福建省三明市市区三校2019届高三联考(数学理)
福建省三明市2019届高三上学期期末质量检测数学(理)试题
福建省三明市2019届高三上学期期末质量检测数学（理）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，B，然后求交集即可.【详解】集合，所以集合故选：A【点睛】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次不等式的解法，以及运算能力，属于基础题．2.若复数满足，其中为虚数单位，则A. B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法法则化简可得进而得到然后求模即可.【详解】解：复数z满足，故，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数的模的求法，复数的运算法则的应用，考查计算能力．3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】由双曲线的一条渐近线与直线垂直可得，从而得到双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为：又双曲线的一条渐近线与直线垂直，即直线与直线垂直，∴，即2a，∴e故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．4.若实数，满足约束条件则的最大值为A. B. 4 C. 7 D. 9【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图由z＝4x﹣y得y＝4x﹣z，平移直线y＝4x﹣z，由图象知，当直线y＝4x﹣z经过B时，直线的截距最小，此时z最大，由，解得x，y，z＝4x﹣y的最大值是4故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出目标函数的最优解，利用数形结合是解决本题的关键．5.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为，则A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设BC＝x，AC＝y，由题意列关于x，y的方程组，求解得到x，y的值，进一步得到tanθ，展开两角差的正切得答案．【详解】解：如图，设BC＝x，AC＝y，则，解得．∴tanθ．∴．故选：．【点睛】本题考查三角恒等变换及化简求值，考查两角差的正切，考查平面几何知识，是基础题．6.已知命题，；命题，.则以下是真命题的为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【详解】判断命题p的正误：，显然是假命题；判断命题q的正误：即，显然是真命题；∴是真命题故选：B【点睛】本题考查了复合命题的判断，考查对数的运算性质、二次函数的性质，是一道基础题．7.已知是实数，则函数的图象不可能是（）【答案】D【解析】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：T=2π /|a| ，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D．8.棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后得到一个几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体，其体积显然是正方体体积的一半.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是多面体ABCDEFG,其体积显然是正方体体积的一半，∴该几何体的体积为故选：C【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.的展开式中的系数是A. -5B. 10C. -15D. 25【答案】A【解析】【分析】，分两类情况利用通项公式计算即可.【详解】，的通项公式为，其中r=0,1,2,3的通项公式为，其中r=0,1,2,3,4,5∴展开式中的系数是,故选：A【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.10.已知等边三角形的边长为3，若上一点满足，则当取最小值时，A. B. C. D. 7【答案】B【解析】【分析】由条件可知x＞0，y＞0，并可得出x+2y＝1，利用均值不等式可知y＝x=时有最小值，结合即可得到结果.【详解】解：由题意可知，x＞0，y＞0；∵M，A，B三点共线，且；∴x+＝1；∴≥5+2=9，当，即y＝x=时取“＝”，即取最小值；，即故选：B．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，三点A，B，C共线的充要条件：，且x+y＝1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号成立的条件，向量数量积的运算及计算公式．11.直角坐标平面内的点既在以，，为顶点的三角形的边上，又在曲线上，则满足条件的点的个数为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由可得或，作出直线系与三角形各边的交点个数即可.【详解】由可得或即，∴点在直线系上，又在三角形的边上，如图所示：对直线系来说，当k=0时，与三角形的边有两个交点，当k=1时，与三角形的边有两个交点，对直线系来说，当k=0时，与三角形的边有一个交点B，当k=1时，与三角形的边有一个交点A，综上，满足条件的点的个数为6，故选：D【点睛】本题考查直线方程的应用，考查三角函数的等价转化，考查数形结合思想，属于中档题.12.若不等式对任意恒成立，则实数的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】记，，当时，，可猜得是图像在P 点处的公切线.【详解】记，当时，故P是图像的公共点，可猜测是图像在P点处的公切线，由可得,∴在P点处的公切线为：，即，同理可得在P点处的公切线为下面证明：构造，,可知：在上单调递减，在上单调递增，∴，即对任意恒成立，同理可证：对任意恒成立∴即∴故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的切线问题，考查构造函数，考查函数的单调性，极值与最值，综合性较强.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知是各项均为正数的等比数列，若，则等于__________．【答案】【解析】【分析】根据列方程解出公比q，代入式子化简计算即可．【详解】解：设{a n}的公比为q，∵，∴q2＝q，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．14.将一个等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到体积为的几何体，则该几何体外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】将等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，易知圆锥底面半径即为外接球的半径，从而得到结果.【详解】设等要直角三角形的直角边长为a，将等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，则，可得，该几何体外接球的半径R=a=2∴该几何体外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查圆锥的形成过程，体积的计算，以及其与外接球的关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.15.若为奇函数，则实数__________．【答案】【解析】【分析】利用奇偶性定义即可得到a的值.【详解】,由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），即g（﹣x）﹣g（x）＝0，则﹣＝0，﹣＝2ax，即﹣x＝2ax则（2a+1）x＝0，即2a+1＝0，解得a．故答案为：【点睛】本题考查奇偶性的定义与性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题.16.在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由抛物线定义可知M的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知B 点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值.【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点M到定点A的距离等于动点M到直线的距离，故动点M的轨迹为，由可得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以AD为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心E,半径r=过M做M垂直准线，垂足为则故答案为：【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，涉及抛物线的轨迹，圆的轨迹，直线过定点，线段和的最值，考查数形结合的思想，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知为数列的前项和，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用，两式作差化简可得数列是公差为1的等差数列，从而可得的通项公式；（2）由（1）知，利用错位相减法即可求出的前项和.【详解】（1）因为，所以当时，，则.即，所以.因为，所以，即，所以数列是公差为1的等差数列.由得，因为，解得.所以.（2）由（1）知，所以，①②③-④得，，，∴.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求证：；（2）若的面积为，求角的大小.【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）根据余弦定理，与可得，再利用正弦定理可得结合内角和定理与两角和与差正弦公式可得结果；（2）利用面积公式有，可得，又从而有，进而可得结果.【详解】（1）在中，根据余弦定理，，又因为，所以，又因为，所以，根据正弦定理，.因为，即，则，所以，即.因为，，则，所以，或（应舍去）.所以.（2）因为的面积为，所以，因为，，所以，则，因为，所以，所以.因为，所以，即，所以或.当，即时，；当时，由，解得，则.综上，或.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.如图，在三棱锥中，平面平面，为棱上的一点，且，为棱的中点，为棱上的一点，若平面，是边长为4的正三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)要证平面平面转证平面，结合条件面面垂直可证；(2)先证明平面以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点，连结，因为，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，又因为，所以，所以为的中点，又因为为的中点，所以，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，由得，取，则，，所以.又，，，设直线平面所成角为.则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知椭圆在左、右焦点分别为，，动点在椭圆上，的周长为6，且面积的最大值为.（1）求的方程；（2）设直线与的另一个交点为，过，分别作直线的垂线，垂足为，，与轴的交点为.若，，的面积成等差数列，求直线斜率的取值范围. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意列关于a，b的方程组，即可得到的方程；(2) 设直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理表示条件，以，进而得到直线斜率的取值范围.【详解】（1）因为是上的点，且，为的左、右焦点，所以，又因为，的周长为6，所以，当为短轴端点时，的面积最大，所以，又因为，解得，，，所以的方程为.（2）依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为，由消去得：，设，，则有且，.设，，的面积分别为，，，因为，，成等差数列，所以，即，则，即，得，又，，于是，所以，由得，解得，设直线的斜率为，则，所以，解得或，所以直线斜率的取值范围是.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数.（1）求证：；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 令，求出函数的最大值即可；(2) 不等式恒成立，即恒成立，令，研究函数的单调性与极值即可.【详解】（1）令，即，所以，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.（2）因为不等式恒成立，即恒成立，令，则，令，则.则在上单调递减，在上单调递增，故只需，即，令，单调性与（1）中一致，即在上单调递增，在上单调递减，又，所以，即.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）试判断点是否在直线上，并说明理由；（2）设直线与曲线交于点，，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)把直线的极坐标方程为化为直角坐标方程，代入检验即可；(2)把曲线的参数方程化为普通方程，再把直线l的参数方程代入普通方程可得，借助韦达定理可得结果.【详解】（1）由得，即直线的直角坐标方程为，经检验满足方程，所以点在直线上.（2）曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为.由（1）可得直线的参数方程为（为参数），将参数方程代入曲线得，设，对应的参数为，，则，，所以，所以的值为.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23.设函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若存在实数，使得对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1) 通过x的取值，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可；(2) 因为存在实数，使得任意，均有，所以，利用二次函数的最值，转化为恒成立问题，借助绝对值三角不等式即可得到结果.【详解】（1）当时，①当时，成立；②当时，由可得，∴，③当时，不成立，所以不等式的解集为.（2）因为存在实数，使得任意，均有，所以，又，所以，即恒成立，因为，所以，解得，所以的取值范围是.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
福建省三明市三地三校2019_2020学年高一数学上学期联考协作卷
福建省三明市三地三校2019-2020学年高一数学上学期联考协作卷（总分100分，时间：120分钟）学校______________ 班级____________ 姓名_______________ 座号___________第I 卷(选择题 共36分)一、选择题：本题共12 小题，每小题3 分，共36 分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
1、已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}4,3,2=M ，{}6,3,1=P ，则集合P M ⋂是（ ）A ． {}3B ． {1,2,3,4,6}C ．{1,2,3,4, 5,6,7,8} D.{5,7,8}．2、下列函数是偶函数的是( )A. ]1,0[,2∈=x x y B. x y = C. 21-=x y D. 322-=x y3、下列函数中,在区间（0, +∞）上是增函数的是 A. 42+-=x y B. x y -=3 C. xy 1= D. x y = 4、1>a 时，在同一坐标系中函数xay -=与x y a log =的图像是 （ ）5、数f （x ）=e x+x-2的零点所在的一个区间是（ ）(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）6、（x ）=,)0( 00)( )0( 2⎪⎩⎪⎨⎧<=>x x x x π,则f ［f （－10］等于（ ）A ．2πB ．100C ．πD ．07、设3log 21=a ，3)21(=b ，213=c ，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<(A)(C) (D)(B)8、下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A ． x y x y lg 2,lg 2==B ． 33,x y x y ==C ． 2)(,||x y x y ==D ．0,1x y y ==9、用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定10、如下三个等式：①()()()f a b f a f b +=+；②()()()f ab f a f b =+；③()()()f ab f a f b =⨯．则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是（ ）A ． ()3f x x =B ．2()f x x = C ． 2xy = D ． ()ln f x x = 11、函数()()()3122+-+-=x a x a x f 是偶函数, 22()(22)(0)bg x b b xb -=-->为幂函数，则log b a =（ ） A ．3 B ． 1 C ．-3 D ．012、若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围______.A ． 2a <B ． 2a >C ． 138a ≤D ．138a ≥ 第Ⅱ卷(非选择题64分)二、填空题：本题共4 小题，每小题4分，共16分。
福建省三明市三地三校2018-2019学年高二上学期期期中联考数学(理)试题(含精品解析)
∴tan∠ANF= = 故选：C．
=．
根据直线 l 的斜率 k=l，设出 A 的坐标，代入抛物线 y2=2px，求出 A 的坐标， 从而可求 tan∠ANF． 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
13.【答案】真
【解析】
解：命题 P：“如果 a+b＞0，那么 a＞0 且 b＞0．”
A. 29
B. 5
C. 2 5
D. 13
6. 原命题：若双曲线方程是 x2-y2=1，则其渐近线方程是 y=±x．那么该原命题与其逆
命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数是（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1（-5，0），F2（5，0），动点 P 满足|PF1|-
=
，解方程可得 p．
本题考查双曲线方程和椭圆方程，以及焦点求法，考查方程思想和运算能力，
属于基础题． 11.【答案】A
【解析】
解：由题意得 a=2，b= ，c=3，∴F1（-3，0）、F2（3，0）， Rt△PF1F2 中，由勾股定理得 4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|-|PF2|） 2+2•|PF1|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|， ∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，
化双曲线的方程为标准方程，求得 a，b，c，e，由题意可得 m 的不等式，解不
等式可得所求范围．
本题考查双曲线的离心率公式的运用，考查不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】101a
【解析】
解：由椭圆的定义知|F1Pi|+|F2Pi|=2a（i=1，2，…，99）；
福建省三明市三地三校2019_2020学年高一数学上学期联考协作卷
福建省三明市三地三校2019-2020学年高一数学上学期联考协作卷（总分100分,时间：120分钟）学校______________ 班级____________ 姓名_______________ 座号___________第I 卷(选择题 共36分)一、选择题：本题共12 小题,每小题3 分,共36 分。
每小题只有一个选项符合题意,请将正确答案填入答题卷中。
1、已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ,集合{}4,3,2=M ,{}6,3,1=P ,则集合P M ⋂是（ ） A ． {}3 B ． {1,2,3,4,6} C ．{1,2,3,4, 5,6,7,8} D.{5,7,8}．2、下列函数是偶函数的是( )A. ]1,0[,2∈=x x y B. x y = C. 21-=x y D. 322-=x y3、下列函数中,在区间（0, +∞）上是增函数的是 A. 42+-=x y B. x y -=3 C. xy 1= D. x y = 4、1>a 时,在同一坐标系中函数xay -=与x y a log =的图像是 （ ）5、数f （x ）=e x+x-2的零点所在的一个区间是（ ）(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）6、（x ）=,)0( 00)( )0( 2⎪⎩⎪⎨⎧<=>x x x x π,则f ［f （－10］等于（ ）A ．2πB ．100C ．πD ．07、设3log 21=a ,3)21(=b ,213=c ,则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<(A)(C) (D)(B)8、下列各组函数中,表示同一函数的是 （ ）A ． x y x y lg 2,lg 2==B ． 33,x y x y ==C ． 2)(,||x y x y ==D ．0,1x y y ==9、用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定10、如下三个等式：①()()()f a b f a f b +=+；②()()()f ab f a f b =+；③()()()f ab f a f b =⨯．则下列函数中,不满足其中任何一个等式的函数是（ ）A ． ()3f x x =B ．2()f x x = C ． 2xy = D ． ()ln f x x = 11、函数()()()3122+-+-=x a x a x f 是偶函数, 22()(22)(0)bg x b b xb -=-->为幂函数,则log b a =（ ） A ．3 B ． 1 C ．-3 D ．012、若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数,则实数a 的取值范围______.A ． 2a <B ． 2a >C ． 138a ≤D ．138a ≥ 第Ⅱ卷(非选择题64分)二、填空题：本题共4 小题,每小题4分,共16分。
精品2019高三数学三校联考试题 理(含解析)
2019高三数学三校联考试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，本题选择D选项.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得：，则.本题选择A选项.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：，结合同角三角函数基本关系可得：.本题选择B选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆E的圆心到原点的距离，据此可得，当m=4时，圆上的点与原点的最短距离是，即双曲线的离心率为，据此可得：，双曲线（）的渐近线为.本题选择C选项.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，即时推出循环，则①中应填.本题选择C选项.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用奇函数的性质可得：，即当时，函数的解析式为：，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且：，，即函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：.本题选择C选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10. 已知函数（）的部分图象如图所示，其中.即命题，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】C【解析】由可得：，解得：，结合可得：，结合可得：，函数的解析式为：，则命题p是真命题.将函数的图像上所有的点向右平移个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题q为假命题，则为假命题；为真命题；为真命题；为假命题.本题选择C选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故△ABM的周长为,本题选择D选项.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. 49 C. D.【答案】C【解析】当时，，解得：或(舍去)，且：，两式作差可得：，整理可得：，结合数列为正项数列可得：,数列是首项为3，公比为3的等差数列，，则：，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得：.本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，结合排列组合的性质可知，由，当且仅当时等号成立.综上可得：的最大值为.....................................(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知满足其中，若的最大值与最小值分别为1，，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，设函数.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.（1）若，求函数的值域；（2）已知分别为中角的对边，且满足，，，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)结合题意可得..结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域是；(2)由题意得到三角方程：.据此可得，然后利用余弦定理求得.最后利用面积公式可得的面积是.试题解析：（1）由题意，得.所以.因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为，所以.因为，所以.所以，解得.所以.又，且，，所以.所以的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)当时，平面.证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.(2)①；②；.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数（），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式，分类讨论可得：当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）分类讨论：当时，明显成立；当时，由（1），知在内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当时，构造新函数，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即时，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得极小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）当时，成立.当时，由（1），知在内单调递增，令为和中较小的数，所以，且，则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是. 试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得，g(x)的值域为.然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式. 试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2）当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.∴.∴.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2019福建三明普通高中毕业班质量检查试题及解析—理科数学
2019福建三明普通高中毕业班质量检查试题及解析—理科数学注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕， 第二卷第21题为选考题，其他题为必考题、本试卷共6页、总分值150分、考试时间120分钟、本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上、2、考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效、3、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚、4、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑、5、保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、 参考公式：样本数据12,x x ，…，nx 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x-为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷〔选择题 共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、0α<<π，且3tan 4α=，那么cos α等于 A 、35- B 、35 C 、45- D 、 452、假设等差数列{}n a 的前5项和525S =，那么3a 等于 A 、3 B 、4 C 、5 D 、63、“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是A 、找出a 、b 、c 三个数中最大的数B 、找出a 、b 、c 三个数中最小的数C 、找出a 、b 、c 三个数中第二大的数D 、把c 的值赋给a题的是A 、假设//,,l n αβαβ⊂⊂，那么//l nB 、假设,l αβα⊥⊂，那么l β⊥C 、假设,l n m n ⊥⊥，那么//l mD 、假设,//l l αβ⊥，那么αβ⊥ 6、双曲线Γ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的离心率2e =，过双曲线Γ的左焦点F 作O ：222x y a +=的两条切线，切点分别为A 、B ，那么AFB ∠的大小等于A 、45°B 、60°C 、90°D 、120°7、函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 图象的一条对称轴方程为6x π=-，那么实数a 的值为 A、BC、8、正实数a ,b 满足不等式1ab a b +<+,那么函数()()log a f x x b =+的图象可能为 9、在Rt △PAB 中，PA ＝PB ，点C 、D 分别在PA 、PB 上，且CD ∥AB ，AB ＝3，AC，那么AD BC ⋅的值为A 、－7B 、0C 、－3D 、310、假设数列{}n a 满足na ab ≤≤，其中a 、b 是常数，那么称数列{}n a 为有界数列，a 是数列{}n a 的下界，b 是数列{}na 的上界、现要在区间[1,2)-中取出20个数构成有界数列{}n b ，并使数列{}nb 有且仅有两项差的绝对值小于1m，那么正数m 的最小取值是A 、5B 、193C 、7D 、233第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置、11、复数122i ,43i z z =+=-在复平面内的对应点分别为点A 、B ，那么A 、B 的中点所对应的复数是、12、函数1()22xx f x =-，且(),(0),()(),(0),f x x g x f x x ≥⎧=⎨-<⎩那么函数g (x )的最小值是、 13、假设23*0123(1)()n n n x a a x a x a x a x n +=+++++∈N ，且12:1:3a a =，那么=n 、14、函数()11x f x m -=+(其中0m >，且1m ≠)的图象恒过定点A ，而点A 恰好在直 线220ax by +-=上〔其中0ab >〕，那么14a b+的最小值为、 15、如图，标识为①、②、③、④的四张牌，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母、现在规定：当牌的一面写的是数字3时，它的另一面必须写字母M 、为了检查这四张牌是否符合规定，你仅需．．翻看的牌的标识为、 【三】解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16、〔本小题总分值13分〕某工厂共有工人40人，在一次产品大检查中每人的产品合格率〔百分比〕绘制成频率分布直方图，如下图、(Ⅰ)求合格率在［50，60〕内的工人人数；(Ⅱ)为了了解工人在本次大检查中产品不合格的情况，从合格率在[50，70〕内的工人中随机选取3人的合格率进行分析，用X 表示所选工人合格率在[60，70〕内的人数，求X 的分布列和数学期望、17、〔本小题总分值13分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，且AB ＝1，AD ＝CD ＝2，E 在线段PD 上、〔Ⅰ〕假设E 是PD 的中点，试证明： AE ∥平面PBC ；① ② ③ ④〔Ⅱ〕假设异面直线BC 与PD 所成的角为60°，求四棱锥P －ABCD 的侧视图的面积、18、〔本小题总分值13分〕抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点与椭圆224205x y +=的右焦点重合、(Ⅰ〕求抛物线Γ的方程；(Ⅱ〕动直线l 恒过点(0,1)M 与抛物线Γ交于A 、B 两点，与x 轴交于C 点，请你观察并判断：在线段MA ，MB ，MC ，AB 中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明、19、〔本小题总分值13分〕函数()f x 的导函数是2()329f x x mx '=++，()f x 在3x =处取得极值，且 (0)0f =，〔Ⅰ〕求()f x 的极大值和极小值；〔Ⅱ〕记()f x 在闭区间[0,]t 上的最大值为()F t ，假设对任意的t (04)t <≤总有()F t t λ≥成立，求λ的取值范围；〔Ⅲ〕设(,)M x y 是曲线()y f x =上的任意一点、当(0,1]x ∈时，求直线OM 斜率的最小值，据此判断()f x 与4sin x 的大小关系，并说明理由、20、〔本小题总分值14分〕某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为θ，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示、如图2是遮阳篷的截面示意图，AB 表示窗户上、下边框的距离，AB=m ，CD 表示遮阳篷、该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为α，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所成角为β〔αβ>〕、假设要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD 和遮阳篷与窗户上边框的距离BC 各为多少？ 21、此题有〔1〕、〔2〕、〔314分.如果多做，(1〕〔本小题总分值7分〕选修设矩阵11a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭、 图1 图2〔I 〕假设2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1M -；〔II 〕假设曲线C ：22421x xy y ++=在矩阵M 的作用下变换成曲线C '：2221x y -=，求a b +的值、(3〕〔本小题总分值7分〕选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =++-、(Ⅰ)求()y f x =的最小值；(Ⅱ)假设关于x 的不等式()4f x ≥的解集为A ，求集合A 、2018年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准【一】选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B D B A B C B【二】填空题：11、3－i .12、013、714、915、②、④【三】解答题：16、解：〔Ⅰ〕产品合格率在［50，60〕内的频率为：1－〔0.035＋0.03＋0.0225＋0.0075〕×10＝0.05，………………………2分所以产品合格率在［50，60〕内的人数共有40×0.05＝2人、……………………4分 〔Ⅱ〕同〔1〕可得产品合格率在[60，70〕内的人数有40×0.0225×10＝9， 所以产品合格率在[50，70〕内的人数共有11人.依题意，X 的可能取值是1，2，3.………………………6分P (X ＝1)＝2129311C C C ＝355；P (X ＝2)＝1229311C C C ＝2455；P (X ＝3)＝P(A)＝2855.……10分那么X 分布列为：………………………11分所以EX ＝1×355＋2×2455＋3×2855＝2711.………………………13分17、解：〔Ⅰ〕解法一：在四棱锥P －ABCD 中，取PC 的中点F ，连结EF 、FB ，因为E 是PD 的中点，所以EF ∥12CD ∥AB ，………………………………2分所以四边形AEFB 是平行四边形，…………………………………………3分那么AE ∥FB ，而AE ⊄平面PBC ，FB ⊂平面PBC ，…………………………………………5分 ∴AE ∥平面PBC 、……………………………………………6分解法二：如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设PB ＝t ，那么P 〔0,0，t 〕，D 〔－1,2，0〕， C 〔1,2，0〕，A 〔－1,0，0〕，所以E 〔－12，1，2t 〕，1(,1,)22t AE =，…………２分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =a ，那么0,0,BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a a 所以20,0,x y tz +=⎧⎨=⎩即2,0.x y z =-⎧⎨=⎩ 取1y =-，得到平面PBC 的法向量为(2,1,0)=-a 、所以AE ⋅a ＝0，而AE ⊄平面PBC ，那么AE ∥平面PBC .……………………6分 〔Ⅱ〕同〔Ⅰ〕法二建立空间直角坐标系，设PB t =〔t ＞0〕，那么P 〔0,0，t 〕， D 〔－1,2，0〕，C 〔1，2，0〕， 所以PD ＝〔－1,2，－t 〕，BC ＝〔1,2，0〕， 那么|PD |，|BC |9分由异面直线BC 与PD 成60°角，所以PD ·BC ＝||||cos60PD BC ⋅⋅︒12， 又PD ·BC ＝－1×1＋2×2＋(－t )×0＝3，12＝3，解得tPB所以侧视图的面积为S ＝12×2……………………13分18、解：〔Ⅰ〕∵椭圆方程为：2215144x y +=，∴2251,44a b ==，………………2分 所以21c =，即椭圆的右焦点为〔1,0〕， 因为抛物线的焦点为〔2p ，0〕，所以p ＝2，……………………3分那么抛物线的方程为24y x =.…………………………4分〔Ⅱ〕解法一：设直线l ：1(0)y kx k =+≠，那么C 〔－1k，0〕，由21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩得222(2)10k x k x +-+=，………………………………………6分因为△＝224(2)40k k -->，所以k ＜1，………………………………7分设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么1222(2)k x x k -+=-，1221x x k=，………………8分所以由弦长公式得：1|||MA x，2|||MB x，1||||MC k =，12||||AB x x -=，………………10分通过观察得：||||MA MB ⋅＝(21k +)·12||x x ＝(21k +)·21k ＝2||MC .………………11分假设||||MA MB ⋅＝2||AB，那么8k =-±，不满足题目要求.………………12分 所以存在三线段MA 、MC 、MB 的长成等比数列.………………………………13分 解法二：同法一得1221x x k=，…………………………………………8分 而MA MB ⋅＝1122(,1)(,1)x y x y -⋅-＝1122(,)(,)x kx x kx ⋅ ＝212(1)k x x +＝221(1)k k +⋅＝211k +，因为C 〔－1k ，0〕，所以2||MC ＝1＋21k .…………………………10分因为M 、A 、B 三点共线，且向量MA 、MB 同向，所以MA MB ⋅＝||||cos0MA MB ⋅⋅︒＝||||MA MB ⋅，……………………11分 因此||||MA MB ⋅＝211k+＝2||MC . 所以存在三线段MA 、MC 、MB 的长成等比数列.………………………………13分解法三：设直线l ：1(0)y kx k =+≠，那么C 〔－1k，0〕，由21,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩得2440ky y -+=，…………………………………6分由△＝16－16k ＞0，得到k ＜1， 所以124y y k +=，124y y k ⋅=，212121()16x x y y =，……………………………8分 所以MA MB ⋅＝1122(,1)(,1)x y x y -⋅-＝1212(1)(1)x x y y +-- ＝2121()16y y ＋12y y －〔12y y +〕＋1 ＝211644116k k k ⋅+-+＝211k+，………………10分 下同解法二.19、解：〔I 〕依题意，(3)0f '=，解得6m =-，……………………1分由可设32()69f x x x x p =-++，因为(0)0f =，所以0p =，那么32()69f x x x x =-+，导函数2()3129f x x x '=-+、…………………………3分由上表可知()f x 在1x =处取得极大值为(1)4f =，()f x 在3x =处取得极小值为(3)0f =、…………………………………5分 〔Ⅱ〕①当01t <≤时，由〔I 〕知()f x 在[0,]t 上递增，所以()f x 的最大值32()()69F t f t t t t ==-+，……………………6分由()F t t λ≥对任意的t 恒成立，得3269t t t t λ-+≥，那么2269(3)t t t λ≤-+=-，因为01t <≤，所以332t -<-≤-，那么24(3)9t ≤-<，因此λ的取值范围是4λ≤、………………………………8分②当14t <≤时，因为(1)(4)4f f ==，所以()f x 的最大值()(1)4F t f ==， 由()F t t λ≥对任意的t 恒成立，得4t λ≥，∴4tλ≤， 因为14t <≤，所以414t≤<，因此λ的取值范围是1λ≤， 综上①②可知，λ的取值范围是1λ≤、……………………10分〔Ⅲ〕当(0,1]x ∈时，直线OM 斜率322()69(3)f x x x x k x x x-+===-， 因为01x <≤，所以332x -<-≤-，那么24(3)9x ≤-<，即直线OM 斜率的最小值为4、…………………………………11分 首先，由()4f x x ≥，得()4f x x ≥.其次，当(0,1]x ∈时，有44sin x x >，所以()4sin f x x >，………………12分 证明如下：记()44sin g x x x =-，那么()44cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在(0,1)递增，又(0)0g =，那么()0g x >在(0,1)恒成立，即44sin x x >，所以()4sin f x x >.……………13分19、解：如下图，设BC x =，CD y =，依题意∠ADC ＝α，∠BDC ＝β.…………2分在△BCD 中，∠BCD ＝πθ-， CBD BDC BCD πθβ∠=-∠-∠=-， 由正弦定理得sin sin()x y βθβ=-，①…………4分 在△ACD 中，CAD ACD CDA πθα∠=-∠-∠=-，AB ＝m ，AC m x =+， 由正弦定理得sin sin()m x y αθα+=-，②…………6分 由①②得sin()()sin()sin sin x m x θβθαβα-+-=，……………………8分 所以sin()sin sin sin()sin sin()m x θαβαθββθα-=---，………………………………11分 sin()sin()sin()sin sin sin()sin sin()m y x θβθαθββαθββθα---==---.……………………13分 答：遮阳篷的伸出长度CD 为sin()sin sin sin()sin sin()m θαβαθββθα----，遮阳篷与窗户上边框的距离BC 为sin()sin()sin sin()sin sin()m θαθβαθββθα-----.……………………14分 21、(1〕〔本小题总分值7分〕选修4-2：矩阵与变换解：〔I 〕设矩阵M 的逆矩阵11122x y Mx y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么110.01MM -⎛⎫= ⎪⎝⎭又1231M ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以112212103101x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以121221,30x x x x +=+=， 121220,31y y y y +=+=，即11221231,,,,5555x y x y =-===-故所求的逆矩阵112553155M -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.………………………………4分 〔II 〕设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点 '(',')P x y ，那么11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭''x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即',',x ay x bx y y +=⎧⎨+=⎩，……………………5分又点'(',')P x y 在曲线'C 上，所以2221x y ''-=，那么22()2()1x ay bx y +-+=， 即2222(12)(24)(2)1b x a b xy a y -+-+-=为曲线C 的方程， 又曲线C 的方程为22421x xy y ++=，比较系数可得2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得0,2b a ==，∴2a b +=.……………………7分 (2)(本小题总分值7分〕选修4－4：坐标系与参数方程 解：〔I 〕圆C 直角坐标方程为22(1)(1)4x y -++=， 展开得222220x y x y +-+-=，……………………………2分 化为极坐标方程为22cos 2sin 20ρρθρθ-+-=、………………………4分 〔II 〕点Q 的直角坐标为(2,2)-，且点Q 在圆C 内，因为||QC =P ，Q两点距离的最小值为||2PC =7分(3)(本小题总分值7分〕选修4－5：不等式选讲解：(I)2 1 , (1),()3, (-12),2 1 , (2),x x f x x x x -+≤-⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩所以()y f x =的最小值为3、……………4分 (II)由(I)可知，当1x ≤-时，()4f x ≥，即()4f x ≥，此时32x ≤-； 当2x ≥时，()4f x ≥，即214x -≥，此时52x ≥、 因此不等式()4f x ≥的解集为A 为{|32x ≤-或25≥x }、…………………7分。
福建省三明市普通高中2019-2020学年第一学期期末质量检测高三理科数学试题附答案
三明市2019—2020学年第一学期普通高中期末质量检测高三理科数学试题本试卷共5页.满分150分.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则A B =I （ ） A. 33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ D. 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 设i 是虚数单位，则复数21i i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知函数()21,02,0x x x f x x ⎧+≤=⎨+>⎩，则21log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. 1 B. 32 C. 2 D. 524. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. 43B. 83C. 4D. 85. 函数3sin 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程是（ ） A. 12x π= B. 6x π= C. 3x π= D. 2x π=6. 已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，35a b +=r r ，则a r ，b r 的夹角为（ ） A. 4π B.3π C. 23π D. 34π 7. 若在如图所示的程序框图中输入3n =，则输出的i 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 68. 下列函数中，同时满足条件“①奇函数；②值域为R ；③图象经过第四象限”的是（ ）A. 1y x x=+ B. x xy e e -=+ C. 1y x x =- D. x x y e e -=- 9. 已知数列{}n a 满足12n n a a ++=，且205a =，则19a a +的值为（ ）A. -6B. -3C. 3D. 10 10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B ，点M 在线段AB 上，点C 在OM的延长线上，且2MC OM =.则ABC ∆面积的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 1011. 已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且其图象关于点()2,0-对称，则关于x 的不等式。
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z＝4x﹣y 的最大值是 4× 2 − − 1 = 9 故选：D．
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【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出目标函数
的最优解，利用数形结合是解决本题的关键． 5.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”， 如图所示的“勾股圆方图”中， 四个相同的 直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为 1，大正方形面积为 25，直角三 角形中较大的锐角为θ，则 tan(θ − 4 ) =
1)y + 2m − 5 = 0 的垂线，垂足为 B，则|MA| + |MB|的最小值为__________．
π 8 a6 +a7
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知Sn 为数列{an }的前 n 项和，且an > 0，2Sn = a2 n + an . （1）求{an }的通项公式； （2） 若bn = an ⋅ 2n ，求{bn }的前 n 项和Tn .
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三明市 2019 届高三第一学期期末检测理科数学试题及解析 【解析卷】
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二、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分 1.已知集合 A = {x|2x < 4}，B = {x ∈ R|x2 + 2x − 8 < 0}，则集合 A ∩ B = A. ( − 4,2) 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 A，B，然后求交集即可. 【详解】集合 A = x2x < 4 = − ∞,2，B = x ∈ Rx2 + 2x − 8 < 0 = ( − 4,2) 所以集合 A ∩ B = ( − 4,2) 故选：A 【点睛】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次不等式的解法，以及运算能力，属 于基础题． 2.若复数 z 满足(1 + 2i)z = 4 + 3i，其中 i 为虚数单位，则|z| = A.
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三明市2019届高三第一学期期末检测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分1.已知集合，，则集合A. B. C. D.2.若复数满足，其中为虚数单位，则A. B. C. D. 53.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 44.若实数，满足约束条件则的最大值为A. B. 4 C. 7 D. 95.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为，则A. 2B.C.D.6.已知命题，；命题，.则以下是真命题的为A. B. C. D.7.已知是实数，则函数的图象不可能是（）8.棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后得到一个几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 6B. 5C. 4D. 39.的展开式中的系数是A. -5B. 10C. -15D. 2510.已知等边三角形的边长为3，若上一点满足，则当取最小值时，A. B. C. D. 711.直角坐标平面内的点既在以，，为顶点的三角形的边上，又在曲线上，则满足条件的点的个数为A. 3B. 4C. 5D. 612.若不等式对任意恒成立，则实数的值为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知是各项均为正数的等比数列，若，则等于__________．14.将一个等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到体积为的几何体，则该几何体外接球的表面积为__________．15.若为奇函数，则实数__________．16.在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知为数列的前项和，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求证：；（2）若的面积为，求角的大小.19.如图，在三棱锥中，平面平面，为棱上的一点，且，为棱的中点，为棱上的一点，若平面，是边长为4的正三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.已知椭圆在左、右焦点分别为，，动点在椭圆上，的周长为6，且面积的最大值为.（1）求的方程；（2）设直线与的另一个交点为，过，分别作直线的垂线，垂足为，，与轴的交点为.若，，的面积成等差数列，求直线斜率的取值范围.21.已知函数.（1）求证：；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）试判断点是否在直线上，并说明理由；（2）设直线与曲线交于点，，求的值.23.设函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若存在实数，使得对任意，都有，求的取值范围.【解析卷】三明市2019届高三第一学期期末检测理科数学试题二、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分1.已知集合，，则集合A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，B，然后求交集即可.【详解】集合，所以集合故选：A【点睛】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次不等式的解法，以及运算能力，属于基础题．2.若复数满足，其中为虚数单位，则A. B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法法则化简可得，进而得到，然后求模即可.【详解】解：复数z满足，，故，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数的模的求法，复数的运算法则的应用，考查计算能力．3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】由双曲线的一条渐近线与直线垂直可得，从而得到双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为：又双曲线的一条渐近线与直线垂直，即直线与直线垂直，∴，即2a，∴e故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．4.若实数，满足约束条件则的最大值为A. B. 4 C. 7 D. 9【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图由z＝4x﹣y得y＝4x﹣z，平移直线y＝4x﹣z，由图象知，当直线y＝4x﹣z经过B时，直线的截距最小，此时z最大，由，解得x，y，z＝4x﹣y的最大值是4故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合求出目标函数的最优解，利用数形结合是解决本题的关键．5.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为，则A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设BC＝x，AC＝y，由题意列关于x，y的方程组，求解得到x，y的值，进一步得到tanθ，展开两角差的正切得答案．【详解】解：如图，设BC＝x，AC＝y，则，解得．∴tanθ．∴．故选：．【点睛】本题考查三角恒等变换及化简求值，考查两角差的正切，考查平面几何知识，是基础题．6.已知命题，；命题，.则以下是真命题的为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【详解】判断命题p的正误：，显然是假命题；判断命题q的正误：即，显然是真命题；∴是真命题故选：B【点睛】本题考查了复合命题的判断，考查对数的运算性质、二次函数的性质，是一道基础题．7.已知是实数，则函数的图象不可能是（）【答案】D【解析】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：T= π /| | ，∵|a|＞1，∴T＜ π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 π．对于选项A，a＜1，T＞ π，满足函数与图象的对应关系，故选D．8.棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后得到一个几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体，其体积显然是正方体体积的一半.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是多面体ABCDEFG,其体积显然是正方体体积的一半，∴该几何体的体积为故选：C【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.的展开式中的系数是A. -5B. 10C. -15D. 25【答案】A【解析】【分析】，分两类情况利用通项公式计算即可.【详解】，的通项公式为，其中r=0,1,2,3的通项公式为，其中r=0,1,2,3,4,5∴展开式中的系数是,故选：A【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.10.已知等边三角形的边长为3，若上一点满足，则当取最小值时，A. B. C. D. 7【答案】B【解析】【分析】由条件可知x＞0，y＞0，并可得出x+2y＝1，利用均值不等式可知y＝x=时有最小值，结合即可得到结果.【详解】解：由题意可知，x＞0，y＞0；∵M，A，B三点共线，且；∴x+＝1；∴≥5+2=9，当，即y＝x=时取“＝”，即取最小值；，即故选：B．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，三点A，B，C共线的充要条件：，且x+y＝1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号成立的条件，向量数量积的运算及计算公式．11.直角坐标平面内的点既在以，，为顶点的三角形的边上，又在曲线上，则满足条件的点的个数为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由可得 π，或 π，，作出直线系与三角形各边的交点个数即可. 【详解】由可得 π，或 π，即，或，，∴点在直线系，或，上，又在三角形的边上，如图所示：对直线系，来说，当k=0时，与三角形的边有两个交点，当k=1时，与三角形的边有两个交点，对直线系，来说，当k=0时，与三角形的边有一个交点B，当k=1时，与三角形的边有一个交点A，综上，满足条件的点的个数为6，故选：D【点睛】本题考查直线方程的应用，考查三角函数的等价转化，考查数形结合思想，属于中档题.12.若不等式对任意恒成立，则实数的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】记，，当时，，可猜得是与图像在P点处的公切线.【详解】记，当时，故P，是与图像的公共点，可猜测是与图像在P点处的公切线，由，可得,∴在P点处的公切线为：，即，同理可得在P点处的公切线为下面证明：构造，,可知：在上单调递减，在上单调递增，∴，即对任意恒成立，同理可证：对任意恒成立∴即∴故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的切线问题，考查构造函数，考查函数的单调性，极值与最值，综合性较强.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知是各项均为正数的等比数列，若，则等于__________．【答案】【解析】【分析】根据列方程解出公比q，代入式子化简计算即可．【详解】解：设{a n}的公比为q，∵，∴q2＝q，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝（舍）．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．14.将一个等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到体积为的几何体，则该几何体外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】将等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，易知圆锥底面半径即为外接球的半径，从而得到结果.【详解】设等要直角三角形的直角边长为a，将等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，则，可得，该几何体外接球的半径R=a=2∴该几何体外接球的表面积为π故答案为：【点睛】本题考查圆锥的形成过程，体积的计算，以及其与外接球的关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.15.若为奇函数，则实数__________．【答案】【解析】【分析】利用奇偶性定义即可得到a的值.【详解】,由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），即g（﹣x）﹣g（x）＝0，则﹣＝0，﹣＝2ax，即﹣x＝2ax则（2a+1）x＝0，即2a+1＝0，解得a．故答案为：【点睛】本题考查奇偶性的定义与性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题.16.在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由抛物线定义可知M的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知B点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值.【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点M到定点A的距离等于动点M到直线的距离，故动点M的轨迹为，由可得，解得D，，即直线过定点D，，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以AD为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心E，,半径r=过M做M垂直准线，垂足为则故答案为：【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，涉及抛物线的轨迹，圆的轨迹，直线过定点，线段和的最值，考查数形结合的思想，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知为数列的前项和，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用，两式作差化简可得数列是公差为1的等差数列，从而可得的通项公式；（2）由（1）知，利用错位相减法即可求出的前项和.【详解】（1）因为，所以当时，，则.即，所以.因为，所以，即，所以数列是公差为1的等差数列.由得，因为，解得.所以.（2）由（1）知，所以，①②③-④得，，，∴.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求证：；（2）若的面积为，求角的大小.【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）根据余弦定理，与可得，再利用正弦定理可得结合内角和定理与两角和与差正弦公式可得结果；（2）利用面积公式有，可得，又，从而有，进而可得结果.【详解】（1）在中，根据余弦定理，，又因为，所以，又因为，所以，根据正弦定理，.因为，即，则，所以，即.因为，，则，所以，或（应舍去）.所以.（2）因为的面积为，所以，因为，，所以，则，因为，所以，所以.因为，所以，即，所以或.当，即时，；当时，由，解得，则.综上，或.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.如图，在三棱锥中，平面平面，为棱上的一点，且，为棱的中点，为棱上的一点，若平面，是边长为4的正三角形，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)要证平面平面，转证平面，结合条件面面垂直可证；(2)先证明平面，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点，连结，因为，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，又因为，所以，所以为的中点，又因为为的中点，所以，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，由得，取，则，，所以.又，，，设直线平面所成角为.则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知椭圆在左、右焦点分别为，，动点在椭圆上，的周长为6，且面积的最大值为.（1）求的方程；（2）设直线与的另一个交点为，过，分别作直线的垂线，垂足为，，与轴的交点为.若，，的面积成等差数列，求直线斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意列关于a，b的方程组，即可得到的方程；(2)设直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理表示条件，以，进而得到直线斜率的取值范围.【详解】（1）因为是上的点，且，为的左、右焦点，所以，又因为，的周长为6，所以，当为短轴端点时，的面积最大，所以，又因为，解得，，，所以的方程为.（2）依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为，由消去得：，设，，则有且，.设，，的面积分别为，，，因为，，成等差数列，所以，即，则，即，得，又，，于是，所以，由得，解得，设直线的斜率为，则，所以，解得或，所以直线斜率的取值范围是.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数.（1）求证：；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)令，求出函数的最大值即可；(2)不等式恒成立，即恒成立，令，研究函数的单调性与极值即可.【详解】（1）令，即，所以，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.（2）因为不等式恒成立，即恒成立，令，则，令，则.则在上单调递减，在上单调递增，故只需，即，令，单调性与（1）中一致，即在上单调递增，在上单调递减，又，所以，即.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）试判断点是否在直线上，并说明理由；（2）设直线与曲线交于点，，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)把直线的极坐标方程为化为直角坐标方程，代入检验即可；(2)把曲线的参数方程化为普通方程，再把直线l的参数方程代入普通方程可得，借助韦达定理可得结果.【详解】（1）由得，即直线的直角坐标方程为，经检验满足方程，所以点在直线上.（2）曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为.由（1）可得直线的参数方程为（为参数），将参数方程代入曲线得，设，对应的参数为，，则，，所以，所以的值为.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l 上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ＝－；(4) ＝．23.设函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若存在实数，使得对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)通过x的取值，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可；(2)因为存在实数，使得任意，均有，所以，利用二次函数的最值，转化为恒成立问题，借助绝对值三角不等式即可得到结果.三明市2019届高三第一学期期末检测理科数学试题及解析【详解】（1）当时，①当时，成立；②当时，由可得，∴，③当时，不成立，所以不等式的解集为.（2）因为存在实数，使得任意，均有，所以，又，所以，即恒成立，因为，所以，解得，所以的取值范围是.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.31。
2019年福建省三明市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)
2019年福建省三明市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x﹣1|≤2，x∈Z}，B={x|y=log2（x+1），x∈R}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{0，1，2，3}C．{1，2，3} D．{﹣1，1，2，3}2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表中的数据可以求得线性回归方程=x+中的为6.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）A．66.2万元 B．66.4万元 C．66.8万元 D．67.6万元3．阅读如图的程序框图，输出结果S的值为（）A．﹣1008 B．1 C．﹣1 D．04．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（）A．﹣1或1 B．或 C．D．5．已知cos（π+α）=，α∈（，π），则tan（﹣α）=（）A．﹣B．﹣7 C．D．76．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236 C．210﹣1 D．2457．已知直线l：x﹣y=1与圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．8 D．69．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1 C． +1 D．10．设点（x，y）在不等式组所表示的平面区域上，若对于b∈[0，1]时，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（4，+∞）D．（2，+∞）B1C1D1中，AB=，AA1=2，设四棱柱的11．在正四棱柱ABCD﹣A外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为（）A．B．2πC．D．4π12．已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（）A．3﹣ln2 B．3ln2 C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=sinx﹣2x﹣a，若f（x）在[0，π]上的最大值为﹣1，则实数a的值是．14．在（x2﹣x﹣2）3的展开式中x5的系数是．15．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是．16．在数列{a n}中，已知a1＞1，a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），且+…+=2．则当a2016﹣4a1取得最小值时，a1的值为=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．18．微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如表数据：（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售．①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率； ②以X 表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X 的分布列及数学期望E（X ）．下面临界值表供参考：参考公式：K2=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2，∠PDC=120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．（Ⅰ）若AF=，求证：CD⊥EF；（Ⅱ）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cosθ=．20．已知点P是直线l：y=x+2与椭圆+y2=1（a＞1）的一个公共点，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）已知A，B为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx﹣bx+a（a，b∈R），g（x）=x2+1．（Ⅰ）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设b=1，直线l1是曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线，直线l2是曲线y=g（x）在点Q（x2，g（x2））（x2≥0）处的切线．若对任意的点Q，总存在点P，使得l1在l2的下方，求实数a的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x﹣1|≤2，x∈Z}，B={x|y=log2（x+1），x∈R}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{0，1，2，3}C．{1，2，3} D．{﹣1，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中绝对值不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式|x﹣1|≤2，x∈Z，得到﹣2≤x﹣1≤2，x∈Z，解得：﹣1≤x≤3，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2，3}，由B中y=log2（x+1），得到x+1＞0，即x＞﹣1，∴B=（﹣1，+∞），则A∩B={0，1，2，3}，故选：B．2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表中的数据可以求得线性回归方程=x+中的为6.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）A．66.2万元 B．66.4万元 C．66.8万元 D．67.6万元【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，求出、，利用回归方程过样本中心点（，）求出a的值，再利用回归方程预测广告费用为10万元时的销售额．【解答】解：根据表中数据，得=×（1+2+4+5）=3，=×（6+14+28+32）=20；且回归方程y=bx+a过样本中心点（，），所以6.6×3+a=20，解得a=0.2，所以回归方程y=6.6x+0.2；当x=10时，y=6.6×10+0.2=66.2，即广告费用为10万元时销售额为66.2万元．故选：A．3．阅读如图的程序框图，输出结果S的值为（）A．﹣1008 B．1 C．﹣1 D．0【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环s，i的值，根据退出循环的条件不难确定输出的s值．【解答】解：i=1＜2016，S=0+cos=0，i=1+1=2＜2016，S=0+cosπ=﹣1，i=2+1=3＜2016，S=﹣1+cos=﹣1，i=3+1=4＜2016，S=﹣1+cos2π=0，i=4+1=5＜2016，S=0+cos=cos=0，…，显然周期是4，2016÷4=504，∴i=2016，S=0，i=2017＞2016，结束循环，输出S=0，故选：D．4．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（）A．﹣1或1 B．或 C．D．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用复数的运算法则、几何意义可得a+1＜0．命题q：利用模的计算公式可得：=2，解得a．若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，即可得出．【解答】解：命题p：在复平面内，复数z1=a+=a+=a+1+i 对应的点位于第二象限，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．=a﹣i的模等于2，∴=2，解得a=±．命题q：复数z若p∧q是真命题，∴，解得a=﹣．故选：D．5．已知cos（π+α）=，α∈（，π），则tan（﹣α）=（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（﹣α）=的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=，α∈（，π），∴cosα=﹣，∴sinα==，∴tanα==﹣，则tan（﹣α）==﹣7，故选：B．6．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236 C．210﹣1 D．245【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等比数列的通项公式及等差数列的性质，求出公比q，从而得到a n=2n﹣1，由此能求出数列{a n}的前10项之积为T10．【解答】解：在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，∴4a4=4a3+a5，∴4q3=4q2+q4，解得q=2，∴a n=2n﹣1，∵数列{a n}的前n项之积为T n，∴T10=20×2×22×24×25×26×27×28×29=20+1+2+3+4+5+6+7+8+9=245．故选：D．7．已知直线l：x﹣y=1与圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：把圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|===．故选：A．8．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．8 D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】直观图如图所示，底面为梯形，面积为=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．【解答】解：直观图如图所示，底面为梯形，面积为=3，四棱锥的高为2，∴几何体的体积为=2，故选：B．9．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．﹣1 C． +1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用直线F2A与抛物线相切，求出A的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：设直线F2A的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴A（2，1），﹣AF1=2（﹣1），∴双曲线的实轴长为AF∴双曲线的离心率为=+1．故选：C．10．设点（x，y）在不等式组所表示的平面区域上，若对于b∈[0，1]时，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（4，+∞）D．（2，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：b=0时，ax＞0，∴a＞0；b≠0时，y＜x﹣1．a＜0时，不成立；a＞0时，B（1，3）在y=x﹣1的下方即可，即3＜﹣1，解得a＞4b，∵0＜b≤1，∴a＞4．综上所述，a＞4．故选：C．11．在正四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中，AB=，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O 的表面于点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为（）A．B．2πC．D．4π【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意，点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧，求出，∠AOB=，利用弧长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧．B1C1D1中，AB=，AA1=2，∵正四棱柱ABCD﹣A∴四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为=2，∴四棱柱的外接球的半径为，∴∠AOB=，∴AB所在大圆，所对的弧长为=，∴点M经过的路径长为．故选：A．12．已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（）A．3﹣ln2 B．3ln2 C．2D．3【考点】函数零点的判定定理．【分析】换底公式得到，然后令f（x）=0，从而得出，，然后画出直线y=x﹣3，y=x，y=x+3以及函数和的图象，由图象可看出|x1﹣x2|为A，B 两点距离的一半，从而求出|x1﹣x2|的值．【解答】解：；∴令f（x）=0得：；∴直线y=x﹣3和曲线的交点C横坐标为x1，直线y=x+3和曲线的交点D横坐标为x2；如图，两曲线关于y=x对称，直线y=x﹣3和y=x+3关于y=x对称；∴CD⊥AD，CD⊥CB；∴．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=sinx﹣2x﹣a，若f（x）在[0，π]上的最大值为﹣1，则实数a的值是1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a的值即可．【解答】解：f（x）=sinx﹣2x﹣a，f′（x）=cosx﹣2＜0，f（x）在[0，π]递减，故f（x）的最大值是f（0）=﹣a=﹣1，故a=1，故答案为：1．14．在（x2﹣x﹣2）3的展开式中x5的系数是﹣3．【考点】二项式系数的性质．【分析】先化简所给的式子为：（x2﹣x﹣2）3=（x﹣2）3（x+1）3，再分别利用二项式定理，即可求出展开式中x5的系数．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3=（x﹣2）3（x+1）3，（x﹣2）3的通项为C3r x r（﹣2）3﹣r，（x+1）3的通项为C3k x k，则展开式中x5的系数是第一个取3，第二个取2，故有C33•C32=3，第一个取2，第二个取3，故有C32（﹣2）•C33=﹣6，故（x2﹣x﹣2）3的展开式中x5的系数是3﹣6=﹣3，故答案为：﹣3．15．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．16．在数列{a n}中，已知a1＞1，a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），且+…+=2．则当a2016﹣4a1取得最小值时，a1的值为=．【考点】数列递推式．【分析】a1＞1，a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），变形为a n+1﹣1=a n（a n﹣1），两边取倒数可得：=﹣，即=﹣，利用“裂项求和”方法、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a1＞1，a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），∴a n+1﹣1=a n（a n﹣1），两边取倒数可得：=﹣，即=﹣，∴2=+…+=++…+=﹣，化为：a2016=，∴a2016﹣4a1=﹣4a1=+（6﹣4a1）﹣≥2﹣=﹣．当且仅当a1=＞1时取等号．∴a1的值为：．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【考点】解三角形．【分析】（1）△ABD 中，由正弦定理可得AD 的长； （2）利用BD=2DC ，△ACD 的面积为，求出BD ，DC ，利用余弦定理求出AC ，利用正弦定理可得结论． 【解答】解：（1）∵△ABC 中，cosB=，∴sinB=．∵∠ADC=π，∴∠ADB=．△ABD 中，由正弦定理可得，∴AD=；（2）设DC=a ，则BD=2a ， ∵BD=2DC ，△ACD 的面积为， ∴4=，∴a=2 ∴AC==4，由正弦定理可得，∴sin ∠BAD=sin ∠ADB ． =，∴sin ∠CAD=sin ∠ADC ，∵sin ∠ADB=sin ∠ADC ， ∴=．18．微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个品牌各5种型号的手机在相同环境下，对它们抢到的红包个数进行统计，得到如表数据：（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售．①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率；②以X表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：参考公式：K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（Ⅱ）由题意求得X的取值1，2，3，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意列出2×2列联表如下：…，所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关． …（Ⅱ）①令事件C为“型号 I 被选中”；事件D 为“型号 II 被选中”， 则， 所以． …②随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，…； ； ． …故X 的分布列为：∴数学期望E（X），．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2，∠PDC=120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．（Ⅰ）若AF=，求证：CD⊥EF；（Ⅱ）设平面DEF与平面DPA所成二面角的平面角为θ，试确定点F的位置，使得cosθ=．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）过E作EH⊥CD于H，连结FH，推导出四边形AFHD 是矩形，由此能证明CD⊥EF．（Ⅱ）过D作DG⊥DC交PC于点G，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出当时，满足．【解答】证明：（Ⅰ）在△PCD中，PD=CD=2，∵E为PC的中点，∴DE平分∠PDC，∠PDE=60°，∴在Rt△PDE中，DE=PD•cos60°=1，…过E作EH⊥CD于H，则，连结FH，∵，∴四边形AFHD是矩形，…∴CD⊥FH，又CD⊥EH，FH∩EH=H，∴CD⊥平面EFH，又EF⊂平面EFH，∴CD⊥EF．…解：（Ⅱ）∵AD=PD=2，，∴AD⊥PD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，又AD⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD．…过D作DG⊥DC交PC于点G，则由平面PCD⊥平面ABCD知，DG ⊥平面ABCD，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，…则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，又知E为PC的中点，E，设F（2，t，0），则，，，．…设平面DEF的法向量为=（x1，y1，z1），则，∴，取z1=﹣2，得平面DEF的一个法向量，…设平面ADP的法向量为=（x2，y2，z2），则，∴，取z2=1，得．…∴，解得，∴当时，满足．…20．已知点P是直线l：y=x+2与椭圆+y2=1（a＞1）的一个公共点，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）已知A，B为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）联立，得（a2+1）x2+4a2x+3a2=0，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已知条件能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），Q（x0，y0），且M（0，m），N（0，n），由已知求出m=，n=，由此能求出mn为定值1．【解答】解：（Ⅰ）联立，得（a2+1）x2+4a2x+3a2=0，∵直线y=x+2与椭圆有公共点，∴△=16a4﹣4（a2+1）×3a2≥0，解得a2≥3，∴a，又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|+|PF2|取得最小值，故当a=时，|PF此时椭圆C的方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），Q（x0，y0），且M（0，m），N（0，n），∵k QA=k QM，∴=，即，∴m==，同理，得n=，∴mn=•=，又+=1，，∴，，∴mn===1，∴mn为定值1．21．已知函数f（x）=xlnx﹣bx+a（a，b∈R），g（x）=x2+1．（Ⅰ）讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）设b=1，直线l1是曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线，直线l2是曲线y=g（x）在点Q（x2，g（x2））（x2≥0）处的切线．若对任意的点Q，总存在点P，使得l1在l2的下方，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，由x＞1，可得lnx＞0，对b讨论，分①当1﹣b≥0，②当1﹣b＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）求得f（x）的导数，可得切线l1的方程；求出g（x）的导数可得切线l2的方程，要使直线l1在直线l2的下方，当且仅当lnx1=x2，且a﹣x1＜1﹣x22恒成立，即（x2≥0）恒成立．设，求出导数，判断单调性，可得最小值，即可得到a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣bx+a，所以f'（x）=lnx+1﹣b，因为x∈（1，+∞），所以lnx＞0，①当1﹣b≥0，即b≤1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．②当1﹣b＜0，即b＞1时，令f'（x）=lnx+1﹣b=0，得x=e b﹣1，当x∈（1，e b﹣1）时，0＜lnx＜b﹣1，所以f'（x）＜0；当x∈（e b﹣1，+∞）时，lnx＞b﹣1，所以f'（x）＞0，所以f（x）在（1，e b﹣1）上单调递减，在（e b﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由f（x）=xlnx﹣x+a，得f'（x）=lnx，所以曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线l1的方程为y﹣y1=lnx1（x﹣x1），即y=xlnx1﹣x1+a．由，得g'（x）=x，所以曲线y=g（x）点B（x2，g（x2））（x2≥0）处的切线l2的方程为y﹣y2=x2（x﹣x2），即y=x2x﹣x22+1．要使直线l1在直线l2的下方，当且仅当恒成立，即（x2≥0）恒成立．设，则φ'（x）=e x﹣x，令t（x）=e x﹣x，则t'（x）=e x﹣1，当x∈[0，+∞）时，t'（x）≥t'（0）=0，所以t（x）=e x﹣x在[0，+∞）上是增函数，则t（x）≥t（0）=1＞0，即当x∈[0，+∞）时，φ'（x）＞0，也就是在[0，+∞）上是增函数，所以在x=0处取得最小值为2，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，2）．请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k 的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．（2）设射线l的倾斜角为α，则射线l的参数方程为（t为参数，）．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，解得t1=0，t2=2cosα．∴|OA|=|t2|=2cosα．把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，解得t1=0，t2=．∴|OB|=|t2|=．∴|OA|•|OB|=2cosα•=2tanα=2k．∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a 的范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为或或解得或或…∴或或，∴原不等式的解集为．…（II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴，所以实数a的取值范围是．…。
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福建省三明市市区三校2019届高三联考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +科的方程是 （ ）A ．9π=x B ．6π=x C ．3π=x D ．2π=x3. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ） A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C. 丙地：中位数为2，众数为3 D . 丁地：总体均值为2，总体方差为34. 设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 （ ）A.2211216x y += B . 2211612x y += C. 2214864x y += D. 2216448x y += 5. 在等比数列{}n a 中，已知1673=a a ，则64a a 的值为 （ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 6．函数f （x ） =xx 2ln -的零点所在的大致区间是 （ ） A ．（1, 2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（e ，+∞）7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与椭圆的一个交点P ，且2PF x ⊥轴，则此椭圆的离心率e 为 （ ）AB．2 D．38. 610(1(1+展开式中的常数项为 （ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246 9. 若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+,1232b e e =-+，则a b ⋅= （ ） A.1 B. 4- C . 72- D. 7210. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （ ）∙ A∙ ∙ ∙ ∙∙ BCDE FA.175 B. 275 C. 375 D . 475二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知0,2a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当0(cos sin )a x x dx -⎰取最大值时，a =_____. 12. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为13. 若不等式(2)k x ≤+的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则 k =．14. 如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为15. 已知0>a，设函数120102009()sin ([,])20101x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，那么=+N M .三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数） （Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值.17．（本小题满分13分）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（Ⅰ）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．18．（本小题满分13分） 如图，ABCD 是块矩形硬纸板，其中CCDEABAB =2AD = 22，E 为DC 中点，将它沿AE 折成直二面角D-AE-B . （Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B-AD-E 的余弦值. 19.（本小题满分13分）已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
20.（本小题满分14分）已知函数1)1()1ln()(+---=x k x x f 。
（I ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：①),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成立②∑=+>∈-<+ni n N n n n i i 2)1,(,4)1())1(ln (21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
（Ⅰ）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．（Ⅲ）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x ∣+1福建省三明市市区三校2010届高三联考试卷数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. D2. A3. D4. B5. A6. B7.A8.D9.C 10.D A.1 B. 4- C. 72-D. 72二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.4π14. -1 15. 4019 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 3231=++n n S a ， ① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 311=∴+n n a a )2(≥n .又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n qa a （n 为正整数） ……………………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴n n S )31(123 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-≤nk 31123，. 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n311单调递增， 当1=n 时，数列中的最小项为32，∴ 必有1≤k ，即实数k 的最大值为1 ……………… （13分）17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===．∴ξ的分布列为∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………（7分） （Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25…………………………（13分） 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：由题设可知AD ⊥DE ，取AE 中点O ， 连结OD 、BE ，∵AD=DE=2，∴OD ⊥AE ， 又∵二面角D —AE —B 为直二面角，∴OD ⊥平面ABCE ， ∴OD ⊥BE ，AE=BE=2，AB=22，∴AB 2=AE 2+BE 2，AE ⊥BE ，OD ∩AE=O ，∴BE ⊥平面ADE ，∴BE ⊥AD ，BE ∩DE=E ，∴AD ⊥平面BDE. ……………………………………（6分） （Ⅱ）取AB 中点F ，连结OF ，则OF//EB ，∴OF ⊥平面ADE ， 以O 为原点，OA ，OF ，OD 为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图）， 则A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(-1，2，0)，)1,0,1(-=，)1,2,1(-=，设),,(z y x m =是平面ABD 的一个法向量，则0=⋅，0=⋅,∴⎩⎨⎧=+-=+-02z xz y x 取x=1，则y=1，z= 1，则)1,1,1(=，平面ADE 的法向量)0,1,0(= ∴33311cos =⋅==θ. …………………………………………（13分）19.（本小题满分13分）解：（I ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意1b = 25a = 故椭圆方程为2215x y += …………………………………………（13分）（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠） 代入2215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=， 设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 12121212(4),()y yk x x y y k x x ∴+=+--=-112212122121(,)(,)(2,),(,)MA MB x m y x m y x x m y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--1221211222222()0,(2)()()()020420,(85)05151MA MB AB x x m x x y y y y k k m m k m k k +⋅=∴+--+-+=∴--=∴--=++由280,0855m k m m =>∴<<-， ∴当805m <<时，有()MA MB AB +⊥成立。
………（8分）（Ⅲ）在x 轴上存在定点N ，使得C 、B 、N 三点共线。
依题意11(,)C x y -，直线BC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=-- 令0y =，则121122112121()y x x y x y x x x y y y y -+=+=++ l 的方程为(2),y k x A =-、B 在l 上1221121211221212(1)(1)22()(2),(2)()4()4k x x k x x kx x k x x y k x y k x x k x x k k x x k-+--+∴=-=-∴==+-+- 222222205202255151202451k k k k k k k k k k -⋅-⋅++==-+， ………………………………………………（13分）∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线。