17589第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象

第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象

5.1 边界层理论的要点

5.1.1 问题的提出

前述，Re∝惯性力/粘性力

当Re<1时，惯性力<<粘性力，可用“爬流”模型，略去惯性力项，N-S方程==>爬流方程（stokes近似），解决一些实际问题（沉降、润滑、渗流等），获得比较满意的结果。

但工程流动问题，绝大多数的Re很大。这时，是否可以完全略去粘性力，使Navier-Stokes方程==>Euler方程（理想流体）。但是，这样的结果与实际情况相差很大。突出的一例即“达朗倍尔佯谬（paradox）——在流体中作等速运动的物体不受阻力”。

究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体学家普兰德（Prandtl）提出了著名的边界层理论（大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固——流边界的极薄流层中，惯性力≈粘性力），才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。后人把Prandtl 提出的流动边界层概念，推广到流动系统的传热边界层和传质边界层，从而确定传热、传质的速率以及了解有关的影响因素。还有人研究了边界层中的化学反应，解决了一些实际问题。因此，边界层理论被认为是近代流体力学的奠基石。

5.1.2 流动边界层（速度边界层）

以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：

（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。

（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。按理想流体处理，Euler方程适用。

这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），u x＝0.99u∞，

δ——流动边界层厚度，δ＝δ(x)。

5.1.3 传热边界层（温度边界层)

当流体流经与其温度不相等的固体壁面时（如图，x>x0段），在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。

（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。

通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），

t s－t＝0.99(t s－t0) ≈t s－t0

δt——温度边界层厚度，δt＝f(x)；

t s——壁面温度；

t0——热边界层外（主流体）区域的温度。

P r＝ν/α∝动量传递能力/热量传递能力

一般情况下，P r>1(液体)，δ>δt

P r≈1（气体），δ≈δt

P r<0.1（液态金属），δ<δt

5.1.4 传质边界层（浓度边界层）

当流体流经某种固体壁面时，如果固体壁面会溶解（如苯甲酸）或升华（如萘），或者壁面为多孔板（会从孔内渗入或渗出某组分A），由于这些原因之一，使流体与固体壁面形成流动边界层δ的同时，还会由于传质而形成浓度分布。

其浓度场可划分为两个区域：

（1）y<δc（传质边界层）：法向浓度梯度dC A/dy很大，在法向分子扩散很重要，不可忽略。

（2) y>δc（层外区域）：法向浓度梯度dC A/dy≈0，可忽略法向分子扩散。

通常约定：在浓度边界层的外缘处（即y＝δc处），

C AS－C A＝0.99(C AS－C A0) ≈C A－C A0

δc——浓度边界层厚度，δc＝f(x)；

t s——固体壁面处（y＝0处）流体中组分A 的浓度；

t0——浓度边界层外区域的浓度。

S C≡ν/D AB∝动量传递能力/质量传递能力

一般情况下，S C总是大于1的（有时甚至几千），∴δc<δ

5.2 边界层的形成与发展

5.2.1 外部流动的边界层形成与发展

——以平板绕流为例(见图5－5）

5.2.1.1 形成

流体一经与固体表面接触，就黏附在表面上，速度为零（no－slip）。这层静止流体对临近的流体层施加粘性阻力，使第二层流体速度减慢，开始形成边界层。由于第二层流体损失了动量，它开始对第三层施加粘性阻力，于是第三层流体也损失动量，随着x增大（流体向前运动），越来越多的流体层速度减慢，使边界层沿x方向（流体方向）不断增厚。

5.2.1.2发展

在边界层的起始段（x≤x

c ）,(x

c

为临界长度)，流动为完全层流，为层流边

界层区，它既不受表面粗糙度的影响，也不管来流是层流还是湍流。由于此时边界层很薄，其中du x/dy很大，形成湍流的可能性很小，这表明壁面对湍流的发展具有抑制作用。

但只要平板足够长，当x>x c后，边界层的流动变得不稳定起来，而且δ随x 增大迅速增大，这时进入过渡边界层区。再经过一段距离以后，边界层内的流体流动完全转变为湍流流动，称为湍流边界层区。

5.2.1.3湍流边界层的多层结构（三层模型）

（1）层流底层（laminar sublayer, 又称粘性底层）0≤y≤δb

（2）缓冲层（buffer layer，又称过渡层）δb≤y≤δf

（3）湍流核心(turbulence core) δf≤y≤δ5.2.1.4平板边界层临界雷诺数

μρ

ν

∞∞==

=

u

x u

x c c

x

c

Re

Re xc——以临界长度x c为定性长度的临界雷诺数；

u∞——主流速度；

ρ，μ，ν——流体物性。

对光滑平板而言，Re xc＝2×105～3×106

一般地，若无特殊说明，取Re xc＝5×105

平板边界层厚度δ～x关系式：

对平板层流边界层，Re x<5×105，δ/x=5.0/（Re x）0.5对平板湍流边界层，5×105

δ/x=0.38/（Re x）0.2

式中，

μρ

ν

∞∞==

=

xu xu

x

Re

x——从平板前缘算起的距离

5.2.2 内部流动的边界层形成与发展

——以等径管流为例(见图5－6）

在管道进口处，流体速度均匀，法向du/dy＝0，δ＝0

一进入管道，因为粘附条件（no－slip），在y＝0处，u＝0，开始形成边界层。由于粘性作用，沿管长增加边界层厚度δ增大。（∵流体的连续性，u b＝常

数，∴δ↗==>层外中心u

∞

↗。）直至边界层发展到轴心，δ＝R（图中C点）。从C点之后的管内，速度分布不再变化，边界层充满了整个流动截面，建立了“充分发展了的流动”（fully developed flow）。而在C点之前，速度分布正在发展（developing），速度分布未定型。

C点之后这段管长（即从管道进口到充分发展开始点这一段距离，称为“流动进口段长度Le”。

管内层流——在充分发展开始的这一点（C点），若边界层还是层流边界层，则C点之后全管层流；

管内湍流——在充分发展开始的这一点（C点），若边界层已发展成为湍流边界层，则C点之后全管湍流。（管内湍流仍可分为层流底层，缓冲区，湍流核心三层。）

管内流动的雷诺数，

μρ

ν

b b

D

Du Du

==

=

Re

u

b

——截面平均速度

对管内流动，层流转变为湍流的临界Re

D

≈2000。 进口段长度Le的估算：

对管内层流，Le/D＝0.0575Re

D

≈0.05Re≈100

对管内湍流，Le/D＝1.4（Re

D

）0.25≈50～100

5.3 进口段与边界层分离的概念 5.3.1 边界层内的传递机理：

（1）层流：法向是依靠分子扩散传递。 （2）湍流：

①层流内层：分子扩散传递；

②缓冲区：旋涡混合传递≈分子扩散传递； ③湍流核心：旋涡混合传递>>分子扩散传递。

故在一般情况下，层流内层的传递阻力R 内层最大，是流体一侧传递速度的控制因数，设法使层流底层厚度δb 减厚是强化对流传递的主要条件之一。

5.3.2 用数学分析法求解对流传热系数h 和对流传质系数k c 0

原则步骤。

（1）从连续性方程和边界层运动方程（即Prandtl 边界层方程）求出u 分布；

（2）把u 代入边界层能量方程，求出t 分布；（或求解对流传质系数k c 0时，代入边界层传质方程，求出C A 分布）从而得到壁面梯度。 （3）∵对传热，壁面处传递的热量

dq ＝h x ΔtdA ＝dA n t k n f 0

=?

??

????- ∴ h x = 0

=?

??

?????-n f

n t t k

，式中 Δt = t s —t f 如果对传质，壁面处传递的质量

dW A ＝

c k Δ

C A dA ＝dA n C

D n A AB

=?

??

????- ∴

c k = 0

=?

??

?????-

n A A AB n C C D ，式中 ΔC A = C As —C Af

（4）传递膜系数（对流传热系数h 和对流传质系数k c 0）沿长度的平均值

5.2.3 传热进口段与传质进口段

从开始传热到传热膜系数h 达到稳定的这段距离称为传热进口段，其长度用L t 表示。

从开始传质到传质膜系数k 达到稳定的这段距离称为传质进口段，其长度用L D 表示。

层流：L t /D ＝0.05RePr ；L D /D ＝0.05ReSc 湍流：L t /D ＝50～100；L D /D ＝50～100 Pr ≡υ/α∝动量传递能力/热量传递能力； Sc ≡υ/D AB ∝动量传递能力/质量传递能力。

例题5－1(p.310)比较水银和轻油Le 和Lt 。

5.4 边界层方程

5.4.1 普兰德的边界层微分动量方程及边界层微分能量方程和边界层微分质量方程

Prandtl 边界层方程

y

u u x

u u x y

x x

??+?? == 2

2

1y

u ν

dx

dP

x ??+-

ρ

平板层流动量传递（速度）边界层的数学模型

y

u x u x x ??+

?? == 0

y

u u x

u u x y

x x

??+?? == 2

2

y

u ν

x ??

B.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0

B.C.2 y = δ（或y =∞）, u x = u ∞

平板层流传热（温度）边界层的数学模型

y

u x u x x ??+

?? == 0

y

u u x u u x y

x x

??+?? == 2

2

y

u ν

x ??

y

t u x

t u y

x ??+?? == 2

2

y

t ??α

B.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0，t =t s

B.C.2 y = δt （或y =∞）, u x = u ∞， t = t ∞

平板层流传质（浓度）边界层的数学模型

y

u x

u x x ??+

?? == 0

y

u u x u u x y

x x

??+?? == 2

2

y

u ν

x ??

y

C u x

C u A y

A x ??+?? == 2

2

y

C D A AB

??

B.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0，C A = C A s

B.C.2 y = δc （或y =∞）, u x = u ∞， C A = C A ∞

5.4.2 边界层微分方程的分析解(Blasius 精确解、普尔豪森解等 ;不详细讲如何求解的过程)

5.4.3 卡门边界层积分动量方程(p78)、边界层能(热)量积分方程(p170)、边界层质量积分方程(p261)

5.4.4 边界层积分方程在平板层流边界层“三传”问题中的近似解

5.4.5 边界层积分方程在平板湍流边界层“三传”问题中的近似解(并初步介绍柯尔本类似律)

5.5 圆管内层流传热(p176)、圆管内层流传质(p251)