44相似多边形
《相似多边形》图形的相似
在装饰艺术中，相似多边形可以用于设计各种装饰元素， 如花边、边框、图案等。通过使用相似多边形，可以创造 出具有独特魅力和美感的装饰效果。05相似ຫໍສະໝຸດ 边形的拓展研究相似多边形的推广
01
02
03
定义推广
将相似多边形的定义从有 限推广到无限，研究无限 相似多边形的性质和分类 。
特殊情况
研究相似多边形在特殊情 况下的表现，如等边相似 多边形、等角相似多边形 等。
通过相似多边形的性质，可以绘制出各种复杂的几何图形，如建筑设计图、机械零件图等。
缩放图形尺寸
利用相似多边形性质，可以将一个图形按照比例尺缩放到另一个大小不同的图形上，从而方便比较和计算。
在几何证明中的应用
证明相似三角形
通过相似多边形的性质，可以证明两 个三角形是否相似，从而进一步证明 其他几何定理。
应用推广
将相似多边形的概念应用 于其他领域，如几何学、 拓扑学、物理学等。
相似多边形的变体研究
变形推广
研究相似多边形在变形情 况下的表现，如相似多边 形在运动、变形或变化条 件下的性质和分类。
特殊变形
研究相似多边形在特殊变 形情况下的表现，如相似 多边形在旋转、平移或对 称条件下的性质和分类。
应用变体
根据用途分类
相似几何图形、相似建筑图形等。
02
相似多边形的判定方法
判定定理及其证明
判定定理
如果两个多边形的对应角相等，并且 对应边的长度成比例，则这两个多边 形是相似的。
证明
根据相似多边形的定义，如果两个多 边形的对应角相等，则它们的内角和 相等，从而它们的边长比也相等。因 此，两个多边形是相似的。
04
相似多边形在现实生活中的应 用
《相似多边形》 讲义
《相似多边形》讲义一、相似多边形的定义在数学的广袤世界里，相似多边形是一个重要的概念。
那什么是相似多边形呢？简单来说，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。
比如说，有两个四边形 ABCD 和 A'B'C'D'，如果∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C ＝∠C'，∠D ＝∠D'，而且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝CD/C'D' ＝ DA/D'A'，那么四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D'就是相似的。
这里要注意的是，对应角相等和对应边成比例这两个条件必须同时满足，缺一不可。
二、相似多边形的性质相似多边形具有许多有趣的性质。
首先，相似多边形的对应边成比例。
这是相似多边形的核心性质之一。
比如，一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个与之相似的三角形对应边的比例是 2:1，那么这个相似三角形的三边就分别是 6、8、10。
其次，相似多边形的对应角相等。
还是以上面的三角形为例，第一个三角形的三个角分别是 30°、60°、90°，那么相似三角形的对应角也分别是 30°、60°、90°。
再者，相似多边形的周长比等于相似比。
相似比就是对应边的比值。
假设两个相似多边形的相似比是 k，那么它们的周长比也是 k。
还有，相似多边形的面积比等于相似比的平方。
例如，两个相似三角形的相似比是 2，那么它们的面积比就是 4。
三、相似多边形的判定那怎么判定两个多边形是否相似呢？方法一：根据定义，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那它们就是相似多边形。
方法二：如果两个多边形的所有对应边分别平行，那么这两个多边形相似。
方法三：如果两个多边形的对应边分别相等，那么这两个多边形相似。
江西地区数学八年级下课件4.4相似多边形
两个图形不相似。
尽管对应边成比例，但对应角不相等。
合作交流
ⅱ、观察下列图形，图中的两个图形相似吗？为 什么？
两个图形不相似。
尽管对应角相等，但对应边不成比例。
合作交流
ⅲ、如果两个多边形不相似，那么它们的对应角 可能都相等吗？ 对应边可能都成比例吗？
如果两个多边形不相似，它们的对应角可能 都相等；如果两个多边形不相似，对应边也可能 成比例。
2、相似比的定义： 相似多边形对应边的比叫做相似比。
北师大版八年级(下)
4.4 相似多边形
情境引入 下列图形有什么特点？
形状相同的图形
新知探究
Ⅰ、观察下列两个多边形：
F
A
E
B
A1
B1 C1
C
D
F1 E1 D1
(1)它们的形状相同吗？ 它们的形状相同。 (2)两个多边形中，是否有相等的内角？ 由相等的内角，如∠A=∠A1 ，∠B=∠B1 … (3)两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ 相等的内角的两边成比例，如
E
D C
H
F
G
巩固练习
1、如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它 们相似吗？为什么？
新知探究
Ⅲ、如果两个多边形相似，那么它们的对应角有 什么关系？对应边呢？
F A E B A1 1
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1， ∠E=∠E1，∠F=∠F1
AB BC CD DE EF FA A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1 F1 F1 A1
巩固练习
4、现有大小相同的正方形纸片30张，小明用其 中三张拼成如图所示的长方形，小芳也想拼一个 与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用 几张正方形纸片(不得把每个正方形纸片剪开)？ 你知道她可能拼出什么样的图形吗？请你试着画 一画。
《相似多边形》课件
工程测量
工程师使用相似多 边形来确定难以到 达的物体或地形的 尺寸。
解题技巧
绘制图形
首先绘制出相似多边形，标明对应边和角边形的未知 量。
确定比例尺
使用对应边的长度比例计算相似多边形的比 例尺。
检验结果
检查计算结果是否与已知信息和比例尺相 符。
总结
1
相似多边形概念
相似多边形是指形状相同、大小不同的多边形。
2
相似多边形特征
相似多边形的对应角度相等，对应边成比例。
3
相似多边形的用途
相似多边形可用于建筑设计、地图制作、影视特效等。
相似多边形
什么是相似多边形？学习相似多边形概念和基本特征，探索相似多边形的性 质和应用。
基本特征
1 定义
2 比例尺
相似多边形是指形状相同、大小不同的多 边形。它们的对应角度相等，对应边成比 例。
相似多边形的边长比例称为比例尺。
3 相似判定
4 尺形相似
两个多边形相似，必须满足一个条件：对 应角度相等。
比例判定
如果两个多边形的对应边成比 例，则它们相似。
旋转判定
如果一个多边形围绕另一个多 边形的一个定点旋转，可以重 合，则它们相似。
应用场景
建筑物
设计师使用相似多 边形来确定建筑物 的比例和尺寸。
地图
地图使用相似多边 形来表示现实世界 中的物体和地形。
影视特效
影视特效使用相似 多边形来制作逼真 的计算机图形。
两个多边形相似，不一定尺寸相同。但如 果它们的尺寸相同，则称为尺形相似。
性质
✔️ 对应角度相等 ✔️ 对应边成比例 ✔️ 相似图形面积比等于边长比的平方 ✔️ 多边形的比例尺相等，则这些多边形相似
相似多边形基本知识
相似多边形基本知识相似多边形是数学中一个重要的概念，它在几何学和实际应用中都具有广泛的应用。
相似多边形具有相同的形状，但是大小可以不同。
在本文中，我们将介绍相似多边形的定义、性质以及如何确定相似多边形之间的关系。
一、相似多边形的定义相似多边形是具有相同形状但大小不同的多边形。
即使边长和内角都不相等，只要多边形的形状相同，就可以称它们为相似多边形。
相似多边形通过对应边的比值来确定彼此之间的关系。
例如，若多边形A和多边形B的边比为a:b，那么我们可以表示为A∼B，表示多边形A与多边形B相似。
二、相似多边形的特性相似多边形具有以下一些特性：1. 边的比例关系：相似多边形的对应边的比值相等，即A∼B，则对应边AB的比值等于a:b。
2. 角的对应关系：相似多边形的内角相等，即A∼B，则对应角的度数相等。
3. 面积的比例关系：相似多边形的面积比等于边长比的平方，即A∼B，则多边形A的面积与多边形B的面积的比等于(a/b)²。
三、判断相似多边形的条件在实际问题中，我们需要根据已知条件判断两个多边形是否相似。
常见的判断相似多边形的条件包括：1. 边比例相等：两个多边形的对应边的比值相等。
2. 角度相等：两个多边形的对应角度相等。
3. 边角关系：如果两个多边形的对应边比例相等，并且对应角度相等，那么它们是相似的。
四、相似多边形的应用相似多边形在实际应用中有着广泛的用途。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，相似多边形可以用来计算建筑物的比例关系，从而确定合适的尺寸和比例。
2. 地图制作：在地图制作中，相似多边形可以用来表达地图上不同地区的比例关系，帮助人们更好地理解地理信息。
3. 电影特效：在电影特效中，相似多边形可以用来生成虚拟世界的模型，通过调整大小和比例来创造逼真的效果。
4. 工程测量：在工程测量中，相似多边形可以用来测量难以直接测量的物体的尺寸，通过相似性关系来推算出实际尺寸。
《相似多边形》图形的相似PPT课件教学课件
4 J
5I
解:（1）相似比=CD : HI=3 : 5 （2）∵五边形ABCDE相似于五边形FGHIJ ∴ ∠F =∠A=120o, ∠C= ∠H=90o, ∴AB : FG = BC : GH = CD : HI = DE : IJ = EA : JF 即2 : FG = BC : 6 = 3/5 = 2.2 : IJ = AE :4 解得FG =10/3 cm, BC =18/5cm, IJ=11/3cm,AE=12/5cm
C´D´＝＿＿4
3A B 1°18 E
C 2 D B´
A´
6
E´
80°
五边形A´B´C´D´E´与五边形 ． ABCDE的相似比为＿2:＿1
C´
D´
E
2、如图：下面的两个菱形相似吗？为什么？ 满足什么条件的两个菱形一定相似？
6°0
A H
F
D
1°20 B
C
G
随堂练习
判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（ ） （2）任意两个圆形是相似图形（ ）
对应角相等
AB = BC = AC ，A1B1 = B1C1 = A1C1
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 对应边成比例
对应角有什么关系？
A 150° B
F 正正八八边边形形 放放大大 B1
E
A1 150°
F1 E1
C
D
C1
∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1 ∠D =∠D1， ∠E =∠E1， ∠F =∠F1
2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写 在对应的位置上。
A F
E
B C
D
北师大版-数学-八年级下册--4.4相似多边形 导学案
4.4相似多边形学习目标、重点、难点【学习目标】1、 相似多边形的定义；2、 相似多边形的特征；【重点难点】相似多边形的定义和特征.知识概览图相似多边形⎩⎨⎧相似多边形的特征相似多边形的定义 新课导引观察下图所示的图形．【问题探究】观察上述三组图形，每组图形的对应角和对应边之间有什么关系?【点拨】每组图形的对应角相等，对应边的比相等．教材精华知识点 相似多边形各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.拓展 这个定义跟其他定义一样，有两个功能：一方面，如果两个多边形的角都对应相等，且边都对应成比例，那么我们就可以判定这两个多边形是相似的；另一方面，如果已知两个多边形相似，那么它们的对应角一定相等，对应边一定成比例，这是相似多边形的本质特征，用它可以解决有关的问题．相似多边形的表示方法：若五边形ABCDE 与五边形E D C B A '''''相似，记作：五边形ABCDE ∽五边形E D C B A '''''．相似多边形对应边的比叫做相似比．拓展 (1)“多边形”的“多”字包含3或3以上的所有自然数，所以有了相似多边形的定义，就不必再重新定义“相似三角形”“相似四边形”……．(2)前面我们学过图形的全等，全等其实是相似的一个特例，全等图形是相似比为l 的相似图形．多边形相似的判定：(1)边数相同；(2)对应角相等；(3)对应边成比例.拓展 (1)判定两个多边形相似，这三个条件缺一不可．(2)两个边数不相同的多边形一定不相似．相似多边形的特征：如果两个边数相同的多边形相似，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例．相似多边形特征的应用：应用相似多边形的特征，可以证明角相等、线段成比例. 课堂检测基础知识应用题1、(1)正三角形ABC 与正三角形DEF 相似吗?(2)正方形ABCD 与正方形EFGH 相似吗?综合应用题2、如图4-33所示，梯形ABCD 与梯形D C B A ''''相似，求未知边x ，y ，z 的长度和角α，β的度数．探索创新题3、小强将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，则整张报纸的长和宽的比是 ( )A ．2∶lB ．4∶1C ．2∶1D ．1.5∶l体验中考1、如图4-35所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为 ．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 根据相似多边形的定义和等边三角形、正方形的性质来判定．解：(1)由于正三角形的每个内角都等于60°， 所以∠A ＝∠D ＝60°，∠B ＝∠E ＝60°，∠C ＝∠F ＝60°．由于正三角形的三条边都相等，所以FDCA EF BC DE AB ==．所以正三角形ABC 与正三角形DEF 相似． (2)由于正方形的每个内角都是直角，所以∠A ＝∠E ＝90°，∠B ＝∠F ＝90°，∠C ＝∠G ＝90°，∠D ＝∠H ＝90°．由于正方形的四条边都相等，所以EHAD GH CD FG BC EF AB ===， 所以正方形ABCD 与正方形EFGH 相似．【解题策略】 根据相似多边形的定义来确定．2、分析 解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．解：由于梯形ABCD 与梯形D C B A ''''相似，所以对应边成比例，所以 4.5 4.8324 3.22x y z ====， 所以x ＝3，y ＝6，z ＝3．由于对应角相等，所以α＝∠D ＝180°-∠A ＝180°-62°=118°，β＝∠B ＝180°-∠C ＝180°- 110°＝70°．【解题策略】 准确掌握相似多边形的特征及梯形上、下底平行这一条件是解决此题的关键．3、分析 抓住题中的关键：整张报纸和半张报纸相似，设原报纸的长为x ，宽为y ，则对折后得到的半张报纸的长为y ，宽为x 21，如图4-34所示，由相似多边形的定义知AB AD AE AB =，所以y 2=x ·x 21，所以2122=x y ，所以2x y=.故选A.体验中考1、分析 本题考查相似三角形的性质．∵△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D ．又∵∠A ＝30°，∴∠D ＝30°．故填30°．【解题策略】 相似多边形(包括三角形)的对应角相等．。
相似多边形 ppt课件
难
题
型
突
破
思路点拨
4.3 相似多边形
重
难
题
型
突
破
解题通法
解决此类问题，一般是根据对应边成比例，列出比例
式求解，注意结果要符合实际.
4.3 相似多边形
易 ■ 判定相似多边形时忽略条件
错
例 下列各组图形中一定是相似多边形的是 （
易
混
A． 两个直角三角形
分
析
B． 两个等边三角形
C． 两个菱形
D． 两个矩形
A． 甲和乙
B． 甲和丙
C． 乙和丙
D． 甲、乙和丙
4.3 相似多边形
［解题思路］
考
点
矩形已经满足各角分别相等，判断各边是否成比例即可
清
单
≠
，∴ 甲与乙不相似；∵ =
，∴ 甲与丙
解 .∵
.
.
.
读
.
≠
［答案］
B
相似；∵
.
.
，∴ 乙与丙不相似.
4.3 相似多边形
考 ■考点二 相似多边形的性质
读
∴BC=12.
［答案］
48 12
4.3 相似多边形
重 ■题型 相似多边形性质与判定的应用
难
例 如图，一个矩形广场的长为 90 m，宽为 60 m，广
题
型 场内有两横、两纵四条小路，如果两条横向小路的宽均为
突
破 1.2 m，那么每条纵向小路的宽为多少时小路内外边缘所围
成的两个矩形相似？
4.3 相似多边形
）
4.3 相似多边形
［解题思路］
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B C F1
C1
练倍 速 课 时
A1B1C1D1E1F1的相似比为 K1=，六边形A1B1C1D1E1F1 与六边形ABCDEF的相似 比为K1=2.
ED
E1
D1
（1）
（1）
图4-11
学
你注意到没有，相似比与叙述的顺序的关系？
议一议——返过来会怎样？
• 如果两个多边形想似，那么它们的对应 角有什么关系？对应边呢？
练倍 速
10 （1）12
10 图4-12
（2） 12
么， ！由
课 时 学
（2）、如果两个多边形不相似，那么它们的各 角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例
吗？
做一做——你猜对了吗？
• 一块长3m、宽 1.5m的矩形黑板 .
学习是件很充实的事！
镶在其外围的木质边框7.5cm.边框的内外
练 倍 边缘所成的矩形相似吗？为什么？
叫做相似多边形
（similar polygons）；
练倍 速
记两个多边形相似时，
课 要把对应顶点的字母写
AB
F
C F1
C1
ED
E1
D1
（1）
（1）
图4-11
时 在对应的位置. 学
记作如：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1
你知道什么是相似多边形吗？
• 例 下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的 关系？对应边呢？
相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）
相似比与叙述的顺序有关.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
如果两个多边形不相似，那么它们的各角可
练倍 速
能对应相等，它们的各边可能对应成比例.
课 时
直观有时候是不可靠的.
学 生活中的数学无处不在，只要你愿意去发现，其乐
无穷.
升华——课堂作业
第四章 相似形
4 相似多边形
练倍 速 课 时 学
4 相似多边形
• 动手操手你知道什么是相似多边形吗？
• 《想一想》相似多边形的性质
• 《议一议》反例
• 《做一做》它们相似吗？
练倍 速 课 时 学
• 《读一读》 纸张中的数学 • 《升华》 P112 《习题4.5》
你知道什么是相似多边形吗？
练倍 速 课 时 学
你知道什么是相似多边形吗？
• 我是叠合法操作的？
练倍 速 课
我是用量角器和刻度尺度量的？
我是用……？
结论：
A
六边形ABCDEF与六边 F
形A1B1C1D1E1F1是形状 相同的图形；
E
B C D
A1 A
A
A AB
B
BB1 B
FF1
F FAA F
CBCBCCC1
FF E
E
E D CDC DE D
速
课 时
直观有时候是不可靠的.
学 它们不相似，因为对应边不成比例.
读一读——纸张的大小
• 见课本《读一读》
生活中的数学无处
不在，只要你愿意
练 倍 去发现，其乐无穷.
速
课 时
用你的学习用纸，来实
学 地操作验证一下！
升华——课堂作业
• 1、右面两个矩形相似，
求它们对应边的比. 2∶3 2
3
• 2、如图，两个正六边形的边长分别
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
解：（1）由于正三角形每个角都 等于600，所以∠A=∠D= 600，
A
D
∠B=∠E= 600， ∠C=∠F= 600；
练 倍 由于正三角形三边都相等，所以 B
CE （1）
F
速 课 时
AB BC CA . DE EF FD
学 从例题的解答中，你获得了那些信息？
• 游戏
在幻灯片上任意画一多边形 ABCDEF.
它与投影在银幕上的多边形
A1B1C1D1E1F1的形状相同吗？ F
这两个多边形中，是否有相 等的内角？相等内角的两边 是否成比例？设法验证你的 猜想.
AB
A1
B1
C F1
C1
ED
E1 D1
（1）
（2）
图4-11
把你的猜想、观察变成结论并整理出来！
练倍 速 课 时 学
• 1、用适当的符号表示下列关系
（1）、x的3倍与8的和比x的5倍大； 3x+8＞5x）、地球上海洋面积大于陆地面积；
海洋面积＞陆地面积；
（4）、老师的年龄比你年龄的2 倍还大； 老师的年龄＞ 2×你年龄 ； （5）、铅球的质量比蓝球的质量大；
EE1 E DD1
它们的六个角都分别相 等，称为对应角；六条
（1）
（1）
图4-11
时 边的比都相等，称为对
学 应边.
老师祝贺你，继续努力！
你知道什么是相似多边形吗？
• 形状相同的图形，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
请同学们欣赏课本P108例题. 结论：
A1
B1
各对应角相等、各对应
边成比例的两个多边形
你知道什么是相似多边形吗？
（2）正方形ABC戌正方形EFGH.
解：（2）由于正方形每个角都是直角，所以
∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900， ∠C=∠G= 900，
∠D=∠H= 900；
E
H
由于正方形四边相等，所以
练倍 速 课 时
AB BC CD DA . EF FG GH HE
相似多边形的对应角
练倍 相等，对应边成比例.
速
课 时 学
这个结论在今后学习的过程中作 用很大，你可要认真噢！
看一看，议一议——合作交流
（1）、观察下面两组图形，图4-12（1）中的两个 此 瞧
图形相似吗？为什么？图4-12（2）中的两个图形 你 ，
呢？与同伴交流.
又你 能说
获得
10
12
10
8
得多
什好
AD
B CF
G
（2）
学 两题过后，你又有什么收获？
你知道什么是相似多边形吗？
• 相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）
如：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1 AB：A1B1=BC：B1C1=CD：
A1
B1
C1D1=DE：D1E1=EF：
A
E六1F边1=形FAA：BCFD1AE1F=与1：六2边,因形此F，
为a和b，它们相似吗？为什么？
练倍 速 课 时 学
相似.理由是：各对应角相等，各对 应边成比例. 如图，矩形的草坪长20m，宽10m， 沿草坪四周外围有1m的环行小路， 小路的内外边缘所成的矩形相似吗？
不相似.因为对应边不成比例.
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
小结——我知道了
• 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形（similar polygons）；
铅球的质量＞蓝球的质量。
欢迎你进入相似世界
• 学习永远是件快乐而有趣的 事！
• 相似变换的魅力将把你引入 一个奇妙的境界！
练倍
速
课
时 学
同学们，下节课再见！