最新沪科版八年级数学上册第一学期期末专题复习资料
2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练(附答案)
2021-2022学年沪科版八年级数学第一学期期末复习压轴题专题训练（附答案）1．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE＝．2．某经销商从市场得知如下信息：A品牌计算器B品牌计算器进价（元/台）700100售价（元/台）900160他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进A品牌计算器x台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？3．上周六上午8点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离y （千米）与他们路途所用的时间x（时）之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：（1）求直线AB所对应的函数关系式；（2）已知小颖一家出服务区后，行驶30分钟时，距姥姥家还有80千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家？4．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．5．如图信息，L1为走私船，L2为我公安快艇，航行时路程与时间的函数图象，问（1）在刚出发时我公安快艇距走私船多少海里？（2）计算走私船与公安快艇的速度分别是多少？（3）写出L1，L2的解析式（4）问6分钟时两艇相距几海里．（5）猜想，公安快艇能否追上走私船，若能追上，那么在几分钟追上？6．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中的路程与时间的关系．赛跑的全程是米．（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？7．如图1，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．①若∠BAO＝60°，则∠D＝°．②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．（2）若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，则∠D＝°．（3）若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，其余条件不变，则∠D＝°（用含α、n的代数式表示）8．已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．10．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，点I是两角B、C平分线的交点．问题（1）：填空：∠BIC＝°．问题（2）：若点D是两条外角平分线的交点；填空：∠BDC＝°．问题（3）：若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC 的数量关系，并说明理由．问题（4）：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．11．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．12．在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C 作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1①请你将图形补充完整；②线段BF、AD所在直线的位置关系为，线段BF、AD的数量关系为；（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2①请你将图形补充完整；②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．13．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．14．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何．15．已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB＝∠AED＝90°．（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF＝DE；（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．16．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在直线AB上取一点M，使AM＝BC，过点A作AE⊥AB且AE＝BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．（1）如图1，若点M在线段AB边上时，求∠AFM的度数；（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB＝15°，求∠AFM的度数．17．如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1个单位的速度由B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．19．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A、PB分别相交于点E、F，已知MN＝6cm．（1）求△OEF的周长；（2）连接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；（3）当∠a＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由．20．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．21．（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝62°，∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，求∠BDC的度数．（2）图（1）所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．（3）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．22．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O．（1）若∠A＝50°，求∠BOC的度数；（2）设∠A的度数为n°（n为已知数），求∠BOC的度数；（3）当∠A为多少度时，∠BOC＝3∠A？参考答案1．解：连接BD、AE，∵DA⊥AB，FC⊥AB，∴∠DAB＝∠BCF＝90°，在△DAB和△BCF中，，∴△DAB≌△BCF（SAS），∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF，∴∠BDF＝∠BFD，∵∠DAB＝90°，∴∠ADB+∠DBA＝90°，∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°，∴∠BFD＝∠BDF＝45°，同理∠AFE＝45°，∴∠DFE＝45°+45°﹣51°＝39°，故答案为：39°．2．解：（1）y＝（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）＝140x+6000，其中700x+100（100﹣x）≤40000，得x≤50，即y＝140x+6000，（0＜x≤50）；（2）令y≥12600，则140x+6000≥12600，∴x≥47，又∵x≤50，∴47≤x≤50∴经销商有以下三种进货方案：方案A品牌（台）B品牌（台）①4852②4951③5050（3）∵y＝140x+6000，140＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝50时，y取得最大值，又∵140×50+6000＝13000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．3．解：（1）设直线AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，把（0，320）和（2，120）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB所对应的函数关系式为：y＝﹣100x+320；（2）设直线CD所对应的函数关系式为y＝mx+n，把（2.5，120）和（3，80）代入y＝mx+n得：，解得：，∴直线CD所对应的函数关系式为y＝﹣80x+320，当y＝0时，x＝4，∴小颖一家当天12点到达姥姥家．4．解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB＝＝13；（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，∴AB＝|4﹣（﹣1）|＝5；（3）△DEF为等腰三角形，理由为：∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，即DE＝DF，则△DEF为等腰三角形；（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，设直线DF′解析式为y＝kx+b，将D（1，6），F′（4，﹣2）代入得：，解得：，∴直线DF′解析式为y＝﹣x+，令y＝0，得：x＝，即P（，0），∵PF＝PF′，∴PD+PF＝DP+PF′＝DF′＝＝，则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（，0），此时PD+PF的最短长度为．5．解：（1）在刚出发时我公安快艇距走私船5海里．（2）公安快艇是4分钟6海里，走私船是每分钟＝1海里；公安快艇的速度是＝海里．（3）设L1：y1＝k1x+b过（0，5）和（4，9）点解得∴y1＝x+5设L2：y2＝k2x过（4，6）点∴y2＝x（4）当x＝6时，y1＝11，y2＝9；11﹣9＝26分钟时相距2海里．（5）y1＝y2x+5＝xx＝1010分钟时相遇．6．解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；由图象可知：赛跑的路程为1500米；故答案为：兔子、乌龟、1500；（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．1500÷30＝50（米）乌龟每分钟爬50米．（3）700÷50＝14（分钟）乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．（4）∵48千米＝48000米∴48000÷60＝800（米/分）（1500﹣700）÷800＝1（分钟）30+0.5﹣1×2＝28.5（分钟）兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．7．解：（1）①∵∠BAO＝60°、∠MON＝90°，∴∠ABN＝150°，∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，∴∠CBA＝∠ABN＝75°，∠BAD＝∠BAO＝30°，∴∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝45°，故答案为：45；②∠D的度数不变．理由是：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；（2）设∠BAD＝α，∵∠BAD＝∠BAO，∴∠BAO＝3α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+3α，∵∠ABC＝∠ABN，∴∠ABC＝30°+α，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝30°+α﹣α＝30°，故答案为：30；（3）设∠BAD＝β，∵∠BAD＝∠BAO，∴∠BAO＝nβ，∵∠AOB＝α°，∴∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝α+nβ，∵∠ABC＝∠ABN，∴∠ABC＝+β，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+β﹣β＝，故答案为：．8．（1）证明：∵∠FEC＝∠A+∠ADE，∠F+∠BDF＝∠ABC，∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE＝∠BDF，∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，∵∠A＝∠ABC，∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC＝2∠A．（2）∠MBC＝∠F+∠FEC．证明：∵BM∥AC，∴∠MBA＝∠A，、∵∠A＝∠ABC，∴∠MBC＝∠MBA+∠ABC＝2∠A，又∵∠F+∠FEC＝2∠A，∴∠MBC＝∠F+∠FEC．9．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．10．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90+∠BAC＝115°；（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，∴∠DBI＝90°，同理∠DCI＝90°，在四边形CDBI中，∠BDC＝180°﹣∠BIC＝90°﹣∠BAC＝65°；（3）∠BEC＝∠BAC．证明：在△BDE中，∠DBI＝90°，∴∠BEC＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣∠BAC）＝∠BAC；（4）当∠ACB等于80°时，CE∥AB．理由如下：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A＝50°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG＝2∠ACE＝100°，∴∠ABC＝∠ACG﹣∠BAC＝100°﹣50°＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝80°．11．解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．12．解：（1）①见图1所示．②证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCF∵BC＝AC，CD＝CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．故答案为：垂直、相等．（2）①见图2所示．②成立．理由如下：证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，即∠ACD＝∠BCF，∵BC＝AC，CD＝CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，即BF⊥AD．13．解：（1）证明：∵BG∥AC，∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．14．（1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC＝∠BFC＝∠BEC＝∠BEA＝90°∴∠BAC+∠ACF＝90°，∠BAC+∠ABE＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∴∠ABE＝∠ACF．在△ABD和△GCA中，，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA，（2）结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），∴∠BAD＝∠G，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴AG⊥AD．15．证明：（1）如图①，连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，∵∠ACB＝∠AEF＝90°，AF＝AF，∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF，∴BF+EF＝BF+CF＝BC，∴BF+EF＝DE；（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE＝BF﹣EF，理由是：连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，∵∠E＝∠ACF＝90°，AF＝AF，∴Rt△ACF≌Rt△AEF，∴CF＝EF，∴DE＝BC＝BF﹣FC＝BF﹣EF，即DE＝BF﹣EF．16．解：（1）连接EM．∵AE⊥AB，∴∠EAM＝∠B＝90°．在△AEM与△BMC中，，∴△AEM≌△BMC（SAS）．∴∠AEM＝∠BMC，EM＝MC．∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠BMC+∠AME＝90．∴∠EMC＝90°．∴△EMC是等腰直角三角形．∴∠MCE＝45°∵AN∥CE，∴∠AFM＝∠MCE＝45°；解：（2）如图2，连接ME．同（1）△AEM≌△BMC（SAS），则EM＝MC，∠MEA＝∠CMB＝15°．又∵∠MEA+∠EMA＝90°，∴∠EMC＝60°，∴△EMC是等边三角形，∴∠ECM＝60°，∵AN∥CE∴∠AFM+∠ECM＝180°，∴∠AFM＝120°．17．解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，在△BDC和△APB中，，∴△BDC≌△APB（SAS），∴BD＝AP．（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，理由：∵△BDC≌△APB，∴∠CBD＝∠BAP，∴∠DQA＝∠DBA+∠BAP＝∠DBA+∠CBD＝∠ABC＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．（3）蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化，理由是：根据题意得：BP＝CD，∵BC＝AC，∴CP＝AD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝∠ACB＝60°，∵∠ACP+∠ACB＝180°，∠DAB+∠CAB＝180°，∴∠ACP＝∠BAD，在△ABD和△ACP中，，∴△ABD≌△ACP（SAS），∴∠CAP＝∠ABD，∴∠AQD＝∠ABD+∠BAQ＝∠CAP+∠QAB＝180°﹣∠CAB＝180°﹣60°＝120°，即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化，等于120°．18．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．19．解：（1）∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴EM＝EO，FN＝FO，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝6cm；（2）连接OP，∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴∠MP A＝∠OP A，∠NPB＝∠OPB，∴∠MPN＝2∠APB＝2a；（3）∵∠a＝30°，∴∠MPN＝60°，∵M，N分别是点O关于P A、PB的对称点，∴PM＝PO，PN＝PO，∴PM＝PN，∴△PMN是等边三角形．20．解：（1）∠AEB的大小不变．如图1，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣45°＝135°；（2）∠CED的大小不变．如图2，延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠P AB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴△CDE中，∠E＝180°﹣112.5°＝67.5°．21．解：（1）在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣62°＝118°，∵∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，∴∠DBC+∠DCB＝118°﹣20°﹣35°＝63°∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝117°；（2）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：连接BC在△ABC中，∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD＝180°，∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，在△DBC中，∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（3）①∵△XBC中，∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∵△ABC中，∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠ABX+∠ACX＝130°﹣90°＝40°．故答案为：40；②∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝（∠ADB+∠AEB）＝40°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝50°+40°＝90°．22．解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°；（2）∵∠A＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；（3）∵∠BOC＝3∠A，∴90°+∠A＝3∠A，∴∠A＝36°．。
沪科版八年级数学上册期末复习-三角形
沪科版八年级数学上册期末复习 2一、三角形1、三角形的分类：（1）按边分类：（ 2）按角分类：不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形2、三角形三边的关系：三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边 .3、三角形内角和定理、外角及其推论：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° .（2）推论 1：直角三角形的两个锐角互余 .（3）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 . 三角形的外角与它相邻的内角互补 .（4）推论 2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（5）推论 3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.4、三角形中的重要线段（1）在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线 .（2）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线 .（3）从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高 .注意：①一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，并且它们都是线段；②三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；而三角形的高未必在三角形内部 .5、命题（1）凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题 .（2）命题分为真命题和假命题 .（ 3）命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成 .（4）几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理 .如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 . （5）正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 .如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.二、全等三角形1、能够完全重合的两个图形，叫做全等形；能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应的角平分线分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等 .注：用全等符号“≌” 表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上∴△ ABC ≌△ DEF三、轴对称图形1、 轴对称图形 ：如果一个图形沿一条直线折叠， 图形叫做 轴对称图形 . 这条直线叫做 对称轴 .2、 轴对称 ：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图 形成 轴对称 . 这条直线叫做 对称轴 . 折叠后重合的点叫做 对称点 .3、全等三角形的 判定（1）“边角边”定理 ： 两边和它对应相等的两个三角形全等 .（SAS ） 在△ ABC 和△ DEF 中， 2）“角边角”定理 ： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . （ASA ） 在△ ABC 和△ DEF 中，BE ∵ BC EFCF3）“角角边”定理 ： 两个角和其中一个角的对边∴△ ABC ≌△ DEF 对应相等的两个三角形全等 . （ AAS ） 在△ ABC 和△ DEF 中，另外， 边边边”定理 ：三边 对应相等的两个三角形全等 BE AB DE∴△ ABC ≌△ DEF. （SSS ） 在△ ABC 和△ DEF 中，AB DE ∵BC EF AC DF∴△ ABC ≌△ DEF判定两个直角三角形全等还有另一种方法 . ：斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等 .（HL ） 在 Rt △ABC 和 Rt △DEF 中，AB DEAC DF∴ Rt △ ABC ≌Rt △DEF直线两旁的部分能够完全重合，那么这个 AB DE ∵ BEBC EF3、轴对称性质与判定：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段（2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 .4、轴对称和轴对称图形的区别与联系四、线段的垂直平分线1、经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线 .2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 .3、线段垂直平分线的判定定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .4、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 .五、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形 .2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等 .简称“ 等边对等角”.（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 .（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）3、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等. 简称“ 等角对等边”.六、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做 等边三角形 .2、性质 ：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于 60°3、判定 ：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 .（2）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 .（3）推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 .七、直角三角形含 30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30 ° ，那么 它所对的 直角边等于斜边的一半 .八、角平分线1、性质 定理：角平分线上任意一点到角的两边的 距离相等 .2、 判定 定理：在一个角的内部，到角的两边 距离相等 的点在这个角的平分线上 .3、 三角形三条角平分线的性质 ：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的 距离 相等.【考点习题】 一、选择题1、三角形的三边分别为 3，1 2a ， 8，则 a 的取值范围是（ ） A ． 6 a 3 B ． a 5 或 a 2 C ． 2a5 D ． 5 a 2 2、如图所示， 在△ ABC 中， 已知点 D 、E 、 F 分别为边 BC 、 AD 、 CE 的中点，且S ABC ＝ 4cm，则 S 阴影 等于 （ ）221 21 2A ． 2cB ． 1 2C． cm D ．cm243、如图， a ∥ b ，∠ 1＝65° ，∠2 ＝140° ，则∠ 3＝（ ）A 、B 、C 110°D 、（第 2 题） （第 3题）4、若△ ABC 的三个内角满足关系式∠ B ＋∠ C=3∠A ，则这个三角形（ ）A ．一定有一个内角为 45°B ．一定有一个内角为 60°C ．一定是直角三角形D ．一定是钝角三角形5、下列命题中正确的是（ ）A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C ．三角形外角一定是钝角D ．△ ABC 中，如果∠ A>∠ B>∠C ，那么∠ A>60°，∠ C<60°6、如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，且∠ B=∠C ，那么补充一个条件后， 仍无法判断△ ABE ≌△ ACD 的是（ ）A. AD=AEB.∠AEB=∠ADC C. BE=CD7④∠ OFD=∠OFE 。
八年级上册数学期末考试总复习知识提纲沪科版
八年级上册数学期末考试总复习知识提纲沪科版数学复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，下面小编给大家分享一些八年级上册数学复习提纲沪科版，希望能够帮助大家，欢迎阅读八年级上册数学复习知识提纲沪科版(一)运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b).学好数学的关键就在于要适时适量地进行总结归类，接下来小编就为大家整理了这篇人教版八年级数学全等三角形知识点讲解，希望可以对大家有所帮助。
沪教版八年级上数学期末复习
期末复习内容分析本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题．#知识结构二次根式的性质解法二次三项式的因式分解—因式分解法实际问题应用二次根式的加减二次根式的乘除（最简二次根式 有理化因式和分母有理化同类二次根式二次根式二次根式的运算一元二次方程开平方法公式法根的判别式 根的情况【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（）{A ．15B ．5C ．0.5D ．50【难度】★ 【答案】函数的定义域和求函数值定义 依据函数勾股定理的逆定理直角三角形的性质《演绎推理几何证明勾股定理直角三角形全等的判定线段的垂直平分线定理及逆定理 角的平分线定理及逆定理正比例函数概念、图像和性质反比例函数概念、图像和性质 …正反比例函数综合运用命题实际问题变量与常量点的轨迹函数的常用表示法： 解析法 列表法 【图像法公理 定理逆命题 逆定理%【解析】【练习2】￥【练习3】若一元二次方程2210-+=有两个实数根，则a的取值范围正确的ax x是（）A．1a≠D．01<≤aa≤且0a≥B．1a≤C．1【难度】★【答案】【解析】【练习4】·【练习5】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）．A．（-3，-2）B．（3，2）C．（2，-3）D．（-2，-3）【难度】★【答案】【解析】【练习6】下列命题中，哪个是真命题（）A．同位角相等!B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等C．等腰三角形的对称轴是底边上的高D．若PA PB=，则点P在线段AB的垂直平分线上【难度】★【答案】【解析】【练习7】>【练习8】以下说法中，错误的是（）A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形C．在△ABC中，若3455a cb c==，，则△ABC为直角三角形D．在△ABC中，若::2:2:4a b c=，则△ABC为直角三角形【难度】★【答案】【解析】【【练习9】关于x轴上有一点A到点B（-3，4）的距离是5，则点A的坐标是（）A．（-6，0）B．（0，0）C．（-6，0）或（0，0）D．以上都不对【难度】★【答案】【解析】·【练习10】）A B C D【难度】★★【答案】【解析】【练习11】，【练习12】某同学做了以下四题，其中做错的有（）2=5a4a=；③=== A．1个B． 2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】【解析】【练习13】、【练习14】如果关于x的方程()()()()()()0++++++++=（其中a、b、x a x b x b x c x c x ac均为正数）有两个相等的实数根，则以a、b、c为长的线段促成的是（）．A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定形状【难度】★★【答案】【解析】（【练习15】已知一直角三角形ABC的三边为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程22--++=的根的情况是（）．(1)2(1)0a x cxb xA．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【难度】★★【答案】【解析】·【练习16】 多项式2481x x +-进行因式分解正确的是（）A ．(x xB ．(444x x +++-C ．(222x x ++-D ．4(x x +【难度】★★ 【答案】!【解析】【练习17】 已知函数()0y kx k =≠中y 随x 的增大而增大，那么它和函数()0ky k x=≠在 同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（）．【难度】★★ 【答案】$EDBCA【解析】【练习18】 如图，A 、C 是函数1y x的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记AOB Rt △的面积为1S ，COD Rt △的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）．A ．1S >2SB ．1S <2SC ．1S =2SD ．由A 、C 两点的位置确定【难度】★★ 【答案】 【解析】?【练习19】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【难度】★★ 【答案】 【解析】)！【练习20】 在△ABC 中，AB =15，AC =13，BC 边上的高AD =12，则△ABC 的周长 是（） A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33【难度】★★-【答案】 【解析】…【练习21】 （1）若211()x x x y ---=+，则x -y 的值为_______；（2）使(2)(1)21x x x x -+=-⋅+成立的条件是______；（3）二次根式m n +的有理化因式是__________．填空题【答案】 【解析】、【练习22】 （1）方程240x -=的根是__________；（2）已知关于x 的一元二次方程（m -x 2+3x +m 2-2=0的一个根为0，则m 的值是__________． 【难度】★ 【答案】;【解析】【练习23】 （1）已知正比例函数y =(2m -1)x 的图像上两点1122()()A x y B x y ，，，，当 12x x <时，12y y >那么m 的取值范围是______；（2）反比例函数的图像经过直线y =-3x 上的点(-m ，m +2)，则m =____________， 反比例函数的解析式为____________．~【答案】 【解析】【练习24】 （1）定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是____________________________________；（2）命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_____________________________．】【难度】★ 【答案】 【解析】【练习25】 （1）已知直角坐标平面内两点 A (3，-1)和B (-1，2)，那么A 、B 两点间的距离等于____________；（2）已知直角坐标平面内的Rt ABC ∆三个顶点的坐标分别为()43A ，、()12B ，、()34C -，，则该直角三角形的直角顶点是________．【【难度】★ 【答案】 【解析】【练习26】（1）经过已知点A、B的圆的圆心的轨迹是______________________；（2）到点A的距离等于2厘米的点的轨迹_________________________．【难度】★?【答案】【解析】【练习27】（1）某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为_______________；（2）某厂计划今年的产值为a比前年翻一番，且这两年的增长率相同，设它的增长率是x，则连续三年的总产值是_____________．【难度】★★{【答案】【解析】【练习28】（1）在实数范围内分解因式：2-+=________________；x x361（2）若一元二次方程2210+-=在实数范围内有实数根，则m的取值范围mx x是___________________．【难度】★★}【答案】 【解析】【练习29】 计算：113185044252⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭=____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】#【练习30】 如图，Rt ABC ∆中，9040ACB A D ∠=∠=，，为AB 中点，CE AB ⊥，则DCE ∠=_____ 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCD…【练习31】】【练习32】 （1）如果正比例函数y = kx （k ≠0）的自变量取值增加7，函数值相应减少4，那么当x =4时，y =_________；（2）若x 与-3y 成反比例函数关系，y 与-4z 成反比例函数关系，则x 与z 成__________比例函数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】!【练习33】 （1）如图，已知在△ABC 中，CD 平分∠ACD ，∠A =2∠B ，BC =a ，AD =b ，则AC =________（用含a 、b 的代数式表示）；（2）在△ABC ，AB =BC ，BD =DC ，BC =CE ，则图中一定相等的角（小于平角)有______对． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A —CD（1）EABC》（2）,【练习34】 （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90度，BC =24cm ，∠BAC 的平分线AD 交BC于点D ，BD ：DC =5：3，则点D 到AB 的距离为_______cm ；（2）等腰直角三角形ABC 的斜边BC =4，△DBC 为等边三角形，那么A 、D 两点的距离是____________；（3）在矩形ABCD 中，AB :AD =1:2，将点A 沿折痕DE 对折，使点A 落在BC 上的F 点，则∠ADE =______度．【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习35】…【练习36】 一元二次方程()21230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的最大整数值____________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB【D【练习37】 方程220162015201710x x -⨯-=（）的较大根m ，方程22015201610x x -+=较&小根为n ，则m -n 的值_______________．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【练习38】 △AOC 与△DCE 均为等边三角形，点A 、D 均在双曲线3(0)y x =>上，点O 为坐标原点，点C 、E 在x 轴上，A 、D 的坐标分别是______________．^【难度】★★★】【答案 【解析】【练习39】 已知三角形ABC 为等腰直角三角形，且A （2，3），B 、C 分别在坐标轴上，AOCDEyx￥则点B 的坐标分别是______________．【难度】★★★ 【答案】 【解析】.【练习40】 （1）已知12a =-，求224421a a a a -+-+的值；（2）已知：52321x x y -+-=+，求x y +的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【练习41】 解方程：—（1）23730x x --=；（2）()()222311x x x ---=+．【难度】★★ 【答案】解答题【解析】【练习42】 证明：无论m n ，取任何实数时，方程()20mx m n x n +++=都有实数根．【难度】★★,【答案】 【解析】【练习43】 某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高元销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元． 【难度】★★ 【答案】:【解析】【练习44】 已知正比例函数()11y k x =+的图像经过()()242A B m -，、，两点． （1）求m 的值；（2）如果点B 在反比例函数()220k y k x=≠的图像上，求反比例函数的解析式． 【难度】★★[【答案】 【解析】【练习45】 如图，在△ABC 中，∠C =90度，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，AB =20cm ．求AC +CD 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】—【练习46】 如图：在四边形ABCD 中，∠C =90°，=3=412=13BC CD AD AB =，，，，求四边形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】—【解析】A]CDABCD【练习47】 小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图书馆，图中折现O ——A ——B ——C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：（1）小智在图书馆查阅资料的时间为_______分钟，小智返回学校的速度为_________千米/分钟；（2）请你求出小方离开学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系．【难度】★★ 【答案】 【解析】#【练习48】 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，对角线AC 与BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AC 、BD 的中点．（1）求证：MN BD ⊥；￥y （千米）15 30 45A B 小智'小方4CD:B（2）当∠BCA =15°，AC =8cm ，OB =OM 时，求MN 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】（【练习49】 已知：如图()a ，在等腰三角形ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线．（1）求证：AB =AC +CD ；（2）把原题中的“∠C =90°”改为“∠C =100°”，其余条件不变，如图()b ，请说出AB 、AD 、CD 之间的数量关系，并证明．*A B'DaA BCDb【难度】★★ 【答案】 【解析】！【练习50】 已知：在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AC的中点，联结DE ，DM 设C α∠=. （1）。
沪科版数学八年级上册全册复习课件(PPT共276张)
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第11章 |复习
方法技巧 我们以前就已经知道，平行四边形的两组对边平行 且相等，而线段平移后得到的线段与原线段平行且相 等，于是我们可以利用平移求平行四边形第四个顶点的 坐标；求平面直角坐标系中多边形的面积时，一般采用 补形法，即将所求图形的面积转化成若干个特殊的四边 形和三角形的面积的和与差，如本题中求△ABC 的面积， 就是转化为一个正方形的面积与三个三角形面积的差 来求解．
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第11章 |复习 针对第15题训练
在坐标轴上，距离原点 5 个单位长度的点的坐标是 ___(_5_,0_)_，_(_0,_5_)，__(－__5_,0_)，__(0_，__－_5_)_______________________．
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第12章复习（一）
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第11章 |复习
►考点二 确定图形平移后的点的坐标
例 2 在平面直角坐标系中，已知线段 MN 的两个端 点的坐标分别是 M(－4，－1)、N(0,1)，将线段 MN 平移 后得到线段 M′N′，点 M、N 的对应点分别为 M′、N′， 若点 M′的坐标为(－2,2)，则点 N′的坐标为___(2_,4_)___．
，通
常把横坐标写在纵坐标的前面，这样坐标平面内的点
与 有序实数对 之间一一对应．
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第11章 |复习
3．点的坐标特点
(1)各象限内的点的坐标符号特征：第一象限 (＋，＋) ，第 二象限 (－，＋) ，第三象限 (－，－) ，第四象限 (＋，－) .
沪科版八年级数学上课本复习讲义
八年级上册数学期末复习讲义第十二章平面直角坐标系一、平面内点的坐标特征1、各象限内点P（a ，b）的坐标特征：第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0说明：一、三象限，横、纵坐标符号相同，即ab>0；二、四象限，横、纵坐标符号相反即ab<0。
2、坐标轴上点P（a ，b）的坐标特征：x轴上：a为任意实数，b=0；y轴上：b为任意实数，a=0；坐标原点：a=0，b=0（说明：若P（a ，b）在坐标轴上，则ab=0；反之，若ab=0，则P（a ，b）在坐标轴上。
）3、两坐标轴夹角平分线上点P（a ，b）的坐标特征：一、三象限：a=b；二、四象限：a=－b二、对称点的坐标特征点P（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，－b）；关于y轴的对称点是（－a ，b）；关于原点的对称点是（－a ，－b）三、点到坐标轴的距离点P（x ，y）到x轴距离为∣y∣，到y轴的距离为∣x∣四、（1）横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴，平行于y轴；（2）纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴，平行于x轴。
五、点的平移坐标变化规律坐标平面内，点P（x ，y）向右（或左）平移a个单位后的对应点为（x＋a，y）或（x－a，y）；点P（x ，y）向上（或下）平移b个单位后的对应点为（x，y＋b）或（x，y－b）。
（说明：左右平移，横变纵不变，向右平移，横坐标增加，向左平移，横坐标减小；上下平移，纵变横不变，向上平移，纵坐标增加，向下平移，纵坐标减小。
简记为“右加左减，上加下减”）六、在平面直角坐标系中求图形的面积常用“割补法”。
割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可。
补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分。
【例1】在如图的直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，A•点坐标为（2，－1），则△ABC 的面积为_______平方单位．解析：△ABC 的面积可以看作一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积。
沪科版数学八年级上册期末总复习【新教材】
5、在平面直角坐标系中，点M（1，2）可由点N（1，0）怎样 平移得到，写出简要过程。
6、三角形ABC中BC边上的中点为M，在把三角 形ABC向左平移2个单位，再向上平移3个单位后， 得到三角形A1B1C1的B1C1边上中点M1此时的坐标 为（-1，0），则M点坐标为 。
知识要点: 1.函数,变量,常量; 2.函数的三种表示法; 3.正比例函数:定义,图象,性质; 4.一次函数:定义,图象,性质; 5.一次函数的应用. 6.一次函数与一元一次方程,一元一次不 等式,二元一次方程组的关系.
沪科版八年级上册数学 期末知识点复习
y
3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3
x
-1
-2 -3
在平面内有公共原点而且互相垂直的两条 数轴，构成了平面直角坐标系.
y
A点的坐标 记作A( 2，1 )
-3 -2
2 1 -1 O -1 -2 1
A
2 3
x
规定：横坐标在前, 纵坐标在后 B( 3，-2 )？
1 2
已知点A（10，5），B（50，5），则直线AB的位置特点是（A ） A.与x轴平行 B.与y轴平行 C.与x轴相交，但不垂直 D.与y轴相交,但不垂直
六：象限角平分线上的点
1.已知点A（2，y ),点B（x ，5 ）,点A、B在一、三 5 2； 象限的角平分线上, 则x =____,y =____ 2.已知点A（2a+1，2+a）在第二象限的平分线上，试 求A的坐标。 3.已知点M（a+1，3a-5）在两坐标轴夹角的平分线上， 试求M的坐标。 (1). 若点P在第一、三象限角的平分线上,则P( m, m ). (2). 若点P在第二、四象限角的平分线上则P( m, -m ).
沪科版八年级数学上册期末复习讲义(含答案)
期末复习(一) 平面直角坐标系01 知识结构图02 重难点突破重难点1 平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】 (长沙中考)若点P(2m ＋1，3m －12)在第四象限，则m 的取值范围是(C )A ．m ＜13B ．m ＞－12C ．－12<m<13D ．－12≤m<13根据点所在的位置和平面直角坐标系内点的坐标特征，构建方程或不等式(组)求解即可．1．(淮北月考)若点P(a ＋1，1－2a)在x 轴上，则a 的取值为(B ) A ．a ＝－1 B ．a ＝12C ．a ＝2D ．a ＝－1或a ＝122．(济宁中考)已知点P(x ，y)位于第四象限，并且x ≤y ＋4(x ，y 为整数)，写出一个符合上述条件的点P 的坐标(1，－2)(答案不唯一)．3．(阜阳颍东区期末)已知点P(2，－6)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，则a－b＝4．重难点2建立坐标系表示点的坐标【例2】(蚌埠段考)象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘．如果“帅”坐标是(0，1)，“卒”坐标是(2，2)，那么“马”坐标是(C)A．(－2，1)B．(2，－2)C．(－2，2)D．(2，2)根据点的坐标建立坐标系的方法：若(a，b)是某坐标系中的点，当a＞0(a＜0)时，向左(向右)|a|个单位长度的铅直线即为y轴；当b＞0(b＜0)时，向下(向上)|b|个单位长度的水平线即为x轴．4．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示点A，(0，4)表示点B，那么点C的位置可表示为(C) A．(0，3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，0)第4题图第5题图5．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是(B)A．景仁宫(4，2) B．养心殿(－2，3)C．保和殿(1，0) D．武英殿(－3.5，－4)重难点3图形在坐标系中的平移【例3】(大连中考)在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′.已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为(B)A．(4，2) B．(5，2) C．(6，2) D．(5，3)图形中任意一点的平移方向和距离都与图形的平移保持一致，所以我们可以通过图形上某一点的坐标变化确定出图形的平移方向和距离，从而确定其他点平移后对应点的坐标．6．(亳州高炉学校期末)点P(x，y)平移后得到点P′(x＋1，y－2)，其平移的方式是(D)A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度7．(兰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A(－3，5)，B(－4，3)，A1(3，3)，则点B1的坐标为(B)A．(1，2)B．(2，1)C．(1，4)D．(4，1)重难点4坐标系中的对称问题【例4】(广西中考)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于x轴对称，那么点B的对应点B′的坐标为(C)A．(－1，4) B．(1，－4)C．(－1，－4) D．(－4，1)点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)．8．(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2，3)，先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是(B) A．(－3，2) B．(2，－3)C．(1，－2) D．(－1，2)第8题图第9题图9．如图，在平面直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB＝2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是－2.重难点5坐标系中的规律探索问题【例5】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，设坐标轴的单位长度为1 cm，整点P从原点O出发向右或向上运动，速度为1 cm/s，则点P运动1 s后可以到达(0，1)，(1，0)两个整点；它运动2 s后可以到达(2，0)，(1，1)，(0，2)三个整点；运动3 s后它可以到达(3，0)，(2，1)，(1，2)，(0，3)四个整点；….问：(1)当整点P从点O出发4 s后可以到达的整点是(4，0)，(3，1)，(2，2)，(1，3)，(0，4)；(2)当整点P从点O出发8 s后，在平面直角坐标系中描出它所能到达的整点，并顺次连接这些整点；(3)当整点P从点O出发14s后可到达整点(9，5)的位置．【思路点拨】由动点在第一象限运动所到达的整点坐标可知，这些整点的横、纵坐标的和等于运动的秒数，所以由此规律可以推得出发后4 s可以到达的整点及要到达整点(9，5)需要的时间．通过观察、猜想、验证找到整点的横、纵坐标与运动的秒数之间的关系，然后由规律写出答案．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中规律排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)，…，根据这个规律，第17个点的坐标为(6，－1)．11．(北京中考)在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0，4)，点B 是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝6n－3(用含n的代数式表示)．03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标为(a，b)，则ab的值为(B)A．1 B．2 C．－1 D．－2第1题图 第2题图2．(安徽模拟)如图，小手盖住的点的坐标可能是(B) A ．(3，－4) B ．(－4，－3) C ．(－4，3) D ．(4，2)3．如图，在平面直角坐标系中，点P(－3，5)关于y 轴的对称点的坐标是(B )A ．(－3，－5)B ．(3，5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)4．(六安校级月考)在平面直角坐标系中，点A(－2，－2m ＋3)在第三象限，则m 的取值范围是(C ) A ．m<－32B ．m>－32C ．m>32D ．m<325．已知点M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则M 点的坐标为(D ) A ．(1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(2，1)或(2，－1)或(－2，1)或(－2，－1)6．(蚌埠四校联考)对任意实数x ，点(x ，x 2－2x)一定不在(C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．如图是做课间操时，小明，小刚和小红三人的相对位置，如果用(4，5)表示小明的位置，(2，4)表示小刚的位置，则小红的位置可表示为(D )A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(1，2)8．已知正方形ABCD 的边长为3，点A 在原点，点B 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴负半轴上，则点C 的坐标是(C )A ．(3，3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(－3，－3)9．(安徽模拟)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是(说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在(6，3))(C )A ．黑(3，7)；白(5，3)B ．黑(4，7)；白(6，2)C ．黑(2，7)；白(5，3)D ．黑(3，7)；白(2，6)10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(－4，－3)，B(0，－3)，C(－2，1)．若将B 点向右平移2个单位长度后再向上平移4个单位长度到达B 1点．若设△ABC 的面积为S 1，△AB 1C 的面积为S 2，则S 1，S 2的大小关系为(B )A ．S 1≥S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1<S 2D ．S 1>S 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知两点A(4，2)，B(4，－3)，则经过A ，B 两点的直线与y 轴平行．12．(蚌埠期末)在平面直角坐标系中，点M(－3，－4)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时点M 的坐标为(0，－6)．13．已知点A(a ，3)，过点A 向x 轴、y 轴作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的图形的面积是15，则a 的值是±5．14．如图，已知A 1(1，0)，A 2(1，－1)，A 3(－1，－1)，A 4(－1，1)，A 5(2，1)，…，则点A 2 019的坐标是(－505，－505)．三、解答题(本大题共5小题，满分40分)15．(6分)(陕西中考)已知点P(a ＋1，2a －1)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围． 解：依题意，得点P 在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，2a －1<0.解得－1＜a ＜12.∴a 的取值范围是－1＜a ＜12.16．(6分)如图，面积为12的△ABC 向x 轴正方向平移至△DEF 的位置，相应坐标如图所示(a ，b 为常数)． (1)求点E ，D 的坐标(用含a ，b 的式子表示)； (2)求四边形ACED 的面积．解：(1)E(－a ，0)，D(－2a ，b)．(2)由题意，得OE ＝－2a －(－a)＝－a ，AD ＝－2a ，OA ＝b. ∵S △ABC ＝12＝12(－a)b ，∴－ab ＝24.∴S 四边形ACED ＝－2ab －(－12ab)＝－32ab ＝36.17．(9分)各写出3个满足下列条件的点，并在平面直角坐标系中描出它们：(1)横坐标与纵坐标相等；(2)横坐标与纵坐标互为相反数； (3)横坐标与纵坐标的和是6.观察各小题中3个点的位置，指出它们有什么特点．解：(1)答案不唯一，如(1，1)，(6，6)，(－2，－2)，它们在第一、三象限的角平分线上．图略． (2)答案不唯一，如(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，它们在第二、四象限的角平分线上．图略． (3)答案不唯一，如(2，4)，(3，3)，(－2，8)，它们在直线x ＋y ＝6上．图略．18．(9分)(淮北杜集区月考)△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示，已知A(－2，3)，B(－1，1)，C(0，2)．(1)作△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1；(2)将△A 1B 1C 1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上求作一点P ，使PB 1＋PC 2的值最小，并写出点P 的坐标(不写解答过程，直接写出结果)．解：(1)如图所示． (2)如图所示．(3)如图所示，作出B 1关于x 轴的对称点B′，连接B′C 2，交x 轴于点P ，此时PB 1＋PC 2的值最小，可得点P 的坐标为(2，0)．19．(10分)在平面直角坐标系中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“识别距离”，给出如下定义： 若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1(x 1，y 1)与点P 2(x 2，y 2)的“识别距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1(x 1，y 1)与点P 2(x 2，y 2)的“识别距离”为|y 1－y 2|. (1)已知点A(－1，0)，点B 为y 轴上的动点．①若点A 与点B 的“识别距离”为2，写出满足条件的B 点的坐标(0，2)或(0，－2)； ②直接写出点A 与点B 的“识别距离”的最小值为1；(2)已知C(m ，34m ＋3)，D(0，1)，求点C 与点D 的“识别距离”的最小值及相应的C 点坐标．解：依题意，得|m －0|＝|34m ＋3－1|.解得m ＝8或－87.当m ＝8时，“识别距离”为8； 当m ＝－87时，“识别距离”为87.所以当m ＝－87时，“识别距离”最小，为87，此时C(－87，157)．期末复习(二) 一次函数01 知识结构图02 重难点突破重难点1 自变量的取值范围【例1】 已知函数y ＝2x ＋1x －2，则自变量x 的取值范围是(D ) A ．x ≠2 B ．x ＞2C ．x ≥－12D ．x ≥－12且x ≠2几种常见类型函数自变量的取值范围如下：1．(西昌中考)下列函数中自变量x 的取值范围是x ＞1的是(A )A ．y ＝1x －1 B ．y ＝x －1C ．y ＝1x －1D ．y ＝11－x2．(泰州中考)要使y＝3－xx－1有意义，则x应该满足(C)A．0≤x≤3 B．0＜x≤3且x≠1C．1＜x≤3 D．0≤x≤3且x≠1重难点2函数图象【例2】(合肥月考)合肥万达主题公园的“极速升降”项目惊险而刺激，乘坐着先匀速“极速上升”到达顶端，立即又以相同的速度下降到达地面．下列最能反映乘坐时距离地面的高度y(m)与运行时间x(s)之间函数关系的图象是(C)A B C D判断函数图象从以下几方面考虑：(1)看图象的升降趋势，当函数随着自变量的增加而增加时，图象呈上升趋势，反之，呈下降趋势；(2)看图象的曲直，函数随着自变量的变化而均匀变化的，图象是直线，函数随着自变量的变化不均匀变化的，图象是曲线；(3)表示函数不随自变量的变化而变化，即函数是一个定值时，图象与横轴平行．3．小兵从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小兵的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系．下列说法错误的是(D)A．他离家8 km共用了30 minB．他等公交车时间为6 minC．他步行的速度是100m/minD．公交车的速度是350 m/min4．(广元中考)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.60元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元/度计算(未超过部分仍按每度电0.60元/度计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是(C)A B C D重难点3 一次函数的图象和性质【例3】 (蚌埠期末)直线y ＝－kx ＋k －3与直线y ＝kx 在同一坐标系中的大致图象可能是图中的(B )A B C D一次函数的图象和性质，列表如下：k ＞0k ＜0一二三一三一三四一二四二四二三四5．(呼和浩特中考)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．(怀化中考)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B )A .12B .14C ．4D ．8 重难点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系【例4】 如图，若直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P(a ，2)，则关于x 的不等式x ＋1≥mx ＋n 的解集为x ≥1．一次函数与不等式关系密切，求解的关键是从“形”的角度观察对应的自变量的取值范围．7．(安徽模拟)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(－2，－1)和B(－3，0)两点，则不等式组12x ＜kx ＋b ＜0的解集为－3＜x ＜－2.第7题图第8题图8．(北京中考)如图，直线y1＝kx＋b过点A(0，2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b ＞mx－2的解集是1＜x＜2.重难点5一次函数的应用【例5】(荆门中考)A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变，如何调运，使总费用最少？【思路点拨】(1)A城运往C乡的农机为x台，则可得A城运往D乡的农机为(30－x)台，B城运往C乡的农机为(34－x)台，B城运往D乡的农机为[40－(34－x)]台，从而可得出W与x的函数关系；(2)根据题意，可知w≥16 460，从而求得x的取值范围，且x为整数，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；(3)根据题意，得W ＝(140－a)x＋12 540，所以当a＝200时，可得w与x的函数关系式，然后由函数的增减性可算出w的最小值，从而得到结论．【解答】(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x＋12 540(0＜x≤30)．(2)根据题意，得140x＋12 540≥16 460，∴x≥28.∵x≤30，∴28≤x≤30.∴有3种不同的调运方案．第一种调运方案：从A城调往C乡28台，调往D乡2台，从B城调往C乡6台，调往D乡34台；第二种调运方案：从A城调往C乡29台，调往D乡1台，从B城调往C乡5台，调往D乡35台；第三种调运方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．(3)W＝(250－a)x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝(140－a)x＋12 540，∴当a＝200时，W最小＝－60x＋12 540，此时x＝30，W最小＝10 740.此时的方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．解最优方案问题的步骤：(1)设出实际问题中的变量；(2)建立一次函数模型；(3)利用待定系数法求得一次函数表达式；(4)确定自变量的取值范围；(5)根据一次函数增减性确定自变量取值；(6)作答．9．(淮北月考)移动公司推出两种话费套餐，套餐一：每月收取月租34元后，送50分钟的通话时间，超过部分每分钟收费0.20元，并约定每月最低消费40元，低于40元一律按40元收取；套餐二：每月没有最低消费，但每分钟均收取0.40元的通话费用．若分别用y1，y2(单位：元)表示套餐一、套餐二的通话费用，用x(单位：分钟)表示每个月的通话时间．(1)分别求y 1，y 2关于x 的函数表达式；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并直接写出两个函数图象的交点坐标； (3)①结合图象，如何选择话费套餐，才可使每月支付的通话费用较少？②若小亮的爸爸这个月的通话费用是64元，求这两种套餐的通话时间相差多少分钟？解：(1)y 1＝⎩⎨⎧40（0≤x ≤80），0.2x ＋24（x ＞80），y 2＝0.4x(x ≥0)．(2)过点A(0，40)和点(80，40)画线段AB ，且过点B(80，40)和点P(120，48)画射线BP ，得到折线ABP 就是函数y 1的图象；过点O(0，0)和点P(120，48)画线段OP 就得y 2的图象．这两个函数图象的交点坐标为(120，48)．(3)①由图象可知，当x ＜120时，y 2＜y 1，选择套餐二每月支付的通话费用较少； 当x ＝120时，y 2＝y 1，选择两种套餐每月支付的通话费用一样多； 当x ＞120时，y 2＞y 1，选择套餐一每月支付的通话费用较少；②由于64＞40，当y 1＝64时，0.2x ＋24＝64，解得x ＝200；当y 2＝64时，0.4x ＝64，解得x ＝160.两种套餐的通话时间相差200－160＝40(分钟)．(套餐一比套餐二通话时间多40分钟)03 复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．(淮北濉溪县期末)函数y ＝2x ＋1中自变量x 的取值范围是(A ) A ．x ≥－12B ．x ≥0C ．x ≥12D ．x ＞－122．若正比例函数的图象经过点(－1，2)，则这个图象必经过点(D ) A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2)3．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是(D ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．24．一次函数y ＝(k －2)x ＋3的图象如图所示，则k 的取值范围是(B )A ．k ＞2B ．k ＜2C ．k ＞3D ．k ＜35．(温州中考)已知点(－1，y 1)，(4，y 2)在一次函数y ＝3x －2的图象上，则y 1，y 2，0的大小关系是(B ) A ．0＜y 1＜y 2 B ．y 1＜0＜y 2 C ．y 1＜y 2＜0 D ．y 2＜0＜y 16．(淮北月考)按照下列运算程序，当输入x ＝－2时，输出的y 的值是(A )输入x ―→y ＝2x －3（x ≤－1）y ＝x 2＋x ＋1（x ＞－1）―→输出yA ．－7B ．－5C ．1D ．3 7．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1，l 2，如图所示，他解的这个方程组是(D )A .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝12x －1B .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝－x C .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －8y ＝12x －3D .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝－12x －1第7题图 第8题图8．(宜宾中考)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是(C ) A ．乙前4秒行驶的路程为48米B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米C ．两车到第3秒时行驶的路程相等D ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度9．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过路程为x ，则线段AP ，AD 与长方形的边所围成的图形面积为y ，则下列图象中能大致反映y 与x 函数关系的是(A )10．(枣庄中考)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 值最小时，点P 的坐标为(C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．(眉山中考)若函数y ＝(m －1)x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、四象限．12．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过点(2，1)；②当x>0时，y 随x 的增大而减小．这个函数表达式为y ＝－x ＋3(答案不唯一)(写出一个即可)．13. (淮北月考)某图书馆规定，图书借阅费用标准是：借阅图书3天内(含3天)2元，借阅图书超过3天，超过的部分每天收费1.1元．小红同学在该图书馆借阅一种图书阅读了x 天(x>3)，则她借阅图书的费用y(元)与借阅时间x(天)之间的函数表达式是y ＝1.1x －1.3(x>3)．14．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒； ④隧道长度为750米．其中正确的结论是②③.(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共4小题，满分40分)15．(8分)已知y 与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－6.(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)若点M(m ，4)在这个函数的图象上，求m 的值． 解：(1)根据题意，设y ＝k(x ＋2)． 把x ＝1，y ＝－6代入，得 －6＝k(1＋2)．解得k ＝－2.∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －4.(2)把点M(m ，4)代入y ＝－2x －4，得4＝－2m －4.解得m ＝－4.16．(10分)如图，直线AB 与x 轴交于点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，－2)． (1)求直线AB 的表达式；(2)若直线AB 上一点C 在第一象限且点C 的坐标为(2，2)，求△BOC 的面积．解：(1)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)． 将A(1，0)，B(0，－2)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2. ∴直线AB 的表达式为y ＝2x －2. (2)S △BOC ＝12×2×2＝2.17．(10分)设关于x 的一次函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2，则称函数y ＝m(a 1x ＋b 1)＋n(a 2x ＋b 2)(其中m ＋n ＝1)为此两个函数的生成函数．(1)当x ＝1时，求函数y ＝x ＋1与y ＝2x 的生成函数的值；(2)若函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：(1)当x ＝1时，y ＝m(x ＋1)＋n(2x)＝m(1＋1)＋n(2×1)＝2m ＋2n ＝2(m ＋n)． ∵m ＋n ＝1，∴y ＝2.(2)点P 在此两个函数的生成函数的图象上． 理由：设点P 的坐标为(a ，b)， ∵a 1×a ＋b 1＝b ，a 2×a ＋b 2＝b ， ∴当x ＝a 时，y ＝m(a 1x ＋b 1)＋n(a 2x ＋b 2) ＝m(a 1×a ＋b 1)＋n(a 2×a ＋b 2) ＝mb ＋nb ＝b(m ＋n)＝b.∴点P 在此两个函数的生成函数的图象上．18．(12分)(绥化中考)周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km )与小芳离家时间x(h )的函数图象．(1)小芳骑车的速度为20km /h ，H 点坐标为(32，20)；(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？(3)相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计)，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？解：(2)设直线AB 的表达式为y 1＝k 1x ＋b 1， 将点A(0，30)，B(0.5，20)代入y 1＝k 1x ＋b 1，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，0.5k 1＋b 1＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－20，b 1＝30.y 1＝－20x ＋30. ∵AB ∥CD ，∴设直线CD 的表达式为y 2＝－20x ＋b 2. 将点C(1，20)代入表达式，得b 2＝40. ∴y 2＝－20x ＋40.设直线EF 的表达式为y 3＝k 3x ＋b 3. 将点E(43，30)，H(32，20)代入表达式，得⎩⎨⎧43k 3＋b 3＝30，32k 3＋b 3＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝－60，k 3＝110.∴y 3＝－60x ＋110.联立⎩⎨⎧y ＝－60x ＋110，y ＝－20x ＋40，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.75，y ＝5.∴点D 坐标为(1.75，5)．30－5＝25(km )．∴小芳出发1.75 h 后被妈妈追上，此时距家25 km .(3)将y ＝0代入直线CD 的表达式，得 －20x ＋40＝0.解得x ＝2.将y ＝0代入直线EF 的表达式，得 －60x ＋110＝0.解得x ＝116.2－116＝16(h )＝10(分钟)．答：小芳比预计时间早10分钟到达乙地．期末复习(三)三角形中的边角关系、命题与证明01知识结构图02重难点突破重难点1三角形的三边关系【例1】(莆田中考)已知三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是(B) A．13 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是判断三条线段能否构成三角形的重要依据．在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加，然后判断其和是否大于第三边．只需选取较小的两边相加，判断其和是否大于最大边即可．1．(湛江中考)在下列长度的四根木棒中，能与长度为3 cm，7 cm的两根木棒钉成一个三角形的是(C)A．3 cm B．4 cmC．9 cm D．10 cm2．(合肥瑶海区期中)如图，为估计荔香公园小池塘岸边A，B两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 m，OB＝10 m，则A，B间的距离可能是(B)A．5 mB．15 mC．25 mD．30 m3．(濉溪期中)一等腰三角形，一边长为9 cm，另一边长为5 cm，则等腰三角形的周长是19_cm或23_cm．重难点2命题与逆命题【例2】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形．对于一些简单命题的逆命题可直接交换此命题的条件和结论，而遇到一些高度概括的命题时，则需改写后再交换．特别注意：在交换一个命题的条件和结论时，语言表达要准确，防止用词不当而造成错误．例如，本题的逆命题就不能写成“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．4．(泉州中考)下列四个命题中，是假命题的是(B)A．三角形三边垂直平分线的交点有可能在一边上B．过三点一定可以画三条直线C．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分D．三角形的内角和等于180°5．(南京中考)请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：对顶角相等(答案不唯一)．6．(福建中考)请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例：α＝50°，β＝60°，α＋β>90°(答案不唯一)．重难点3三角形的内角和定理及推论【例3】如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE.【思路点拨】因为∠ADB和∠CDE并不在一个三角形上，所以没有办法直接证明，因此需要一个中间量来过渡一下，从图中不难发现，∠DCB正好是∠ADB和∠CDE联系的桥梁．【解答】∵∠DCB是△DCE的一个外角，(外角定义)∴∠DCB＞∠CDE.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠ADB是△BCD的一个外角，(外角定义)∴∠ADB＞∠DCB.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠ADB＞∠CDE.(不等式的性质)证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝．7．如图，已知AB∥CD，则(A)A．∠1＝∠2＋∠3B．∠1＝2∠2＋∠3C．∠1＝2∠2－∠3D．∠1＝180°－∠2－∠38．(安庆调研)如图甲，四边形纸片ABCD中，∠B＝120°，∠D＝50°.若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图乙所示，则∠C等于(C)A．80°B．85°C．95°D．110°重难点4推理与证明【例4】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3分别和直线l1，l2交于点C，D，在C，D之间有一点P，如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？若点P在C，D两点的外侧运动时(P 点与点C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间又有怎样的关系？【思路点拨】若P点在C，D之间运动时，只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC＋∠PBD；若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则可以分为图2和图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.【解答】若P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD.理由：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE ＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD，即∠APB＝∠PAC＋∠PBD.若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则有两种情形：①如图2，结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APB＝∠BPE－∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.②如图3，结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD.又∵l1∥l2，∴PE∥l1.∴∠APE＝∠PAC.∴∠APB＝∠APE－∠BPE，即∠APB＝∠PAC－∠PBD.解答动态问题时，要从动中求静，运用分类讨论的数学思想方法，在运动变化过程中探索问题的不变性，既要考虑问题的一般情形，也要考虑问题的特殊情形．9．如图，A，B，C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D.求证：BD∥CE.证明：∵∠1＝∠2，∴AD∥BE.∴∠D＝∠DBE.∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBE.∴BD∥CE.03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列语句不是命题的是(C)A．三角形的两边之和大于第三边B．射线不是几何图形C．同位角相等吗D．两个锐角的和不可能大于90°2．(茂名中考)若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是(B)A．1 B．5 C．7 D．93．(十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(B)A．40°B．50°C．60°D．70°第3题图第4题图4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是(B)A．0＜x＜3 B．x＞3C．3＜x＜6 D．x＞65．直角三角形两锐角平分线相交所夹的钝角为(B)A．125°B．135°C．145°D．150°6．已知在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．40°B．60°C ．80°D ．90°7．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，则这个三角形是(B ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形8．(合肥瑶海区期末)一副三角板有两个直角三角形如图叠放在一起，则∠α的度数是(A)A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°9．(呼伦贝尔中考)锐角三角形的三个内角是∠A ，∠B ，∠C ，如果α＝∠A ＋∠B ，β＝∠B ＋∠C ，γ＝∠C ＋∠A ，那么α，β，γ这三个角中(A )A ．没有锐角B ．有1个锐角C ．有2个锐角D ．有3个锐角10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EG ⊥AD ，且分别交AB ，AD ，AC 及BC 的延长线于点E ，H ，F ，G ，则下列四个式子中正确的是(C )A ．∠1＝12(∠2－∠3)B ．∠1＝2(∠2－∠3)C ．∠G ＝12(∠3－∠2)D ．∠G ＝12∠1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．将命题“两点确定一条直线”改写成“如果……那么……”的形式：如果过两个已知点作直线，那么能且只能作一条直线．12．如图，点B ，C ，E ，F 在一直线上，AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，则∠D ＝36°．第12题图 第13题图13．(宿迁中考)如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为32.14．(合肥四十二中期中)如图，已知△ABC 的面积是60.若CD ，BE 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中线，则四边形ADOE 的面积为20．。
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最新沪科版八年级数学上册期末专题复习资料1、解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一直接利用面积公式求图形的面积1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．6第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC 的面积为________．◆类型二利用分割法求图形的面积3．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(3，2)，C(－2，3)，D(－3，0)．求四边形ABCD的面积．◆类型三利用补形法求图形的面积4．如图，已知△ABC，点A(－2，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求△ABC的面积．◆类型四 探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性5．如图，在平面直角坐标系中，点A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)． (1)求S 四边形ABCO ；(2)连接AC ，求S △ABC ；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使S △P AB ＝10？若存在，请求点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，a )，B (b ，0)，C (b ，c )三点，其中a 、b 、c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0和(c －4)2≤0.(1)求a 、b 、c 的值；(2)如果在第二象限内有一点P ⎝⎛⎭⎫m ，12，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．1、参考答案与解析1．B 2.7.53．解：分别过C 作CE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥x 轴于F .由题意，得DE ＝1，CE ＝3，BF ＝2，AF ＝1，EF ＝5.S四边形ABCD ＝S △CDE ＋S梯形CEFB ＋S △ABF ＝12×1×3＋12×(3＋2)×5＋12×1×2＝15.4．解：过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，过点C 分别作x 轴、y 轴的垂线，交于点D ，E ，F 三点，如图所示．由题意，得CD ＝EF ＝5，DE ＝CF ＝7，AD ＝3，CD ＝5，AE ＝4，BE ＝3，BF ＝2.方法一：S △ABC ＝S长方形CDEF －S △ACD －S △ABE －S △BCF ＝CD ·DE －12AD ·CD －12AE ·BE －12BF ·CF ＝5×7－12×3×5－12×4×3－12×2×7＝292.方法二：S △ABC ＝S梯形BCDE －S △ACD －S △ABE ＝12(BE ＋CD )·DE －12AD ·CD －12AE ·BE ＝12×(3＋5)×7－12×3×5－12×4×3＝292.方法三：S △ABC ＝S梯形CAEF－S △ABE －S △BCF ＝12(AE ＋CF )·EF －12AE ·BE －12BF ·CF ＝12×(4＋7)×5－12×4×3－12×2×7＝292.方法点拨：本题运用了补形法，对于平面直角坐标系中的三角形，可以通过作垂线，运用补形法将三角形补形，将它转化为便于计算面积的图形，通过这些图形面积的和差关系来求原三角形的面积．5．解：(1)过点B 作BD ⊥OA 于点D .由题意，得OC ＝2，OD ＝3，AD ＝1，BD ＝4.S 四边形ABCO＝S 梯形BCOD ＋S △ABD ＝12×(2＋4)×3＋12×1×4＝11；(2)S △ABC ＝S 四边形ABCO －S △AOC ＝11－12×2×4＝7；(3)存在．设点P 的坐标为(x ，0)，则AP ＝|4－x |，由题意，得12×4×|4－x |＝10，∴|4－x |＝5，∴x ＝9或x ＝－1，∴点P 的坐标为(9，0)或(－1，0)．6．解：(1)∵|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4；(2)∵P ⎝⎛⎭⎫m ，12在第二象限，∴m <0.S 四边形ABOP ＝S △ABO ＋S △AOP ＝12OA ·OB ＋12OA ·|m |＝12×2×3＋12×2×(－m )＝3－m ；(3)存在．由B (3，0)，C (3，4)，A (0，2)，得S △ABC ＝12×3×4＝6.由(2)可知S 四边形ABOP ＝3－m ，∴3－m ＝6，∴m ＝－3，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12.2、难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)……依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．第2题图第3题图3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；(2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究4．(甘孜州中考)如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A20的坐标为________．第4题图第5题图5．★如图，一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1(1，0)，第2次运动到A2(1，1)，第3次运动到A3(－1，1)，第4次运动到A4(－1，－1)，第5次运动到A5(2，－1)……则第2015次运动到的点A2015的坐标是________．◆类型三图形变化的点的坐标的探究6．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A(－1，2)，将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚点A对应点记为A1，经过2次翻滚点A对应点记为A2……依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为() A．(5，2) B．(6，0) C．(8，0) D．(8，1)7．如图，在直角坐标系中，第1次将△OAB变换成△OA1B1，第2次将△OA1B1变换成△OA2B2，第3次将△OA2B2变换成△OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n的坐标是________，B n的坐标是__________．2、参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P 的坐标是(2016，0)．2．(51，50) 解析：由题意，得A 100在第一象限，纵坐标为1002＝50，横坐标比纵坐标大1.∴点A 100的坐标为(51，50)．3．(1)6分钟(2)(44，8) 解析：观察图形得第12分钟坐标为(1，0)，第22分钟坐标为(0，2)，第32分钟坐标为(3，0)，第42分钟坐标为(0，4)……∵2016<452＝2025，第2025分钟坐标为(45，0)，第2024分钟坐标为(44，0)，2024－2016＝8，∴在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是(44，8)．4．(5，－5) 解析：∵20÷4＝5，∴点A 20在第四象限．∵点A 4所在正方形的边长为2，∴点A 4的坐标为(1，－1)，同理可得点A 8的坐标为(2，－2)，点A 12的坐标为(3，－3)，∴点A 20的坐标为(5，－5)．5．(－504，504) 解析：观察图形序号(大于4)，被4除余数为1的点在第四象限，被4除余数为2的点在第一象限，余数为3的点在第二象限，能被4整除的点在第三象限.2015被4除商为503，余数为3.由A 3(－1，1)，A 7(－2，2)，可得A 2015(－504，504)．6．D 解析：由题意可得下图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的位置如图所示，故A 5的坐标为(8，1)．故选D.7．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n ，3) (2n ＋1，0)解析：(1)∵A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，∴A 4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故A 4的坐标为(16，3)．∵B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，∴B 4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B 4的坐标为(32，0)；(2)由A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ，纵坐标都是3.故A n 的坐标为(2n ，3)．由B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0.故B n 的坐标为(2n ＋1，0)．3、解题技巧专题：一次函数的图象信息题——数形结合，快准解题◆类型一根据实际问题判断函数图象1．(瑶海区期中)小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分钟)之间的关系()◆类型二根据函数图象进行判断2．(聊城中考)小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与北京时间t(时)的函数图象如图所示．根据图象得到下列结论，其中错误的是() A．小亮骑自行车的平均速度是12km/hB．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家C．妈妈在距家12km处追上小亮D．9：30妈妈追上小亮第2题图第3题图3．(蜀山区期末)某复印店复印收费y(元)与复印面数x(面)的函数图象如图所示，从图象中可以看出，复印超过100面的部分，每面收费()A．0.2元B．0.4元C．0.45元D．0.5元◆类型三一次函数图象与字母系数的关系4．(郴州中考)如图为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则下列正确的是()A．k>0，b>0B．k>0，b<0C．k<0，b>0D．k<0，b<05．直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则直线y＝bx－a的图象只能是图中的()6．下列表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m，n为常数，且mn≠0)的图象正确的是()7．若函数y＝(a－2)x＋b－3在直角坐标系中的图象如图所示．化简：|b－a|－|3－b|－|2－a|＝________.8．如图，一次函数y＝(m－3)x－m＋1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于A、B.(1)求m的取值范围；(2)若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象．试求这个正比例函数的解析式．3、参考答案与解析1．D2．D 解析：根据图象知9：00妈妈追上小亮，故D 选项错误． 3．B 4.C5．B 解析：由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得a <0，b >0，∴－a >0.∴y ＝bx －a 的图象经过第一、二、三象限．故选B.6．A 解析：当mn >0时，直线y ＝mnx 经过第一、三象限，m ，n 同号．m ，n 同正时，直线y ＝mx ＋n 经过第一、二、三象限；m ，n 同负时，直线y ＝mx ＋n 经过第二、三、四象限，故B 、D 错；当mn <0时，直线y ＝mnx 经过第二、四象限，mn 异号．m >0，n <0时，直线y ＝mx ＋n 经过第一、三、四象限；m <0，n >0时，直线y ＝mx ＋n 经过第一、二、四象限，故A 正确，C 错误．故选A.7．1 解析：由图可知y ＝(a －2)x ＋b －3的图象经过第一、二、四象限，∴a －2<0，b －3>0，∴a <2，b >3.∴|b －a |－|3－b |－|2－a |＝b －a －(b －3)－(2－a )＝1.8．解：(1)由图可知y ＝(m －3)x －m ＋1经过第一、三、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，－m ＋1<0，∴m >3；(2)将y ＝(m －3)x －m ＋1的图象向上平移4个单位得y ＝(m －3)x －m ＋5，由题意，得－m ＋5＝0，∴m ＝5，∴这个正比例函数的解析式为y ＝2x .4、难点探究专题：一次函数与几何的综合问题(选做)◆类型一一次函数与面积问题一、由一次函数图象求面积1．(当涂县期末)直线y＝2x－4与两坐标轴所围成的三角形面积等于()A．8 B．6 C．4 D．162．已知直线l1：y1＝2x＋3与直线l2：y2＝kx－1交于A点，A点横坐标为－1，且直线l1与x轴交于B点，与y轴交于D点，直线l2与y轴交于C点．(1)求出A点的坐标及直线l2的解析式；(2)连接BC，求出S△ABC.二、由面积求一次函数关系式3．若直线y＝－2x＋b(b>0)与两坐标轴围成的三角形的面积是1，则该直线的解析式为__________．4．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A(1，2)的直线y＝kx＋b与x轴交于点B，且S△AOB＝4.则该直线的解析式为____________________．三、一次函数上的动点与面积问题5．(盐城中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()6．如图所示，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，OB OC ＝12.(1)求B 点坐标和k 的值； (2)若点A (x ，y )是直线y ＝kx －1在第一象限内的部分上的一个动点，试写出在点A 运动过程中，三角形AOB 的面积S 与x 的函数表达式；(3)探索：当动点A (x ，y )可在直线y ＝kx －1上任意移动时，若S △AOB ＝14，试确定点A的位置．【易错4】◆类型二 一次函数与几何图形综合的探究性问题7．如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1交于点A 2，得到第1个梯形A 1OC 1A 2；再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1交于点A 3得到第2个梯形A 2C 1C 2A 3；再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，延长C 3B 3，得到第3个梯形……则第2个梯形A 2C 1C 2A 3的面积是________；第n (n 是正整数)个梯形的面积是____________(用含n 的式子表示)．第7题图 第8题图8．★如图，直角坐标系中，点P (t ，0)是x 轴上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，分别与直线y ＝12x ，直线y ＝－x 交于A 、B 两点，以AB 为边向右侧作正方形ABCD .(1)当t ＝2时，正方形ABCD 的周长是________；(2)当点(2，0)在正方形ABCD 内部时，t 的取值范围是__________________．4、参考答案与解析1．C2．解：(1)当x ＝－1时，y 1＝－2＋3＝1，∴A 点的坐标为(－1，1)．∵直线l 2：y 2＝kx －1经过点A (－1，1)，∴1＝－k －1，∴k ＝－2，∴y 2＝－2x －1；(2)∵直线y 1＝2x ＋3与y 轴交于D (0，3)，直线y 2＝－2x －1与y 轴交于C (0，－1)，∴CD ＝4，∴S △ADC ＝12×4×1＝2.∵直线y 1＝2x ＋3与x 轴交于B ⎝⎛⎭⎫－32，0，∴S △BCD ＝12×4×32＝3，∴S △ABC ＝S △BCD －S △ACD ＝3－2＝1.3．y ＝－2x ＋24．y ＝－23x ＋83或y ＝25x ＋85 解析：设B 点坐标为(m ，0)，则S △AOB ＝12·|m |·2＝|m |.又∵S △AOB＝4，∴|m |＝4，∴m ＝±4.当m ＝4时，由直线y ＝kx ＋b 过点A (1，2)，B (4，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，0＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－23，b ＝83.此时该直线的解析式为y ＝－23x ＋83；当m ＝－4时，由直线y ＝kx ＋b 过点A (1，2)，B (－4，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，0＝－4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝25，b ＝85.此时该直线的解析式为y ＝25x ＋85.综上所述，该直线的解析式为y ＝－23x ＋83或y ＝25x ＋85.5．B 解析：当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高增大，所以△ABP 的面积S随着时间t 的增大而增大；当点P 在DE 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在EF 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小；当点P 在FG 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在GB 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而减小．故选B.6．解：(1)设B 点坐标为(m ，0)．∵OB OC ＝12，∴C 点坐标为(0，－2m )．由直线y ＝kx －1与y 轴交于点C 可得C 点坐标为(0，－1)，∴－2m ＝－1，∴m ＝12，∴B 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.由12k －1＝0得k ＝2； (2)∵A (x ，y )在第一象限，且y ＝2x －1，∴S △AOB ＝12OB ·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14⎝⎛⎭⎫x >12； (3)由题意，得12OB ·|y |＝14.∵OB ＝12，∴y ＝±1.当y ＝1时，x ＝1；当y ＝－1时，x ＝0.∴A点坐标为(1，1)或(0，－1)． 7．6 (2n －1＋2n )·2n －28．(1)12 (2)t <－4或45<t <2解析：当t <0时，AB ＝－32t ，即正方形ABCD 的边长为－32t .∵点(2，0)在正方形ABCD 内部，∴－32t >2－t ，解得t <－4；当t >0时，AB ＝32t ，即正方形ABCD 的边长为32t ，则⎩⎪⎨⎪⎧t <2，t ＋32t >2，解得45<t <2.故当点(2，0)在正方形内部时，t <－4或45<t <2.5、类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算◆类型一直接利用内角和或结合方程思想求角的度数1．△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，则∠B的度数是()A．50°B．60°C．70°D．90°2．(太和县期末)在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状无法确定3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝________度．4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.(1)∠BAE的度数为________；(2)∠DAE的度数为________；(3)探究：小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【方法10】◆类型二利用外角的性质求角的度数5．(柳州中考)如图，图中∠1的大小等于()A．40°B．50°C．60°D．70°第5题图第6题图6．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是【方法10】()A．20°B．30°C．40°D．60°◆类型三综合内外角求角的度数7．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________．第7题图第8题图8．(和县期末)如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为()A．62°B．68°C．78°D．90°9．★如图，△ABC的∠ABC、∠ACB的外角的平分线交于点P.(1)若∠ABC＝50°，∠A＝70°，求∠P的度数；(2)若∠A＝68°，求∠P的度数；(3)根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系．◆类型四在三角板或直尺中求角的度数10．(当涂县期末)如图所示，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝20°，则∠2＝________.第10题图第11题图第12题图11．(瑶海区期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()A．120°B．105°C．90°D．75°12．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．◆类型五与平行线相结合求角的度数13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PF A＝40°，那么∠EGB的度数为()A．80°B．100°C．110°D．120°第13题图第14题图14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，则∠BDE＝________度．15．如图，A点在B点的北偏东40°方向，C点在B点的北偏东75°方向，A点在C点的北偏西50°方向．(1)试证明△ABC为直角三角形；(2)求∠ACB的度数．◆类型六与截取或折叠相关求角的度数16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝________．第16题图第17题图17．在△ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2等于________．18．如图．(1)将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出图②中∠DAE与∠2、图③中∠DAE与∠1之间的关系式(不必证明)；(3)若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式(不必证明)．5、参考答案与解析1．A 2.C3．18 解析：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .在△ABC 中，∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，所以x ＝36°，所以∠C ＝2x ＝72°.在直角△BDC 中，∠DBC ＝90°－∠C ＝90°－72°＝18°.方法点拨：三角形中给出的条件含比例，不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解．4．解：(1)40° 解析：在△ABC 中，∵∠B ＝70°，∠C ＝30°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－70°－30°＝80°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°；(2)20° 解析：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°.由(1)可知∠BAE ＝40°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°；(3)可以．∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12∠BAC －(90°－∠B )＝12(180°－∠B －∠C )－90°＋∠B ＝90°－12∠B －12∠C －90°＋∠B ＝12(∠B －∠C )．又∵∠B －∠C ＝40°，∴∠DAE ＝12×40°＝20°. 5．D6．B 解析：∵∠ACE 是△ABC 的外角，∴∠ACE ＝∠A ＋∠ABC .∵∠DCE 是△BCD 的外角，∴∠DCE ＝∠D ＋∠CBD .∵BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACE ，∴∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，∴∠D ＋12∠ABC ＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠D ＝12∠A ＝12×60°＝30°.故选B.7．80° 8.A9．解：(1)∵∠ABC ＝50°，∠A ＝70°，∴∠ACB ＝180°－∠ABC －∠A ＝180°－50°－70°＝60°，∠CBD ＝180°－∠ABC ＝130°，∠BCE ＝∠A ＋∠ABC ＝120°.∵BP 、CP 分别平分∠CBD 、∠BCE ，∴∠PBC ＝12∠CBD ＝65°，∠PCB ＝12∠BCE ＝60°.在△PBC 中，∠P ＝180°－∠PBC －∠PCB ＝180°－65°－60°＝55°；(2)∵∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCE ＝∠A ＋∠ABC ，又∵BP 、CP 分别平分∠CBD 、∠BCE ，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12∠CBD ＋12∠BCE ＝12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝12(∠A＋∠ACB ＋∠ABC ＋∠A )＝12(180°＋∠A )＝90°＋12∠A .在△PBC 中，∠P ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－(90°＋12∠A )＝90°－12∠A .∵∠A ＝68°，∴∠P ＝90°－34°＝56°；(3)∠P ＝90°－12∠A .10．50° 11.B 12.75° 13.C 14.15 15．(1)证明：过A 作AF ∥BD 交BC 于F .∵BD ∥CE ，∴BD ∥AF ∥CE ，∴∠BAF ＝∠DBA ，∠CAF ＝∠ACE .由题意可得∠DBA ＝40°，∠ACE ＝50°，∴∠BAC ＝∠BAF ＋∠CAF ＝∠DBA ＋∠ACE ＝40°＋50°＝90°，∴△ABC 为直角三角形；(2)解：由(1)可知∠BAC＝90°.由题意可得∠DBC＝75°，∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°，∴∠ACB＝90°－35°＝55°.16．14°17.250°18．解：(1)延长BE、CD，交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.连接AP.由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EP A，∠2＝∠DAP＋∠DP A，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A；(2)图②中，∠2＝2∠DAE；图③中，∠1＝2∠DAE；(3)图④中，∠2－∠1＝2∠A.6、解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧——明模型，先观察，再猜想，后证明◆类型一全等三角形的基本模型1．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠A＝50°，∠B＝90°，则∠C＝________．【方法12】第1题图第2题图第3题图2．如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为________．3．如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为()A．2 B．4 C．4.5 D．34．如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F.(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)猜想BD、CE有何特殊位置关系，并说明理由．◆类型二证明线段间的等量关系一、等线段代换5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l 于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如何？并说明理由．【方法13】二、截长补短法6．★如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明．【方法12】三、倍长中线法7．★在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是【方法12】() A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定6、参考答案与解析1．110° 2.3 3.A4．(1)证明：∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE .在△BAD 和△CAE 中，∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE ；(2)解：BD ⊥CE .理由如下：由(1)可知△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE .∵∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠AFB ＝90°.又∵∠AFB ＝∠DFC ，∴∠ACE ＋∠DFC ＝90°，∴∠BDC ＝90°，即BD ⊥CE .5．解：(1)AD 与CE 的大小关系为AD ＝CE .理由如下：∵BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，∴∠BDA ＝∠AEC ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACE ＝90°.∵∠BAC ＝∠90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠ACE .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴AD ＝CE ；(2)线段BD ，DE ，CE 之间的数量关系为BD ＝DE ＋CE .理由如下：由(1)可知△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE .又∵AE ＝DE ＋AD ，∴BD ＝DE ＋CE .6．解：AE ＝AB ＋DE .证明如下：在AE 上截取AF ＝AB ，并连接CF .∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠CAF .又∵AC ＝AC ，∴△BAC ≌△F AC (SAS )，∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF .∵∠ACE ＝90°，∴∠ACF ＋∠FCE ＝90°，∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∴∠FCE ＝∠DCE .又∵C 为BD 的中点，∴BC ＝DC ，∴DC ＝FC .又∵CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE (SAS )，∴DE ＝FE ，∴AE ＝AF ＋FE ＝AB ＋DE .7．C 解析：如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接CE .在△ABD 和△ECD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，DB ＝DC ，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴CE ＝AB .在△ACE 中，CE －AC ＜AE ＜CE ＋AC ，即2＜2AD ＜14，∴1＜AD ＜7.故选C.7、难点探究专题：动态变化中的三角形全等(选做)◆类型一动点变化与全等三角形1．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8厘米，AC＝4厘米，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动______________秒时，△DEB与△BCA 全等．2．★如图，点A的坐标为(－2，0)，P为y轴负半轴上一个动点，当点P向y轴负半轴下方运动时，以P为顶点作△APD，并使P A＝PD，∠APD＝90°，过点D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．【方法13】◆类型二图形变换与三角形全等3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．4．如图甲，已知A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，且AB ＝CD .(1)试问OE ＝OF 吗？请说明理由；(2)若△DEC 沿AC 方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．★如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB .试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．【方法12】7、参考答案与解析1．0、2、6、8 解析：由“HL ”可得，当E 在线段AB 上时，0秒E 与A 重合，BE ＝AB ，第2秒时，AE ＝4厘米，BE ＝AC ，Rt △ABC 和Rt △BDE 全等；当E 在射线BN 上时，第6秒，BE ＝4厘米，第8秒，BE ＝8厘米，Rt △ABC 和Rt △DBE 全等．2．解：如图，过D 作DF ⊥y 轴于F ，∴∠DFP ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠APD ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.在△APO 和△PDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠3，∠AOP ＝∠PFD ＝90°，P A ＝DP ，∴△APO ≌△PDF (AAS )，∴AO ＝PF .∵点A 的坐标为(－2，0)，∴AO ＝2，∴PF ＝2.∵DF ⊥y 轴，∴DF ∥OE .又∵DE ⊥x 轴，∴DE ＝OF .∴OP －DE ＝OP －OF ＝PF ＝2.3．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，∵CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS )；(2)解：由(1)可知△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL )，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS )，∴OE ＝OF ； (2)结论依然成立．理由如下：由AE ＝CF ，得AF ＝CE ，同(1)可证Rt △ABF ≌Rt △CDE ，得BF ＝DE .同(1)可证△BFO ≌△DEO ，∴OF ＝OE ，即结论依然成立．5．解：DE ＋BF ＝EF .证明如下：延长CB 至G ，使BG ＝DE ，如图．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∴AB ＝AD ，∠ABF ＝∠ADE ＝90°，∴∠ABG ＝90°，∴∠ABG ＝∠ADE .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，BG ＝DE ，∴△AGB ≌△AED (SAS )，∴AG ＝AE ，∠5＝∠1.∵∠EAF ＝12∠DAB ，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠5＋∠4＝∠2＋∠3，即∠GAF ＝∠EAF .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS )，∴GF ＝EF .∵GF ＝BG ＋BF ＝DE ＋BF ，∴DE ＋BF ＝EF .8、易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳，各个击破◆类型一 求边长(或周长)时忽略三边关系1．(盐城中考)若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( ) A ．12 B ．9 C ．12或9 D ．9或72．学习了三角形的有关问题后，王老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另外两条边的长．”同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3，6或4.5，4.5”．你认为小明回答是否正确：________，理由是______________________．3．已知一个等腰三角形的两边长a 、b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝11，2a ＋b ＝13.(1)求a 、b 的值；(2)求这个等腰三角形的周长．4．已知等腰三角形ABC 中，一腰AC 上的中线BD 将三角形的周长分成9cm 和15cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．【易错8】◆类型二当腰或底不明时求角度时没有分类讨论5．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°6．(乌鲁木齐中考)等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是________．7．★若一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，试求该大等腰三角形顶角的度数(要求画出相应图形，写出求解过程)．◆类型三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论8．等腰三角形的一内角为80°，则它的一腰上的高与底边的夹角的度数是________．【易错8】9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数是20°，试求这个等腰三角形各内角的度数．【易错8】8、参考答案与解析1．A 2.不正确 3，3，6不能构成三角形3．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝11，2a ＋b ＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3；(2)由(1)得等腰三角形三边长可以是5，5，3或3，3，5，均符合三边关系，故这个等腰三角形周长为13或11.4．解：设腰长为x cm ，①腰长与腰长的一半是9cm 时，x ＋12x ＝9，解得x ＝6，∴底边＝15－12×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm 、6cm 、12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，x ＋12x ＝15，解得x ＝10，∴底边＝9－12×10＝4(cm)，∴三角形的三边为10cm 、10cm 、4cm ，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm ，底边为4cm.5．C 解析：本题应用分类讨论思想，等腰三角一个内角为50°.这个内角可以是顶角也可以是底角．6．120° 解析：等腰三角形的一个外角是60°，则相邻的内角为120°.因为等腰三角形的底角必是锐角，故120°是该等腰三角形的顶角．7．解：(1)如图①，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，AC ＝CD ，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ，∠CDA ＝∠CAD .∵∠CDA ＝2∠B ，∴∠CAB ＝3∠B .∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∴∠BAC ＝108°；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝BD ＝CD ，∴∠B ＝∠C ＝∠DAC ＝∠DAB ，∴∠BAC ＝2∠B .∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴4∠B ＝180°，∴∠B ＝45°，∴∠BAC ＝90°；(3)如图③，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ＝BC ，∴∠ABC ＝∠C ，∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C .∵∠BDC ＝2∠A ，∴∠C ＝2∠A ＝∠ABC .∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，∴5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°；(4)如图④，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝AD ，CD ＝BC .设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠DBA ＝∠A ＝x ，∴∠BDC ＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠DBC ＝180°－x2－x .∵CD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠DBC ，∴2x ＝180°－x 2－x ，∴x ＝180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7. 方法点拨：本题应使用方程思想，根据等腰三角形的性质等边对等角，再结合四角形的内角和求角度．正确把握题意，归纳出四种情形，防止漏解是解题关键．8．10°或40° 解析：注意分80°为底角或顶角两种情况进行讨论． 9．解：如图①，当△ABC (AB ＝AC )为锐角三角形时，∠ABD ＝20°，BD ⊥AC ，∴∠A ＝70°，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝55°；如图②，当△ABC (AB ＝AC )为钝角三角形时，∠ABD ＝20°，BD ⊥AC ，∴∠DAB ＝70°，∴∠BAC ＝110°，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠BAC )＝35°.综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别为70°，55°，55°或110°，35°，35°.9、难点探究专题：等腰三角形中辅助线的作法(选做)——形成精准解题思维◆类型一 利用“三线合一”作辅助线【方法18】 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC ，若∠EAB ＝20°，则∠BAC ＝________．第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．(庐江县期末)如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M .求证：M 是BE 的中点．3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在CA 的延长线上，∠E ＝∠AFE .求证：EF ⊥BC .二、构造等腰三角形4．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为( )A ．0.4cm 2B ．0.5cm 2C ．0.6cm 2D ．0.7cm 25．★如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD；(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．◆类型二巧用等腰三角形构造全等6．★如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连接MN.求证：MN＝BM＋NC.◆类型三截长补短构造等腰三角形7．★如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AB＝BC＋CD.8．★如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.9、参考答案与解析1．40° 解析：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ，∠BAD＝12∠BAC .∵BE ＝12BC ，∴BE ＝BD .在Rt △AEB 和Rt △ADB 中，∵BE ＝BD ，AB ＝AB ，∴Rt △AEB ≌Rt △ADB (HL )，∴∠BAD ＝∠EAB ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝40°.2．证明：如图，连接BD .∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，∠ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE .又∵∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ，∴∠E ＝12∠ACB＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴DB ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴M 是BE 的中点．3．证明：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D .∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝2∠1.∵∠BAC 是△AEF 的外角，∠E ＝∠AFE ，∴∠BAC ＝2∠E ，∴∠1＝∠E ，∴EF ∥AD ，∴EF ⊥BC .4．B 解析：如图，延长AP 交BC 于E .∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠EBP .∵AP ⊥BP ，∴∠APB ＝∠EPB ＝90°.在△ABP 和△EBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABP ＝∠EBP ，BP ＝BP ， ∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝∠APB ＝∠EPB ，PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝12×1cm 2＝0.5cm 2.故选B.5．(1)证明：如图①，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F .∵点P 和点Q 同时出发且速度相同，∴BP ＝CQ .∵PF ∥AQ ，∴∠PFB ＝∠ACB ，∠DPF ＝∠DQC .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PFB ，∴BP ＝PF ，∴PF ＝QC .在△PFD 和△QCD 中，∵∠DPF ＝∠DQC ，∠PDF ＝∠QDC ，PF ＝QC ，∴△PFD ≌△QCD (AAS )，∴PD ＝QD ；(2)解：存在，DE 的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F .由(1)可知PB ＝PF .∵PE ⊥BF ，∴BE ＝EF .由(1)可知△PFD ≌△QCD ，∴FD ＝CD ，∴DE ＝EF ＋FD ＝BE ＋CD ＝12BC ，∴DE 的长为定值．6．证明：如图，延长MB 到E ，使BE ＝CN ，连接DE .∵BD ＝CD ，∠BDC ＝120°，∴∠1＝∠2＝30°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°，∴∠DBE ＝90°，∴∠DBE ＝∠DCN .在△BDE 和△CDN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CN ，∠DBE ＝∠DCN ，BD ＝CD ，∴△BDE ≌△CDN (SAS )，∴∠3＝∠4，DE ＝DN .∵∠BDC ＝120°，∠MDN ＝60°，∴∠4＋∠BDM ＝60°，∴∠3＋∠BDM ＝60°，即∠MDE ＝60°，∴∠MDE ＝∠MDN .在△MDE 和△MDN 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DN ，∠MDE ＝∠MDN ，MD ＝MD ，∴△MDE ≌△MDN (SAS )，∴ME ＝MN .∵ME ＝MB ＋BE ＝MB ＋CN ，∴MN ＝BM ＋CN .7．证明：方法一：(截长)在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，如图①.∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.在△BDE 和△BDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BC ，∠1＝∠2，BD ＝BD ，∴△BDE ≌△BDC (SAS )，∴DE ＝DC ，∠C ＝∠BED .∵∠C ＝2∠A ，∠BED ＝∠A ＋∠3，∴2∠A ＝∠A ＋∠3，∴∠A ＝∠3，∴AE＝DE ，∴AE ＝CD .∵AB ＝BE ＋AE ，BE ＝BC ，∴AB ＝BC ＋CD .方法二：(补短)延长BC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE ，如图②.则∠3＝∠E ，∴∠ACB ＝2∠E .∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠A ＝∠E .∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.在△ABD 和△EBD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠E ，∠1＝∠2，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (AAS )，∴AB ＝BE .∵BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋CD ，∴AB ＝BC ＋CD .8．证明：如图，延长CE 到F ，使CE ＝EF ，连接BF .则CF ＝2CE .∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE .在△AEC 和△BEF 中，。