2017年度中考一次函数与反比例函数[含答案解析]

反比例函数与一次函数综合题针对演练

1. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝k

x(

k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点

A作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA ＋MB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. 如图，反比例函数

2

y

x

=的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐

标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.

(1)求一次函数的解析式；

(2)对于反比例函数

2

y

x

=，当y＜－1时，写出x的取值范围；

(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3. 已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，

k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝n

x (n 为常数且n ≠0)的图象

在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴，垂足为D .若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx ＋b ≤n x

的解

集 ．

4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x

的图象的

两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．

第4题图

5. 如图，直线y1＝1

4

x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝

m

x(

x>0)的图

象交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.

(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；

(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；

(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

第5题图

6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝m

x(

x＜0)交

于点A(－1，n)．

(1)求直线与双曲线的解析式；

(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；

(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

第6题图

7. 如图，直线y＝

3

3

x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝

k

x(

k＞0)图象交于

点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.

(1)求点A的坐标；

(2)若AE＝AC.

①求k的值；

②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．

第7题图

8. 如图，已知双曲线y＝k

x经过点

D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA

⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.

(1)求k的值；

(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；

(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

第8题图

9. 如图，点B为双曲线y＝k

x(

x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交x

轴于点D，双曲线y＝k

x与直线

y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4.

(1)求k的值；

(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；

(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第9题图

答案

1．解：(1)设A 点的坐标为(x ，y )，则OP ＝x ，PA ＝y ， ∵△OAP 的面积为1，

∴12xy ＝1，∴xy ＝2，即k ＝2，∴反比例函数的解析式为2

y x

=；

(2)存在，如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点M ，此时MA ＋

MB 最小，

∵点B 的横坐标为2，∴点B 的纵坐标为y ＝2

2＝1，

即点B 的坐标为（2,1）.

又∵两个函数图象在第一象限交于A 点，∴22x x

=

， 解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．∴y ＝2，∴点A 的坐标为(1，2)， ∴点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－2)，

设直线A ′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A ′(1，－2)，B (2，1)得，

23

,215

k b k k b b +=-=???

?+==-??解得， ∴直线A ′B 的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝5

3

，

∴直线y ＝3x －5与x 轴的交点为(53，0)，即点M 的坐标为(5

3

，0)．

第1题解图

2．解：(1)∵反比例函数y ＝2

x

图象上的点A 、B 的横坐标

分别为1、－2，

∴点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(－2，－1)， ∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，

∴21

,211k b k k b b +==????-+=-=??

解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；

(2)由图象知，对于反比例函数2

y x

=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x ＜0； (3)存在．

对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，

∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×1

2

×1×1，∴n ＝－2，

∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2

m

， ∴m ＝－1，

∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.

∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．

将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，

302

,66

k b k b b +==-???

?==??解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．

将点C (－2，10)代入y ＝n

x ，得10＝2

n -，解得n ＝－20，

∴反比例函数的解析式为20

y x

=-

；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+??

?

=-??

解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)

将x ＝5代入20

4,y x

=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x ＜0或x ≥5. …………………………………… (10分)

【解法提示】不等式kx ＋b ≤n x

的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x

的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.

4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x

的

图象的两个交点，

∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2

y x =-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，

将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得

211

,21k b k k b b -+==-???

?+=-=-??

解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；

(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；

(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求， ∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，

设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，

1123

,253m m n m n n ?

=-?-=-+????-=+??=-

??

解得， ∴y ＝－13x －5

3，

令y ＝0，得x ＝－5， 则C 点坐标为(－5，0)， ∴t 的最大值为A ′B ＝

（－2－1）2＋（－1＋2）2＝

10.

第4题解图

5．解：(1)∵一次函数y 1＝1

4x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，

∴A (－4，0)，C (0，1)，又∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ， ∴O 为AB 的中点，即OA ＝OB ＝4，且BP ＝2OC ＝2， ∴点P 的坐标为(4，2)，将点P (4，2)代入y 2＝m x

，得m ＝8，

∴反比例函数的解析式为y2＝8

x ；

(2)x>4；

【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.

(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，

∵四边形BCPD为菱形，

∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，

将D(8，1)代入反比例函数

8

y

x

=，D点坐标满足函数关系式，

即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．

第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，

∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，

∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，

∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，

将A(－1，－5)代入y＝m

x(

x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5

y

x

=；

(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，

∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，

∴点B (0，－4)，∴OC ＝OB ＝4，∴△OCB 是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，

∴在△OMB 中，sin45°＝OM

OB ＝4

OM

，∴OM ＝22，∵AO ＝12＋52＝26，

∴在△AOM 中，sin ∠OAB ＝

OM OA

＝

2226

＝21313；

第6题解图

(3)存在．

如解图，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，则AN ＝1，BN ＝1， ∴AB ＝

12＋12＝

2，∵OB ＝OC ＝4，∴BC ＝

42＋42＝4

2，

又∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠OBA ＝∠BCD ＝135°， ∴△OBA ∽△BCD 或△OBA ∽△DCB ，

∴OB BC ＝BA CD 或OB DC ＝BA

BC ，即4

42＝CD 或4DC ＝2

42

，

∴CD ＝2或CD ＝16，∵点C (4，0)， ∴点D 的坐标是(6，0)或(20，0)． 7．解：(1)当y ＝0时，得0＝

33

x －3，解得x ＝3.

∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)

①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .

设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ). 在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝

OB OA

＝

33

，∴∠OAB ＝30°.

在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝3

2t ，

∴点C 的坐标是(3＋

32

t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝k

x

的图象上，

∴(3＋32

t )×12

t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，

∴k ＝3t ＝6

3； …………………………………………… (5分)

②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)，

设点D 的坐标是(x ，

33

x －3)，

∴x (33

x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3，

∴点D 的坐标是(－3，－2

3)，

∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)

第7题解图

8．解：(1)∵双曲线y ＝k

x

经过点D (6，1)，∴6k

＝1，解得k ＝6；

(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB

⊥y 轴，

∴BD ＝6，∴S △BCD ＝1

2

×6×h ＝12，解得h ＝4，

∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，

∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6

x

＝－3，解得x ＝－2，

∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则

123,2612

k b k k b b ?

-+=-=????

+=??=-?解得，∴直线CD 的解析式为y ＝1

2x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：

∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，

设点C 的坐标为(c ，6c

)，

∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则

10,11

mc n m c n n ?

+==-??

??=??=?解得，

∴直线AB 的解析式为y ＝－1

x c

＋1，

设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则

16,661e ec f c c c e f f c ?

=-??+=??

??+??+==???

解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +， ∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1

c

-，

∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD .

9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，

∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝k x

(x ＞0)上一点，

∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k

a

)，

∴AB ＝a －k a ，BD ＝k

a

，在Rt △OBD

中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(

k

a

)2＋a 2，

∵OB 2－AB 2＝4，∴(k

a

)2＋a 2－(a －

k a

)2＝4，

∴k ＝2；

(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，

,2y x y x =???=??

联立

2222x x y y ??==????==????

解得（舍去），

∴C 点坐标为(

2，

2)， 第9题解图

∵点B 的横坐标为4，

∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，1

2)，∴AB ＝4－1

2＝7

2，CM ＝4－

2，

∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝1

2×(4－

2)×72 ＝7－72

4

；

(3)不存在，理由如下：

若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形， ∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，

∴CM ＝1

2

AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2

a |，

∵C 点坐标为(

2，

2)，

∴CM＝|a－2|，∴|a－2|＝1

2

|a－

2

a

|，

∴(a－2)2＝1

4

×

22

2

(2)

a

a

-

，即(a－2)2＝

1

4

×

22

2

((

a a

a

+?-

，

∴4a2－(a＋2)2＝0，解得a＝2或a＝－

2

3

(舍去)，

∴P点坐标为(2，2)，则此时点C与点P重合，所以不能构成三角形，故不存在．