矩阵求导法则
matrixid矩阵向量求导法则
(1b)
(AB)T = BT AT
(1c)
if individual inverses exist (AB)−1 = B−1A−1
(1d)
(A−1)T = (AT )−1
(1e)
0.2 trace, determinant and rank
|AB| = |A||B|
(2a)
|A−1| = 1
(2b)
0 A22
= |A11||A22|
A11 0
0 A22
−1
=
A−111 0
0 A−221
(9d) (9e)
0.10 matrix inversion lemma (sherman-morrison-woodbury)
using the above results for block matrices we can make some substitutions and get the following important results:
∂X
∂X
∂Tr XT AX = (A + AT )X
(3d)
∂X
∂Tr X−1A = −X−1AT X−1
(3e)
∂X
0.4 derivatives of determinants
∂|AXB| = |AXB|(X−1)T = |AXB|(XT )−1
(4a)
∂X
∂ ln |X| = (X−1)T = (XT )−1
(4b)
∂X
∂ ln |X(z)| = Tr
X−1 ∂X
(4c)
∂z
∂z
∂|XT AX| = |XT AX|(AX(XT AX)−1 + AT X(XT AT X)−1) (4d) ∂X
向量对矩阵求导
向量对矩阵求导在数学中，矩阵是一个长方形的数字表格，其中包含了多个数值的集合。
矩阵广泛用于各种领域，例如工程学、物理学、计算机科学和金融学等。
矩阵的求导是一种重要的数学技巧，可以用于诸如机器学习、优化和控制等领域。
本文将探讨向量对矩阵求导的方法以及其应用。
1. 向量对矩阵求导的定义首先，我们需要定义一些基本的符号。
设 $x$ 是一个 $n$ 维列向量，$A$ 是一个 $m times n$ 的矩阵。
则 $x$ 可以表示为： $$x = begin{bmatrix}x_1x_2vdotsx_nend{bmatrix},A = begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n}vdots & vdots & ddots & vdotsa_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}end{bmatrix}$$其中，$x_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 个元素，$a_{ij}$ 表示$A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
我们定义 $f(A)$ 是一个将矩阵 $A$ 映射到实数的函数，例如：$$f(A) = mathrm{tr}(A) = sum_{i=1}^n a_{ii}$$我们希望求出 $f(A)$ 对 $x$ 的导数，即 $frac{partialf(A)}{partial x}$。
这个导数表示了当 $x$ 发生微小变化时，$f(A)$ 会如何变化。
例如，如果 $f(A)$ 表示某个损失函数，我们可以用这个导数来计算损失函数对模型参数的梯度，从而进行优化。
2. 向量对矩阵求导的方法为了求出 $frac{partial f(A)}{partial x}$，我们需要使用矩阵微积分和向量微积分的知识。
矩阵求导
1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)T3. 行向量Y T对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：dX T/dX = Id(AX)T/dX = A T4. 列向量Y对行向量X T求导：转化为行向量Y T对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX T = (dY T/dX)T5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV T)/dX = (dU/dX)V T + U(dV T/dX)d(U T V)/dX = (dU T/dX)V + (dV T/dX)U重要结论：d(X T A)/dX = (dX T/dX)A + (dA/dX)X T = IA + 0X T = Ad(AX)/dX T = (d(X T A T)/dX)T = (A T)T = Ad(X T AX)/dX = (dX T/dX)AX + (d(AX)T/dX)X = AX + A T X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则：d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)重要结论：d(X T A)/dX = (dX T/dX)A + X T(dA/dX) = IA + X T0 = A8. 标量y对矩阵X的导数：类似标量y对列向量X的导数，把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
矩阵求导的链式法则
矩阵求导的链式法则矩阵求导是数学分析领域的重要分支，其应用涉及到物理、工程、计算机等众多领域。
在求解矩阵函数中，矩阵求导的链式法则是一个非常重要的技巧，它可以大大简化问题的求解过程，节省时间和精力。
链式法则是微积分中的基本规则之一。
在普通函数求导中，我们应用链式法则时，将函数分解成多个内部函数，然后逐个求导，并将结果相乘。
同样的，当我们需要求解矩阵函数的导数时，也可以使用链式法则来化简问题。
矩阵函数是指将一个或多个矩阵作为输入，得到一个矩阵输出的函数。
例如，f(X) = X^T X，其中 X 是一个列向量。
此时 f(X) 是关于 X 的函数。
要求这个函数的导数，我们需要用到矩阵求导的链式法则。
假设 f(X) 是一个矩阵函数，其中 X 是一个 n 行 m 列的矩阵，Y 是一个 p 行 q 列的矩阵。
根据链式法则，导数可以表示为：df(X) / dX = df(Y) / dY * dY / dX其中 df(Y) / dY 是一个 p 行 q 列的矩阵，dY / dX 是一个 qm 行 nm 列的矩阵。
这个公式的含义是，我们需要将函数 f(X) 分解成两个内部函数 f(Y) 和 Y(X)，其中 f(Y) = f(Y(X))。
然后，我们分别对这两个函数进行求导，通过相乘得到最终结果。
具体地，我们可以将这个过程看成以下几个步骤：1. 将矩阵函数 f(X) 分解成内部函数 f(Y) 和 Y(X)，其中 Y 是中间变量。
2. 对内部函数 f(Y) 进行求导，得到 df(Y) / dY。
3. 对中间变量 Y(X) 进行求导，得到 dY / dX。
4. 将 df(Y) / dY 和 dY / dX 相乘，得到 df(X) / dX，即函数f(X) 关于 X 的导数。
需要注意的是，矩阵求导的链式法则和普通函数求导的链式法则略有不同。
在矩阵求导中，我们需要使用矩阵乘法来计算两个链的乘积，而在普通函数求导中，我们则需要使用乘法法则来计算两个链的乘积。
矩阵求导的链式法则
矩阵求导的链式法则一、引言矩阵求导是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，如机器学习、优化等。
在矩阵求导的过程中，链式法则是一种常用且强大的工具，用于求解复合函数的导数。
本文将详细介绍矩阵求导的链式法则，并探讨其在实际问题中的应用。
二、矩阵求导的基本概念在进一步了解矩阵求导的链式法则之前，首先需要了解矩阵求导的基本概念。
对于一个矩阵函数，我们可以将其看作是一个将矩阵映射到矩阵的函数。
假设有一个矩阵函数f:ℝm×n→ℝp×q，我们希望求解其导数∂f∂X ，其中X∈ℝm×n。
矩阵求导的目标是找到一个与X同维度的矩阵，使得该矩阵的元素分别是f对X中相应元素的导数。
三、链式法则的概念链式法则是微积分中的一条基本规则，用于计算复合函数的导数。
对于多个函数的复合，链式法则告诉我们如何求解复合函数的导数。
在矩阵求导中，链式法则同样适用，并且可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
链式法则的基本形式如下：∂f(g(X))∂X =∂f(g(X))∂g(X)⋅∂g(X)∂X其中，f和g分别是函数，X是自变量。
该公式表明，要计算复合函数f(g(X))对X的导数，可以先计算f对g(X)的导数，再乘以g(X)对X的导数。
四、矩阵求导的链式法则推导接下来，我们将推导矩阵求导的链式法则。
假设有两个矩阵函数F:ℝm×n→ℝp×q 和G:ℝp×q→ℝr×s，我们希望求解复合函数H=G(F(X))对X的导数。
根据链式法则，可以得到如下的推导过程：1.首先，计算复合函数H对X的导数：∂H ∂X =∂G(F(X))∂X2.根据链式法则，将复合函数拆分为两个部分：∂G(F(X))∂X =∂G(F(X))∂F(X)⋅∂F(X)∂X3.计算导数的乘积项：–计算∂G(F(X))∂F(X)：根据矩阵求导的定义，可以逐元素地计算G对F(X)的导数。
–计算∂F(X)∂X：同样地，根据矩阵求导的定义，可以逐元素地计算F 对X的导数。
矩阵的导数运算法则
矩阵的导数运算法则你有没有想过，矩阵其实就像一个庞大的数据工厂，成千上万的数据从不同的地方进进出出。
每一行、每一列，都是它的一部分，互相协作、互相配合。
这时候，问题来了：如果你要研究矩阵的变化，怎么知道它的各个部分是怎么跟随变化的？别担心，矩阵的导数运算法则就像是给你提供了一张超级详细的地图，告诉你如何“剖析”这些数据、如何在变化中寻找规律。
听起来有点复杂，但这也就像是你在厨房里做饭，配料和步骤都很简单，只要掌握了，就能轻松搞定！矩阵导数的概念，乍一看可能有点让人抓狂。
它其实就是对矩阵中的每个元素做导数，就好像你在做微积分一样，但这里不是对一个函数求导，而是对每个“数据点”做分析。
想象你正在操控一台很大的显示器，上面是一个个数据的方阵。
你要做的，就是看看这些数据如何随着某个参数的变化而变化。
是不是挺有意思的？说到矩阵的导数运算，我们最常用的运算规则有几个。
比如说，当你想求一个矩阵相对于另一个矩阵的导数时，你得记住，它们之间的关系就像是两个好朋友，互相牵着手，哪怕有点距离，它们也总是保持着某种固定的比例。
矩阵之间的加减法就很简单，像加法，直接对每个元素求导；而乘法的话，就得小心了，这时候有个“链式法则”得帮你忙。
没错，就是你常听到的链式法则，它就像是你在做连环套，先从外面开始算，再逐个递进。
很有意思是不是？例如你有两个矩阵A和B，想要求它们的乘积C的导数。
你不能直接乱来，而是得分步骤来。
首先求A的导数，再求B的导数，然后再按顺序结合，保证每一部分都没有漏掉。
这就像你做一个大拼图，得一步步拼，不能心急。
你在运算时要小心，千万别搞错了顺序，位置不同，结果也会大不同！再说说矩阵的转置，可能有些同学觉得它很简单，它背后有个很重要的“巧妙之处”。
矩阵的转置，就是把矩阵的行和列互换。
如果你要求一个转置矩阵的导数，你会发现，这个过程其实并不麻烦。
说白了，转置操作就像是给你带了一副镜子，直接在镜子里看数据，行和列一对调，你就能轻松搞定它。
多项式矩阵求导法则
多项式矩阵求导法则多项式矩阵的求导法则涉及对矩阵中的每个元素进行求导。
以下是一些基本的指导原则：1.标量对矩阵求导：o当一个标量函数对一个矩阵求导时，结果是一个与矩阵同型的矩阵，其中每个元素是函数对该矩阵对应元素的偏导数。
2.矩阵对标量求导：o当一个矩阵对一个标量求导时，通常是对矩阵中的每个元素分别对该标量求导。
结果可能是一个更高维的张量或保持原矩阵形状，具体取决于求导的上下文。
3.矩阵对矩阵求导：o当一个矩阵函数对另一个矩阵求导时，结果是一个四阶张量（或称为超级矩阵），其中每个元素是函数对另一个矩阵中对应元素的偏导数。
但在实际应用中，这种全张量形式往往过于复杂，因此通常会采用一些简化或近似的方法。
4.特殊情况下的简化：o在某些特殊情况下，例如当矩阵是向量或当矩阵函数具有特殊形式（如线性或二次型）时，求导过程可能会大大简化。
例如，对于向量函数对向量的求导，结果可能是一个雅可比矩阵或海森矩阵。
5.链式法则和乘积法则：o对于更复杂的矩阵函数，如矩阵乘法或矩阵链式函数，需要应用链式法则和乘积法则来计算导数。
这些法则在标量函数求导中非常熟悉，但在矩阵函数求导中需要特别注意矩阵的维度和顺序。
6.使用符号计算工具：o对于复杂的矩阵求导问题，手动计算可能既繁琐又容易出错。
因此，建议使用符号计算工具（如MATLAB的Symbolic Math Toolbox、Python的SymPy库等）来辅助计算。
这些工具可以自动处理维度匹配、链式法则和乘积法则等细节，从而大大提高计算效率和准确性。
7.注意维度和形状：o在进行矩阵求导时，要特别注意矩阵的维度和形状。
确保在进行求导运算时，矩阵的维度是匹配的，以避免出现错误的结果。
例如，对于矩阵乘法AB=C，如果A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则C是m×p矩阵。
当对C中的元素c_ij求导时，需要考虑到它与A的第i行和B的第j列的元素有关。
8.实际应用中的考虑：o在实际应用中，多项式矩阵求导可能涉及更复杂的场景和约束条件。
矩阵求导(本质、原理与推导)详解
矩阵求导(本质、原理与推导)详解1.引言矩阵求导是数学分析中重要的一部分，广泛应用于机器学习、数据挖掘和优化问题中。
本文将介绍矩阵求导的本质、原理以及推导过程，为读者提供一个比较全面的了解。
2.矩阵的本质及相关概念在矩阵求导前，我们需要先了解矩阵的本质及相关概念。
矩阵是一个按照规律排列的方阵，其中每个元素通常是实数或者复数。
以$n$行$m$列的矩阵$A$为例，可以表示为：$$A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m}\\\end{bmatrix}$$其中$a_{i,j}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。
矩阵还有一些相关的概念，如矩阵的转置、逆矩阵、伴随矩阵等等，这里不一一赘述。
3.标量函数对向量、矩阵的导数在开始矩阵求导之前，我们需要先了解标量函数对向量或矩阵的导数。
设矩阵$A$是一个$m\times n$的矩阵，$x$是一个$n \times1$的向量，函数$f(x)$将$x$映射为一个标量。
我们定义$f(x)$对$x$的导数为：$$\frac{\partial f(x)}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}&\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}\end{bmatrix}$$其中每一项$\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$表示$f(x)$对$x_i$的偏导数。
矩阵及向量求导法则
以下是第4种定义的法则！！！矩阵及向量求导法则①元素、列向量、行向量、矩阵；②元素必分其它；求导分子和求导分母皆是元素时便是一般的求导情况；③求导分子为行向量时分配求导分母，除非求导分母为元素；求导分母为列向量时分配求导分子，除非求导分子为元素；④求导分子和求导分母皆是矩阵时，总是化求导分子为列阵，化求导分母为行阵，这样它们就能相互分配彼此。
二元向量值函数的导数与微分m R R A f →⊂2:R x x x x f x x f x x f x x f m ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121221121,,),(),(),(),(定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211121222121121222211112112121221121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(dx x x x f dx x x x f dx x x x f dx x x x f dx x x x f dx x x x f x x df x x df x x df x x df m m m 利用矩阵乘法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21221121221212122211121122211121222121121222211112112121221121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(dx dx x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f dx x x x f dx x x x f dx x x x f dx x x x f dx x x x f dx x x x f x x df x x df x x df x x df m m m m m 于是，将矩阵：),(),(),(),(),(),(),(212211212212121222111211x x Df x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f m m =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 称为导数，该矩阵为Jacobi 矩阵。
矩阵内积求导法则
矩阵内积求导法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵内积求导法则是矩阵微积分中非常重要的一个内容，它在机器学习、优化问题、计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
本篇文章将详细介绍矩阵内积求导法则的定义、推导过程以及实际应用。
一、定义矩阵内积指的是两个矩阵相乘得到的结果。
设有两个矩阵A和B，它们的内积记为C，记作C=A*B。
在矩阵内积中，两个矩阵的行数和列数要满足一定的要求，具体而言，如果矩阵A的维度为m×n，矩阵B的维度为n×p，那么它们的内积矩阵C的维度为m×p。
二、矩阵内积的求导法则在矩阵微积分中，我们经常需要对矩阵内积进行求导。
矩阵内积的求导法则可以表示为：若有两个矩阵A和B，它们的内积C=A*B，则C对任意一个矩阵的导数可以表示为：∂C/∂A = B^TB^T表示B的转置矩阵。
同理，C对B的导数可以表示为：这个法则的推导过程可以通过矩阵的展开式进行证明，这里不再详述。
这个法则对于矩阵微积分来说是非常重要的，它可以帮助我们快速求解复杂的矩阵导数。
三、实际应用矩阵内积的求导法则在机器学习和优化算法中有着广泛的应用。
在机器学习中，我们经常需要通过梯度下降等方法来最小化损失函数，这就会涉及到对损失函数关于模型参数（矩阵）的导数计算。
利用矩阵内积的求导法则，我们可以快速有效地计算出损失函数对参数的导数，从而完成参数的更新。
在计算机图形学中，矩阵内积求导法则也有着重要的应用。
在图形变换和动画建模等领域，我们经常需要对矩阵进行变换和运动操作，这就需要对矩阵的导数进行计算。
通过矩阵内积的求导法则，我们可以准确地获得矩阵变换的导数，从而实现图形的平移、旋转和缩放等操作。
第二篇示例：矩阵内积是矩阵乘法的一种形式，通常用于描述多个向量之间的关系。
在机器学习和深度学习领域，矩阵内积求导是一项重要的计算任务，它能够帮助我们优化模型并提高模型的性能。
矩阵内积求导法则是求解矩阵内积的导数的规则和方法，其基本原理是通过链式法则和向量微积分等基本数学知识来推导出矩阵内积的导数表达式。