江苏省南京师大附中2020届高三年级期中考试数学试题含附加题

南京师大附中2020届高三年级模拟考试

数 学 2019.11

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题?第20题）两部分?本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.

2．答题前，请务必将自己的姓名，学校、班级、学号写在答题卡的密封线内。试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题歩

参考公式：

锥体的体积V=Sh,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 球体的体积3

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r V π= ,其中r 是球体的半径. 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置．

1．设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤,则A B = ． .

2．若复数()()12bi i +-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则实数b 的值

是 ．.

3．在右图所示的算法中，若输出y 的值为6,则输入x 的值为 ．

4．函数()2lg 2y x x =+的定义域是 ．

5．某中学高一、高二、髙三年级的学生人数分别为620人、680人、700人，

为了 解不同年级学生的眼睛近视惰况，现用分层抽样的方法抽取了容量为

100的样 本，则高三年级应抽取的学生人数为 .

6．已知集合{}0,1,2,4A =，若从集合A 中随机抽取2个数，其和是偶数的概率为 ．

7．已知正四棱锥的底面边长为，体积为8,则正四棱锥的侧面积为 ． 8．设数列{}n a ()*n N ∈是等比数列，前n 项和为n S .已知324239,27a a a -==，则3S 的值为 ．

9．已知12,F F 是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过点A 且

斜率为6

的亶线上，12PF F ?为等腰三角形，12120F F P ∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，点()4,2M ,点N 在线段OA 的延长线上.设直线与

直线OA 及x 轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为 ．

11．已知函数()2ln f x x x =+，若直线1:1l y kx =-与曲线()y f x =相切．则

实数k 的值为 ．

12．如图，在直角梯形ABCD 中，,90,2AB DC ADC AB ∠==，1AD =，

E 为BC 的中点，若1AE BC ?=-，则AB AC ?= ．

13．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，

已知222

2sin sin sin 3sin A B A B C +=，则sin C 的最大值为 ． 14．已知函数()41,16,11

x x f x x x ?-

二．解答题：本大题共6小题，共计90分.请在等題卡指底库壤内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

已知函数2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=+> 的最小正周期为π.

(1) 当,2x ππ??∈????

时，求函数()f x 的值域； (2) 设ABC ?的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ??=

???，且3A =，4b c +=,求ABC ?的面积．

16．(本小题满分14分)’

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=,AC BC =,点D E 、分别为1

AB AC 、的中点. (1) 求证:平面

平面; (2) 求证：

平面?

在平面直角坐拯系xOy 中，()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点1,2? ??

在此椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设宜线l 与圆22:1O x y +=相切于第一象限内的点P ，且l 与椭圆C 交于,A B .两点.若OAB ?的面积为

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，求直线l 的方程．

18．（本小题满分16分）

某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成?假定原 木为圆柱体（如图1）,底面半径为r ，高为h ?制作要求如下：首先需将原木切割为两 部分（分别称为第I 圆柱和第II 圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I 圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II 圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II 圆柱上下底面圆的内接正方形．

（1）当2,8r h ==时，若第I 圆柱和第II 圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；

（2）对于给定的r 和()2h h r >，求手工作品体积的最大值．

设m 为实数，已知函数()x x m f x e +=

的导函数为'()f x ，且'(0)0f =． （1）求m 的值；

（2）设a 为实数，若对于任意x R ∈，不等式2

()x a f x +≥恒成立，且存在唯一的实

数0x 使得200()x a f x +=成立，求a 的值； （3）是否存在负数k ，使得3y kx e

=+是曲线()y f x =的切线.若存在，求出k 的所有值：若不存在,请说明理由．

20．(本小题满分.16分)

设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零曲等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=。

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使

221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使

121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列．

(i )求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++；

(ii )是否存在正整数,m n ，使12m n m

a T a +=

成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．

数学附加题

注意事项

1．附加题供选修物理的考生使用.

2. 本试卷共40分，考试时间30分钟.

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题 的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.

21．每小题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A ．选修一2：:矩阵与变换

已知,a b R ∈，矩阵13a A b -???

???所对应变换A T 将直线10x y --=变换为自身，求,a b 的值．

B ．选修4-4：坐标系与參数方程

在极坐标系中，己知直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ??-=

???圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,求直线l 被圆C 截得的弦长.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷低指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的疋方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，过点P 作AD 的垂线，垂足为O ，且满足1AO =，点E 在棱PB 上，2PE EB =

（1）当2PO =时，求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值；

（2）当PO 取何值时，二面角B PC D --的正弦值为

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