分正方形，故事件“1AM ≤”发生的概率为4π.（2）正方形内的28粒大豆有22粒落在扇形BAD 内， 频率为22112814=， 用频率估计概率，由（1）知11414π≈， ∴11224 3.14147π⨯=≈≈，即π的近似值为3.14. 20.解：（1）由()12530k x y k --+-=得，()()3250k x x y --+-=， 令30250x x y -=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即定点P 的坐标为()3,1.（2）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由条件得1640913021022D F D E F D E ⎧⎪++=⎪⎪++++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪---+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得14840D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以圆C 的方程为22148400x y x y +--+=. （3）圆C 的标准方程为()()227425x y -+-=，413734CP k -==-， 设点()3,1P 关于圆心()7,4的对称点为()00,x y ，则有0031418x y +=⎧⎨+=⎩，解得011x =，07y =，故点Q 的坐标为()11,7.因为M 在圆外，所以点M 不能作为直角三角形的顶点， 若点P 为直角三角形的顶点，则有131034m -⋅=--，5m =， 若点Q 是直角三角形的顶点，则有7310114m -⋅=--，653m =， 综上，5m =或653. 所以()2231100m +-≤，所以11m ≤≤+21.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[)4,6上的频率为100.2540=， 在[)6,8上的频率为16=0.440， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==. （2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=， 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本， 则在[)6,8上应抽取167428⨯=人，记为A ，B ,C ，D ， 在[)8,10上应抽取87228⨯=人，记为E ，F ， 在[)10,12上应抽取47128⨯=人，记为G . 从中任意选取2个家庭的所有基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),A G ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ， (),B G ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),C G ，(),D E ，(),D F ，(),D G ，(),E F ，(),E G ，(),F G ，共21种.其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的事件有：(),A E ，(),A F ，(),A G ，(),B E ，(),B F ，(),B G ，(),C E ，(),C F ，(),C G ，(),D E ，(),D F ，(),D G ，共12种.所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=. 22.解：（1）因为直线3430x y -+=与圆M 相切， 故圆心()0,2到直线的距离为r ，即：835r -+=，1r =.所以圆的方程为()2221x y +-=.（2）①设直线MQ ，AB 交于点P ，则AP =，又1AM =，所以13MP =， 而2AM MP MQ =，所以3MQ =，设()0,0Q x ，而点()0,2M 3=，0x =，则)Q或()Q ，从而直线MQ 的方程为：20x +-=或20x +=.②证明：设点(),0Q q ，由几何性质可以知道，A ，B 在以MQ 为直径的圆上， 此圆的方程为2220x y qx y +--=，AB 为两圆的公共弦， 两圆方程相减得230qx y -+=，即3:22q AB y x =+， 所以过定点30,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
山东省烟台市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
高一数学参考答案与评分标准一、选择题C A B A B AD C A B C D二、填空题13.3214. 115.2416.51,51三、解答题17.解：若0m，则点(,5)P m 在第一象限，所以角是第一象限角；…………2分若0m ，则点(,5)P m 在第二象限，所以角是第二象限角. …………4分当角是第一象限角时，由2cos =55mmm得，25m ，所以25cos 5，2255sin 1()55，sin 1tan cos 2；……7分当角是第二象限角时，由2cos =55mmm 得，25m ，所以25cos 5，2255sin 1()55，sin1tan cos 2. …10分18．解:（1）由题意知，中位数为86+121=103.52. …………4分（2）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（1,2,3,,13i）．根据题意，1()13i P A ，且()i j A A i j ．设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A ．∴58582()()()()13P B P A A P A P A . …………8分（3）从3月1日至14日，若停留两天，有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,11),(11,12),(12,13),(13,14)共13种，停留期间只有一天空气质量优良的有(3,4),(6,7),(7,8),(11,12)，所以此人停留期间只有一天空气质量优良的概率为4=13P . …………12分19.解：（1）由题意，过点(3,2)A 并与直线1x y 垂直的直线方程为。
2016-2017年山东省烟台市高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某校高一年级举办歌咏比赛，7位裁判为某班级打出的分数如图茎叶图所示，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，则这些数据的中位数是（）A．84B．85C．88D．892．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣83．（5分）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（）A．a为正相关，b为负相关，c为不相关B．a为负相关，b为不相关，c为正相关C．a为负相关，b为正相关，c为不相关D．a为正相关，b为不相关，c为负相关4．（5分）如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A．组距越大，频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比5．（5分）圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=4上到直线3x+4y﹣16=0的距离等于1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．148．（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．至少有一个白球；红、黑球各一个C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；都是白球9．（5分）以（a，1）为圆心，且与两直线x﹣y+1=0及x﹣y﹣3=0同时相切的圆的标准方程为（）A．x2+（y﹣1）2=2B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=2C．x2+（y﹣1）2=8D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=810．（5分）一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（）10 10 10 9 10 8 8 10 10 8．A．0.81B．0.9C．0.64D．0.811．（5分）现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2B．3C．4D．6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组45﹣50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为的学生．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．15．（5分）从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为 ．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y=x +2与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，点P 在圆（x ﹣a ）2+y 2=2（a ＞0）上运动，若∠MPN 恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量y 与年份x 之间的回归直线方程=x +；（2）预测该地2018年的商品需求量（结果保留整数）．18．（10分）在△ABC 中，已知|BC |=4，且，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．19．（12分）已知正方形ABCD 的边长为1，弧BD 是以点A 为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M ，求事件“|AM |≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．20．（12分）已知直线l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点P，且圆心在直线x﹣2y+1=0上．（1）求定点P的坐标；（2）求圆C的方程；（3）已知点P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在y轴上是否存在一点M（0，m），使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率．22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与曲线C：（y﹣2）（3x﹣4y+3）=0有三个不同的交点．（1）求圆M的方程；（2）已知点Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．①若，求|MQ|及直线MQ的方程；②求证：直线AB恒过定点．2016-2017学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某校高一年级举办歌咏比赛，7位裁判为某班级打出的分数如图茎叶图所示，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，则这些数据的中位数是（）A．84B．85C．88D．89【解答】解：根据茎叶图中的数据，把数据按从小到大的顺序排列为79，84，85，88，88，89，94；排在中间的数据为88，所以这组数据的中位数是88．故选：C．2．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．3．（5分）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（）A．a为正相关，b为负相关，c为不相关B．a为负相关，b为不相关，c为正相关C．a为负相关，b为正相关，c为不相关D．a为正相关，b为不相关，c为负相关【解答】解：根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．故选：D．4．（5分）如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A．组距越大，频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比【解答】解：总体密度曲线与频率分布折线图关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，但它永远达不到总体密度曲线．在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比，故选：C．5．（5分）圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=4上到直线3x+4y﹣16=0的距离等于1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4是一个以（3，3）为圆心，2为半径的圆．圆心到3x+4y﹣16=0的距离为d==1，所以作与直线3x+4y﹣16=0距离为1的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为1．故选：C．6．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选：A．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．8．（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．至少有一个白球；红、黑球各一个C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；都是白球【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B成立；在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立；在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立．故选：B．9．（5分）以（a，1）为圆心，且与两直线x﹣y+1=0及x﹣y﹣3=0同时相切的圆的标准方程为（）A．x2+（y﹣1）2=2B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=2C．x2+（y﹣1）2=8D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8【解答】解：因为（a，1）为圆心，且与两直线x﹣y+1=0及x﹣y﹣3=0同时相切，所以r==，解得a=2，圆c的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．故选：B．10．（5分）一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（）10 10 10 9 10 8 8 10 10 8．A．0.81B．0.9C．0.64D．0.8【解答】解：=（60+9+24）=9.3，故方差是s2=（0.49×6+0.09+1.69×3）=0.81，故s=0.9，故选：B．11．（5分）现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．12．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组45﹣50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为37的学生．【解答】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37．故答案为：37．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1015．（5分）从一副扑克牌中取出1张A，2张K，2张Q放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为．【解答】解：从这5张牌中随机取出两张，共有10种方法，两张牌大小相同有2种方法，∴这两张牌大小不同的概率为1﹣=，故答案为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y=x +2与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，点P 在圆（x ﹣a ）2+y 2=2（a ＞0）上运动，若∠MPN 恒为锐角，则实数a的取值范围是．【解答】解：设以MN 为直径的圆的圆心为A ，则M （﹣2，0），N （0，2），所以中点A （﹣1，1）；点P 与M ，N 构成∠MPN 恒为锐角，则点P 恒在圆A 之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离， 所以（a +1）2+12＞（2）2， 因为a ＞0，解得，所以a 的取值范围是，故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量y 与年份x 之间的回归直线方程=x +； （2）预测该地2018年的商品需求量（结果保留整数）．【解答】解：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升， 计算=×（2008+2010+2012+2014+2016）=2012， =×（236+246+257+276+286）=260.2， 回归系数，，所以所求回归直线方程为：；（2）由（1）中回归方程，把x=2018代入方程，计算=6.5×2018﹣12817.8=299.2≈300（万件），故可预测2018年的商品需求量为300万件．18．（10分）在△ABC中，已知|BC|=4，且，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解答】解：如图，以直线BC为x轴，线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，则有B（﹣2，0），C（2，0），设点A的坐标为（x，y）．由得，，整理得（λ2﹣1）x2+（λ2﹣1）y2﹣4（λ2+1）x+4（λ2﹣1）=0，当λ2=1时，λ=1，方程是x=0，轨迹是y轴（除去原点）；当λ2≠1时，配方得，所以点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去圆与BC的交点）．19．（12分）已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．【解答】解：（1）如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有：，故事件“|AM|≤1”发生的概率为．（2）正方形内的28粒大豆有22粒落在扇形BAD内，频率为，用频率估计概率，由（1）知，∴，即π的近似值为3.14．20．（12分）已知直线l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点P，且圆心在直线x﹣2y+1=0上．（1）求定点P的坐标；（2）求圆C的方程；（3）已知点P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在y轴上是否存在一点M（0，m），使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0得，k（x﹣3）﹣（x+2y﹣5）=0，令，得，即定点P的坐标为（3，1）．（2）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由条件得，解得．所以圆C的方程为x2+y2﹣14x﹣8y+40=0，圆C的标准方程（x﹣7）2+（y﹣4）2=25．（3）圆C的标准方程为（x﹣7）2+（y﹣4）2=25，则，设点P（3，1）关于圆心（7，4）的对称点为（x0，y0），则有，解得x0=11，y0=7，故点Q的坐标为（11，7）．因为M在圆外，所以点M不能作为直角三角形的顶点，若点P为直角三角形的顶点，则有，m=5，若点Q是直角三角形的顶点，则有，，综上，m=5或．21．（12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率．【解答】解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4，6）上的频率为，在[6，8）上的频率为，所以，．（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有28个，所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是，利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7．（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6，8）上应抽取人，记为A，B，C，D，在[8，10）上应抽取人，记为E，F，在[10，12）上应抽取人，记为G．从中任意选取2个家庭的所有基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），共21种．其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的事件有：（A，E），（A，F），（A，G），（B，E），（B，F），（B，G），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），共12种．所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为．22．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与曲线C：（y﹣2）（3x﹣4y+3）=0有三个不同的交点．（1）求圆M的方程；（2）已知点Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．①若，求|MQ|及直线MQ的方程；②求证：直线AB恒过定点．【解答】解：（1）因为直线3x﹣4y+3=0与圆M相切，故圆心（0，2）到直线的距离为r，即：，r=1．所以圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．（2）①设直线MQ，AB交于点P，则，又|AM|=1，所以，而|AM|2=|MP||MQ|，所以|MQ|=3，设Q（x 0，0），而点M（0，2），由，，则或，从而直线MQ的方程为：或．②证明：设点Q（q，0），由几何性质可以知道，A，B在以MQ为直径的圆上，此圆的方程为x2+y2﹣qx﹣2y=0，AB为两圆的公共弦，两圆方程相减得qx﹣2y+3=0，即，所以过定点．。
山东省烟台市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 ( word版含答案)
2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜02．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．3．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．4．若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或45．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10D．11+6．直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2 7．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．14．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．15．已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．16．定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．18．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD ⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．21．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22．已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜0【考点】直线的一般式方程．【分析】根据题意，分析可得直线的斜率k为正，在y轴上的截距为正，即有﹣＞0，＜0，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象，则直线的斜率k 为正，在y轴上的截距为正，如图：则必有﹣＞0，＜0，分析可得：m＞0，n＜0，故应选：C．2．函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．3．设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，两条直线同垂直一平面，此两直线平行；B，由三垂线定理判定；C，由线面平行的判定定理判定；D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交；【解答】解：对于A，两条直线同垂直于一平面，此两直线平行，故正确；对于B，若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n，由三垂线定理知正确；对于C，若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α，由线面平行的判定知正确；对于D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交，故错；故选：D4．若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或4【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0互相垂直，∴（k﹣3）×（k+1）+（k+4）×2（k﹣3）=0，即k2﹣9=0，解得k=3或k=﹣3，故选：A．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10D．11+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为S==12+．故选A．6．直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，由直线的一般式方程分析可得：直线=0的斜率k=，倾斜角为60°，结合题意可得直线l的倾斜角为120°，进而可得其斜率，又由其在y轴上的截距是﹣1，可得直线l的方程，结合直线的方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，另一直线的方程为=0，变形可得y=（x﹣3），其斜率k=，则其倾斜角为60°，而直线l的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120°，且斜率k=tan120°=﹣，又由l在y轴上的截距是﹣1，则其方程为y=﹣x﹣1；又由其一般式方程为mx+y﹣1=0，分析可得：m=﹣，n=﹣2；故选：A．7．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【解答】解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，120°=，∴侧面展开图的弧长为：1×=，弧长=底面周长=2πr，∴r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥体积V=×π×r2×h=π．故选：A．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意画出图形，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，则B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，可得B1G⊥BN，即异面直线C1M 与BN所成角为90°．【解答】解：如图，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，∴B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由题意可得Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，∴B1G⊥BN，即异面直线C1M与BN所成角为90°．故选：C．9．已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二次函数的性质；点到直线的距离公式．【分析】考虑a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y﹣20=0的距离即可．【解答】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离，而原点到直线的距离d==4，则的最小值为：4．故选：B．10．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，∴由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱锥D﹣ABC的体积V===．故选：D．11．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D 点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，该多面体的体积V ABCDEF=V BCF﹣GHE +V E﹣AGHD，由此能求出结果．法二：连接BE、CE，求出四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD=6，由整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，能求出结果．【解答】解法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，∵在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，∴该多面体的体积：V ABCDEF=V BCF﹣GHE +V E﹣AGHD=S△BCF×EF+=+=．故选：D．解法二：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD=×3×3×2=6，又∵整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，∴所求几何体的体积V ABCDEF＞V E﹣ABCD，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出m，转化为直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离．【解答】解：由题意，m=8，直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离是=，故答案为：．14．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】画出分段函数的图象，由题意可得f（x）=k有两个不等的实根，数形结合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．15．已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n 的值，得到答案．【解答】解：根据题意，得到折痕为A（0，2），B（4，0）的对称轴；也是C （6，3），D（m，n）的对称轴，AB的斜率为k AB=﹣，其中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣2）所以k CD==﹣，①CD的中点为（，），所以﹣1=2（﹣2）②由①②解得m=，n=，所以m+n=．故答案为：．16．定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：对于①，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．对于②，由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．对于③，若d1•d2＞0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，∴点P1，P2分别位于直线l的同侧，∴直线P1P2与直线l相交或平行，∴③正确；对于④，若d1•d2＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴④正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积和圆柱的体积，由，能求出剩余部分几何体的体积V．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，∴△ABC是直角边长为3cm，4cm的直角三角形，∴．…设圆柱底面圆的半径为r，则，…．…所以．…18．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD ⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明AC⊥平面PCD，即可证明AC⊥PD；（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．利用已知条件，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：（1）连接AC，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，…∵PD⊂平面PCD，所以AC⊥PD．…（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．…证明如下：分别取AP，PD的中点E，F，连接BE，EF，CF．则EF为△PAD的中位线，所以EF∥AD，且，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE∥CF，…又因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD所以BE∥平面PCD．…20．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由，得顶点A．利用直线AB的斜率计算公式可得k AB，x轴是∠BAC的平分线，可得直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程．直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，可得直线BC 方程为．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）由，得顶点A（﹣2，0）．…又直线AB的斜率，x轴是∠BAC的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y=﹣x﹣2①直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，直线BC方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+6．②…联立方程①②，得顶点C的坐标为（4，﹣6）．…（2），…又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，所以A到直线BC的距离，…所以△ABC的面积=．…21．某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过，化简，求出x=4．得到一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．（2）设t=log25（x+1），设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，得到，利用分段函数，函数的单调性最值求解即可．【解答】解：（1）因为，则．…当f（x）=2时，，得，即x=4．所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．…（2）设t=log25（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，则，…显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，则f（x）max=max{g（0），g（1）}，…因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，则有，解得，…又a∈（0，1），故调节参数a应控制在内．…22．已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．【考点】直线与平面垂直的判定；球内接多面体；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（I）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=BC=AC，可得PA⊥PC①，由已知易证AB⊥面PCF，从而可得AB ⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证（II）：（法一定义法）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC为所求的二面角，由（I）可得△PEF为直角三角形，Rt△PEF中，求解即可（法二：三垂线法）作出P在平面ABC内的射影为O，即作PO⊥平面ABC，由已知可得O为等边三角形ABC的中心，由PF⊥AB，结合三垂线定理可得AB⊥OF，∠PFO为所求的二面角，在Rt△PFO中求解∠PFO（III）由题意可求PABC的外接球的半径R=，（法一）PC⊥平面PAB，PA⊥PB，可得PA⊥PB⊥PC，所以P﹣ABC的外接求即以PAPBPC为棱的正方体的外接球，从而有，代入可得PA，从而可求（法二）延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．即PD=2，在直角三角形PFO中由tan⇒PO=，而OA=，利用OA2=OP•OD，代入可求【解答】解（Ⅰ）证明：连接CF．∵PE=EF=BC=AC∴AP⊥PC．∵CF⊥AB，PF⊥AB，∴AB⊥平面PCF．∵PC⊂平面PCF，∴PC⊥AB，∴PC⊥平面PAB．（Ⅱ）解法一：∵AB⊥PF，AB⊥CF，∴∠PFC为所求二面角的平面角．设AB=a，则AB=a，则PF=EF=，CF=a．∴cos∠PFC==．解法二：设P在平面ABC内的射影为O．∵△PAF≌△PAE，∴△PAB≌△PAC．得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．∴∠PFO为所求二面角的平面角．设AB=a，则PF=，OF=•a．∴cos∠PFO==．（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R．∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴x=2R．∵4πR2=12π，∴R=．得x=2．∴△ABC的边长为2．解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．连接OA、AD，可知△PAD 为直角三角形．设AB=x，球半径为R．∵4πR2=12π，∴PD=2．∵PO=OFtan∠PFO=x，OA=•x，∴=x（2﹣x）．于是x=2．∴△ABC的边长为2．2017年2月28日。
【全国市级联考Word】山东省烟台市2016-2017学年高一下学期期末自主练习数学试题
绝密★启用前【全国市级联考Word 】山东省烟台市2016-2017学年高一下学期期末自主练习数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数，则下列说法错误的是（ ）A ．的图象关于直线对称B ．在区间上单调递减C ．若，则（）D ．的最小正周期为2、已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，若平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转角后得到点，则点的坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．3、函数（，，）的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向右平移个单位长度4、已知向量，，若是实数，且，则的最小值为（ ）A ．B ．1C ．D ．5、已知为第二象限角，，则（）A ．B ．C ．D ．6、如图，已知，若点满足，则7、已知函数，则下列说法正确的是（）A．在定义域内是增函数 B．的对称中心是（）C．是奇函数 D．的对称轴是（）8、已知正五边形的边长为2，则（）A．1 B． C．2 D．9、已知，则（）A． B． C． D．10、已知向量，，若，则实数的值为（）A．-1 B．1 C．-2 D．211、已知圆的半径为，则圆心角所对的弧长为（）A． B． C． D．12、已知，则（）A．3 B．-3 C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知点在圆好运动，且，若点的坐标为，则的最小值为__________．14、已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为…，则__________．15、若，则__________．16、函数的最小值为__________．三、解答题（题型注释）17、某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）若入住客栈的游客人数与月份之间的关系可用函数（，，）近似描述，求该函数解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？（2）试结合（1）的结论，求的值.（可能用到的公式：）19、在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，（）. （1）若点，求的值；（2）若，，求的值.20、已知函数.（1）求函数的对称中心和单调递减区间；（2）若将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式. 21、（1）化简：；（2）证明：22、已知不共线的平面向量，满足，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.参考答案1、C2、B3、D4、C5、A6、D7、B8、C9、D10、A11、C12、B13、814、15、216、17、(1)（，且；(2) 只有五个月份要准备份以上的食物.18、（1）；（2）.19、（1）；（2）.20、（1）；（2）.21、（1）；（2）见解析.22、（1）；（2）.【解析】1、因为，所以的图象关于直线对称，选项A正确；当时，，所以在上为减函数，选项B正确；若，则，若时也成立，但不满足条件，选项C错误；因为，所以最小正周期为，故本题选项中错误的是C.选C.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。
山东烟台市2016年高一数学下学期期中试卷含解析
山东烟台市2016年高一数学下学期期中试卷（含解析）2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、142．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．155．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x+4）2+（y+2）2=207．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜69．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y ﹣3=0上的圆的方程．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：月份x12345甲的纯收入y2.93.33.64.44.8乙的纯收入z2.83.43.84.55.5（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定？（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A2．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d=R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2=9，∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r=3，由圆x2+y2=64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R=8，两圆心间的距离d=|AB|=5，∵8﹣3=5，即d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：B．3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据已知中数据，代入平均数公式，计算出a 值，进而代入标准差计算公式，可得答案．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴=1解得a=﹣1则样本的标准差s==故选D4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．15【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率分布直方图得出该校学生优秀等级的频率，即可求出该校学生优秀等级的人数是多少．【解答】解：根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是0.015×=0.15；∴该校学生优秀等级的人数是1000×0.15=150．故选：B．5．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有一个白球的概率．【解答】解：∵一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，∴基本事件总数=21，∵取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，∴取出的两球中至少有一个白球的概率为：p=1﹣=．故选：C．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x+4）2+（y+2）2=20【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．【解答】解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，∵OP的中点为（2，1），OP=2，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：A7．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为．【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为=，故选A．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Si循环前/21第一圈是13第二圈是﹣25第三圈是﹣77第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．9．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．【考点】几何概型．【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．【解答】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣，故选：B10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小，切线长为2，∴PA=PB=2．∴圆心到直线l的距离为d=，直线方程为y+4=kx，即kx ﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2．则所求直线的斜率为：±2．故选：D．二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案为：．12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y ﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】对两圆的方程作差即可得出交点连成的直线的方程．【解答】解：由题意，∵圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，∴两圆的方程作差得2x﹣y﹣3=0，即交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．故答案为：x+2y﹣1=0．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是4．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】求出点A关于x轴的对称点A′，则要求的最短路径的长为A′C﹣r（圆的半径），计算求得结果．【解答】解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A′（﹣1，﹣1），求得A′C==5，则要求的最短路径的长为A′C﹣r=5﹣1=4，故答案为：4．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．【考点】几何概型．【分析】利用几何概率公式求解．【解答】解：以甲船到达泊位的时刻x，乙船到达泊位的时刻y分别为坐标轴，则由题意知：0≤x，y≤24．设事件A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B={甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C={乙船停靠泊位时必须等待一段时间}．则A=B+C，并且事件B与事件C是互斥事件．∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）．甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜x ﹣y≤2，乙船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜y ﹣x≤1，在如图所示的平面直角坐标系下，点（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，事件A的可能结果由图中的阴影部分表示，则S正方形=242=576．=69.5，∴由几何概率公式得P（A）==．∴有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为．故答案为：．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．【考点】程序框图．【分析】根据a⊗b的运算原理知a=3，b=2，通过程序框图知须执行，故把值代入求解，类似地即可求得（3⊙2）⊙4的值．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3⊗2==2．同样：2⊙4=故答案为：．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y ﹣3=0上的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为﹣1求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：∵A（5，2），B（3，2），∴直线AB的斜率为=0，∴直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：x==4，与直线2x﹣y﹣3=0联立解得：x=4，y=5，即所求圆的圆心M坐标为（4，5），又所求圆的半径r=|AM|==，则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【分析】（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．【解答】解：（I）由茎叶图得：，解得，x=5，y=7（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：月份x12345甲的纯收入y2.93.33.64.44.8乙的纯收入z2.83.43.84.55.5（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定？（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据的分散程度可得结论；（2）由表中数据可得，，进而可得和，可得回归方程，令x=6可得预测值；（3）列举可得总的基本事件有10个，符合题意的有6个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定；（2）∵=（1+2+3+4+5）=3，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，（xi﹣）2=（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2=10，同理可得（xi﹣）（yi﹣）=4.9，∴==0.49，=3.8﹣0.49×3=2.33，∴所求回归方程为=0.49x+2.33，令x=6可得=0.49×6+2.33=5.27，∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，记“恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中”为事件A，则A包括的基本事件有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种，∴恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率为P（A）==19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出M，N的坐标，根据OM⊥ON可推断出=0，把M，N坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出xM+xN和xMxN，利用直线方程求得yMyNN的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．【解答】解：设点M（xM，yM），N（xN，yN）当OM⊥OM时，KoMKON=﹣1⇒xMxN+yMyN=0（1）又直线与圆相交于P、Q⇒的根是M、N坐标⇒是方程5x2﹣x+m﹣9=0的两根有：xM+xN=，xMxN=，又M、N在直线2x+y﹣3=0上，则yMyN=（3﹣2xM）（3﹣2xN）=9﹣6（xM+xN）+4xMxN，∴+﹣6×+9=0，解得：m=，且检验△＞O成立，故存在m=，使OM⊥ON．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x ﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为2016年5月18日。
山东省烟台市高一下学期期中数学试卷
山东省烟台市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知等差数列{an}满足a1+a2=﹣1，a3=4，则a4+a5=（）A . 17B . 16C . 15D . 142. （2分）已知，把数列的各项排成如下的三角形：记表示第s行的第t个数，则A（11，12）= （）A .B .C .D .3. （2分）若ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－2，或x＞4}，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有（）A . f(5)＜f(2)＜f(－1)B . f(5)＜f(－1)＜f(2)C . f(－1)＜f(2)＜f(5)D . f(2)＜f(－1)＜f(5)4. （2分） (2016高一下·奉新期末) 在2﹣与2+ 之间插入一个数，使这三个数成等比数列，则这个数为（）A . ±B . ±1C . 1D .5. （2分）在△ABC中，（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），其中a、b、c是内角A、B、C的对边，则△ABC的性状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 正三角形D . 等腰或直角三角形6. （2分）设若是与的等比中项，则的最小值为（）A . 1B .C .D . 47. （2分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，内角A,B,C对边的边长分别为为锐角，,则为（）A . 等腰三角形B . 等边三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形8. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·西安期末) 已知点（3，1）和点（﹣4.6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是（）A . （ 7，24）B . （﹣7，24）C . （﹣24，7 ）D . （﹣7，﹣24 ）10. （2分）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）(2016·福建模拟) 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为（）A .B .C .D . 412. （2分） (2016高三上·杭州期中) 设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（）A .B .C .D . 4二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）(2019·湖州模拟) 在中，内角，，所对的边分别为，， .已知，则的值为________，若，，则的面积等于________.14. （1分） (2016高二上·洛阳期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ， a3+a8＜0，S11＞0，当Sn取得最小值时，n=________．15. （1分） (2017高一上·建平期中) 关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围为________．16. （1分）(2017·河西模拟) 已知数列{an}满足a1= ，an+1=an2+an（n∈N*），则的整数部分是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）数列{an}的前n项和为Sn=an+b（a≠0且a≠1），证明数列{an]为等比数列的充要条件是b=﹣1．18. （5分） (2017高一下·天津期末) 已知函数f（x）= x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a= 时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣ a2﹣1＞0的解集．19. （15分） (2019高三上·凤城月考) 已知正项等比数列满足，，数列满足 .（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，且对所有的正整数都有成立，求的取值范围.20. （15分） (2017高二上·汕头月考) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）证明：直线MN∥平面BDH（3）求异面直线MN与AG所成角的余弦值21. （5分）(2017·桂林模拟) 如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．22. （10分） (2017高一上·淄博期末) 某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2、答案：略3-1、4-1、5-1、6、答案：略7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、22-1、22-2、。
2016-2017学年山东省烟台市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
山东省烟台市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（5分）已知圆的半径为π，则60°圆心角所对的弧长为（）A．B． C． D．3．（5分）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知正五边形ABCDE的边长为2，则•=（）A．1 B．C．2 D．6．（5分）已知函数f（x）=tan（2x+），则下列说法正确的是（）A．f（x）在定义域是增函数B．f（x）的对称中心是（﹣，0）（k∈Z）C．f（x）是奇函数D．f（x）的对称轴是x=+（k∈Z）7．（5分）如图，已知△OAB，若点C满足，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）已知向量=（cos20°，sin20°），=（sin10°，cos10°）．若t为实数，且=+t，则||的最小值为（）A．B．1 C．D．10．（5分）函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象如图所示，为了得到g（x）=A sinωx的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=（x cosθ﹣y sinθ，x sinθ+y cosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．若平面内点A（1，2），点B（1+，2﹣2），把点B绕点A顺时针方向旋转角后得到点P，则点P的坐标为（）A．（4，1）B．（0，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，5）12．（5分）已知函数f（x）=sin x|cos x|，则下列说法错误的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）在区间[，]上单调递减C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1+x2=+kπ（k∈Z）D．f（x）的最小正周期为2π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）函数y=3sin x+4cos x的最小值为．14．（5分）若．则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=．15．（5分）已知函数y=2sin（x+）cos（x﹣）与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为A1，A2，A3，…，则|A1A5|=．16．（5分）已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（3，0），则|++|的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知不共线的平面向量，满足||=3，||=4．（1）若（+k）⊥（﹣k），求实数k的值；（2）若（k﹣4）∥（﹣k），求实数k的值．18．（12分）（1）化简：sin40°（tan10°﹣）；（2）证明：﹣2cos（α+β）=．19．（12分）已知函数f（x）=2sin x cos x+2sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的对称中心和单调递减区间；（2）若将函数f（x）图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的表达式．20．（12分）把平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（1）若点B（﹣，），求tan（﹣θ）的值；（2）若+=，•=，求cos（+θ）的值．21．（12分）（1）证明：sin3x=3sin x﹣4sin3x；（2）试结合（1）的结论，求sin18°的值．（可能用到的公式：4t3﹣2t2﹣3t+1=（t﹣1）（4t2+2t﹣1））22．（12分）某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）近似描述，求该函数解析式．（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？【参考答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．B【解析】tanθ=2，则===﹣3．故选B．2．C【解析】根据弧长的公式l===．故选C．3．C【解析】由得：；带入向量的坐标便得到：|（2λ+2，2）|2=|（﹣2，0）|2；∴（2λ+2）2+4=4；∴解得λ=﹣1．故选C．4．D【解析】sin（α﹣）=，即．cos（α+）===．故选D．5．C【解析】如图正五边形ABCDE的边长为2，则•=AD cos∠BAD×AB=AB2==2；故选C．6．B【解析】根据正切函数的单调性，可得选项A：f（x）在定义域是增函数，错误；令2x+=，求得x=﹣，k∈Z，可得f（x）的对称中心是（﹣，0），k∈Z，故B正确；显然，函数f（x）=tan（2x+）不是奇函数，故选项C错误；显然，函数f（x）=tan（2x+）的图象无对称轴，故选项D错误，故选B．7．D【解析】∵=+=+=+（﹣）=+，∴λ=，μ=，∴+=3+=，故选D.8．A【解析】∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选A．9．C【解析】向量=（cos20°，sin20°），=（sin10°，cos10°）．若t为实数，且=+t，则||=|（cos20°+t sin10°，sin20°+t cos10°）|===，当t=时，表达式取得最小值：=．故选C．10．B【解析】根据函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象，可得A=1，•=﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得，2×+φ=π，求得φ=．故f（x）=sin（2x+），故把f（x）的图象向右平移个单位，可得g（x）=sin2x的图象，故选B．11．B【解析】由已知可得=（，﹣2），将点B（1+，2﹣2），绕点A顺时针旋转，得=（cos﹣2sin，﹣sin﹣2cos）=（﹣1，﹣3）∵A（1，2），∴P（0，﹣1 ）故选B12．C【解析】∵f（x）=sin x|cos x|=，k∈Z，故函数的图象关于直线x=kπ+，k∈Z对称，故A正确；f（x）在区间[，]上单调递增，故B正确；函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C错误；f（x）的周期为2π中，故D正确；故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．﹣5【解析】∵y=3sin x+4cos x=5（sin x+cos x）=5sin（x+φ），其中tanφ=，∴函数y=3sin x+4cos x的最小值为﹣5．故答案为﹣5．14．2【解析】因为tan（α+β）==﹣1，所以，tanα+tanβ=﹣1+tanαtanβ即：2=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=（1﹣tanα）（1﹣tanβ）故答案为2.15．2π【解析】y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cos x sin x=sin2x，令sin2x=可得2x=+2kπ或2x=+2kπ，∴x=+kπ或x=+kπ，k∈Z．∴A1的横坐标为，A2的横坐标为，…，A5的横坐标为，∴|A1A5|=2π．故答案为2π．16．2【解析】由题意，AC为直径，∴|++|=|2+|≥|2|﹣||=6﹣||；∴当B为（﹣1，0）时，6﹣|PB|≥6﹣4=2，∴|++|的最小值为2．故答案为2．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．解：（1）∵（+k）⊥（﹣k），∴（+k）•（﹣k）=0，即，∴=，则k=；（2）∵（k﹣4）∥（﹣k），且﹣k，∴存在实数λ，使得k﹣4=λ（﹣k）=λ﹣λk，∵||=3，||=4，且与不共线，∴，解得k=±2．18．（1）解：原式=sin40°×=sin40°×=﹣=﹣=﹣1．（2）证明：∵sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）∴====，∴原等式成立．19．解：（1）函数f（x）=2sin x cos x+2sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），由2x﹣=kπ，k∈Z，解得x=+，∴函数f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z，由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴f（x）单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，（2）由f（x）=2sin（2x﹣），将函数f（x）图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），得到y=2sin（4x﹣），然后把所得图象向左平移个单位，得到g（x）=2sin[4（x+）﹣]=2sin（4x﹣）=﹣2cos4x．20．解：（1）点B（﹣，），如图：则tanθ=﹣，∴tan（）===；（2），=（cosθ，sinθ）．∴=（2+cosθ，sinθ）．∴=cosθ（2+cosθ）+sin2θ=2cosθ+1=．∴cosθ=；又θ∈（0，π），∴sinθ==．∴cos（）=cos cosθ﹣sin sinθ==．21．（1）证明：sin3x=sin（2x+x）=sin2x cos x+cos2x sin x=2sin x cos x•cos x+（1﹣2sin2x）sin x=2sin x•cos2x+sin x﹣2sin3x=2sin x（1﹣sin2x）+sin x﹣2sin3x=3sin x﹣4sin3x；（2）解：由（1）知，3sin18°﹣4sin318°=sin（3×18°）=sin54°=cos36°=1﹣2sin218°，∴4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1=0，∴（sin18°﹣1）（4sin218°+2sin18°﹣1）=0，即4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=或sin18°=（舍）．∴sin18°=．22．解：（1）由题意可得：，解得A=200，b=300．又=2×（8﹣2），解得ω=．∴y=f（x）=200sin+300．又sin=﹣1，又0＜|φ|＜π，解得φ=．∴y=f（x）=200sin+300．（2）由200sin+300≥400，化为：sin，（x∈N*，1≤x≤12）解得x=6，7，8，9，10．因此应该在6，7，8，9，10月份要准备不少于400人的用餐．。
2016-2017高一下学期期中考试参考答案
2016—2017学年高一（下）期中考试（数学）参考答案一、选择题（5*12=60分）1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D二、填空题（4*5=20分）13. 14.y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 15.;,k ∈Z 16. 三、解答题（70分）17.（10分）(1)因为0＜α＜，sin α＝， 故cos α＝，所以tan α＝． -------5分(2)cos 2α＋sin (＋α)＝1－2sin 2α ＋cos α＝1－＋＝．-----------5分18.（12分）解：（1）∵，的夹角为， ∴ ＝||•||•cos ＝， ……1分∴|-|2＝（-）2 ……2分＝2＋2 -2＝1＋3－3＝1， ……3分 ∴ ……4分（2）由得 ……6分由得 ……7分（3），．……8分又||＝1，||＝，．……9分． ……10分 ……没有此说明扣1分 ． ……12分19．（12分）解：（1）因为f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f （x ）＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12． 由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．-------------------4 （2）由（1）知f （x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g （x ）＝f （2x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12．当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1．因此1≤g （x ）≤1＋22． 故g （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1．-----------------------620．（12分）解:过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ，--------------------------2OA=2cos θ，--------------------------------------------------3BH=sin=cos θ， ---------------------------------------4AH=cos=sin θ，-----------------------------------------5所以B(2cos θ+sin θ，cos θ)，---------------------------7OB 2=(2cos θ+sin θ)2+cos 2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<，知<2θ+<，所以当θ=时，OB 2取得最大值7+4.---------------------------------------1221.（12分）解：(1)f(x)=m ·n =4sinxcosx+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1)，知f(x)=4sin ，x ∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x ≤，所以函数f(x)的单调递增区间为.------------------------------7(3)当x ∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k 的零点讨论如下：当k>4或k<-4时，h(x)无零点，a=0；----------------------------------8 当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，a=1；-------------------------------10 当-4<k<-2或-2<k<4时，h(x)有两个零点，a=2；---------------------------11 当k=-2时，h(x)有三个零点，a=3.--------------------------------------1222.（12分）解：(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4(2)由题意得OA=2,k OA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d=,则BC=2=2,BC=2,即2=2⇒b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.------------8(3)因为,所以,⇒,,根据||≤10,即≤10⇒t∈[2-2,2+2],所以t的取值范围为[2-2,2+2].对于任意t∈[2-2,2+2],欲使,此时||≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P,Q两点,此时,即,因此对于任意t∈[2-2,2+2],均满足题意,综上t∈[2-2,2+2].------------------------------------------12。
山东省烟台市2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+3i）（2a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．12．下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分④数列1，0，1，0，…，推测出每项公式a n=+（﹣1）n+1•．A．①②B．①③④C．①②④D．②④3．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m（x∈R），若f（x）+6≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜4．观察两个变量（存在线性相关关系）得如下数据：则两变量间的线性回归方程为（）A．=x+1 B．=x C．=2x+D．=x+15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*），可归纳猜想出S n 的表达式为（）A． B．C．D．6．设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（）A．1 B．C．0 D．﹣8．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形10．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）由可得．以上通过类比得到的结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．下列说法错误的是（）A．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高B．在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心（，）C．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好D．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系12．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．若复数z=log2（x2﹣3x﹣2）+ilog2（x﹣3）为实数，则实数x的值为．14．已知a＞0，b＞0，m=lg，n=lg，则m与n的大小关系为．15．若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是．16．若f（a+b）=f（a）•f（b），（a，b∈N），且f（1）=2，则++++=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z满足z=（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4．（1）求复数z的共轭复数；（2）若ω=z+ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．18．已知a＞0，用综合法或分析法证明：﹣≥a+﹣2．19．某种产品的年销售量y与该年广告费用支出x有关，现收集了4组观测数据列于下表：现确定以广告费用支出x 为解释变量，销售量y 为预报变量对这两个变量进行统计分析．（1）已知这两个变量满足线性相关关系，试建立y 与x 之间的回归方程； （2）假如2017年广告费用支出为10万元，请根据你得到的模型，预测该年的销售量y ．（线性回归方程系数公式==， =﹣x ）．20．已知函数f （x ）=，其中a ∈R ．（1）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （2）当a ≠0时，求函数f （x ）的单调区间与极值．21．一项针对人们休闲方式的调查结果如下：受调查对象总计124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）根据下列提供的独立检验临界值表，你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系？ 独立检验临界值表：参考公式：K 2=．22．设f （x ）=lnx ，g （x ）=f （x ）+f′（x ）． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．2016-2017学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+3i）（2a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简（1+3i）（2a+i），再结合已知条件列出方程，求解即可得答案．【解答】解：∵（1+3i）（2a+i）=2a﹣3+（1+6a）i的实部与虚部相等，∴2a﹣3=1+6a，解得a=﹣1．故选：A．2．下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分④数列1，0，1，0，…，推测出每项公式a n=+（﹣1）n+1•．A．①②B．①③④C．①②④D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】合情推理分为归纳推理与类比推理，对①、②、③、④的推理过程逐个分析，即可得到答案．【解答】解：合情推理分为归纳推理与类比推理，对于①，由圆的性质类比出球的有关性质，推理过程由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理，故①为合情推理；对于②，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，为归纳推理，故②为合情推理；对于③，某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分，是由特殊到特殊的推理过程，故③不是合情推理；对于④，数列1，0，1，0，…，推测出每项公式a n=+（﹣1）n+1•，是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，故④是合情推理；综上所述，①②④的推理是合情推理，故选：C．3．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m（x∈R），若f（x）+6≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】要找m的取值使f（x）+6≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于﹣6即可求出m的取值范围．【解答】解析：因为函数f（x）=x4﹣2x3+3m，所以f′（x）=2x3﹣6x2，令f′（x）=0，得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m﹣，因为不等式f（x）+6≥0恒成立，即f（x）≥﹣6恒成立，所以3m﹣≥﹣6，解得m≥，故选：A．4．观察两个变量（存在线性相关关系）得如下数据：则两变量间的线性回归方程为（）A．=x+1 B．=x C．=2x+D．=x+1【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、，再由线性回归方程过样本中心点，排除A、C、D选项即可．【解答】解：根据表中数据，得；=（﹣10﹣6.99﹣5.01﹣2.98+3.98+5+7.99+8.01）=0，=（﹣9﹣7﹣5﹣3+4.01+4.99+7+8）=0；∴两变量x、y间的线性回归方程过样本中心点（0，0），可以排除A、C、D选项，B选项符合题意．故选：B．5．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*），可归纳猜想出S n 的表达式为（）A． B．C．D．【考点】8E：数列的求和；F1：归纳推理．【分析】数列{a n}中，前n项和为S n，由a1=1，S n=n2a n（n∈N*），可得s1；由s2可得a2的值，从而得s2；同理可得s3，s4；可以猜想：s n=，本题不需要证明．．【解答】解：在数列{a n}中，前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*），∴s1=a1=1=；s2=1+a2=4a2，∴a2=，s2==；s3=1++a3=9a3，∴a3=，s3==；s4=1+++a4=16a4，∴a4=，s4==；…于是猜想：s n=．故选A．6．设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（）A．1 B．C．0 D．﹣【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出该程序输出的是计算S的值，分析最后一次循环过程，即可得出结论．【解答】解：执行如图所示的程序框图，得：该程序输出的是计算S的值；当k=0时，满足条件，计算S=cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos0=1，当k=﹣1时，不满足条件，输出S=1．故选：A．8．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】令f（x）＞0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确．从而得到答案．【解答】解：由f（x）＞0⇒（2x﹣x2）e x＞0⇒2x﹣x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．∴f（x）无最小值，但有最大值f（）∴③不正确．故选D．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用二倍角公式代入，求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【解答】解：∵，∴=，∴解得：cosB=，∴由余弦定理可得：=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：A．10．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）由可得．以上通过类比得到的结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】F3：类比推理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】①根据向量的数量积的定义进行判定；②表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定共线；③根据向量具有分配律进行判定；④列举反例，当与垂直，与垂直时，不满足条件．【解答】解：①，根据向量的数量积的定义可知结论成立，故正确；②表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定共线，故不正确；③，向量具有分配律，故正确；④当与垂直，与垂直时，满足条件，但≠，故不正确．故选B．11．下列说法错误的是（）A．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高B．在线性回归分析中，回归直线不一定过样本点的中心（，）C．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好D．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用回归分析中残差图、回归直线、拟合指数、相关关系的概念与性质对A、B、C、D四个选项逐一分析即可得到答案．【解答】解：对于A，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故A正确；对于B，在线性回归分析中，回归直线一定过样本点的中心（，），故B错误；对于C，在回归分析中，R2为越接近1的模型拟合的效果越好，因此R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，故C正确；对于D，自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系，故D正确．综上所述，以上说法错误的是B，故选：B．12．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，f′（x）＜0，⇔＞0⇒[]′＜0，利用h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案．【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，∴f′（x）＜0，又∵＞x，∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∵＞x＞0，f′（x）＜0，∴f（x）＜0．∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∴＞⇔＞0⇔2f（3）﹣3f（2）＞0⇔2f（3）＞3f（2），故A正确；由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；1•f（2）＞2f（1），排除D；故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．若复数z=log2（x2﹣3x﹣2）+ilog2（x﹣3）为实数，则实数x的值为4．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由虚部为0求得x值，代入实部满足真数大于0得答案．【解答】解：∵复数z=log2（x2﹣3x﹣2）+ilog2（x﹣3）为实数，∴log2（x﹣3）=0，即x﹣3=1，∴x=4，代入x2﹣3x﹣2满足42﹣3×4﹣2=2＞0．故答案为：4．14．已知a＞0，b＞0，m=lg，n=lg，则m与n的大小关系为m＞n．【考点】72：不等式比较大小．【分析】先比较真数与大小，再利用对数的单调性比较m，n的大小【解答】解：∵，∴＞∴＞又y=lgx是增函数，故lg＞lg，即m＞n故答案为m＞n15．若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】先求出当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时a的范围，再取补集，即得所求．【解答】解：当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时，（a﹣1）2﹣4a2＜0①，且4a2﹣4（﹣2a）＜0 ②．解①求得a＜﹣1，或a＞，解②求得﹣2＜a＜0．可得此时实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）．故当a∈（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）时，两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．16．若f（a+b）=f（a）•f（b），（a，b∈N），且f（1）=2，则++++=10．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】由已知f（a+b）=f（a）•f（b）且f （1）=2，令b=1，可得=f（1）=2，进而可将++++化为2×1005，从而得到答案．【解答】解：∵f（a+b）=f（a）•f（b）∴f（a+1）=f（a）•f（1）∴=f（1）=2，∴++++=2×5=10故答案为：10．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z满足z=（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4．（1）求复数z的共轭复数；（2）若ω=z+ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则，求出复数z，再求z的共轭复数；（2）求出复数ω、z对应的向量、，利用|ω|≤||列出不等式求出a的取值范围．【解答】解：（1）复数z=（﹣1+3i）（1﹣i）﹣4=﹣1+i+3i+3﹣4=﹣2+4i，∴复数z的共轭复数为=﹣2﹣4i；（2）∵ω=z+ai=﹣2+（4+a）i，∴复数ω对应向量为=（﹣2，4+a）；此时||==，又∵复数z对应的向量=（﹣2，4），∴||=2；∴|ω|≤||，∴≤2，即a（a+8）≤0，解得实数a的取值范围是﹣8≤a≤0．18．已知a＞0，用综合法或分析法证明：﹣≥a+﹣2．【考点】R8：综合法与分析法(选修）．【分析】根据分析证明不等式的步骤完成即可【解答】证明：要证明：﹣≥a+﹣2．只要证+2≥a++．∵a＞0，故只要证（+2）2≥（a++）2．即a2++4+4≥a2+2++2（a+）+2，从而只要证2≥（a+），只要证4（a2+）≥2（a2++2），即a2+≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．19．某种产品的年销售量y与该年广告费用支出x有关，现收集了4组观测数据列于下表：现确定以广告费用支出x为解释变量，销售量y为预报变量对这两个变量进行统计分析．（1）已知这两个变量满足线性相关关系，试建立y与x之间的回归方程；（2）假如2017年广告费用支出为10万元，请根据你得到的模型，预测该年的销售量y．（线性回归方程系数公式==，=﹣x）．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）计算、，求出回归系数、，写出所求回归直线方程；（2）利用回归直线方程计算x=10时的值即可．【解答】解：（1）计算=×（1+4+5+6）=4，=×（30+40+60+50）=45，x i y i=1×30+4×40+5×60+6×50=790，=12+42+52+62=78；∴回归系数===5，=﹣=45﹣5×4=25，∴所求回归直线方程为=5x+25；（2）由已知得x=10时，=5×10+25=75（万元）∴可预测该年的销售量为75万元．20．已知函数f （x ）=，其中a ∈R ．（1）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （2）当a ≠0时，求函数f （x ）的单调区间与极值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把a=1代入，先对函数求导，然后求f （2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f′（2），从而求出切线方程．（2）先对函数求导，分别解f′（x ）＞0，f′（x ）＜0，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值． 【解答】解：（1）当a=1时，f （x ）=，f （2）=，又f′（x ）=，f′（2）=﹣，所以，曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣=﹣（x ﹣2），即6x +25y ﹣32=0． （2）f′（x ）=，由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0时，令f'（x ）=0，得到x 1=﹣，x 2=a ， 当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：）所以f （x ）在区间（﹣∞，﹣），（a ，+∞）内为减函数，在区间（﹣，a ）内为增函数．函数f （x ）在x 1=﹣处取得极小值f （﹣），且f （﹣）=﹣a 2．函数f （x ）在x 2=a 处取得极大值f （a ），且f （a ）=1． ②当a ＜0时，令f'（x ）=0，得到x 1=a ，x 2=﹣， 当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：）所以f （x ）在区间（﹣∞，a ），（﹣，+∞）内为增函数，在区间（a ，﹣）内为减函数．函数f （x ）在x 1=a 处取得极大值f （a ），且f （a ）=1．函数f （x ）在x 2=﹣处取得极小值f （﹣），且f （﹣）=﹣a 2．21．一项针对人们休闲方式的调查结果如下：受调查对象总计124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）根据下列提供的独立检验临界值表，你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系？ 独立检验临界值表：参考公式：K 2=．【考点】BL ：独立性检验．【分析】（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列联表．（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”．【解答】解：（1）列联表如下：（2）假设“休闲方式与性别无关”，由公式算得K2=≈6.201，比较P（K2≥5.024）≈0.025，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”．22．设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，判断两个函数的大小关系即可．（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．（II）设，则h'（x）=﹣，当x=1时，h（1）=0，即，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．（III）由（I）知g（x）的最小值为1，所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）﹣1＜，即Ina＜1，从而得0＜a＜e．2017年5月26日。
2017年山东省烟台市高一下学期数学期中考试试卷
2017年山东省烟台市高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 某校高一年级举办歌咏比赛，位裁判为某班级打出的分数的茎叶图如图所示，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，则这些数据的中位数是A. B. C. D.2. 已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值是A. B. C. D.3. 观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是A. 为正相关，为负相关，为不相关B. 为负相关，为不相关，为正相关C. 为负相关，为正相关，为不相关D. 为正相关，为不相关，为负相关4. 如图是总体密度曲线，下列说法正确的是A. 组距越大，频率分布折线图越接近于它B. 样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C. 阴影部分的面积表示总体在内取值的百分比D. 阴影部分的平均高度表示总体在内取值的百分比5. 圆上到直线的距离等于的点有A. 个B. 个C. 个D. 个6. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是A. B. C. D.7. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入，分别为，，则输出的A. B. C. D.8. 袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中任取个，则互斥而不对立的两个事件是A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球9. 以为圆心，且与两直线及同时相切的圆的标准方程为A. B.C. D.10. 一名射击运动员射击次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为A. B. C. D.11. 现有名女教师和名男教师参加说题比赛，共有道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为A. B. C. D.12. 若圆：关于直线对称，则由点向圆所作切线长的最小值是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 某班级有名学生，现要采取系统抽样的方法在这名学生中抽出名学生，将这名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，，第十组号，若在第三组中抽得号码为的学生，则在第八组中抽得号码为的学生．14. 执行如图所示的程序框图，输出的值为．15. 从一副扑克牌中取出张 A，张 K，张 Q 放入一盒子中，然后从这张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为．16. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于，两点，点在圆上运动，若恒为锐角，则实数的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份需要量万件（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程；（2）预测该地年的商品需求量（结果保留整数）．18. 在中，已知，且，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．19. 已知正方形的边长为，弧是以点为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点，求事件“”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共粒，其中有粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率的近似值（精确到）．20. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上．（1）求定点的坐标；（2）求圆的方程；（3）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21. 从某小区随机抽取个家庭，收集了这个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图．分组频数合计（1）求频率分布直方图中，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于吨的概率；（3）在这个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于吨的家庭里抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取个家庭，求其中恰有个家庭的月均用水量不低于吨的概率．22. 已知圆与曲线有三个不同的交点．（1）求圆的方程；（2）已知点是轴上的动点，，分别切圆于，两点．①若，求及直线的方程；②求证：直线恒过定点．答案第一部分1. C 【解析】根据茎叶图中的数据，把数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，；排在中间的数据为，所以这组数据的中位数是．2. B 【解析】由圆可知圆心为，圆的半径．所以圆心到直线的距离．因为圆截直线得弦长为，所以，即，所以．3. D4. C 【解析】阴影部分的面积表示总体在内的频率，即百分比．5. C6. A 【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为，总面积为，而阴影区域的边长为，面积为．7. B 【解析】模拟执行程序框图，可得，，满足条件，不满足条件，．满足条件，满足条件，．满足条件，满足条件，．满足条件，满足条件，．满足条件，不满足条件，．不满足条件，输出的值为．8. B 【解析】袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中任取个，在 A 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在 B 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B 成立；在 C 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立；在 D 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立．9. B 10. B11. C 【解析】现有名女教师和名男教师参加说题比赛，共有道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数，设两道题分别为，题，所以抽取情况共有：，，，，，，，．其中第个，第个分别是两个男教师抽取的题目，第个表示女教师抽取的题目，一共有种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：，，，，共种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为．12. C 【解析】圆：化为，圆的圆心坐标为，半径为．圆：关于直线对称，所以在直线上，可得，即．点与圆心的距离为，所以点向圆所作切线长：当且仅当时弦长最小，为．第二部分13.【解析】这名学生随机编号号，并分组，第一组号，第二组号，，第十组号，在第三组中抽得号码为的学生，则在第八组中抽得号码为．14.【解析】执行程序框图，有，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，不满足条件，输出的值为．15.【解析】从这张牌中随机取出两张，共有种方法，两张牌大小相同有种方法，所以这两张牌大小不同的概率为．16.第三部分17. （1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，计算，，回归系数，，所以所求回归直线方程为：；（2）由（）中回归方程，把代入方程，计算（万件），故可预测年的商品需求量为万件．18. 如图，以直线为轴，线段的中点为原点，建立直角坐标系，则有，，设点的坐标为，由得，，整理得，当时，，方程是，轨迹是轴（除去原点），当时，配方得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去圆与的交点）．19. （1）如图，在边长为的正方形内任取一点，满足条件的点落在扇形内（图中，阴影部分），由几何概型概率计算公式，有：阴影部分正方形故事件“”发生的概率为．（2）正方形内的粒大豆有粒落在扇形内，频率为，用频率估计概率，由（）知，所以，即的近似值为．20. （1）由得，令得即定点的坐标为．（2）设圆的方程为，由条件得解得所以圆的方程为，圆的标准方程．（3）圆的标准方程为，则，设点关于圆心的对称点为，则有解得，，故点的坐标为．因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，若点为直角三角形的顶点，则有，解得，若点是直角三角形的顶点，则有，解得，综上，或．21. （1）因为样本中家庭月均用水量在上的频率为，在上的频率为，所以，．（2）根据频数分布表，个家庭中月均用水量不低于吨的家庭共有个，所以样本中家庭月均用水量不低于吨的概率是．利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于吨的概率约为．（3）在这个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于吨的家庭里抽取一个容量为的样本，则在上应抽取人，记为，，，，在上应抽取人，记为，，在上应抽取人，记为．设“从中任意选取个家庭，求其中恰有个家庭的月均用水量不低于吨”为事件，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种．事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共种．所以其中恰有个家庭的月均用水量不低于吨的概率为．22. （1）因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离为，即：，．所以圆的方程为．（2）①设直线，交于点，则，又，所以，而，所以，设，而点，由，，则或，从而直线的方程为：或．②设点，由几何性质可以知道，，在以为直径的圆上，此圆的方程为，为两圆的公共弦，两圆方程相减得，即，所以直线恒过定点．。