最大利润问题
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？
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解：(2)由题意可知，租赁公司的日收益为y＝x(1500－50x)－6250 ＝－50(x－15)2＋5000，∵－15<0，当x＝15时，租赁公司日收益最大， 最大是5000元
解：(1)根据题意得y＝50－x(0≤x≤50，且x为整数) (2)W＝(120＋10x－20)(50－x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－ 20)2＋9000，∵a＝－10<0，∴当x＝20时，W最大值＝9000，则当每间房 价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元
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(3)由题意得－ 201（0（ －xx－ ＋2500） ）≤2＋690000，0≥5000，解得 20≤x≤40， ∵房间数 y＝50－x，又∵－1<0，∴当 x＝40 时，y 的值最小， 这天宾馆入住的游客人数最少， 最少人数为 2y＝2(－x＋50)＝20(人)
4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天 能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日 销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利 润为 (30－x)元，每日的销售量为 (20＋x) 件，每日的利润y ＝ －x2＋10x＋600 ，所以每件降价__5__元时，每日获得的利润 最大为_6_2_5_元．
段时间后得到如下数据：
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
销售单价 x(元/kg)
1 2 0
11 3…8 00
每天销量 1 9
7
解：(1)y＝－0.5x＋160(120≤x≤180)
第二十二章 二次函数
22．3 实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件， 若想获得最大利润，则x应定为( ) A A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件 每 涨 价 1 元 ， 销 售 量 就 减 少 10 件 ， 则 该 产 品 能 获 得 的 最 大 利 润 为 ( C) A．50元 B．80元 C．90元 D．100元
解：设每天的销售利润为y元，销售单价为x元， 则y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝－5(x－80)2＋4500， ∵a＝－5<0，50≤x≤100，∴当x＝80时，y最大值＝4500
7．(2016·十堰)一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本
价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一
A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月
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9．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售． 当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为： 每投入 x 万元，可获得利润 P＝－1100(x－60)2＋41. 每年最多可投入 100 万元的销售投资， 则 5 年所获利润的最大值是 205万元 ．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式； (2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天 所获利润最大，最大利润是多少？
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(3)某日，宾馆了解当天的住宿情况，得到以下信息：①当日所获 利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过 600元；③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少 有多少人？
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12．(2016·天水)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 19 天内 完成，约定这批粽子的出厂价为每只 4 元，为按时完成任务，该企业招 收了新工人，设新工人李红第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足 如下关系：y＝3220xx（＋06≤0（x≤5<5x）≤，19）.
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(2)设销售利润为 W 元，则 W＝(x－80)(－0.5x＋160)＝ －12(x－200)2＋7200，∵a＝－12<0， ∴当 x<200 时，y 随 x 的增大而增大，∴当 x＝180 时， W 最大＝－21(180－200)2＋7200＝7000， 则当销售单价为 180 元时，销售利润最大，最大利润是 7000 元
(3)由题意得－50(x－15)2＋5000>0，解得5<x<25，∵x≤20， ∴5<x≤20，即当每日租出至少6辆时，租赁公司的日收益才能盈利
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Hale Waihona Puke - 最大利润问题（PPT优秀课件）
11．(2016·鄂州)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价 120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就 会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用，设每个房间定价增加10x元(x为整数)．
5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2 ＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为__6_0_0盒时，获得最大利润是 _2_4_0_0元．
6．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价， 投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量 是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单 价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最 大利润是多少？
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解：(1)设李红第x天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x＋60＝ 260，解得x＝10，则李红第10天生产的粽子数量为260只
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(2)根据图象得当 0≤x≤9 时，p＝2；当 9<x≤19 时， 可求解析式为 p＝110x＋1110， ①当 0≤x≤5 时，w＝(4－2)·32x＝64x，x＝5 时 w 的最大值为 320； ②当 5<x≤9 时，w＝(4－2)·(20x＋60)＝40x＋120，x＝9 时 w 的最大 值为 480；③当 9<x≤19 时，w＝[4－(110x＋1110)]·(20x＋60)＝－2x2＋ 52x＋174＝－2(x－13)2＋512，x＝13 时 w 的最大值为 512. 综上所述，第 13 天的利润最大，最大利润是 512 元
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10．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共 6250元，当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租 金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题： 设公司每日租出x辆车时，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每 日各项支出)．
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8．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现 有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函 数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是( C )
(1)李红第几天生产的粽子数量为 260 只？
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(2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用 图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间 的函数解析式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润 ＝出厂价－成本)
人教版数学九年级上册：22.3 第2课时 最大利润问题 (含答案)
第2课时最大利润问题1．将进货价为每件70元的某种商品按每件100元出售时每天能卖出20件，若这种商品每件的售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x 元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y＝________________，所以每件降价________元时，每日获得的利润最大，为________元．2．服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()A．150 B．160 C．170 D．1803．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y关于x的函数解析式是()A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2C．y＝a(1－x)2D．y＝a(1＋x)24．[2019·丹东] 某服装超市购进单价为30元/件的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于30元/件，不高于60元/件．销售一段时间后发现：当销售单价为60元/件时，平均每月的销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元/件，平均月销售量为y件．(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售这种童装每月可获利1800元？(3)当销售单价为多少时，销售这种童装每月获得的利润最大？最大利润是多少？5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x 为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/个？6. 某商店销售某种商品所获得的利润y(元)与所卖件数x(件)之间满足关系式y＝－x2＋1000x －200000，则当0<x≤450时的最大利润为()A．2500元B．47500元C．50000元D．250000元7．某种工艺品的进价为每件100元，当标价135元出售时，每天可售出100件．根据销售统计，该工艺品每件的价格每降低1元，每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件需降价()A．5元B．10元C．15元D．20元8．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系符合一次函数y＝－x＋140.(1)直接写出x的取值范围：__________；(2)若销售该服装获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式：________________________________________________________________________.9．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元/袋)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为多少元/袋？(3)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元/袋时，每天的利润最大？最大利润是多少元？10．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图22－3－9所示．(1)求y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，那么当销售单价为多少时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？图22－3－911．十一黄金周期间，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另外公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x(0≤x≤20)辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x(x≤20)辆车时，每辆车的日租金增加__________元，此时每辆车的日租金为__________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最多？最多是多少元？答案1．(30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6252．A [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －100)(200－x)＝－x 2＋300x －20000＝－(x －150)2＋2500(100≤x≤200)， 故当x ＝150时，w 有最大值．3．D4．解：(1)由题意得y ＝80＋20×60－x 10， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋200(30≤x≤60)．(2)由题意得(x －30)(－2x ＋200)－450＝1800，解得x 1＝55，x 2＝75(不符合题意，舍去)．答：当销售单价为55元/件时，销售这种童装每月可获利1800元．(3)设每月获得的利润为w 元．由题意得w ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000.∵－2＜0，∴当x≤65时，w 随x 的增大而增大．∵30≤x≤60，∴当x ＝60时，w 取最大值，w 最大＝－2(60－65)2＋2000＝1950.答：当销售单价为60元/件时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是1950元．5．解：(1)w ＝()x －30·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800(30≤x≤60，且x 为整数)．(2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－()x －452＋225.∵－1＜0，∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，可得方程－()x －452＋225＝200，解得x 1＝40，x 2＝50. ∵50＞42，∴x ＝50不符合题意，舍去．答：销售单价应定为40元/个．6．B [解析] 因为抛物线的对称轴为直线x ＝500，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，因此在0<x≤450的范围内，当x ＝450时，函数有最大值为47500.7．A8．(1)60≤x≤90 (2)W ＝－x 2＋200x －8400[解析] (1)∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，∴60≤x≤90.(2)∵单件利润为(x －60)元，销售量为y ＝－x ＋140，∴销售该服装获得的利润W ＝(x －60)(－x ＋140)＝－x 2＋200x －8400.9．解：(1)设y ＝kx ＋b ，将x ＝3.5，y ＝280；x ＝5.5，y ＝120代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3.5k ＋b ＝280，5.5k ＋b ＝120，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－80，b ＝560.则y 与x 之间的函数关系式为y ＝－80x ＋560(3.5≤x≤5.5)． (2)由题意，得(x －3)(－80x ＋560)－80＝160，整理，得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6.∵3.5≤x≤5.5，∴x ＝4.答：如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为4元/袋．(3)由题意，得w ＝(x －3)(－80x ＋560)－80＝－80x 2＋800x －1760＝－80(x －5)2＋240.∵3.5≤x≤5.5，∴当x ＝5时，w 有最大值为240.故当销售单价定为5元/袋时，每天的利润最大，最大利润是240元．10．解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数解析式为y ＝－10x ＋700.(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x≤46.设每天获得的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x－50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x＜50时，w随x的增大而增大．∴当x＝46时，w最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．11．解：(1)50(20－x)(－50x＋1400)(2)由题意，得y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.∵－50＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.答：当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最多，最多是5000元．。
人教版九年级数学上册21.3.2最大利润问题练习题
第2课时最大利润问题知识点二次函数的最值在销售问题中的应用1．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y＝________________(不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价________元时，每日获得的最大利润为________元．2．服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()A．150 B．160 C．170 D．1803．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y关于x的函数解析式是()A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2C．y＝a(1－x)2D．y＝a(1＋x)24．2017·沈阳某商场购进一批进价为20元/件的日用商品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元/件时，才能在半个月内获得最大利润．5．2017·十堰某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱．(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？6．2017·济宁某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？7. 某商店销售某件商品所获得的利润y(元)与所卖的件数x之间的关系满足y＝－x2＋1000x－200000，则当0<x≤450时的最大利润为()A．2500元B．47500元C．50000元D．250000元8．一件工艺品进价为100元，标价135元出售时，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件需降价()A．5元B．10元C．15元D．20元9．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系符合一次函数y ＝－x＋140.(1)直接写出x的取值范围：________；(2)若销售该服装获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式：__________．10．2017·安徽某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本价，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数解析式；(2)设该商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数解析式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元/千克时获得最大利润，最大利润是多少．11．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．经市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．如何定价才能使利润最大？12．十一黄金周期间，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另外公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x(x≤20)辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x(x≤20)辆车时，每辆车的日租金增加________元，此时每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？是多少元？1．(30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6252．A [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －100)(200－x)＝－x 2＋300x －20000＝－(x －150)2＋2500(100≤x ≤200)， 故当x ＝150时，w 有最大值．3．D4．35 [解析] 设销售单价为x 元/件，销售利润为y 元．根据题意，得y ＝(x －20)[400－20(x －30)]＝(x －20)(1000－20x)＝－20x 2＋1400x －20000＝－20(x －35)2＋4500.∵－20＜0，∴当x ＝35时，y 有最大值．5．解：(1)根据题意，得y ＝60＋10x.由36－x ≥24得x ≤12，∴1≤x ≤12，且x 为整数．(2)设所获利润为W 元，则W ＝(36－x －24)(10x ＋60)＝－10x 2＋60x ＋720＝－10(x －3)2＋810，∴当x ＝3时，W 取得最大值，最大值为810.答：超市定价为每箱33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．6．解：(1)w ＝()x －30·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800(30≤x ≤60，且x 为整数)．(2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－()x －452＋225. ∵－1＜0， ∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，可得方程－()x －452＋225＝200，解得x 1＝40，x 2＝50.∵50＞42，∴x 2＝50不符合题意，舍去．答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元/个．7．B [解析] 因为抛物线的对称轴为直线x ＝500，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，因此在0<x ≤450的范围内，当x ＝450时，函数有最大值为47500.8．A9．60≤x ≤90 W ＝－x 2＋200x －8400[解析] (1)∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，∴60≤x ≤90.(2)∵单件利润为(x －60)元，销售量为y ＝－x ＋140，∴销售该服装获得的利润W ＝(x －60)(－x ＋140)＝－x 2＋200x －8400.10．解：(1)根据题意，设y ＝kx ＋b ，其中k ，b 为待定的常数，且k ≠0.由表中的数据得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200.所以y ＝－2x ＋200(40≤x ≤80)． (2)根据题意得W ＝y·(x －40)＝(－2x ＋200)(x －40)＝－2x 2＋280x －8000(40≤x ≤80)．(3)由(2)可知：W ＝－2(x －70)2＋1800，所以当售价x 在40≤x<70的范围内时，利润W 随着x 的增大而增大；当售价x 在70<x ≤80的范围内时，利润W 随着x 的增大而减小．所以当x ＝70时，利润W 取得最大值，最大值为1800.即售价为70元/千克时获得最大利润，最大利润是1800元．11．解：设每件涨价x 元时的总利润为y 1元．y 1＝(60－40＋x)(300－10x)＝(20＋x)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x2－10x)＋6000＝－10[(x－5)2－25]＋6000＝－10(x－5)2＋6250(0≤x≤30)．当x＝5时，y1的最大值是6250.定价：60＋5＝65(元)．设每件降价x元时的总利润为y2元．y2＝(60－40－x)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000＝－20(x2－5x)＋6000＝－20[(x－2.5)2－6.25]＋6000＝－20(x－2.5)2＋6125(0≤x≤20)．当x＝2.5时，y2的最大值是6125.定价：60－2.5＝57.5(元)．综合以上两种情况，得每件定价为65元时可获得最大利润为6250元．12．解：(1)50(20－x)(－50x＋1400)(2)由题意，得y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000，∵－50＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.答：当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，为5000元．。
《最大利润问题》课件
03
最大利润问题的实际案例
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题涉及到在风险和收益之间寻找最佳平衡，以最大化长期回报 。
详细描述
投资者通过选择不同的资产（如股票、债券、现金等）来构建投资组合，目标 是最大化投资组合的长期回报，同时控制风险。最大利润问题在投资组合优化 中表现为确定最佳资产配置，以最大化预期收益。
生产调度问题
总结词
生产调度问题是在给定生产资源和市场需求的情况下，合理安排生产计划，以最 小化生产成本并最大化利润。
详细描述
生产调度涉及原材料采购、生产计划、人员和设备安排等方面。最大利润问题表 现为确定最佳的生产计划和调度安排，以最小化生产成本并最大化利润。
物流配送问题
总结词
物流配送问题是在满足客户需求的前 提下，通过优化配送路线和车辆调度 ，降低运输成本并提高运输效率。
02
最大利润问题的求解方法
动态规划法
01
02
03
04
动态规划是一种通过将问题分 解为子问题并解决子问题来找 到原问题的最优解的方法。
在最大利润问题中，动态规划 法通常用于解决具有重叠子问
题和最优子结构的问题。
通过构建状态转移方程，动态 规划法能够避免重复计算子问
题，提高求解效率。
动态规划法的适用范围较广， 可以应用于各种不同类型的问 题，如背包问题、排班问题等
《最大利润问题》ppt课件
contents
目录
• 最大利润问题概述 • 最大利润问题的求解方法 • 最大利润问题的实际案例 • 最大利润问题的扩展与展望 • 结论与总结
01
最大利润问题概述
最大利润问题
当商店卖两种牌子的冻果汁时，
如何取得最大利润
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分．店主估价，如果当地牌子的每听卖ｘ美分，外地牌子每听卖ｙ美分，则每天可卖出y x 4570+-听当地牌子的果汁， y x 7680-+听外地牌子的果汁．
问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 解：既然总收益为当地牌子果汁收益与外地
牌子果汁收益之和，所以每天总收益为二元
函数：
)7680)(40()4570)(30(),(y x y y x x y x f -+-++--=
于是求每天最大的总收益，就是求二元函数的最大值
),(y x f
解题过程
求),(y x f 的偏导数，得
201010-+-='y x f x
2401410+-='y x f y
令0,0='='y x f f 且
则有驻点:
x=53
Y=55
求二阶偏导数在(53,55)的值: 由多元函数求极值方法，由于
))(()(2yy xx xy
f f f ''''-'' 140100-=
040<-=
010<-=''xx
f
所以当
x=53 (美分)
y=55 (美分)
时，小店可取得最大收益．。
最大利润问题
最大利润问题这类问题只需围绕一点来求解，那就是总利润=单件商品利润*销售数量设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：1）自变量x是所涨价多少，或降价多少2）自变量x是最终的销售价格下面借助例题加以理解：商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件现设一天的销售利润为y元，降价x元。
（1）求按原价出售一天可得多少利润？解析：总利润=单利润*数量所以按原价出售的话，则y=140*（100-80）=2800 元答案：（1）y=140*（100-80）=2800 （元）（2）求销售利润y与降价x的的关系式解析：总利润=数量*单利润这么想：因为降价，所以单利润会有变动，又因为进价不可能变，那降多少元，利润减少多少元，降价x元，利润就减少x元，所以单利润就减少x元，即单利润变为：（100-80-x）又想：因为降价卖的就多，那么数量怎么变？原来一天140件，降1元多卖10件，降x元就应该多卖10x件，所以数量就变为：（140+10x）(3) 要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润（4）现题目条件不变，若将降价后的销售价格设为自变量x,求因变量y与自变量x的关系式解析：原来的自变量是什么？是降低的价格，而现在是降后的售价自变量一变化，那么关系式就全变了，所以之前的一切关系都要作废但总利润=单利润*数量，这个关系是永远不变的！所以要找到y与x的关系，还是从此处出发这么想：单利润=售价-进价，进价是不变的，而售价现在变为x了，则单利润就是（x-80），而这时数量就变复杂了，这么想：数量变化依然是因为降价而造成的，始终有降价1元多卖10件这一关系，所以如果知道了降多少元，就必然知道多卖多少件，那么降了多少呢？最初的售价是100元，降价后的售价是x元，那么之间的差值就是所降的价格，即降价为(100-x),我们知道降1元多卖10件，现在降了（100-x）,那么就应该多卖10*（100-x）件,注意这只是多买的，总共买的应该是原来卖的加上多卖的，即140+10*（100-x），所以数量就是[140+10*（100-x）]单利润知道了是（x-80），销售数量也知道了是[140+10*（100-x）]则总利润y=（x-80）* [140+10*（100-x）]某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。
最大利润问题
（3）家佳源购进一批单价为20元的日用 品，如果以单价30元销售，那么半个月 内可以售出400件。根据销售经验，提 高单价会导致销售量的减少，即销售单 价每提高1元，销售量相应减少20件。 如何 提高售价，才能在半个月内获得最 大利润？最大利润是多少？
4、某产品进货单价为90元，按100元一个售出时， 能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就 减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为( ) A.130元; B.120元 C.110元; D.100元
时, y最大=k
1、某商店销售一种销售成本为40元的 水产品,若按50元/千克销售,一月可售出 500千克,销售价每涨价1元,月销售量就 减少10千克.销售单价定为多少时，获得 最大利润？最大利润是多少？
2、某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价 为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元 ~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售, 平均每天可售出90箱价格每升高1元,平均每 天少销售3箱. 每箱定价多少元时,才能使平均 每天的利润最大?最大利润是多少?
5、某商场销售一种名牌衬衫，平均每 天可售出30件，每件盈利50元，为了扩 大销售，增加盈利，尽快减少库存，商 场决定采取适当的降价措施，经调查发 现，如果每件衬衫每降价1元，商场平 均每天可多售出2件。每件降价多少元， 获得最大利润？最大利润是多少？
何时获得最大利润
• 6、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 700千克,已知进价为30元/千克,物价部门规定其 销售价在30元~70元之间.市场调查发现:若单价定 为70元时,日均销售60千克.价格每降低1元,平均 每天多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其 它费用500元(天数不足一天时,按整天计算). • （1）求销售单价为x(元/千克)与日均获利y(元)之 间的函数关系式,并注明x的取值范围 • （2）何时获得的最大利润
最大利润问题
最大利润问题此类问题只需围绕一点来求解，那就是总利润=单件商品利润*销售数量设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：自变量x是所涨价多少，或降价多少自变量x是最终的销售价格（一）涨价或降价为自变量例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。
不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？变式：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（1）求（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（二）售价为自变量例1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱售价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱的售价定为多少元？（3）每台冰箱售价价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？变式、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？专项练习：1、为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？2、我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次购买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.1元。
《商品利润最大问题》人教版九年级数学(下册)
A．160元 B．180元
C．140元 D．200元
4.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一 生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是 y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ）
D
A．1月，2月 C．3月，12月
B．1月，2月，3月 D．1月，2月，3月，12月
例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查， 如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将 每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会 减少6x间，设客房日租金为y万元，则
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 x 100 时 5,y=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即涨价5元时，最大利润是6250元.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查 反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
3
3
即降价 元5 时，最大利润是6050元.
3
综合由可(知1)，(2应)的定讨价论58及元现时在，的才销能售使情况,你 知道应该如何定价能使利润最大了吗?
利润最大。
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用 简图和性质求出.
九年级数学上册教学课件《最大利润问题》
可得：0≤n≤30.
y1=-10n2+100n+6000 （0≤n≤30）
抛物线y1 =-10n2+100n+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价上涨 元时，利润最大，为 元.
综合应用
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，由题意得：y=(20-x)(40+10x) =-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20).当x=8时，y取最大值1440.即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
拓展延伸
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.(1)0≤x≤6； (2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14(1)当0≤x≤6时，当x=3时， y有最大值14,当x=0或6时，y有最小值5.
(2)当-2≤x≤2时，当x=2时，y有最大值13,当x=-2时，y有最小值-11.
解：设所得利润为y元,由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200)当x=115时，y有最大值.即当这件商品定价为115元时，利润最大.
怎样确定m的取值范围？
可得：0≤m≤20.
降价情况下的最大利润又是多少呢?
y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20)
抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元.
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景