第五章 边界层理论单页
边界层理论
1. 引言像交织着爱、恨及相互需要的情侣关系一样，科学和技术之间的历史关系也是那样的令人惊讶和热烈．明显地，我们深深着迷于自亚里士多德、伽利略、牛顿、莱布尼兹一直到爱因斯坦在研究运动时通过思考获得的惊人科学奇迹，同时从车轮、天文望远镜、航天器到计算机的成功技术也是那样地引人入胜．超越世俗的孰优孰劣的疑问，科学和技术难道不是智慧和理性的两张面孔吗？对于引导我们到达宏观世界知识最外缘的数学模型，物理学家能对此满意吗？显然不，人们更需要去认识客观事物、去检验理论、去实验、去模拟和去探索，同时人们也需要去寻求、创造和理解．如今，运动力学（the science of motion-the mechanics-）是建立在数学建模、数值模拟和实验基础上的，后三者相互支撑并确保其平衡．但是，现今实验的成本、建模的难度、数值计算强度的增加都破坏了这个漂亮的结构，使之凌乱不堪．由物理学家构建的数学模型和数学之间的紧密联系要求数学模型的解能够使我们在绝大多数情况下忽略模型的分析而偏重于它的数值解，但有时这是非常困难的．很显然，力学家虽然没有耐心等待数学家对数学模型进行慢慢地分析,但是他们却一定准备沿着一条充满了严谨的启发推理的数学之径前行．自莱布尼兹和十分精确的几何领域中的分析出现后，许多数学工具得到使用．在数学模型的发展和寻求其解中，数学力量对物理学的进步贡献卓越．间或，一些令人惊讶的成果在被物理学家普遍称为“近似理论”中取得．因此，在众多的近似和分析理论中，发散级数被长期使用．数学家对这些级数的情有独钟绝非毫无根据．从明确定义的函数中计算出的级数的各项一定蕴含了扩展函数的信息．一般的，发散级数仅仅是渐进级数．和收敛级数不同之处是渐进级数是部分和，而这种部分和是扩展函数在当某个确定参数很小时的较好的表示．当参数为零时，函数被级数的首项精确表示．当参数非零但很小时，任意部分和是函数的近似．小参数一般用ε来表示．在物理学中,想将一个研究中的数学模型推导成其解是原模型近似解的简化模型，小参数是个决定因素，除了渐进级数的概念外，这还是个渐进展开的概念，也许在更一般的意义来讲，这也是一个近似的概念，而近似正是我们思考的核心．像“理论”这个词的含义有多种理解一样，“近似”一词也有多种解释．即使我们在数理物理学方面自我要求苛刻，但一些歧义依然存在．对照于由欧几里得规范的严格的推理要求的说法，“近似”一词有两种含义．当一种渐进近似获得之后，对于数学家而言，依据数学公式让ε取值足够小，近似的精确度就会非常明确．另一方面对于物理学家来说，近似就是寻找一个参数特定的值但精确度事前却未知．本书的主要目的就是通过提出一种连续的完备的扩张方法使得这两种定义一致．而这种SCEM 方法考虑的就是遵循一些严格的数学程序不得不解决的具体问题．而SCEM 方法讲述的正是贯穿本书的主题，被称之为奇异摄动问题．在这些问题中，当0→ε时，解不会一致趋于让0=ε时的相应的简化方程的解．值得注意的是非一致性是发生在维数小于原始区域的区域中．这也是这类问题被称为边界层的原因．当一个参数很小时，近似解的非一致性是个数学问题．但现在幸运的是，我们作为物理学家能分辨出哪些是已知的物理量，哪些是未知的．这些属于物理问题性质的基础知识能使我们更好地掌握数学模型．这是个具有特征尺度的无量纲化过程的例子， 它能使我们决定一些特定参数是否取得很小．事实上，正是通过被物理描述提供的多种选择去无量纲化才使得奇异摄动受到质疑．在机翼附近的流体只有远离机翼时才是真正意义上的无粘性．然而，对于稳定的不可压流体，作为控制方程的Navier-Stokes 方程，在无量纲的形式中，其物理参数只有雷诺数．现在，如果远离机翼，特征长度尺度就是雷诺数的倒数，和整体相比是非常小的．忽略了雷诺数倒数的项，我们得到的欧拉方程好像粘性消失了．并非流体的粘性系数取了另外的值，而是远离了机翼后速度的梯度足够小，粘性的影响可以被忽略了．这就意味着特征长度尺度的改变将使我们考虑气流壁附近的粘性影响是必不可少的．因此，基于后一种的长度尺度上的雷诺数将不再很大．靠近机翼，Navier-Stokes方程推导成边界层方程，即使这个模型比满足于边界条件的Navier-Stokes模型要简单．如何用在远离机翼时有效的欧拉方程的解和靠近机翼时有效的边界层方程的解去构造一种Navier-Stokes方程的一致有效的近似解呢？这是想解决这类特殊问题的关键之所在．即使研究高雷诺数流体外的其他问题，也是这种主要的思路．如何去寻找一些特征退化的问题和它们的有效区域，如何将它们联系起来，并最终构造一个初始问题的近似，这些都是统领全书的议题的关键点．诚然，应用的主要范围是流体动力学，但是2到6章的部分应用更是广泛且对物理学家来说非常有用，更一般意义上的应用是当我们面对大小参数模型时，我们能想起奇异摄动问题．第2章主要介绍这些问题．甚至最为简单的线性震动的例子都能说明方程的无量纲化过程是能让我们把握数学模型本质的首要关键．在这种框架下，物理学家这种去理解自己研究主题并建构模型的技能显然是解决问题的最强有力的工具．Friedrich's模型问题的简化使精确解很直接，并且对于奇异摄动问题来说，它也是刻画其解主要方法的教学案例．事实上，下一章主要讲两种方法，其中一种是众所周知的匹配渐进展开法，记作MMAE．另外一个方法鲜有人知，就是SCEM，我们也会明白它将是本书剩下的一个中心．第3章处理的是边界层的结构．一般地，物理的考察能给出寻找边界层位置的一些必要的线索．然而，一个简单的问题，一个精确解未知的二阶线性常微分方程，我们能将边界层的位置作为稳定问题来研究．这里给出了几个例子，是寻找一种解的近似和与之要求相应的边界层结构的．在所有的例子中，与初始值问题相比，我们最关注的是至少在局部存在定理无效的边值问题．在讲述正文时，附录能给予补充．在每章的结尾，复杂的问题都能让读者在相应的章节里找到结果．在本书的结尾给出了非常详尽的解．一些问题是真正的研究主题和从未发表的结论导出来的．本书是在法国出版的名为《渐进分析和库什极限》的英文版本．两个版本的大多数章节内容是一样的．其中第9章增补了针对于空气动力学流体的IBL方法的应用，第12章是全新的，用来处理通道流体．这些增补的内容进一步证明了SCEM的有效性．我们非常希望能通过这本书给读者提供一些必要的基本原理（包括数学的、实际的，等等）去理解和应用一些专用于边界层的标准渐进方法．在数理物理学中的许多问题中，这些方法是清楚理解解的结构的基础，而理解解的结构对于得到适当的数值解是非常关键的．此外，对于寻找含有边界层问题解的一致有效近似，我们希望SCEM能给予一个新的解释．在正则形式上，对于这种有效工具，SCEM与MMAE都提供了等效的补充观点．应用这种广义展开的补充，对现在还是不清楚的交互式边界层，SCEM能给我们带来合理的论证．如果推广的SCEM能应用于一些未知领域，那么我们将感到非常欣慰，因为我们工作的目的正是如此．例如，在流体动力学中，不稳定的或者三维的边界层，不稳定性和它们的控制都是将来研究的重要课题．2.奇异摄动问题的介绍物理学中使用的数学模型通常导致一个没有显示解的问题，当小参数出现或当计算区域是很大时，计算它们的数值解也变得相当困难．在这种情形下，往往通过令参数为零或者将研究限制在一个较小的区域，就能简化模型，这就是摄动问题．当小参数趋于零，记为0→ε，可能出现两种情况，一种是原问题的解当0→ε时并不在其定义域内一致地趋向退化问题（Reduced problem ）的解，另一种是在其定义域内一致地趋向退化问题的解．为了解决比较困难的数学问题，奇异摄动问题产生了．为了清楚地描述奇异摄动问题，下面我们来考虑一个积分微分算子（integro-differentialoperator ）εL 并求方程0)],([=Φεεεx L 的一个解),(εεx Φ，这里x 是区域D 中的变量，00εε≤<，0ε是一个固定的充分小的正常数．参数ε是一个无量纲，其蕴含着整个问题都是用无量纲变量来表示的．设0)]([00=Φx L 就是所谓的简化问题，先考虑简单问题，假定范数0Φ-Φε在研究区域D 中很小．用最大模范数，我们有),(0εδεK Max D<Φ-Φ 其中K 是一个不依赖于ε的正常数，)(εδ是一个正函数且.0)(lim 0=→εδε 如果这种性质满足，这个问题就称之为一个正则摄动问题（见问题2-4）．如果一些问题在整个区域D 中不满足上述性质，并且在比区域D 小的一个区域中一个奇点出现，那它就称为一个奇异摄动问题．在本章考虑的模型中，εΦ是已知的．这些教学问题都是用来描述主要的概念性难点以及解决这些难点的各种方法．2.1 正则和奇异问题2.1.1 线性震荡线性振子是正则摄动问题的典型例子．为了进一步地研究，我们来考虑下面的方程0222=++=y dxdy dx y d y L εε (2.1a) 且服从于初始条件.1,000====x x dx dyy (2.1b)函数),(εx y 要求0>x ，并且ε是一个充分小的正参数．所有量都是无量纲．当阻尼很小时，这个方程模拟了质点在阻尼弹性运动系统中的运动．这里“小”的含义在下面的分析中非常重要．下面一个小质量的物理问题是很有趣的．设),,,,(0I k m t y β*是质点离平衡位置的关于时间的位置函数．κ是弹性常数，β是阻尼系数．如果质点是从具有冲量0I 的平衡位置开始运动，那么(2.1a)能记为,022=*++**ky dtdy dt y d m β (2.2a) 且服从于初始条件.,0000I dt dy m y t t ===*=*(2.2b)设y 和x 都是无量纲变量Ly y *=，T t x =， 其中L 和T 分别是未被定义的长度和时间尺度．物体运动源自于冲量，因此令0I m L T =是合理的．有了这些新的变量，(2.2a)就可以写成无量纲形式,0022220=++y dx dy mLk I dx y d k mL I β (2.3a) 且服从于初始条件.1,000====x x dx dyy (2.3b)这样两个无量纲组产生了，并且都包含任意的长度L ，L 可以被m k I L 0=和mk I L 0β=两种方法定义．物理上，两个系数不是同一数量级的，当研究其中一个的小性时，另一个为)1(ο数量级，即可以用渐进分析．下面举两个例子：1.如果是弹性阻尼，第一组k mL I 220比第二组mLk I 0β要大的多，并且 m kI L 0=和k m T =， 因此小参数可以定义为.2m k βε=只要x 有界，下面我们就能看出相应的问题就是典型的正则摄动问题．这还是个小阻尼的例子．方程(2.3a) 化成.0222=++y dxdy dx y d ε根据Poincaré，当0→ε时，解的渐进行为可以按ε的幂展开为.)()()(),(2210 +++=x y x y x y x y εεε对于一个泰勒级数展开，式子中“ ”意味着省略项要比2ε小,并且近似性随着ε越来越小而越来越好．将展开式代入到初始方程并使得相同ε幂的系数相等，下面的方程来自于ε的零次幂系数和一次幂系数．)a 00202=+y dx y d ,1,00000====x x dx dy y)b dx dy y dx y d 012122-=+ .1,00101====x x dx dy y关于0y 的第一个问题是退化问题，能够得出无阻尼解.sin 0x y =关于1y 的第二问题能得到一个修正,sin 1x x y -=于是，一个近似解为.sin )1( +-=x x y ε可以看出，在有限时间区间τ<<x 0（其中τ不依赖于ε）中近似是一致有效的，修正很小．如果时间区间很大，近似无效．通过令1=ετ就能看出．由于时间区间太大，在展开式中出现奇点，所以这类问题被称之为“无穷时间”问题 ．这个专业术语来自于行星运动轨迹的研究．在小的时间尺度下由摄动方法获得的解是有效的，但是“无穷时间”项如果超过以一百年为阶的时间尺度，那它将没有什么实际意义．拿上述的近似解与精确解做比较，我们可以获得启发．由（2.6）给出的近似解正是精确解x e x y x221sin 1),(εεεε--=-泰勒级数展开的第一项．2.第二种情况．质量小，长度和时间尺度是mk I L 0β= 和.k T β=小参数ε是由2βεmk=定义的，(2.3a) 化成022=++y dx dy dx y d ε，.1,000====x x dx dyy （2.7）这个问题是个典型的奇异摄动问题，这奇异摄动问题恰好就是本书的主题．2.1.2 无穷时间问题我们考虑这个方程,0=+=y dxdy y L εε (2.8a) 服从初始条件 10==x y (2.8b)我们求它在0≥x 时的解．用如同（2.5）一样的展开，我们找到一个形如+++++=)()()()(),(2210x y x y x y x y x y n n εεεε的y 的近似值．将这个展开式代入（2.8a ）并使得相同ε幂的系数相等，得出下列相继的方程结果：1.00=dxdy 具有初始条件.100==x y 2.01y dxdy -=具有初始条件.101==x y 3.1--=n n y dx dy 具有初始条件.10==x n y 整理关于n y y y ,,10的这些解，得出.!)1(21),(22+-+++-=n x x x x y n n εεεε （2.9） 从精确解x e x y εε-=),( (2.10)我们可以看出困难之所在了．当x 变得很大时，对于一些项的考察，上面的展开将不再有效．显著的特点就是当ε很小和x 有界时，无穷级数能收敛到精确解，赋予ε一些值，则级数的部分和就是近似解．这时的展开式是一个收敛级数，而其部分和就是渐进展开的最简化形式．当x 大于原点的邻域时，为了转移奇性我们进行坐标变换.11+=x t图2.1 （2.8a ）的近似解由（2.9）给出的；y 的精确解由（2.10）给出的．令),(),(εεx y t Y ≡，我们能将（2.8a ）写成02=-=Y dtdY t Y L εε （2.11a ） 并服从于条件 .11==t Y （2.11b ）一个直接的展开.)()()(),(2210 +++=t Y t Y t Y t Y εεε导出近似解 .)21121()11(1),(22 ++-+-+=tt t t Y εεε （2.12） 相继的近似在原点附近有越来越多的奇性（图2.2）．通过展开下面的精确解可以看出．)]11(exp[),(--=t t Y εε （2.13）这个特点在相似的问题中也存在，但我们使用一个特殊的方法可以处理．下面考虑方程0)(=++=y dxdy y x y L εε .11==x y （2.14） 我们在区间10≤≤x 中求解．图 2.2 （2.11a ）的近似解由（2.12）给出的；Y 的精确解由（2.13）给出的．展开式 )()(),(10x y x y x y εε+=导出下列方程 1.000=+y dxdy x.110==x y 2.dxdy y y dx dy x 0011-=+ .011==x y 结果 +-+=)11(211),(2x x x x y εε （2.15） 能清楚地看出在原点附近，第二个近似比第一个近似的奇性多（图2.3）．精确解12),(22+++-=εεεεx xx y （2.16）在原点是有界的，对于ε大于0的任意值，12),0(+=εεy ，这是一个典型的“无穷时间”问题．图 2.3 （2.14）的近似解由（2.15）给出的；y 的精确解由（2.16）给出的．2.1.3 奇异问题奇异问题的原型是由Friedrichs[36]介绍的，用来证明由Prandtl[78]提出的边界层和粘性流体的一个匹配的．我们考虑下面一个方程 022=-+=a dxdy dx y d y L εε ,10<<a （2.17a ） 服从于边界条件,1,010====x x y y （2.17b ）我们在区间10≤≤x 中求解．这是一个比初始值问题复杂一些的边界值问题，像本章的其他研究问题一样，它的精确解是已知的．0=ε时，它的退化问题是0000=-=a dxdy y L ， 其解由A ax y +=0给出．这里的A 是一个常数，由两个边界条件决定．一般地，同时满足两个边界条件是不可能的．这个特点是某些奇异问题所特有的．当0=ε时，退化问题的阶要比初始问题的阶要低．如果边界条件0=x 是强行赋予的，解则变成.0ax y =由于a y =)1(0，所以这种近似不是一致有效的．类似地，如果强行赋给一个边界条件1=x ，则解变成,10a ax y -+= （2.18）它使得.1)0(0a y -=边界条件在原点不满足一定表明这是一个非一致收敛区域。
第五章 边界层理论
1Transport Phenomena, Xu Jian, 2009第五章边界层理论边界层概念 边界层方程 边界层分离2Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念在上述层流动量传递的若干实例的分析中，(1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、忽略进口段影响。
实际问题要复杂得多。
边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传递过程和质量传递过程有着密切的关系。
3Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一的流场，划分成两个区域，边界层和外流区；其流体流动（沿流动方向和沿与流动方向垂直的方向）有不同的特点。
边界层：流体速度分布明显受到固体壁面影响的区域。
边界层的形成：¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ¾U ＝0Æ0.99 U 04Transport Phenomena, Xu Jian, 20095Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念流过一物体壁面的流体分成两部分¾边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力¾外流区，理想流体，可以忽略粘滞力6Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层理论的要点边界层厚度δ的变化¾前缘处，δ＝0¾x ↑, δ↑；沿壁面的法向将有更多的流体被阻滞¾δ<<x边界层内，δ<<x （距离很小）；0Æ0.99 U 0（速度变化大）¾速度梯度很大，剪切力很大¾流体速度减慢Æ惯性力<<层外，惯性力与粘性力数量级相当7Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层流动的转变x<x c (临界距离)层流边界层 过渡区 湍流边界层转变判据：¾临界值：5×105；¾特征长度：距前缘的距离；¾特征速度：来流速度0Re xU ρμ=8Transport Phenomena, Xu Jian, 2009圆管进口段效应靠近管壁部分：边界层，速度减慢；厚度不断增大，进口段长度之后，汇交在管中心处；充分发展段的流动状态取决于交汇处边界层的流动状态；进口段的中心部分：无粘性流动区，速度均匀，区域不断缩小，在边界层汇交时消失；沿程速度不断增大Î压降增大（附加压降）；9Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2 边界层方程普兰德边界层方程：量级比较 边界层积分动量方程：动量衡算沿平壁层流边界层的计算：动量积分方程的应用10Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程2222222211x x x x xy y y y y x y u u u u P u u x y x x y u u u u P u u x y y x y μρρμρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流2222221x x x x Du u u u PDt x x y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠2222221y y y yDu u u uPDtyx y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠不可压缩流体的Navier-Stocks 方程不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：y0x u u x y∂∂+=∂∂连续性方程：11Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程普兰德首先发现可以通过比较数量级简化方程：¾Re 较大时，边界层的厚度δ<<x¾边界层内的惯性力和粘性力数量级相当 标准数量级：¾x 为距离的标准数量级，记为x=O(1)¾u 0为速度的标准数量级，记为u 0=O(1)¾边界层厚度δ的数量级记为δ= O(δ)，远远小于O(1) 其他物理量的数量级：¾u x 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)¾y 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)12Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级(1)(1)(1)x x u u O O x x O ∂Δ≈==∂Δ()222(1)(1)(1)(1)x x u u O O x O O x ∂Δ≈==∂Δyx u u x y ∂∂+=∂∂(1)x u O x∂=∂+(1)y u O y∂=∂()y u O δ=(1)1()()x x u u O O y y O δδ∂Δ≈==∂Δ()22222(1)1()()x x u u O O y O y δδ∂Δ≈==∂Δ22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠数量级(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δ13Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δInertial Force=Viscous Force:2()O μδρ=1(1)PO xρ∂≤∂22221y yy yx y u u u u P u u x y y xy μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)()δ×()(1)δ×()δ1()δ2()δ()δ≤()δ(1)14Transport Phenomena, Xu Jian, 2009普兰德边界层方程2210x x xxy yx u u u dP u u x ydx y u u x yμρρ∂∂∂+=−+∂∂∂∂∂+=∂∂000x y x y u u y u u ====∞=时，时，普兰德边界层方程B.C.通过数量级比较得到的简化方程：应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re 比较大15Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.2 边界层积分动量方程卡门避开使用N-S 方程，直接对边界层进行衡算x 方向质量衡算：¾左侧进入：¾右侧流出：¾上部外流区进入yxz dxdy 1个单位距离δlyu 0, ρμlx u dy ρ∫()00ll x xu dy u dy dxxρρ∂+∂∫∫()lx u dy dxxρ∂∂∫()()2220000000u (-u )ll l l x x x xlx x u dy u dy dx u dy u dy dxx xdx u u dyx ρρρρρ∂∂+−−∂∂∂=∂∫∫∫∫∫x 向净动量变化率：不可压缩流体沿平板壁面的稳态二维流动16Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程作用于控制体的x 向外力¾壁面剪切力：¾作用在左右侧面的压力差：1s dx τ−⋅⋅1Pdx l x∂−⋅⋅∂00(u )l x x s Pu u dy l x xρτ∂∂−=+∂∂∫0[,]x y l u u δ∈=00(u )x x sP u u dy x xδρδτ∂∂−=+∂∂∫只考虑x 方向的流动00(u )x x s d dPu u dy dx dxδρδτ−=+∫边界层内外压力近似相等00(u )x x sd u u dy dx δρτ−=∫卡门边界层积分动量方程17Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数等；方程有u x ，τw ，δ三个变量，需要补充u x =f 1(y)，τw =f 2(δ)的关系；需要预先假定一个速度分布方程才能求解，故只能算是一种近似的方法。
第五章 边界层理论
A2 0.332
x
v0
是平板流动边界层微 分方程解的最终结论。
5.0
5 .0
5.3. 边界层内积分方程
1.边界层积分方程的建立
M x ux dy
0 2 Wx uxux dy ux dy 0 0 l l
l
M x x
d l x u x dy u dy 0 0 x dx
速度的0.99处到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。
层流 底层
5.1. 边界层理论的基本概念
2 边界层的形成与特点：
① 形成：
流体流过平板，与平板紧临的流体受平板阻力而与平
板相对静止，边界层其余内各层流体自上而下依次受到 下层流体的粘性力作用而速度逐渐减小，这样就产生了 速度梯度较大的边界层。
5.1. 边界层理论的基本概念
d u0 u x u x dy 0 0 dx 3 ux 3 y 1 y u 2 2 0 u x y 0 0 a0 u x y u 0 2 3 u u a by cy dy y u0 b 3 u0 x y x y 0 2 y u x 2 b 2cy 3dy 2 0 u0 y y ux d y 0 3 2 y 0 2 y 2u x 2c 6dy y 0 2c 0 2 c0 y y 0
长度L,宽度B的平板总阻力
积分方程的解
4.64 x
v0 4.64 1 Re x
3
S
B
0
L
0
y 0
dxdz
3 0.646 v0 LB
17589第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象
第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象5.1 边界层理论的要点5.1.1 问题的提出前述，Re∝惯性力/粘性力当Re<1时，惯性力<<粘性力，可用“爬流”模型，略去惯性力项，N-S方程==>爬流方程（stokes近似），解决一些实际问题（沉降、润滑、渗流等），获得比较满意的结果。
但工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时，是否可以完全略去粘性力，使Navier-Stokes方程==>Euler方程（理想流体）。
但是，这样的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬（paradox）——在流体中作等速运动的物体不受阻力”。
究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体学家普兰德（Prandtl）提出了著名的边界层理论（大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固——流边界的极薄流层中，惯性力≈粘性力），才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
后人把Prandtl 提出的流动边界层概念，推广到流动系统的传热边界层和传质边界层，从而确定传热、传质的速率以及了解有关的影响因素。
还有人研究了边界层中的化学反应，解决了一些实际问题。
因此，边界层理论被认为是近代流体力学的奠基石。
5.1.2 流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），u x＝0.99u∞，δ——流动边界层厚度，δ＝δ(x)。
第5章-边界层理论基础PPT课件
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略， 但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略， 否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用 于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层 的计算，主要目标是边界层厚度和曳力 子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛 物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗 糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈 粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便 可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。
第五章 不可压缩流体二维边界层概述
因此，在边界层内的流体质点除了受到摩擦阻力的作用外，还受到流动方向上压 强差的作用。在圆柱体前半部边界层内的流体质点受到摩擦阻滞逐渐减速，不断 消耗动能。但由于压强沿流动方向逐渐降低，使流体质点得到部分增速，也就是 说流体的部分压强能转变为动能，从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能， 以维持流体在边界层内继续向前流动。
外部流动
尾迹 外部流动 边界层
外部流动
尾迹
外部流动 边界层 （a）流线形物体；（b）非流线形物体 图5-4 曲面边界层分离现象示意图
现以不可压缩流体绕流圆柱体为例，着重从边界层内流动的物理过程说明曲面边 界层的分离现象。当黏性流体绕圆柱体流动时，在圆柱体前驻点A处，流速为零， 该处尚未形成边界层，即边界层厚度为零。 随着流体沿圆柱体表面上下两侧绕流，边界层厚度逐渐增大。层外的流体可近似 地作为理想流体，理想流体绕流圆柱体时，在圆柱体前半部速度逐渐增加，压强 逐渐减小，是加速流。当流到圆柱体最高点B时速度最大，压强最小。到圆柱体 的后半部速度逐渐减小，压强逐渐增加，形成减速流。由于边界层内各截面上的 压强近似地等于同一截面上边界层外边界上的流体压强，所以，在圆柱体前半部 边界层内的流动是降压加速，而在圆柱体后半部边界层内的流动是升压减速。
而从 x dx 处控制面CD流出的质量流量为 K x 2 2 v x dy dx Kx dx v x dy x x 0 0
0
x 处控制面
由不可压缩流体的连续性方程可知，通过CD与AB控制面质量 流量的差值应等于由BC控制面流入的质量流量，于是流入BC 控制面的质量流量与动量分别为
边界层外边界
II尾部流区域
I边界层 边界层外边界
图5-1 翼型上的边界层
边界层理论Ch05-Boundary-Layer-Theory
4
Boundary layer equations
Applying our analysis to the momentum equations gives (x direction) :
μ ⎛ ∂ 2u x ∂ 2u x ⎞ 1 ∂p ∂u ∂u + = ux x + u y x ⎜ ⎟− ρ ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎠ ρ ∂x ∂x ∂y
y ≈ dy ≈ u y ≈ du y ≈ O(δ h )
BUCT
BSc 2011
19
BUCT
BSc 2011
20
Boundary layer equations
2. The velocity in the x direction (along the plate) is much greater than the velocity in the y direction (perpendicular to the plate)
N-S Equations at x direction:
μ⎜
⎛ ∂ u x ∂ u x ∂ u x ⎞ ∂pd + 2 + 2 ⎟− 2 ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎝ ∂x
2 2 2
Boundary layer equations x direction
Stationary flow:
∂u x =0 ∂t
u x ≈ du x ≈ x ≈ dx ≈ p ≈ O (1)
BUCT
BSc 2011
21
BUCT
BSc 2011
22
Boundary layer equations
边界层理论
不可压缩连续性方程
x 0 x y y
边界层外 理想流动 边界层内 粘性流动
《高等流体力学》
13/78
§3 层流边界层微分方程
量阶分析方法
边界层长度尺度与浸没物体几何尺度同量阶 边界层动量方程 量阶分析 雷诺数 边界层厚度
边界层长度方向分速度和势流区速度同量阶
《高等流体力学》
14/78
0.8
0.9
0.1496745
0.1891148
0.371663
0.416718
0.451190
0.443628
23/78
《高等流体力学》
§4 半无限大平板层流边界层布拉修斯解
用数值的方法直接求解布拉修斯方程的一些结果
1.0
f
0.2329900
f'
0.460632
f ''
0.434379
1.1
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0.0023480
0.0093914 0.0211275 0.0375492 0.0586472 0.0843856 0.1147447
0.049659
0.093905 0.140806 0.187605 0.234227 0.280575 0.326532
0.469563
0.469306 0.468609 0.467254 0.465030 0.461734 0.457177
§3 层流边界层微分方程
引入无量纲变量
* x
量阶分析方法
x
U
* y
y
V
x*
x L
y*
y
无量纲连续性方程
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ρ
1
ρ
∂P ∂x
≤
O (1)
ux
∂u y ∂x
+ uy
∂u y ∂y
=
−
1
ρ
∂P ∂y
+
μ ρ
⎛ ⎜⎜⎝
∂ 2u y ∂x2
+
∂ 2u y ∂y 2
⎞ ⎟⎟⎠
(1)× (δ ) (δ ) × (1)
≤ (δ ) (δ 2 ) (δ )
(1)
δ
(δ )
13
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
25
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
作业
假设平板壁面上边界层内的速度分布为直线，其速 出度方边程界为层厚ux=度a+δ与by流，动试距应离用x边的界关层系动。量积分方程导
26
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
⎝
μ ⎞2
ρu0
x
⎟ ⎠
=
−1
4.64 Rex 2
x处的剪切应力：τ sx
=
0.323ρu02
−1
Rex 2
∫ 总曳力Fd
=b
Lτ
0
sx
dx
=
0.646b
μρ Lu03 ,宽度b,长度为L
19
CD
=
1 2
Fd
ρu02bL
=
1.292 ReL
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
iv. y=δ,
dux = 0 dy
18
ux u0
=
3y
2δ
−
1 2
⎛ ⎜⎝
y
δ
⎞3 ⎟⎠
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
沿平壁层流边界层的计算
∫ ρ d dx
δ 0
(u0
−
ux
)u x dy
=
τ
s
＋
ux u0
=
3 2
⎛ ⎜⎝
y
δ
⎞ ⎟⎠
−
1 ⎛ y ⎞3
2 ⎜⎝ δ ⎟⎠
4
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
5.1 边界层概念
流过一物体壁面的流体分成两部分
¾ 边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力 ¾ 外流区，理想流体，可以忽略粘滞力
5
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
边界层理论的要点
边界层厚度δ的变化
∂y Δy O(δ ) δ
∂2ux ∂y 2
≈
Δux
( Δy )2
=
O(1)
O(δ 2 )
= O( 1 )
δ2
数量级
12
ux
∂u x ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1
ρ
∂P ∂x
+
μ ρ
⎛ ⎜ ⎝
∂ 2ux ∂x2
+
∂ 2ux ∂y 2
⎞ ⎟ ⎠
(1)× (1) (δ ) × (δ1 )
1
(1) (δ 2 )
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=−
1
ρ
dP dx
+
μ ρ
∂2ux ∂y 2
∂ux + ∂uy = 0 ∂x ∂y
y = 0时， ux = uy = 0
B.C.
y = ∞时， ux = u0
应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re比较大
平板和流线型物体不会发生边界层分离
21
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
粘性流体绕圆柱体流动
22
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Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
9
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
5.2.1 普兰德边界层方程
讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流
Dux Dt
=−
1
ρ
∂P ∂x
+
υ
⎛ ⎜ ⎝
∂2ux ∂x2
+ ∂2ux ∂y 2
+
∂2ux ∂z 2
⎞ ⎟ ⎠
Du y Dt
=
−1
ρ
∂P ∂y
+
υ
⎛ ⎜⎜⎝
边界层积分动量方程 ∫ ρ d dx
δ
0 (u0 − ux )uxdy = τ s
可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数 等；
方程有ux，τs，δ三个变量； 需要预先假定一个速度分布方程才能求解，
故只能算是一种近似的方法。
17
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般 理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传 递过程和质量传递过程有着密切的关系。
2
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
5.1 边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。
边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。
边界层的形成： ¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用
边界层厚度δ ¾U＝0Æ0.99 U0
Ludwig Prandtl: Father of Boundary Layer
U0
3
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
∂2uy ∂x2
+
∂2uy ∂y 2
+
∂2uy ∂z 2
⎞ ⎟⎟⎠
不可压缩流体的NavierStocks方程
不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：
ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1
ρ
∂P ∂x
+
μ ρ
⎛ ⎜ ⎝
∂2ux ∂x2
+
∂2ux ∂y 2
⎞ ⎟ ⎠
ux
∂u y ∂x
+ uy
第五章 边界层理论(Boundary Layer Theory)
边界层概念 边界层方程 边界层分离
1
Transport Phenomena, Xu Jian, 2009
5.1 边界层概念
在上述层流动量传递的若干实例的分析中， (1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、 忽略进口段影响。实际问题要复杂得多。
dx
1l δ
x
( ) ¾上部外流区进入
∫ ρ ∂ ∂x
l
0 uxdy dx
不可压缩流体沿平板壁面的 稳态二维流动
x向净动量 变化率：
15
( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ρ
l 0
ux2dy
+
ρ
∂ ∂x
l 0
ux
2dy
dx − ρ
l 0
ux2dy
−
ρu0
∂ ∂x
l
0 uxdy dx
∫ = ρdx ∂
∂x
Re0.5 = 1.664×105 < 5×1050.5处的边界层为层流边界层
(2)δ
=
−1
4.64x Re0.5 2
=
0.00569 m
∫ ∫ (3)ω0.5 =
δ
0 ρuxbdy =
δ 0
ρu0
⎡3 y
⎢ ⎢⎣
2
δ
−
1⎛ y
2 ⎜⎝ δ
⎞3 ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
bdy
=
5 8
ρu0bδ
= 0.0214 kg
其他物理量的数量级
∂ux ≈ Δux = O(1) = O(1) ∂x Δx O(1)
∂ux = O(1) + ∂ux + ∂uy = 0
∂x
∂x ∂y
∂2ux ∂x2Biblioteka ≈Δux( Δx )2
=
O(1) O(1)O(1)
= O(1)
∂uy = O(1) ∂y
uy = O(δ )
∂ux ≈ Δux = O(1) = O( 1 )
5.2.3 沿平壁层流边界层的计算
n
∑ 待定系数法： ux = ai yi 需要n＋1个边界条件以确定n＋1个待定
i=0
系数
ux = a + by + cy2 + dy3
边界条件：
i. y=0, ux=0 (不滑脱)
ii.
y=0，
⎛ ⎜
⎝
d2ux dy 2
⎞ ⎟ ⎠ y=0
=
0
iii.y=δ, ux=u0
标准数量级：
¾x为距离的标准数量级，记为x=O(1) ¾¾u边0为界速层度厚的度标δ的准数数量量级级记，为记δ=为Ou(0δ=)O，(远1) 远小于O(1)
其他物理量的数量级：
¾¾uy与x与δu是0是一一个个数数量量级级，，记记为为y=uOx=(δO)(1)