高二数学等差数列2
39 a10=__________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
求首项a1
例如 ：已知a20=－49, d=－3
则，
由a20=a1+(20－1)· (－3)
得a1=8
6 练习：a4=15 d=3 则a1=______________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
求项数n
例如： ①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项? 解 ：a1=8, d=－3 则 an=8+(n－1)· (－3) －49=8+(n－1)· (－3) 得 n=20。
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
等差数列中的等差中项A=(a+b)/2
等差数列中第m项与第n项的关系an=am+(n-m)d.
好好学习 天天向上
选作：一个首项为23，公差为整数的等差数
列，如果前六项均为正数，第七项起为负数， 则它的公差是多少？
1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果 前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是 多少？ 解：由题意得， a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0 ∴-23/5＜d＜-23/6 ∵d∈Z ∴d=-4 2. 已知等差数列 {an} 的首项为 30 ，这个数列从 第12项起为负数，求公差d的范围。 解：a12=30+11d＜0 a11=30+10d≥0 ∴ -3≤d＜-30/11 即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数 列{an}的通项公式。
巩固通项公式
an=a1+(n－1)d
* (n∈N )
求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出 an 2=2n－1 例如：①a1=1, d=2,则 an=1+(n－1)· ②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20(第20 项 )。a1=8, d=5－8=－3 解： ∴an=8+(n－1)· (－3)=－3n+11 ∴a20=－49 练习：已知等差数列3，7，11，… 4n-1 则 an=_______________ a4=_________ 15
递减数列， 常数列。
4.数列的实质 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N （ 或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数， 当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函 数值。
*
5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与 它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公 式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
给出一个数列的通项公式，你能证明它 是等差数列吗？比如an=an+b
由定义归纳通项公式
a2 － a1=d， a3 － a2=d， a4 － a3=d， …… an－1－an－2=d, 则 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d ……
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加 由此得到 a n=a1+(n－1)d an － a1= (n－1)d
思考：这5个数列有什么共同特点？
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
数学语言：
an－an－1=d
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数
简记作:{an}
2.通项公式:如果数列{an}中第n项an与n之间的
关系可以用一个式子来表示,那么这 个公式叫做数列的通项公式. 3.数列的分类
(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系：递增数列，
摆动数列，
②如果数列{an}，满足an-an-1=d（d为常数，n≥2，且 n∈N*），则数列{an}叫做以d为公差的等差数列。
总 结 反 思
2、首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d， 在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想；
3、等差数列的通项公式的推导方法——归纳法（由特殊到 一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公 式的常用方法。 4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活 实际，又应用于生活实际
等 差 an 2n 1 的图象 数 列 的 图 像
5 6 7 8 9 10
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1
2 3
4
5 6
7
8
9
10
等 差 an 2n 1 的图象 数 列 的 an 3的图象 图 像
通过图像你能说明 公差对图像有什么影响？
等差数列的通项公式为：
an d n (a1 d )
an an b
直线的一般形式：
y kx b
等差数列的图象为相应直线上的点。
讨论：
1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差 为d, 数列中，第n项与第m项有什么关系？ (其中，m，n N*,n m)
讨论：
1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差为d 数列中，第n项与第m项有什么关系？
（2）-12，( -6 ) ，0
如果在x与y中间插入一个数A，使x，A，y 成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项
x y A 2
an 1
an an 2 2
通过它的通项 公式，可以看 出它与什么函 数有关
an a1 n 1d
10 9 8 7 6 5
4 3 2 1 0 1 2 3 4
知识巩固
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差 数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670 2. 在3与27之间插入7个数，使它们成 为等差数列，则插入的7个数的第四 个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15
1、试用两种数学语言（文字语言、符号语言）来表述 一下等差数列的概念： ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
【说明】 在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个， 可求出 另外一个
简言之————“知三求四”
探究
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列： （1）2 ，( 3 ) ， 4 (3)
a
b 等差中项 :
ab , ( ), 2
解: 依题得,
an=a1+(n-1)d am=a1+(m-1)d
an=am+(n-m)d
在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=3,an=21,d=2,求n
2）已知d=-1/3,a7=8,求a1
3）在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12
今天我们学 了一些什么?
等差数列的定义
an+1-an=d来自说明:递推公式也是数列的一种表示方法。
观察下面的数列： ①4，5，6，7，8，9，10 …… ； ②3，0，－3，－6，……； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是 cm） ③ 21，21.5 一张梯子 ⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm） ④ 40，50，60，70，80，90，100； ⑵每级之间的高度相差分别为 ⑤ 40，40，40，40，40，40. ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
（d是常数，n≥2，n∈N*）
它们是等差数列吗？
(1)
(2) (3)
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列
x, 3x, 5 x, 7 x, 9 x, … 公差 d= 2x
观察下面的数列： ①4，5，6，7，8，9，10 …… ； ②3，0，－3，－6，……； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是 cm） ③ 21，21.5 一张梯子 ⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm） ④ 40，50，60，70，80，90，100； ⑵每级之间的高度相差分别为 ⑤ 40，40，40，40，40，40. ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
2.2.1等差数列
学习目标
• 1. 理解等差数列的概念，理解并掌握等差 数列的通项公式，能运用公式解决简单的 问题。 • 2. 培养学生的观察能力，进一步提高学生 的推理归纳能力。
重点难点
• 1.等差数列概念的理解与掌握 • 2.等差数列通项公式的推导及应用 • 3. 等差数列“等差”特点的理解、把握及 应用
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高二数学等差数列2
(2)三数成等差数列，它们的和为12， 首尾二数的积为12 ，求此三数.
等差数列的基本性质：
在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
am+an=ap+aq 注: ①上面命题的逆命题是不一定成立的；
②上面的命题中的等式两边有相同数目
的项，如a1+a2=a3？
例3 在等差数列{an}中
(1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20=
更一般的，an= am+(n-m)d ，d= n m 。
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
b ac
2 2b= a+c
.
3. 在等差数列 an中 a1 an a2 an1 a3 an2 ...
思考题：如何构造等差数列？ 1.从等差数列中取项的方式： 2.把等差数列的每一项同时加减乘除同一常数的方式： 3.把两个等差数列的对应项进行加减:
ab
等 a与b的等差中项是 __2___ 即a、b的算术平均数.
差
中 a、b、c成等差数列,则 __2_b_=_a_+__c__
项 三个数成等差数列，可设这三个数为：
a,a+d,a+2d 或 a-d, a, a+d
例2 (1) 已知a，b，c成等差数列，求证： ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；
等差数列
第2课时
通项公式:
an a1 (n 1)d
d
an n
a1 1
通项公式的推广:
an am (nห้องสมุดไป่ตู้m)d
d
等差数列的基本性质：
在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
am+an=ap+aq 注: ①上面命题的逆命题是不一定成立的；
②上面的命题中的等式两边有相同数目
的项，如a1+a2=a3？
例3 在等差数列{an}中
(1)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20=
更一般的，an= am+(n-m)d ，d= n m 。
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
b ac
2 2b= a+c
.
3. 在等差数列 an中 a1 an a2 an1 a3 an2 ...
思考题：如何构造等差数列？ 1.从等差数列中取项的方式： 2.把等差数列的每一项同时加减乘除同一常数的方式： 3.把两个等差数列的对应项进行加减:
ab
等 a与b的等差中项是 __2___ 即a、b的算术平均数.
差
中 a、b、c成等差数列,则 __2_b_=_a_+__c__
项 三个数成等差数列，可设这三个数为：
a,a+d,a+2d 或 a-d, a, a+d
例2 (1) 已知a，b，c成等差数列，求证： ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；
等差数列
第2课时
通项公式:
an a1 (n 1)d
d
an n
a1 1
通项公式的推广:
an am (nห้องสมุดไป่ตู้m)d
d
高二数学等差数列的概念第二课时
例如：
当d>0时，{an}为递增数列.
an ＝2n-1
y=2x-1
d=2>0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
●
当d<0时，{an}为递减数列.
等差数列的图象3
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
等差数列的图象为相应直线上的点。
当d=0时，{an}为常数列.
性质 ：设 若 则
等差数列的性质
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
判断：
可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多
∴a8＝26－a2＝26－4＝22.
解析：设此数列的首项为a1，公差为d，则a5＋a13＝（a1＋4d）＋（a1＋12d） ＝2a1＋16d＝40，即a1＋8d＝20. a8＋a9＋a10＝a1＋7d）＋（a1＋8d）＋（a1＋9d） ＝3a1＋24d ＝3(a1＋8d) ＝60.
（2）已知等差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=150， 求a2＋a8的值
∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
添加标题
1.若数列{an}是等差数列，p为常数，那么数列{an +c}、{pan} 是否为等差数列，请说明理由.
2.若数列{an}、{bn}都是等差数列,那么数列{an＋bn}，{an－bn}是否为等差数列，请说明理由.
4.2.1 等差数列的概念
第二课时等差数列的性质
2、等差数列的通项公式
当d>0时，{an}为递增数列.
an ＝2n-1
y=2x-1
d=2>0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
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当d<0时，{an}为递减数列.
等差数列的图象3
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
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等差数列的图象为相应直线上的点。
当d=0时，{an}为常数列.
性质 ：设 若 则
等差数列的性质
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
判断：
可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多
∴a8＝26－a2＝26－4＝22.
解析：设此数列的首项为a1，公差为d，则a5＋a13＝（a1＋4d）＋（a1＋12d） ＝2a1＋16d＝40，即a1＋8d＝20. a8＋a9＋a10＝a1＋7d）＋（a1＋8d）＋（a1＋9d） ＝3a1＋24d ＝3(a1＋8d) ＝60.
（2）已知等差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=150， 求a2＋a8的值
∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
添加标题
1.若数列{an}是等差数列，p为常数，那么数列{an +c}、{pan} 是否为等差数列，请说明理由.
2.若数列{an}、{bn}都是等差数列,那么数列{an＋bn}，{an－bn}是否为等差数列，请说明理由.
4.2.1 等差数列的概念
第二课时等差数列的性质
2、等差数列的通项公式
高二数学等差数列2
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳 大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申 获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现 实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获 胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获 胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐 个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜 公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊 国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战 申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中 挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一 点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中 の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永
等差数列的概念(第二课时)等差数列的性质 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（2）由等差数列的性质，得 ，所以 ，解得 ，故 .（3）令 ，因为 ， 都是等差数列，所以 也是等差数列．设数列 的公差为 ，由已知得 ，由 ，得 ，解得 ，故 .
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取， 实 际 上 是 3a2,3a5,3a8… 当 然 成 等 差 数 列 ． 对 于 每 2 项 ， 4 项 ， 5 项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
等差数列的前n项和公式(2)教学设计- (人教A版 高二 选择性必修第二册)
4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
数列是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。
发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
课程目标学科素养
A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质
及应用.
B.会求等差数列前n项和的最值.
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数
3.数学运算：等差数列前n项的应用
4.数学建模：等差数列前n项的具体应用
重点：求等差数列前n项和的最值
难点：等差数列前n项和的性质及应用
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。
所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。
这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。
多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
高二数学等差数列的前n项和2
2.3 等差数列的 前n项和 (二)
主讲老师：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1
2
练习
在等差数列{an}中， 若a1＋a2＋…＋a5＝30，
(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；
(2) 由
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n, 2
利用二次函数的性质求n的值.
(3) 利用等差数列的性质求．
湖南省长沙市一中卫星远程学校
课后作业
1. 阅读教材P.42到P.44； 2. 《习案》作业十四.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
这个数列一定是等差数列. 首项a1＝p＋q 公差d＝2p
结论:
n(n 1)d
Sn na1
2
可化成
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
讲解范例:
例2. 已知数列{an}是等差数列，a1＝50， d＝－0.6. (1)从第几项开始有an＜0； (1)求此数列的前n项和的最大值.
Sn
1 4
n2
2 3
n
3,
求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗?
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
主讲老师：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1
2
练习
在等差数列{an}中， 若a1＋a2＋…＋a5＝30，
(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；
(2) 由
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n, 2
利用二次函数的性质求n的值.
(3) 利用等差数列的性质求．
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课后作业
1. 阅读教材P.42到P.44； 2. 《习案》作业十四.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
这个数列一定是等差数列. 首项a1＝p＋q 公差d＝2p
结论:
n(n 1)d
Sn na1
2
可化成
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
讲解范例:
例2. 已知数列{an}是等差数列，a1＝50， d＝－0.6. (1)从第几项开始有an＜0； (1)求此数列的前n项和的最大值.
Sn
1 4
n2
2 3
n
3,
求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗?
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
等差数列(概念和通项公式)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∗
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
等差数列的概念(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第二册)
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.
7. 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,
其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
=3
7
∴ a25=a5+(25-5)d =10+20×3=70
(2) a10=a5+(10-5)d =10+5×2=20
6. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
第10排的座位有a10 =2 10 13 33(个 ).
n1
18，
2. 画出数列 an
的图象,并求通过图象上所有点
an1 3，1 n 6
的直线的斜率.
解：数列的图象如图示.
an
18
15
12
9
6
由等差数列定义可知,数列{an }是等差数列,且a1 18,ห้องสมุดไป่ตู้ 3. 3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和性质第2课时课件
(2)若 S奇表示奇数项的和，S偶 表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S2n n(a1 a2n ) n(an an1) ，
S偶
S奇
nd ，S奇 S偶
an an1
；
②当项数为奇数2n－1时，S2n1 (2n 1)an ，
S奇
S偶
an
，S奇 S偶
n n 1
.
(3)等差数列中an与Sn的关系
数列吗？
解：(1)由已知条件，得
S 奇 + S 偶 3 5 4
S 奇 : S 偶
32 : 27
，解得
S 偶 S 奇
192 162
，
又 S 偶 S 奇 6d ，所以 d 5 .
(2) a 11
b11
2a 11 2b11
a1 a 21 b1 b21
21(a 1 2 1(b 1
a 21)
n
项和为
Sn
，则数列
Sn n
为等差数列，公差为本
2
(4)等差数列前n 项和的最值
等差数列的前n 项和公式
Sn
na1
n(n 1) d 2
d 2
n2
a
1
d 2
n
可以发现等差数列的前n 项和是关于n 的一元二次函数，且常数项为0.
①当 d
0
时，
S
有最小值，在对称轴处或对称轴附近取得；
n
②当 d
n2
(a1
d )n 2
是关于n的二次函数式，因此可利用配方法求出二次函数的
最值来确定Sn的最值，但应注意n∈N*.
2.在等差数列{an}中，a1<0，S6＝S8，该数列前多少项和最小？