矩阵求导公式
矩阵拉普拉斯公式
矩阵拉普拉斯公式 矩阵拉普拉斯公式是线性代数中的重要公式之一，用于计算矩阵的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种通过将函数或信号从时间域转换到频率域来研究函数性质的数学工具。
在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵拉普拉斯公式的定义、推导过程以及应用举例，以帮助读者更好地理解。
矩阵拉普拉斯公式表示了矩阵函数的导数与矩阵本身之间的关系。
设A是一个n阶矩阵，函数f(A)表示将函数f作用于矩阵A后的结果，那么矩阵拉普拉斯公式可以表示为： f'(A) = ∑(C_k * (A - λ_kI)^(-1)) 其中，f'(A)表示函数f对矩阵A求导的结果，C_k表示函数f在特征值λ_k处的导数值，I表示单位矩阵。
二、矩阵拉普拉斯公式的推导过程 为了推导矩阵拉普拉斯公式，首先需要使用特征值分解将矩阵A 分解成特征向量和特征值的形式，即：A = PDP^(-1) 其中，P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由A的特征值构成的对角阵。
然后使用泰勒级数展开将函数f(x)近似表示为一系列幂函数的和： f(x) = c_0 + c_1 * x + c_2 * x^2 + ...将矩阵A代入函数f(x)中，应用线性性质，可以得到： f(A) = c_0I + c_1A + c_2A^2 + ...接下来，对上述等式两边分别求导，得到： f'(A) = c_1I + 2c_2A + 3c_3A^2 + ... 最后，将特征值分解的表达式A = PDP^(-1)代入上述等式，利用特征值和特征向量的性质，可以得到矩阵拉普拉斯公式： f'(A) = ∑(C_k * (A - λ_kI)^(-1))三、矩阵拉普拉斯公式的应用举例 为了更好理解矩阵拉普拉斯公式的应用，以下将以信号处理领域中的卷积运算为例进行说明。
在信号处理中，卷积运算是一种常用的运算方式，用于将两个信号进行混合。
假设有两个信号f(x)和g(x)，它们的卷积运算可以表示为： (h * g)(x) = ∫(f(t)g(x - t)dt) 将卷积运算转化为矩阵形式，可以利用矩阵拉普拉斯公式来计算。
对矩阵的迹求导
对矩阵的迹求导对矩阵的迹求导矩阵是数学中重要的概念之一，它广泛地应用于各个领域中。
在矩阵运算中，对矩阵的迹求导是一个十分重要的问题。
本文将从矩阵、矩阵的迹以及对矩阵的迹求导等方面进行阐述和探讨。
一、矩阵的概念和运算矩阵是一个非常重要的数学概念，不仅涉及数学本身，还涉及到其他领域，如物理、化学、经济学、计算机科学等等。
矩阵可以看作是由数个数排成一排（称之为行）或一列（称之为列），比如：$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$其中包含了3行3列9个数，它被称为一个3x3的矩阵。
我们可以对矩阵进行加、减、乘等操作，其中加法和减法很容易理解，乘法有两种情形。
1. 矩阵与标量相乘给定一个标量k和一个矩阵A，我们可以定义矩阵与标量的乘法，即：$$ kA= \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} &\cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots &ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} $$eg.$$ 3\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6\\ 9 & 12\end{bmatrix} $$2. 矩阵与矩阵相乘对于两个矩阵A和B，只有当A的列数与B的行数相同时，它们才可以相乘。
那么，它们的乘积C的定义为：$$ C_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A_{i,k}B_{k,j} $$其中，m表示A和B中的矩阵元素的数量。
矩阵模的求导
矩阵模的求导
矩阵模的求导是一个相对复杂的话题，涉及到矩阵的导数和链式法则的应用。
首先，我们需要了解矩阵的导数是什么。
矩阵的导数可以理解为矩阵函数在某个点上的变化率。
对于一个矩阵函数 f(A)，其在某个点 A 的导数可以表示为 f'(A)。
对于矩阵模的求导，我们可以采用链式法则。
链式法则是求导法则的一种，对于复合函数，如果内函数是关于自变量可导的，外函数是关于内变量可导的，则复合函数在对应点的导数等于外函数在对应点的导数乘以内函数在对应点的导数。
假设我们有一个矩阵函数 f(A) = |A|，其中 A 是一个矩阵，|A| 表示 A 的模。
我们要找到这个函数在某个点 A 处的导数 f'(A)。
首先，我们需要确定矩阵模的定义。
在某些定义中，矩阵的模等于其行列式的绝对值，即 |A| = |det(A)|。
然后，我们应用链式法则来求导。
根据链式法则，我们有：
f'(A) = lim (h->0) ( |(A+h) - A| / h )
这个表达式实际上就是 |det(A+h) - det(A)| / h。
因为行列式是方阵的连续函数，所以我们可以使用连续函数的求导法则来计算这个导数。
最终，我们可以得到 f'(A) = adj(A) * tr(A)，其中 adj(A) 表示 A 的伴随矩阵，tr(A) 表示 A 的迹。
这就是矩阵模的求导公式。
矩阵运算 梯度和求导公式
∇∇X(:,2) g1(X) ∇∇X(:,2) g2(X) · · · ∇∇X(:,2) gN (X)
...
...
...
∇∇X(:,L) g1(X) ∇∇X(:,L) g2(X) · · · ∇∇X(:,L) gN (X)
= [ ∇2g1(X) ∇2g2(X) · · · ∇2gN (X) ] ∈ RK×N×L×K×L
Mεβoo Publishing USA, 2005, v2010.01.05.
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APPENDIX D. MATRIX CALCULUS
The gradient of vector-valued function v(x) : R → RN on real domain is a row-vector
∂f(x)
∂x1
∂f(x)
∂x... 2
∈
RK
∂f (x)
∂xK
(1719)
while the second-order gradient of the twice differentiable real function with respect to its vector argument is traditionally called the Hessian ;
= [ ∇g1(X) ∇g2(X) · · · ∇gN (X) ] ∈ RK×N×L
(1727)
while the second-order gradient has a five-dimensional representation;
∇ 2 g(X )
∇∇X(:,1) g1(X) ∇∇X(:,1) g2(X) · · · ∇∇X(:,1) gN (X)
公式十大必胜技巧
公式十大必胜技巧公式在数学中是一种非常重要的工具，它能够用来解决各种问题，而十大必胜技巧则是指那些用公式解题的经典方法或技巧。
下面将介绍十大必胜技巧：1. 二次方程求解公式：通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，可以求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
2. 三角函数的和差公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ±cos(a)sin(b)，cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)。
这些公式可以用来简化三角函数的运算。
3. 对数运算法则：ln(ab) = ln(a) + ln(b)，ln(a/b) = ln(a) -ln(b)，ln(a^b) = b ln(a)。
这些公式可以用来简化对数运算。
4. 泰勒级数展开：通过利用泰勒级数将一个函数展开成一个无穷级数，可以对一些复杂函数进行近似计算，如sin(x) ≈ x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...。
5. 级数求和公式：级数是一种无穷和的表达式，而级数求和公式可以用来计算一些特定级数的和，如等差数列求和公式 Sn = n(a1 + an)/26. 概率公式：概率是描述事件发生可能性的数值，而一些重要的概率公式可以用来计算概率，如加法法则 P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)。
7.矩阵运算公式：矩阵是一个有限个数排列成矩形形式的数的集合，而矩阵运算公式可以用来进行矩阵的加减乘除等运算，如矩阵乘法C=A×B。
8. 导数公式：导数是用来描述函数变化率的概念，而一些重要的导数公式可以用来求导，如常数求导法则 d/dx(c) = 0，幂函数求导法则d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
9. 积分公式：积分是求函数面积的一种方法，而一些重要的积分公式可以用来计算积分，如定积分公式∫[a,b] f(x) dx。
矩阵求导
矩阵函数求导首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵（1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。
函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。
单变量函数矩阵的微分与积分考虑实变量t 的实函数矩阵()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。
定义函数矩阵的微分与积分0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质：（1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt+=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt=+； 特殊情形（a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt=； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt=+； （3） ()111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。
如果,A B 可交换，则许多三角不等式可以推广到矩阵上。
如sin(),sin(2)A b A +等。
参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。
（2） 矩阵函数，就是自变量为矩阵的函数映射；根据函数的自变量和因变量的形式可分为多种。
矩阵函数的导数定义（向量导数）：映射:n m f →\\，()()12(),(),,()(), 1...T m i f f x f x f x f x i m ==="，定义映射的导数为一个m n ×的偏导数矩阵 (), 1..., 1...i ij j df x Df i m j n dx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦. 例如 dAx A dx=， ⇒()()()(),,D f x g x Df x Dg x αβαβαβ⎡⎤+=+∈∈⎢⎥⎣⎦\\()()''()()()D f g x f g x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦''()()()()()(),,T T T n m D f x g x g x f x f x g x f g ⎡⎤=+∈→⎢⎥⎣⎦\\ ⇒()()T T T T T dx Ax x A Ax x A A dx=+=+定义（矩阵导数）：()vec ()()vec()d A X dA X dX d X 有符号说明•d/dx (y)是一个向量，其第(i)个元素是dy(i)/dx•d/d x (y) 是一个向量，其第(i)个元素是dy/dx(i)•d/d x (y T) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(j)/dx(i)•d/dx (Y) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(i,j)/dx •d/d X (y) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy/dx(i,j)注意 Hermitian 转置不能应用，因为复共轭不可解析，x,y是向量，X，Y是矩阵，x,y是标量。
高中数学18个求导公式
高中数学18个求导公式1. 一次函数求导公式：y' = ax + b2. 二次函数求导公式：y'' = 2ax + b3. 三次函数求导公式：y''' = 6ax² + 2bx + c4. 常数求导公式：y' = 05. 幂函数求导公式：dy/dx = a(x^(a-1))6. 对数函数求导公式：y' = 1/x7. 三角函数求导公式：sin x : y' = cos xcos x : y' = -sin xtan x : y' = sec² x8. 指数函数求导公式：y' = e^x9. 高次多项式求导公式：根据指数规律求导：(a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0)' = n*a_nx^(n-1)+(n-1)*a_(n-1)x^(n-2)+...+a_110. 复合函数求导公式：f(g(x))' = g'(x) * f'(g(x))11. 逆函数求导公式：y' = 1 / (f'(y))12. 隐函数求导公式：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)13. 雅可比矩阵求导公式：y' = [dF/dx, dF/dy]14. 极坐标求导公式：y' = (x'*cosθ + y'*sinθ) / r15. 参数方程求导公式：dy/dt = [(dy/dx) * (dx/dt) + (dy/dy) * (dy/dt)]16. 椭圆方程求导公式：x' = -a*sinα / c17. 积分求导公式：dy/dx = f(x)18. 微分求导公式：y' = lim (h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
矩阵内积求导法则
矩阵内积求导法则是矩阵微分中的一组规则，用于计算涉及矩阵的函数的导数。
这些法则在机器学习、优化问题等领域中经常被使用，因为涉及到大量矩阵运算。
以下是一些常见的矩阵内积求导法则的讨论，为了简便，我们使用大写字母表示矩阵，小写字母表示标量。
这些矩阵内积求导法则为处理涉及矩阵的复杂函数提供了便利，尤其在深度学习和优化问题中，这些法则被广泛应用于梯度下降、反向传播等算法中，以优化模型参数。
深入理解这些法则对于矩阵微分的应用和理论研究都具有重要的意义。
矩阵求导的链式法则
矩阵求导的链式法则一、引言矩阵求导是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，如机器学习、优化等。
在矩阵求导的过程中，链式法则是一种常用且强大的工具，用于求解复合函数的导数。
本文将详细介绍矩阵求导的链式法则，并探讨其在实际问题中的应用。
二、矩阵求导的基本概念在进一步了解矩阵求导的链式法则之前，首先需要了解矩阵求导的基本概念。
对于一个矩阵函数，我们可以将其看作是一个将矩阵映射到矩阵的函数。
假设有一个矩阵函数f:ℝm×n→ℝp×q，我们希望求解其导数∂f∂X ，其中X∈ℝm×n。
矩阵求导的目标是找到一个与X同维度的矩阵，使得该矩阵的元素分别是f对X中相应元素的导数。
三、链式法则的概念链式法则是微积分中的一条基本规则，用于计算复合函数的导数。
对于多个函数的复合，链式法则告诉我们如何求解复合函数的导数。
在矩阵求导中，链式法则同样适用，并且可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
链式法则的基本形式如下：∂f(g(X))∂X =∂f(g(X))∂g(X)⋅∂g(X)∂X其中，f和g分别是函数，X是自变量。
该公式表明，要计算复合函数f(g(X))对X的导数，可以先计算f对g(X)的导数，再乘以g(X)对X的导数。
四、矩阵求导的链式法则推导接下来，我们将推导矩阵求导的链式法则。
假设有两个矩阵函数F:ℝm×n→ℝp×q 和G:ℝp×q→ℝr×s，我们希望求解复合函数H=G(F(X))对X的导数。
根据链式法则，可以得到如下的推导过程：1.首先，计算复合函数H对X的导数：∂H ∂X =∂G(F(X))∂X2.根据链式法则，将复合函数拆分为两个部分：∂G(F(X))∂X =∂G(F(X))∂F(X)⋅∂F(X)∂X3.计算导数的乘积项：–计算∂G(F(X))∂F(X)：根据矩阵求导的定义，可以逐元素地计算G对F(X)的导数。
–计算∂F(X)∂X：同样地，根据矩阵求导的定义，可以逐元素地计算F 对X的导数。
考研数学公式大全
考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一，而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。
以下是一份考研数学公式大全，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式，希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。
一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则：f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则：f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则：f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件：f'(x)=0本文2)极值定理：f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理：d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点c∈[a,b]，使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分：∫sinx dx=cosx+C，∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式：D=a11A11+a12A12+...+an1An1，其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式：V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)])，其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法：C=AB，其中Cij=∑AikBkj，k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵：A^-1=(1/∣A∣)A，其中∣A∣为矩阵A的行列式值，A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积：〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则：若f是一个包含x和函数u=u(x)，则f' = f'[u(x)] * u'(x)。
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转载]矩阵求导公式【转】(2011-11-15 11:03:34)转载▼标签：转载原文地址：矩阵求导公式【转】作者：三寅今天推导公式，发现居然有对矩阵的求导，狂汗--完全不会。
不过还好网上有人总结了。
吼吼，赶紧搬过来收藏备份。
基本公式：Y = A * X --> DY/DX = A'Y = X * A --> DY/DX = AY = A' * X * B --> DY/DX = A * B'Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. 行向量Y'对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对行向量X’求导：转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。
注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。
d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = Ad(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
7. 矩阵积对列向量求导法则：d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A8. 标量y对矩阵X的导数：类似标量y对列向量X的导数，把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]重要结论：y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'y = U'X'XU 则dy/dX = 2XUU'y = (XU-V)'(XU-V) 则dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'9. 矩阵Y对矩阵X的导数：将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。
10.乘积的导数d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'结论d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x （注意：''是表示两次转置）比较详细点的如下：/blog/static/145880136201051113615571/ /wangwen926/blog/item/eb189bf6b0fb702b720eec94.html其他参考：Contents•Notation•Derivatives of Linear Products•Derivatives of Quadratic ProductsNotation•d/dx (y)is a vector whose (i) element is dy(i)/dx•d/d x (y) is a vector whose (i) element is dy/dx(i)•d/d x (y T) is a matrix whose (i,j) element is dy(j)/dx(i)•d/dx (Y) is a matrix whose (i,j) element is dy(i,j)/dx•d/d X (y) is a matrix whose (i,j) element is dy/dx(i,j)Note that the Hermitian transpose is not used because complex conjugates are not analytic. In the expressions below matrices and vectors A, B, C do not depend on X. Derivatives of Linear Products•d/dx (AYB) =A * d/dx (Y) * B••d/dx (Ay) =A * d/dx (y)•d/d x(x T A) =A••d/d x(x T) =I•d/d x(x T a) = d/d x(a T x) = a•d/d X(a T Xb) = ab T••d/d X(a T Xa) = d/d X(a T X T a) = aa T•d/d X(a T X T b) = ba T•d/dx (YZ) =Y * d/dx (Z) + d/dx (Y) * ZDerivatives of Quadratic Products•d/d x (Ax+b)T C(D x+e) = A T C(Dx+e) + D T C T(Ax+b)••d/d x (x T Cx) = (C+C T)x••[C: symmetric]: d/d x (x T Cx) = 2Cx•d/d x (x T x) = 2x•d/d x (Ax+b)T (D x+e) = A T (Dx+e) + D T (Ax+b)••d/d x (Ax+b)T (A x+b) = 2A T (Ax+b)•[C: symmetric]: d/d x (Ax+b)T C(A x+b) = 2A T C(Ax+b)•d/d X(a T X T Xb) = X(ab T + ba T)••d/d X(a T X T Xa) = 2Xaa T•d/d X(a T X T CXb) = C T Xab T + CXba T••d/d X(a T X T CXa) = (C + C T)Xaa T•[C:Symmetric]d/d X(a T X T CXa) = 2CXaa T•d/d X((Xa+b)T C(Xa+b)) = (C+C T)(Xa+b)a TDerivatives of Cubic Products•d/d x(x T Axx T) = (A+A T)xx T+x T AxIDerivatives of Inverses•d/dx (Y-1) = -Y-1d/dx (Y)Y-1Derivative of TraceNote: matrix dimensions must result in an n*n argument for tr().•d/d X(tr(X)) = I•d/d X(tr(X k)) =k(X k-1)T•d/d X(tr(AX k)) =SUM r=0:k-1(X r AX k-r-1)T•d/d X(tr(AX-1B)) = -(X-1BAX-1)T•d/d X(tr(AX-1)) =d/d X(tr(X-1A)) = -X-T A T X-T•d/d X(tr(A T XB T)) = d/d X(tr(BX T A)) = AB•d/d X(tr(XA T)) = d/d X(tr(A T X)) =d/d X(tr(X T A)) = d/d X(tr(AX T)) = A•d/d X(tr(AXBX T)) = A T XB T + AXB•d/d X(tr(XAX T)) = X(A+A T)•d/d X(tr(X T AX)) = X T(A+A T)•d/d X(tr(AX T X)) = (A+A T)X•d/d X(tr(AXBX)) = A T X T B T + B T X T A T•[C:symmetric]d/d X(tr((X T CX)-1A) = d/d X(tr(A (X T CX)-1) = -(CX(X T CX)-1)(A+A T)(X T CX)-1•[B,C:symmetric]d/d X(tr((X T CX)-1(X T BX)) = d/d X(tr( (X T BX)(X T CX)-1) = -2(CX(X T CX)-1)X T BX(X T CX)-1 + 2BX(X T CX)-1Derivative of DeterminantNote: matrix dimensions must result in an n*n argument for det().•d/d X(det(X)) = d/d X(det(X T)) = det(X)*X-T••d/d X(det(AXB)) = det(AXB)*X-T•d/d X(ln(det(AXB))) = X-T•d/d X(det(X k)) = k*det(X k)*X-T•d/d X(ln(det(X k))) = k X-T•[Real] d/d X(det(X T CX)) = det(X T CX)*(C+C T)X(X T CX)-1••[C: Real,Symmetric]d/d X(det(X T CX)) = 2det(X T CX)* CX(X T CX)-1•[C: Real,Symmetricc]d/d X(ln(det(X T CX))) = 2CX(X T CX)-1JacobianIf y is a function of x, then d y T/d x is the Jacobian matrix of y with respect to x.Its determinant, |d y T/d x|, is the Jacobian of y with respect to x and represents the ratio of the hyper-volumes d y and d x. The Jacobian occurs when changing variables in an integration: Integral(f(y)d y)=Integral(f(y(x)) |d y T/d x| d x).Hessian matrixIf f is a function of x then the symmetric matrix d2f/d x2 = d/d x T(df/d x) is the Hessian matrix of f(x). A value of x for which df/d x = 0 corresponds to a minimum, maximum or saddle point according to whether the Hessian is positive definite, negative definite or indefinite.•d2/d x2 (a T x) = 0•d2/d x2 (Ax+b)T C(D x+e) = A T CD + D T C T A••d2/d x2 (x T Cx) = C+C T••d2/d x2 (x T x) = 2I•d2/d x2 (Ax+b)T (D x+e) = A T D + D T A••d2/d x2 (Ax+b)T (A x+b) = 2A T A•[C: symmetric]: d2/d x2 (Ax+b)T C(A x+b) = 2A T CA/matrix/calculus.html/~dattorro/matrixcalc.pdf/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf /~pfackler/MatCalc.pdfhttp://center.uvt.nl/staff/magnus/wip12.pdf。