真空中的静电场(电势)
3-1电磁-真空中的静电场 大学物理作业习题解答
dE
zdq 40(z2 r2 )3/2
R cos.ds 40R3
sin cosd 20
d R o
x
故球心o处总场强为:
E
dE
/ 2 sin cos d
0
20
40
4
1-6 均匀带电的无限长细线,弯成如图所示的形状,若点电荷的线
密度为λ,半圆处半径为R,求o点处的电场强度.
解:o电场强是由三部分电荷产生的:
解：作一半径为r的同心球面为高斯面。
当r<R1
当 R1<r<R2
E4r2 0, E 0
R1
r 2r2 sindrdd
E 4r2 R1 0 0
R2
0
1
r
2
A r sindrdd
0 R1 0 0
E
A
r2 R12 20r2
同理，当r>R2
E4r2 1 R2 2 Arsindrdd
0
20
9
1-10 两个无限长的共轴圆柱面，半径分别为R1和R2，面上都均
匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为 1和 2 ,求： (1)场强分布；(2)若 1 2,情况如何？画出E－r曲线。
解：由圆柱面的对称性，E的方向为垂直柱面， r
故作一共轴圆柱面为高斯面，由高斯定律得：
R1
高 斯
当
r<R1, 当R1<r<R2 ，
1-12 将q=1.7×10-8库仑的点电荷从电场中的A点移到B点,外力需 做功5.0×10-8焦耳,问A,B俩点间的电势差是多少?哪点电势高?若 设B点的电势为零,A点的电势为多大?
解:(1) AAB=q(VA-VB), WAB=- AAB=+5.0×10-8
真空中的静电场
r0
场强迭加原理： EP E1P E2P EnP
电势迭加原理： Ua U1a U2a Una
（3）电荷守恒定律
电荷在没有与外界交换的系统内，只能从一个物体转 移到另一个物体，从物体的一部分转移到另一部分，但电 荷总量不变。
二、两个概念
电场强度矢量
E
F
q0
电势
Ua
Wa q0
E1 4
r2
1
o
Q
4 R3
3
4 r3
3
E
S
dS
1
o
qi
当 r≤R 时： 当 r>R 时：
E1
Qr
4o R3
Q
E2 4or 2
Q r R
当 r≤R 时：
R
U1 r E1dr R E2dr
q
R Qr
Q
R
r 4oR3 dr R 4or 2 dr
Q
8 o R3
(R2
r2)
Q
4 o R
E ds E ds
S S1
E ds E ds
E ds E ds
S2
S3
E 2rh
S3
S3
S3
P
S2
由高斯定理有
E 2 0 r
E 2rh h
或
E
0
2 0 r
r0
第一章 真空中的静电场1
一、实验基础—三条基本规律
（1）库仑定律： （2）迭加原理：
F
1
4 0
q1q2 r2
3. 常用高斯面
同心球面 圆柱形闭合面 长方形闭合面
[例1-1]求均匀带正电球体内外的场强分布。设球体半 径为R，带电量为Q。
真空中的静电场总结,
普通物理学程守洙第六版静止电荷电场总结真空中的静电场教学目的要求1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理；2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用；3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能；4. 掌握电势和电势叠加原理；5. 了解电场强度和电势梯度的关系.本章内容提要⒈两个基本定律① 电荷守恒定律 在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一.② 真空中的库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量q l 和q 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即1212121222012120124π4πr q q q q r r r εε=⋅=r F e ⒉两个重要物理量① 电场强度 单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即q F E = ② 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则0d pp p W V q ∞==⋅⎰E l 电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为d p p V ∞=⋅⎰E l 微分关系是grad V =V =--∇E⒊两个重要定理① 高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ 0倍.即01d i S S q ε⋅=∑⎰Ñ内E S ② 静电场的环路定理 在静电场中，电场强度E 的环流恒为零.即0d =⋅⎰l E高斯定理和静电场的环路定理都是描写静电场性质的重要定理，前者说明静电场是有源场，而后者说明静电场是无旋场，即静电场是有源无旋场.⒋三个叠加原理① 静电力叠加原理 作用在某一点电荷上的力为其它点电荷单独存在时对该点电荷静电力的矢量和.即1ni i ==∑F F② 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加，即1ni i==∑E E③ 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加，即1np Pi i V V ==∑⒌几个基本概念① 电场 电荷周围存在的一种特殊物质，称为电场.它与分子、原子等组成的实物一样，具有质量、能量、动量和角动量，它的特殊性在于能够叠加.相对于观察者静止的电荷在其周围所激发的电场称为静电场.静电场对外的表现主要有：对处于电场中的其他带电体有作用力；在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功.② 电场线 为形象地反映电场而人为地在电场中描绘的曲线.其画法规定：电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小.它的性质为：电场线起自正电荷（或无限远处），止于负电荷（或无限远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线；两条电场线不能相交.③ 电通量 通过电场中任一给定面的电场线的条数，称为该面的电通量.即⎰⎰⋅==Se e ΦΦS E d d ④ 电势能 电荷在静电场中的一定位置所具有的势能，称为电势能.电场力的功就是电势能改变的量度.若取无限远处为势能零点，则q 0在电场中某点a 的电势能为0d a a W q ∞=⋅⎰E l 即q 0自a 点移到 “势能零点”的过程中电场力做的功.电势能应属于q 0和产生电场的源电荷系统共有.⑤ 电势差 在静电场中，任意两点a 和b 的电势之差称为电势差（电压），即d bab a b a U V V =-=⋅⎰E l 即把单位正电荷自a 点移动到b 点的过程中电场力做的功.由此可以计算电场力做的功)(b a ab ab V V q qU A -==⑥ 等势面 电场中电势相等的点所组成的曲面叫等势面.画法规定：电场中任意两个相邻的等势面之间的电势差都相等.性质：在同一等势面上的任意两点间移动电荷，电场力不做功；等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直；电场线总是由电势较高的等势面指向电势较低的等势面；等势面密集处的电场强度大，等势面稀疏处电场强度小.⑦ 电势梯度 电场中某点的电势梯度，在方向上与该点处电势增加率最大的方向相同，在量值上等于沿该方向上的电势增加率.即d grad d n V V V n==∇e ⒍场强和电势的计算① 由点电荷公式2014πq r ε=⋅⋅r E e ， 04πp q V rε= ② 由叠加原理 1n i i==∑E E ， 1np Pi i V V ==∑3104πn i ii i q r ε==∑E r ， 104πn i p i i q V r ε==∑ 201d 4πr q r ε=⎰E e ， 0d 4πp q V rε=⎰③ 由二者关系grad V =V =--∇E ， d p p V ∞=⋅⎰E l④ 由高斯定理 01d i S S q ε⋅=∑⎰Ñ内E S ， 0d p p p V =⋅⎰E l对于具有一定对称性分布的带电体，通常先利用高斯定理求E 而后求V p ；对于由多个电荷或带电体组成的系统，则常用叠加原理求解.思考题答题要点1 怎样认识电荷的量子化和宏观带电体电荷量的连续分布答：常见的宏观带电体所带的电荷远大于基本电荷量，在一般灵敏度的电学测试仪器中，电荷的量子性是显示不出来的.因此在分析带电情况时，可以认为电荷是连续分布的，这正像人们看到流水时，认为它是连续的，而并不感觉到水是由一个个分子、原子等微观粒子组成的一样.2 两个完全相同的均匀带电小球，分别带电荷量q 1 = 2 C 正电荷，q 2 = 4 C 负电荷，在真空中相距为r 且静止，相互作用的静电力为F .⑴ 今将q 1、q 2、r 都加倍，相互作用力如何改变⑵ 只改变两电荷电性，相互作用力如何改变⑶ 只将r 增大4倍，相互作用力如何改变⑷ 将两个小球接触一下后，仍放回原处，相互作用力又如何改变⑸ 接上题，为使接触后，静电力大小不变应如何放置两球答：（1）作用力不变；（2）作用力不变；（3）作用力变为 F ／25，方向不变；（4）作用力大小变为 F ／8，方向由原来的吸引变为推斥（接触后电荷量先中和，后多余电荷量等分）；（5）将两小球在真空中的间距缩小为4/2r 静止放置.3 若通过一闭合曲面的E 通量为零，则此闭合曲面上的E 一定是⑴为零，也可能不为零；⑵处处为零.答：⑴，因为通量除了和电场强度有关，还和电场与曲面的夹角有关.4 比较场与实物的同和异答：同：都是物质存在的形式，客观存在并能为人所认识；存在的形式都具有多样性；其本性都是波粒二象性，都有质量、能量、动量、角动量、波长和频率等；进行的物理过程，也遵从质量守恒、能量守恒、动量守恒和角动量守恒等普遍规律；都不能创生，不能消灭，只能从一种形式转变为另一种形式.异：实物由分子或原子组成，具有不可入性，即两个或多个实物不能同时占据同一个空间；而场所占据的空间能为其他场同时占有，且互不影响；实物的质量密度较大（103 kg/m3），场的质量密度很小（10-23kg/m3）；实物不能达到光速，场一般以光速传播，实物受力可产生加速度，场不能被加速；实物可作参考系，场不能当参考系.5能否单独用电场强度来描述电场的性质为什么要引入电势答：可以只用电场强度来描述电场性质，但是引入电势后，既可从不同角度加深对电场的认识，也可简化运算，因为电势V是标量，一般情况下计算V比计算E方便，求得V后根据grad V VE，即可得电场强度E了.=-=-∇6电势零点的选择是完全任意的吗答：由定义来看，电势只具有相对值，从此意义上说，电势零点选择是完全可以任意的.但在理论研究中，往往要采用一些抽象模型，如无限大带电体、点电荷等，在这种情况下，电势零点就有一定的限制，即必须使得电场中各点的电势具有确定的值，这才有物理意义.例如，无限大均匀带点平面，由于电荷分布在无限范围，就不能选无限远处的电势为零，通常选带电平面本身的电势为零.又如点电荷，因为电荷集中在一个点上，因此不能选点电荷本身作为电势零点，而通常选无限远处为电势零点.无限长带电直线的电势零点，既不能选在其本身上，也不能选无限远处，只能选空间中的其它任意点.实际问题中常以大地或电器的金属外壳为电势零点.另外电势零点选择应尽量使计算简单.7电势与场强的关系式有积分形式和微分形式.计算时在怎样的情况下使用较方便.答：电势与场强的关系有微分形式：grad V V =-=-∇E ；积分形式：⎰∞⋅=a a V l E d当场强分布已知或带电系统的电荷分布具有一定对称性，因场强较易由高斯定理求出，用积分形式计算电势方便.当带电系统的电荷分布已知，电荷分布的对称性又不明显时，易用电势叠加法，即0d d 4πq V V rε==⎰⎰计算电势，再用微分式计算场强更为方便. 8 假如电场力做功与路径有关，定义电势的公式⎰∞⋅=a a V l E d 还有没有意义从原则上讲，这时还能不能引入电势的概念答：假如电场力做功与路径有关，则积分⎰∞⋅=a a V l E d 在未指明积分路径以前就没有意义——因为积分与路径有关，路径不同，积分的结果也不同.相同的初位置，可以有多种不同的积分值，即⎰∞⋅=a a V l E d 没有确定的意义，因而不能根据它引入电势的概念.9 怎样判断电势能、电势的正负与高低答：判断正负，必须首先选定参考零点.将给定电荷（可正可负）移至零点，根据电场力做功的正负，决定该电荷在给定点电势能的正负；将单位正电荷（必须是正）从给定点移至零点，电场力做功的正负，决定给定点电势的正负.比较高低，与零点选择无关.将给定电荷（可正可负）从A 点移至B 点，若电场力作正功，则W A >W B ，电场力作负功，W A <W B .将单位正电荷（必须是正）从A 移至B ，电场力作正功，V A >V B ；电场力作负功，V A <V B .10 库仑定律与高斯定理、静电场的环路定理有何关系答：库仑定律是直接从实验中总结出来的，是整个静电学理论的实验基础.由于它只是从电荷相互作用的角度研究静电现象，局限性较大，只适用于相对静止的点电荷的场.高斯定理和环路定理是库仑定律的推论，由于它们是用场的观点，从两个不同的侧面，对静电场的基本性质给出了完整的描述，适用于一切场源电荷激发的场.当然，从另外一个角度，也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理，再由它们导出库仑定律.比如，可根据实验空腔导体内不带电的实验，得到高斯定理.再把高斯定理用于中心置一点电荷的闭合球面，即可导出库仑定律.因此高斯定理和环路定理又叫做静电场的第一、第二定律，这时库仑定律就只处于一种推论的地位.11 如何判定电场中某点的电场强度的方向试说明电场中某点的电场强度与试探电荷的关系.答：引入正电荷0q 作为试探电荷，由电场强度的定义0q F E =可知，电场中某点电场强度的方向就是正电荷0q 在该点所受的电场力的方向.从理论上讲，电场中任意点的电场强度与试探电荷0q 无关，然而实际过程中，试探电荷0q 必须是点电荷，而且其所带电荷量也必须足够小，这样做是为避免将0q 引入电场过程中对原有电场构成影响.12 根据点电荷的电场强度公式r r q e E 204πε=，当所考察的场点距点电荷的距离0→r 时，场强∞→E ，这是没有物理意义的，对于这个问题应如何解释答：任何带电体都有形状和大小，点电荷只是在某些情形下略去带电体的形状和大小、而将其看作一个点状的近似——只有当带电体自身的线度远小于考察距离时，才可将其视为点电荷.在本题的题设中，随着所考察场点距带电体的距离0→r ，带电体的形状与大小已不可略去，这样一来，也就不再能把被考察带电体继续作为点电荷处理，那么点电荷的电场强度公式r r q e E 204πε=显然也就不再适用了. 13 一点电荷放在球形高斯面的球心处，试讨论下列情形下电通量的变化情况：(1）电荷离开球心，但仍在球内；（2）球面内再放一个电荷；（3）球面外再放一个电荷.答：由真空中的高斯定理01d i S S q ε⋅=∑⎰Ñ内E S 可以判断得知，在（1）、（3）两种情形中，电通量不会发生变化，而情形（2）中电通量会发生变化.14 在电场中，电场强度为零的点，电势是否一定为零电势为零的地方，电场强度是否一定为零试举例说明.答：电场强度为零的点，电势不一定为零；电势为零的地方，电场强度也未必为零.例如，电荷均匀分布于表面的带电球，其内部的电场强度为零，然而电势等于其表面电势，并不为零；若选择球外一有限距离处的任意点P 为电势零点，则该点处电势为零，但其电场并不为零.静电场中的导体和电介质教学目的要求1. 理解导体的静电平衡条件与静电平衡时导体上的电荷分布规律，了解静电屏蔽的原理及应用；2. 了解电介质对电场的影响和电介质的极化现象；3. 掌握有电介质时的高斯定理及其应用、理解有电介质时的环路定理；4. 掌握电容器电容的计算与电容器的联接；5. 理解静电场的能量.本章内容提要⒈两个重要物理图像① 静电平衡 在金属导体中，自由电子没有定向运动的状态，称为静电平衡.静电平衡状态 导体内部和表面都没有电荷的宏观移动.静电平衡条件 导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强度与表面垂直.静电平衡的特点 整个导体是等势体，导体的表面是等势面；导体表面附近任一点的电场强度的大小与该处导体表面上的电荷面密度成正比.②电介质的极化 电介质在外电场作用下，其表面出现净电荷的现象称为电介质的极化. 电极化强度P ： 单位体积内分子电矩的矢量和，即 V V ∆=∑→∆分p P 0lim电极化强度和场强的关系：E P e χε0= （各向同性电介质） 电位移矢量D ：P E D +=0ε，对于各向同性电介质有E E D εεε==r 0电介质存在时的电场：E E E '+=0电极化率e ，相对介电常数 r 和绝对介电常数的关系 = 0 r = 0（1+ e ） ⒉两个重要定理① 有电介质时的高斯定理 通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面所包围的自由电荷的代数和，即0d q S =⋅⎰S D② 有电介质时的环路定理 在静电场中，电场强度E 的环流恒为零，即0d =⋅⎰l E式中的场强E 为所有电荷（包括自由电荷和极化电荷）所产生的合场强.⒊几个基本概念① 静电感应 金属导体中的自由电子在外电场E 0的作用下，相对于晶格离子作定向运动，由于电子的定向运动，并在导体一侧面集结，使该侧面出现负电荷，而相对的另一侧面出现正电荷，这就是静电感应.② 静电屏蔽 利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽.③ 位移极化 由于无极分子的电极化是分子的正负电荷的中心在外电场的作用下发生相对位移的结果，所以这种电极化称为位移极化.④ 取向极化 有极分子的电极化是分子电偶极子在外电场的作用下发生转向的结果，故这种电极化称为取向极化.⑤ 电位移线 为了描述电位移D ，仿照电场线方法在有电介质的静电场中做电位移线，使线上每一点的切线方向和该点电位移D 的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该点的电位移D 的量值. D 线发自正自由电荷止于负自由电荷.⑥ 电容器 两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器. 电容器的电容定义为电容器所带电荷量与其电压之比，即BA V V Q C -= 它仅与两极板的尺寸、几何形状、周围介质及相对位置有关.⒋三种主要的计算① 场强与电势的计算：求场强时，用有电介质时的高斯定理∑⎰=⋅0d q S S D ，先求D ，再用εD E =求出E ，可以不用考虑极化电荷，计算很方便，但只有当电场分布具有前面讲过的三种特殊对称性时，才能应用.求电势时，因为计算极化电荷不方便，所以求电势时一般不用叠加法，而常用电势的定义式d P PV ∞=⋅⎰E l 来计算.② 电容器电容的计算：一般情况下，先设电容器两极板所带电荷量为±Q ，确定两极板间的场强分布，然后由d BAB A B AU V V =-=⋅⎰E l 求两极板间的电势差，最后利用电容器电容的定义式计算；对于几种常见的电容器，可以直接利用其结果：平行板电容器SC dε=、球形电容器4πA B B AR R C R R ε=-、圆柱形电容器2πln B AlC R R ε=；至于电容器串、并联的等值电容，有Λ+++=3211111C C C C （串联）和Λ+++=321C C C C （并联）；个别情况下，也可利用电容器的储能公式计算.③ 电场能量的计算：电容器的储能，可直接利用公式2221212CU QU C Q W e ===电场中的能量 V W V e d 21E D ⋅=⎰其中，E D ⋅=21e w 为电场能量密度，即电场单位体积中的能量.对于各向同性电介质，有 22121E DE w e ε==思考题答题要点1 尖端放电的物理实质是什么答：尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去.2 将一个带电+q 、半径为R B 的大导体球B ，移近一个半径为R A 而不带电的小导体球A ，如思考题2用图所示，试判断下列说法是否正确并说明理由.(1) B 球电势高于A 球；(2) 以无限远为电势零点，A 球的电势：V A < 0.答：(1) 正确.不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面.另外，定性画出电场线，如思考题2用图所示，在静电场的电场线方向上电势逐点降低，由图可知电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球.(2) 不正确.若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，如思考题2用图所示，可知A 球的电场线伸向无穷远处.所以，V A ＞0.思考题2用图3 怎样能使导体净电荷为零，而其电势不为零答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有∑=0q 而导体的电势V ≠0.4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的电场强度为零 答：必须注意以下两点：(1)这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元.对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零；(2)静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立.5 怎样理解导体表面附近的电场强度与表面上对应点的电荷面密度成正比答：注意不要误解为“导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S ∆σ产生的”.实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强.如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献.6为什么不能使一个物体无限制地带电答：所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷.当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电荷量的增加而增大.带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿.在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电荷量减少.所以一个物体不能无限制地带电.如尖端放电现象.7感应电荷的大小和分布怎样确定答：当施感电荷Q接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q´.其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷Q有关，导体靠近Q的一端，将出现与Q异号的感应电荷q´.而一般情况下q´并不等于Q，q´的大小及其在导体上的分布情况由静电平衡条件决定，最终总是使得±q´与施感电荷Q在导体内任一点产生的合电场强度为零，只有在一些特殊情视下，q´的大小才会与Q相等.8怎样理解导体壳外电荷对壳内的影响答：封闭导体壳不论接地与否，其内部的电场均不受壳外电荷的影响，对此不能产生误解，以为由于壳的存在，壳外电荷不在壳内产生电场.实际上，壳外电荷也要在壳内激发电场，只是由于这个场与壳外表面的感应电荷在壳内激发的场的合场强为零，才造成壳内电场不受壳外电荷影响这一结果.9怎样理解导体壳内电荷对壳外的影响答：对一个不接地的中性导体壳，壳外无带电体，但壳外空间仍然可能有场，这个场是壳内电荷间接引起的.例如壳内有一正电荷q，则壳内、外壁的感应电荷将分别为-q和+q.外壁电荷将发出电场线，所以壳外空间有场.但是不要以为由于壳的存在，壳内电荷q不在壳外空间激发场.实际上壳内电荷q和内壁感应电荷-q都要在壳外空间激发场，只不过其合场强为零，才使得壳外空间的场只是由外壁感应电荷+q所决定.而且应当注意，无论壳内电荷分布如何，它和内壁感应电荷在壳外空间激发的合场强始终为零.壳外空间的场只与壳内电荷的总电荷量有关，而与它们的分布无关.10在静电场中的电介质和导体表现出有何不同的特征答：静电场中的导体的主要特征是表面有感应电荷，内部场强处处为零，表面为等势面，导体为等势体.而电介质的主要特征是在电场中被极化产生极化电荷，介质内部场强不为零，方向与外加电场方向一致，一般说介质表面不是等势面.11电介质的极化现象与导体的静电感应现象有什么区别答：导体的静电感应现象从微观上看，是金属中有大量自由电子，它们在电场的作用下可以在导体内作宏观移动，电子的移动使导体中的电荷重新分布，结果在导体表面出现感应电荷.感应电荷产生的电场与外电场的方向相反，因此随着感应电荷的堆积，导体中的合场强逐渐减小，达到静电平衡时，感应电荷产生的电场与外加电场相互抵消，导体中的合场强为零，导体中自由电子的宏观移动也停止.电介质的极化现象从微观上看，分子中的电子与原子核的结合相当紧密，电子处于束缚状态.把电介质引入静电场时，电子与原子核之间，只能作一微观的相对位移，或者它们之间的连线稍微改变方向（有时两种情况都发生），结果在沿场强方向的两个表面出现极化电荷.极化电荷所产生的电场只是部分地抵消外加电场，达到稳定时，电介质内部的电场强度不为零.12 怎样理解电势能与电场能答：电势能是带电体之间或带电体与电场之间的相互作用能，随电势能零点的选取而改变，其正负取决于相互作用性质.由于电势能在所求点A 处的值等于将电荷从无限远（电势能零点处）移至A 处外力反抗电场力做的功，外力做功的正负与电势能正负一致.也可由相互作用判断，如是排斥作用，则是正值，如是吸引作用，则是负值.电场能是电场物质所包含的固有能量，与势能零点的选取无关.电势能是电场能的一部分，也表示电场能随位置改变的变化.在某些情况，如电容器中，由于电场只存在于电容器内部，电容器储能QU CU C Q W 21212122===它既是电场能，又是电势能.13 怎样使导体有过剩的正(或负)电荷，而其电势为零答：将不带电的导体置于负电荷(或正电荷)的电场中，再将该导体接地，然后撤除接地线.则该导体有正电荷(或负电荷)，并且电势为零.14 怎样使导体有过剩的负电荷，而其电势为正答：将一带少量负电荷-q 的导体置于另一正电荷Q ( Q >> q )的电场中，由于Q >> q ，带负电荷的导体并未明显改变原电场，这时该导体有过剩的负电荷，而其电势为正.15 电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半截的电介质上是否带电为什么答：不带电.因为从电介质极化的微观机制看有两类： ①非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩；②极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用下沿着外电场方向取向.其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的表面上出现的电荷是束缚电荷，这种。
真空中静电场的高斯定理表达式
真空中静电场的高斯定理表达式
高斯定理（Gauss' Law）是一种在物理学中用来描述电磁场和电势场分布相互关系的理论性原理。
在真空中，根据高斯定理，电荷的静电场分布满足以下条件：
首先，静电场从电荷衰减到空间无穷远处，其分布具有反正切特性，即电势
V=q/4pi∊₀r，其中q为电荷，4πε₀为真空介电常数，r为电荷与场点的距离。
其次，对于有一个定向的电荷，电荷的静电势随距离的改变而改变：r正方向上的集流总量等于空间负区域上的电荷的正向集流量的总和；r负方向上的集流量总和等于正向电荷的负集流量总和。
也就是说，电势等效分布称为电荷的集流面，它具有封闭的面形，从电荷中出发，沿着斯特兰奇-平流线或几何线路循环，恢复到电荷本身。
最后，由于负集流等效于正集流，因此总集流量的总和为零。
由此可知，静电场的分布满足“积分等积准则”，即在电磁场的体积内，曲面的电势等效分布与电荷分布相等。
几十年来，高斯定理以其准确方便的计算过程和深刻精辟的理论正确性，为研究电磁场特性提供了有效的分析工具，在数学物理、电化学以及信息科学等领域都得到了广泛阐释与应用。
因而，被公认为是影响世界各个领域物理学研究的伟大原理之一，被教育作为研究领域的重要组成部分，在学校的物理课程中，受到广大学生的认可与喜爱，有助于学生培养独立思考的能力，增强学习的信心与热情。
第24次课第8章真空中的静电场
S E (r )
+ + + q r q + + + + +
0(0 r R ) E q r0 ( R r ) 4 r 2 0
例2.求半径为R带电量为q的均匀带电球体 内外任一点的电场强度
+ + + R + + + + + + + +q +
侧
3)以轴线为中心，作半径为r的圆柱形高斯面S 依高斯定理： (0 r R) E( r ) 1 + + S E dS qi +++S 上 0 S内 +++ S E dS S上 E dS S侧 r l E dS E dS S +++ S下 S下 E 2 rl ˆ r 1 +++ 2 r r l 2 E er 0 R 2
四.电势和电势差 1.电势
Va Wa q0
参考点
E dl
单位：伏特（V）
a
量纲：ML2I-1T-3
讨论：
.电势只与电场有关，可描述电场的性质 .电势是标量，没有方向但有正负 .对点电荷及有限的带电系统来说，取
V 0 ，实用中，取
V地 0
2.电势差
Va Vb
E( r )
q 4 r 2 er ...( R r ) 0 E( r ) qr .... ( 0 r R ) 3 4 0 R
3q 4 R
第10章 真空中的静电场
尚未找到自由状态的夸克。但无论今后实验上是否能发现自由夸克，均不改变电荷的量 子性这一基本性质。
10.1.2 电荷守恒定律
大量实验证明，在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论其内部发生怎样的物理过 程，系统内正负电荷量的代数和保持不变，即孤立系统内的电荷是守恒的。电荷守恒定律 说明，电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从 物体的一个部分转移到另一个部分。
3
Fi F1i F2i
Fni
n
F ji
j 1
n j 1
qiq j 4π 0 rj2i
r joi
ji
ji
式中 F ji 是第 j 个点电荷 q j 对 qi 的静电力， Fi 是点电荷 qi 受到的总静电力。
（10.4）
§10.2 电场 电场强度
10.2.1 电场
实验指出，电荷与电荷之间存在相互作用力。那么这种作用力是通过什么途径传递 的呢？历史上关于这个问题曾长期有两种不同的观点。一种观点认为：电荷与电荷之间 的相互作用不需要任何中间物质来传递，也不需要时间，这称为“超距作用”观点。另一 种观点认为：电荷与电荷之间的相互作用是通过一种特殊的物质----电场（electric field） 来传递的。根据这种观点，任何电荷的周围都存在着电场，当一个电荷处于另一个电荷 产生的电场中时，它就会受到另一个电荷通过电场对它的作用力。因此这种观点可形象 地表示为
(dipole moment)。 电偶极子是一个重要的物理模型。电介质中的原子或分子都有正、负电荷中心，如
§10.1 库仑定律
10.1.1 电荷的量子性
人类认识电现象，是从摩擦起电开始的，比如，毛皮摩擦过的橡胶棒（或梳子）、 丝绸摩擦过的玻璃棒，可以吸引纸屑、羽毛等轻小物体，这是因为橡胶棒、玻璃棒带上 了电荷。这一现象至今仍在催生一些新奇的应用，如在静电复印机和激光打印机中，带 上静电荷的纸张可以吸附细微的墨粉。带有较强静电的陶瓷片还能用作静电吸盘，吸住 大面积的晶圆（硅片）。
大学物理讲稿(第5章真空中的静电场)第四节
§5.5 静电场的功 电势一、静电场力的功 静电场的环路定理将试探电荷0q 引入点电荷q 的电场中,现在来考察如图5.10所示, 把0q 由a 点沿任意路径 L 移至b 点,电场力所做的功.路径上任一点c 到q 的距离为r ,此处的电场强度为r r q E 304 如果将试探电荷0q 在点c 附近沿L 移动了位移元dl ,那么电场力所做的元功为cos Edl q l d E q dA 00dr rq q Edr q 20004 式中θ是电场强度E 与位移元dl 间的夹角,dr 是位移元dl 沿电场强度E 方向的分量.试探电荷由a 点沿L 移到b 点电场力所做的功为)(ba r r r r q q dr r q q dA Ab a 114400200 (5.22) 其中b a r r 和分别表示电荷q 到点a 和点b 的距离.上式表明在点电荷的电场中,移动试探电荷时,电场力所做的功除与试探电荷成正比外,还与试探电荷的始、末位置有关,而与路径无关.利用场的叠加原理可得在点电荷系的电场中,试探电荷0q 从点a 沿L 移到点b 电场力所做的总功为ii A A上式中的的每一项都表示试探电荷0q 在各个点电荷单独产生的电场中从点a 沿L 移到点b 电场力所做的功.由此可见点电荷系的电场力对试探电荷所做的功也只与试探电荷的电量以及它的始末位置有关,而与移动的路径无关.任何一个带电体都可以看成由许多很小的电荷元组成的集合体,每一个电荷元都可以认为是点电荷.整个带电体在空间产生的电场强度E 等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和.于是我们得到这样的结论：在任何静电场中,电荷运动时电场力所做的功只与始末位置有关,而与电荷运动的路径无关.即静电场是保守力场.若使试探电荷在静电场中沿任一闭合回路L 绕行一周,则静电场力所做的功为零,电场强度的环量为零，即 00000Lq L l d E l d E q (5.23) 静电场的这一特性称为静电场的环路定理,它连同高斯定理是描述静电场的两个基本定理.二、电势能和电势1 电势能在力学中已经知道,对于保守力场,总可以引入一个与位置有关的势能函数,当物体从一个位置移到另一个位置时,保守力所做的功等于这个势能函数增量的负值.静电场是保守力场,所以在静电场中也可以引入势能的概念,称为电势能 .设b a W W 、分别表示试探电荷0q 在起点a 、终点b 的电势能,当0q 由a 点移至b 点时,据功能原理便可得电场力所做的功为)(a b b aab W W l d E q A 0 (5.25) 当电场力做正功时,电荷与静电场间的电势能减小；做负功时,电势能增加.可见,电场力的功是电势能改变的量度.电势能与其它势能一样,是空间坐标的函数,其量值具有相对性,但电荷在静电场中两点的电势能差却有确定的值.为确定电荷在静电场中某点的电势能,应事先选择某一点作为电势能的零点.电势能的零点选择是任意的,一般以方便合理为前提.若选c 点为电势能零点,即0 c W ,则场中任一点a 的电势能为c aa l d E q W 0 (5.26) 2 电势与电势差电势能（差）是电荷与电场间的相互作用能,是电荷与电场所组成的系统共有的,与试探电荷的电量有关.因此,电势能（差）不能用来描述电场的性质.但比值0q W a /却与0q 无关,仅由电场的性质及a 点的位置来确定,为此我们定义此比值为电场中a 点的电势,用a V 表示,即c a a a ld E q W V 0(5.27) 这表明,电场中任一点a 的电势 ,在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能；或等于单位正电荷从该点沿任意路径移至电势能零点处的过程中,电场力所做的功.式(5.27)就是电势的定义式,它是电势与电场强度的积分关系式.静电场中任意两点a 、b 的电势之差,称为这两点间的电势差,也称为电压,用V 或U 表示,则有b ac b c a b a ld E l d E l d E V V U (5.28) 该式反映了电势差与场强的关系.它表明,静电场中任意两点的电势差,其数值等于将单位正电荷由一点移到另一点的过程中,静电场力所做的功.若将电量为0q 的试探电荷由a 点移至b 点,静电场力做的功用电势差可表示为)(b a b a ab V V q W W A 0 (5.29)由于电势能是相对的,电势也是相对的,其值与电势的零点选择有关,定义式(5.27)中是选c 点为电势零点的.但静电场中任意两点的电势差与电势的零点选择无关.在国际单位制中,电势和电势差的单位都是伏特（V ）.等势面 在电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.不同电场的等势面的形状不同.电场的强弱也可以通过等势面的疏密来形象的描述,等势面密集处的场强数值大,等势面稀疏处场强数值小.电力线与等势面处处正交并指向电势降低的方向.电荷沿着等势面运动,电场力不做功.等势面概念的用处在于实际遇到的很多问题中等势面的分布容易通过实验条件描绘出来,并由此可以分析电场的分布.三、电势的计算1 点电荷的电势在点电荷q 的电场中,若选无限远处为电势零点,由电势的定义式（5.27）可得在与点电荷q 相距为 r 的任一场点P 上的电势为rq l d E V r P 04 (5.30) 上式是点电荷电势的计算公式,它表示,在点电荷的电场中任意一点的电势,与点电荷的电量q 成正比,与该点到点电荷的距离成反比.2 多个点电荷的电势在真空中有N 个点电荷,由场强叠加原理及电势的定义式得场中任一点P 的电势为ii i r i r i i r P V l d E l d E l d E V (5.31) 上式表示,在多个点电荷产生的电场中,任意一点的电势等于各个点电荷在该点产生的电势的代数和.电势的这一性质,称为电势的叠加原理.设第i 个点电荷到点P 的距离为i r ,P 点的电势可表示为N i i i i i P r q V V 1041 (5.32) 3 任意带电体的电势对电荷连续分布的带电体,可看成为由许多电荷元组成,而每一个电荷元都可按点电荷对待.所以,整个带电体在空间某点产生的电势,等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和.所以将式（5.32）中的求和用积分代替就得到带电体产生的电势,即线分布面分布体分布L S V P rdl rdS r dV r dq V 00004444 （5.33） 讨论：1）在上述所给的电势表式中，都选无限远作为电势参考零点；2）在计算电势时,如果已知电荷的分布而尚不知电场强度的分布时,总可以利用（5.33）直接计算电势.对于电荷分布具有一定对称性的问题,往往先利用高斯定理求出电场的分布,然后通过式（5.27）来计算电势.例题5.6 求电偶极子电场中的电势分布,已知电偶极子的电偶极矩P = q l ． 解：如图5.11所示,P 点的电势为电偶极子正负电荷分别在该点产生电势的叠加（求代数和）,即r q r q V P 004141 因而有因此由于,cos ,, l r r r r r l r 230204141r r p r ql V P cos由此可见,在轴线上的电势为2041r p V P ；在中垂面上一点的电势为0 P V 。
真空中的静电场
13真空中的静电场真空中静电场的基本概念(1) 静电场的基本定律库仑定律：两点电荷在真空中的相互作用力电荷守恒定律：在一个与外界无电荷交换的系统内，任何过程中正负电荷的代数和永不改变.叠加原理：点电荷系在空间某点处产生的场强（或电势）等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强（或电势）之和.(2) 重要定理高斯定理：通过任一封闭面的电通量等于该封面所包围的电荷电量代数和的倍.1／ε，说明静电电场是有源场.环路定理：在静电场中，电场强度沿任一闭合路径的积分恒为0.，说明静电场是保守场，静电力是保守力.(3) 电场强度在电场中任一给定点处，检验电荷q0所受的电场力F与其电量q0的比值为给定的电场强度电场强度E是一矢量，其大小为，方向为电场中给定点处正检验电荷所受力的方向.(4) 电势①电势能静电场是保守场，引入电势能的概念.电荷q0在静电场a点的电势能.若带电体系分布在有限空间内，常取无限远处电势能为零，则上式表明，在静电场中，电荷q0在a点的电势能等于将电荷q0从a点移动到无穷远处电场力所作的功.②电势静电场中a点的电势静电场中a点的电势等于单位电量在该点所具有的电势能，即将单位电量从该点a移动到无穷远处电场力所作的功.电势的单位为伏（V）.③电势差静电场中a，b 两点的电势差.静电场中a，b两点的电势差等于单位电量从a点移动到b点是电场力所作的功.解题指导（1）场强E、电势U 的计算场强和电势的计算可归纳为两大类题型：第一类，场具有球、柱、面对称性.先用高斯定理再用电势公式第二类，一般的场.原则：点电荷的场、叠加原理.点电荷的场场强电势点电荷系的场场强电势连续带电体的场场强将带电体分成无穷多个点电荷，取一点电荷，其场强为将d E分解到x方向和y方向再对场强在x方向的分量及y方向的分量积分电势取一点电荷，其电势为对所有点电荷产生的电势求和即求积分求解连续带电体的场强需用矢量积分（上面已介绍了基本方法），一般计算较为复杂.此问题也可简化：先计算带电体在空间的电势（电势计算积分为标量积分，比场强矢量积分简单），然后用求场强.(2) 运用F= q0E计算电场力时，应注意E是除q0以外的电荷产生的电场强度.(3) 对高斯定理中的每一个量，要有正确的理解.Φe只跟封闭面包围的电量有关，而E则是封闭面（也称高斯面）内、外所有电荷产生的总场强，跟高斯面内、外电荷有关.Φe>0，说明高斯面内净电荷（正、负电荷相加）大于零（也即正电荷比负电荷多），不能说高斯面内只有正电荷.（4）电场与电势的关系积分关系.微分关系.电场强度E大的地方，电势的高低要看积分的值大还是小，即单位电量从a→电势零点电场力作功大还是小来决定.从微分关系看，E l大，说明电势在l方向的方向导数大，即电势U随l的变化率大，即单位长度电势的变化大，反过来看电势高的地方也不能笼统地讲电场也强典型例题13-1 对于高斯定理举例说明下列说法是否正确：(1) 若高斯面内无电荷，则通过高斯面的电通量必为零；(2) 若高斯面内电荷的代数和不为零，则高斯面上的场强一定处处不为零；(3) 若高斯面上的场强处处为零，则高斯面内一定处处无电荷；(4) 若高斯面上的场强处处不为零，则高斯面内必有电荷.答(1) 正确.根据高斯定理因电荷都分布在高斯面外，任一电力线穿入高斯面后必要穿出高斯面，所以总电通量必为零.(2) 不正确.高斯面上的场强有些地方可以为零.例：有两正点电荷（+q，+q），高斯面通过两点电荷的中点O (如图13.3-1(a) )，O点处的场强 = 0.不正确.高斯面上的场强处处为零，说明表明高斯面内净电荷 = 0，可能存在正、负电荷相加为0的情况.例：两同心球壳分别带有等量异号电荷+Q、—Q（如图13.3-1(b)所示），两球壳外的电场处处为0，高斯球面在两球壳外，高斯面内有电荷+Q、—Q.(4) 不正确.例：高斯面外有一点电荷q，这时高斯面上场强处处不为零，而高斯面内无电荷.读者还可列举出一些例子来说明以上问题，这样有助于对以上问题更深入的理解.13-2 举例说明下列说法是否正确.(1) 场强大的地方，电势一定高；电势高的地方，场强一定大；(2) 带正电的物体电势一定是正的，电势等于零的物体一定不带电；(3) 场强大小相等的地方电势一定相等，等势面上场强的大小一定相等.答(1) 不正确.例如图13.3-2(a)中带等量异号电荷的平行板电容器，两平行板间的场强大小处处相等，但靠近正极的电势高，靠近负极的电势低.(2)不正确.例如两带电的同心球壳，如图13.3-2(b)所示.内球的电势只要足够大，可能为负值.后一问也不对，电势为零的物体可能带电，如图12.3-2(a)中负板接地电势为零，但带负电.(３)不正确.如图12.3-2(a)中平行板间场强大小处处相等，但电势可能不相同.后一问也不对，如图12.3-2(c)所示，两正、负点电荷，电量大小相等，它们的中垂面为等势面，但其上各点的场强大小不一定相等.13-3 半径为R的半圆形带电细棒，均匀分布有总电荷q ，求圆心O处的场强和电势.解题思路本题的电势分布不具有球、柱、面对称性，属求解一般场强和电势的问题.解这种类型题的原则是：点电荷的场和叠加原理.这里是一个连续带电的半圆环，用叠加原理时数学上用积分方法.这里我们将对求连续带电体的场强、电势的方法作一介绍.①将连续带电体分成无穷多小段，每一小段看成一点电荷；②任意取一小段dl（图12.3-3中所示），这一小段的电量为dq，dq在O点产生的电场强度d E的方向在图中标出，大小将d E分解到x，y方向；③对无穷多小段的点电荷在O点产生的场求和即求积分，很多情况根据带电体对称性（对x 轴，y轴对称情况），可直接看出一分量的场强为零.解如图13.3-3 所示取x，y坐标.将半圆环分成无穷多小段，取一小段d l，带电量，d q在O点的场强方向如图所示.从对称性分析(跟x轴对称的一小段)在y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强dq在圆心O的电势总电势注意：在解连续带电体电场问题中容易犯的错误是，写出任一点电荷在O点的场强d E后，不经分解就直接积分这里的积分是一个矢量积分，矢量积分的方法如下：即要分别求x，y，z轴的分量13-4 有一总电量为q，半径为R的均匀带电球面，求场强和电势的分布.解题思路这是一个电荷分布(或场)具有球对称性的问题，先用高斯定理求E的分布，再用求电势.具体计算时要看场强分布可分成几个区域，如本题可分成r < R及 r > R两个区域，对不同区域分别求解.解r> R，取半径为r的同心球面作高斯面（如图13.3-4(b)所示），根据高斯定理，r ≤R，〔取半径为r的同心球面作高斯面，根据高斯定理〕，以上〔〕中内容跟r > R时相同，也可省去，写“同理”即可.电势计算：r > R２，球外，离球心为r 的a 点的电势r≤R，球壳内，任取一点b，说明：(1) 上面介绍了对球对称情况求电场和电势的基本方法.对球对称问题可作如下变化：①两同心的均匀带电球壳（如图13.3-4′(a)所示），这时场分三个区域.r > R，可得2R< r < R2，1r ≤R，1对以上结果，读者可自己进行计算，并加以验证.②均匀带电球体(如图13.3-4′(b) )所示：r≤R，同理，r > R，电势：r > R，r ≤R，（此结果请读者一定要自己验证）.③对不均匀的带电球体，，这时求高斯面所包围的电量要用积分方法.(2)电势的计算：r≤R，，这时积分路线是从b积到∞，在积分路线中E有几种不同的表式，积分就要分几个积分相加，这点特别要提醒读者注意.在本题中，r ≤R，E=0，有些人就误认为.这时从b到∞电场分积分要分两段进行13-5 一个内、外半径分别为a 和b的无限长圆柱体壳层，壳内电荷体密度为式中A为常数，r为壳内任一点到轴线的距离.轴线处有一电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线.求A为何值时才能使壳内的场强大小恒定.解题思路本题电荷分布（或场）具有柱对称性，用高斯定理求解.解在壳内作半径r，高l的同轴柱封闭面作高斯面，根据高斯定理，，现在作的柱封闭面(高斯面)由1，2，3三个面组成，积分应分成三个面积分.包括两部分电荷：轴上的电荷lλ及包围的壳内电荷所以上式变为电场方向垂直轴线，一、二两个积分E·d S = 0.要求E 跟r无关，，.说明：⑴对柱对称分布的电荷（无限长均匀带电直线，无限长均匀带电柱面，柱体，无限长同轴均匀带电柱面……）取高斯面为同轴柱封闭面，积分要分3个面积分进行，其中跟轴垂直的两个面1，2的积分为零，只存在对侧面的积分.⑵电荷分布不均匀时，一般要用积分计算.⑶对柱对称问题一般求得场强的形式为：求场中某点的电势时，若取无穷远处电势为零，则会得出任一点的电势，这是不符合实际的.所以现在不能取无穷远处的电势为零.我们知道，电势零点的选取可随问题而定，这时我们选一点离轴线距离为的电势为零，a点的电势.13-6 两个无限长均匀带电共轴薄圆筒，内、外半径分别为.已知外筒和内筒间电势差，求一个电子在离轴线垂直距离r=2 cm处受的电场力.解题思路电子在电场中所受的电场力F=qE，求出E即可得F.对柱对称的电场用高斯定理可得，现已知电势差，可倒过来求得E，再代入F=qE求得电场力.解根据高斯定理，两无限长带电薄圆筒间的场强，两筒间的电势差，所以，.13-7 一无限大厚度为2d的均匀带电平板，单位体积中带电粒子数为n，每个粒子带电量q，求平板内外场强E及电势U的分布（设处电势为零.）解题思路对无限大均匀带电平板，电荷分布及电场有面对称性，取轴垂直于平板且底面平行于平板的柱封闭面为高斯面，利用高斯定理可求E的分布，再根据，求出电势.解电力线垂直于中心面指向外.，作长2l垂直中心面，底面积为S的柱面（图13.3-7中I高斯面）作高斯面根据高斯定理，高斯面有两个底面1，2和一个侧面3，，所以，，作高斯面Ⅱ，同理可得，电势：，，，，，.说明：⑴对面对称分布的电荷用高斯定理求解时，所取的高斯面应是中心面垂直且对称的封闭曲面.⑵对面对称的电场求电势时，也不能取无穷远处的电势为电势零点（若取无穷远处为电势零点，则场中各点的电势都为，失去实际意义），应先取定某点电势为零，再进行计算.13-8如图13.3-8所示，在A点处有点电荷，在B点处有电荷，O点为AB的中点，AB长为，P点与A点相距.求：⑴把电量的点电荷从无限远处移到P点，电场力作功多少？电势能增加多少？⑵将从P点移到O点，电场力作功多少？电势能增加多少？解题思路计算电场力的功及电势能的增量可用公式，将计算后代入即可，一般不要用功的定义计算，这样做会带来一些计算上的麻烦，而且花时间，也容易算错.解：⑴⑵. 13-9 均匀带电细圆环，半径为R，带电量为 q，求圆环轴线上离环心为x 处的任一点P的电势，利用电势梯度求该点的场强.解题思路本题电荷分布无球、柱、面对称性，为一般的场，而且为连续带电体，空间电场强度的计算比较复杂（需用对变量求积分及矢量积分的方法）.可先求P点的电势，再用场强电势的微分关系求场强进行简化.解将带电圆环分成无穷多小段，取其中的任意的一小段，所带的电量为，在P点的电势整个圆环在P点产生的电势题解1. 一无限长带电直线，电荷线密度分别为和，求点处的场强E.解在正x轴上取一小段，离O点距离x，在P点的场强（方向如图中）在负x轴上跟O对称取一小段，在P点的场强（方向如图）从对称性分析，在y方向成对抵消，只存在x方向的分量2. 一半径为a的带电半圆弧，上半部均匀分布着电荷+q，下半部均匀分布着电荷—q（如图13.4-2所示）试求圆心O处的电场强度.解 +q上半部产生的场强：将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段（所带电量），在O点的场强方向如图所示.—q下半部分产生的场强：以x轴为对称轴取跟d l对称的一小段（带电量）在O点的场强方向如图所示.从图中看出，根据对称性，在x方向的合场强相互抵消为0，只存在y方向的场强分量总场强3.一半径为a的半球壳，均匀地带有负电荷，电荷面密度为.求：球心O 处的电场强度和电势.解将半球面分成无限多个圆环，取一圆环如图13.4-3所示，半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值在O点产生的场强（利用圆环在轴线上场公式）带电半球壳在O点的总场强其中，电势计算：将半球壳分成无穷多小面元d s，所带电量，在O点的电势带电半球壳在O点的总电势.4、用细的塑料棒弯成半径为0.5 m的圆弧，两端空隙为2 cm，所带电量，且均匀分布在棒上.求圆心处的电场强度.解带电圆弧长所带电量q在带隙中补上长2cm，带电量的小条，则圆心O的场强式中分别为q和在O点产生的场强，所以可看成点电荷圆弧形带电塑料棒在O点的场强大小为，方向朝右.5、一无限长均匀带电的圆柱面，半径为R，沿轴线方向单位长电量为，求轴线上场强的大小.解：图13.4-5为圆柱面横截面图，对应的无限长直线单位长带的电量为它在轴线O产生的场强大小为因对称性，成对抵消.6、把某一电荷Q分成两个部分，使它们相隔一定距离.如果要使这两部分有最大的库仑斥力，求这两部分电荷应怎样分配？解设一部分的电量为q，另一部分的电量为(Q－q)，则相互斥力为F最大，，7、电荷线密度为的无限长均匀带电直线与另一长度为l、电荷线密度为的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们之间的相互作用力.解将AB分成无穷多小段，取一小段，所带电量.受无限长带电直线的作用力，方向朝右，各小段受无限长带电直线的作用力方向都朝右，所以AB受的总作用力8.两个均匀带电的同心球面，若维持外球面半径m以及内外两球面间的电势差U=100V不变，则内球面半径为多大时，才能使内球表面附近场强最小?其值为多大?解设内球带电量q ，两球面间的场强，两球的电势差，可得.代入E中，内球表面附近，最小，9.(1)地球表面附近的电场强度近似为，方向指向地球中心.试求地球带的总电量;(2)在离场面1400m处，电场强度降为，方向仍指向地球中心.试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度.解 (1)沿地球表面作一封闭球面S ，设地球所带的总电量为Q，根据高斯定理，.由于地球表面附近电场强度数值相等，方向指向地球中心，于是上式左边，所以(2)在离地面h=1400m处包围地球作一封闭球面，设大气层里总电量为q，根据高斯定理，因大气层体积所以大气层中平均电荷密度.10.设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用下式表示:.式中r是到轴线的距离,是轴线上的电荷密度，a是常数. 计算场强分布.解电荷分布有柱对称性，利用高斯定理，在等离子体的圆柱内，作长，半径为r的同轴柱面为高斯面，根据高斯定理，，.由于电场的对称性，方向垂直于圆柱面侧面，通过圆面两底的电通量为零，上式有，.11.一均匀的带电球体，电荷体密度为，球内有一不带电的球形空腔，偏心距为a，求腔内任一点P的电场强度.解将相同电荷体密度的带电物质填满空腔，它在P点的场强为.此时整个实心均匀带电球在P点的场强设为E，很显然空心球在P点的场强，根据高斯定理，同理，所以12. 如图放置的细棒，长为L，电荷线密度( k为常数)，求: (1)P(0 ,y )处的电势;(2)用电势梯度求P点处的场强分量;(3)能否由(1)的结果用电势梯度求P点处的场强分量?为什么?解 (1)在细棒上x上处取电荷元，它在P点产生的电势，.(2) .(3)不能由(1)的结果用电势梯度求.因为U=U (0，y)中x =0为确定值，电势梯度必为0.应该先求出任一场点处的电势U (x，y)，再由才可求得x=0处的场强分量.13.设电势沿x轴的变化曲线如图所示.试对于每个所示的区间(忽略区间端点的情况)，确定电场强度的x分量，并作对x的关系图线.解在a~b区间，;在b~c区间，;在c~e区间，;在e~f区间，;在f~g区间，;在g~h区间，对x的关系线见图13.4(b)所示.。
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图1-1
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2．真空中的静电场2（电场与电势）
一、选择题
1. 关于静电场中某点电势值的正负，下列说法正确的是：[ ] A. 电势值的正负取决于置于该点的试探电荷的正负； B. 电势值的正负取决于电场力对试探电荷做功的正负； C. 电势值的正负取决于电势零点的选取 ；
D. 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。
2．在下列关于静电场的表述中，正确的是：[ ]
A ．初速度为零的点电荷置于静电场中，将一定沿一条电场线运动；
B ．带负电的点电荷，在电场中从a 点移到b 点，若电场力作正功，则a 、b 两点的电势关系为U a ＞U b ；
C ．由点电荷电势公式r
q
U 0π4ε=
可知，当r →0时，则U →∞；
D ．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，其电势越低；
E ．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，电场强度的量值就越小。
3. 如图1-1所示，图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，a 、b 、c 为电场中的三个点，由图可以看出：[ ]
A ．c b a E E E >>，c b a U U U >>；
B ．c b a E E E <<，c b a U U U <<；
C ．c b a E E E >>，c b a U U U <<；
D ．c b a
E E E <<，c b a U U U >>。
4. 在静电场中，若电场线为均匀分布的平行直线，则在该电场区域内电场线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较：[ ]
A. E 相同，U 不同；
B. E 不同，U 相同；
C. E 不同，U 不同；
D. E 相同，U 相同。
图1-2
-2σ
x +σ
图1-3
5．空间某区域静电场的电场线分布如图1-2所示，现将一带负电的点电荷由a 点经任意路径移到b 点，则在下列说法中，正确的是：[ ]
A ．电场强度b a E E >，电场力作正功；
B ．电势b a U U <，电场力作负功；
C ．电势能b a W W <，电场力作正功；
D ．电势能b a W W <，电场力作负功。
6．在下列有关静电场的表述中，正确的是：[ ]
A ．电场强度E = 0的点，电势也一定为零；
B ．同一条电场线上各点的电势不可能相等；
C ．在电场强度处处相等的空间内，电势也处处相等；
D ．在电势处处相等的一个三维区域内地方，电场强度也都处处相等。
7．半径为1R 、2R 的同心薄球面上，分别均匀带电1q 和2q ，其中2R 为外球面半径，2q 为外球面所带电荷量，设两球面间的电势差为U ∆，则：[ ] A ．U ∆随1q 的增减而增减； B ．U ∆随2q 的增减而增减； C ．U ∆不随1q 的增减而改变； D ．U ∆不随2q 的增减而改变。
8．如图1-3所示，A 、B 是真空中两块相互平行的无限大均匀带电薄板，其电荷面密度分别为σ+和σ2-，若选A 板为零电势面，并取x 正方向向右，则图中a 点的电势为：[ ]
A ．
023εσd ； B ．0
2εσd
-； C ．
23εσd
-； D ．0。
9．两块分别均匀带电＋q 和―q 的平行平板，间距为d ，板面积均为S ，平板厚度忽略不计，若两板的线度远大于d ，则两板间的相互作用力F 与两板间的电压U 的关系是：[ ]
A ．U F ∝；
B ．U
F 1
∝； C ．2
1U
F ∝
； D ．2
U F ∝。
B
C
A
图2-2
图2-3
x
图2-1
二、填空题
1．真空中有一均匀带电球面，球半径为R ，总电量为Q （0>Q ），现在球面上挖去一很小面积d S ，设挖去后的其余部分电荷仍均匀分布且电荷面密度无变化，若以无穷远处电势为零点，则该挖去d S 以后的球面球心处的电势为=U 。
2．如图2-1所示，A 、B 两点与O 点分别相距为10cm 和40cm ，位于O 点的点电荷C 109
-=Q 。
若选A 点的电势为零，则B 点的电势=B U ；若选无穷远处为电势零点，则=B U 。
3．如图2-2所示，A 、B 两点相距为2R ，A 、B 处分别有点电荷Q -和Q +，以B 点为圆心、半径为R 作一半圆弧CDE 。
若将一试探电荷0q +从C 点沿路径CDEF 移到无穷远处，并设无穷远处为电势零点，
则0q +在E 点的电势能W E = ，电场力作的功A C∞ = ；A CE = ；A E∞ = 。
4．如图2-3所示为一电偶极子，其电偶极矩为
e p
= ；现将一个电量为Q -的试探电荷，从电
偶极子的中心O 点处，沿任意路径移到无限远处，则电场力作功为=A J 。
5. 两个半径分别为R 和2R 的同心均匀带电球面，其中内球面带电+q ，外球面带电+Q ，选无穷远为电势零点，则内球面电势为U = ；欲使内球面电势为零，则外球面上的电量Q = 。
6．如图2-4所示，电量q （q > 0） 均匀分布在一半径为R 的细圆环上，若取无限远处为电势零点，则在垂直于环面的轴线上任一点P 的电势U P = ；由电场强度E 与电势梯度的关系可求得E P = 。
7. 已知某静电场的电势函数为a
x A U +-=，式中Ａ和a 均为常量，则电场中任意点的电场
强度=E。
8．静电场的高斯定理0d ε∑⎰
=
⋅q
S S E ，表明静电场是 ；静电场的环
路定理
⎰=⋅L
0d l E ，表明静电场是 。
三、问答题
1．电场强度E 和电势U 是描写电场分布的两个物理量，它们有什么样的区别和联系？若用场叠加原理计算场强E 和电势U ，应注意什么？
四、计算与证明题
1．均匀带电细线ABCD 弯成如图4-1所示的形状，电荷线密度为λ，并选取图示坐标，试证明：圆心O 处的电势()π2ln2π40
+=ελ
U
图 4-1
2. 如图4-2所示，一计数管中有一直径为2D 的薄金属长圆筒（圆筒的长度远大于圆筒的直径），在圆筒的轴线处装有一根直径为1D 的细金属丝（21D D <）。
若已知该装置工作时金属丝与圆筒的电势差为
U ∆，则试求：
（1）金属丝单位长度的荷电量λ； （2）该计数管内（
2
221D
r D <<）的场强分布； （3）金属丝表面附近的电场强度大小E 1。
若已知V 1000=∆U ，
m 1026.151-⨯=D ，m 100.222-⨯=D ，其值?1=E
图4-2
3．如图4-3所示，在半径为R 1和R 2的两个同心球面上，分别均匀分布着电荷，内球面带电量Q 1，外球面带电量Q 2，若选无穷远处为电势零点，请根据电势的定义式⎰
∞
⋅=r
l
E U d 求解：
（1）1R r <、21R r R <≤、2R r ≥三个区域内的电势分布； （2）内球面的电势，以及两球面之间的电势差；
（3）若保持内球面上电量Q 1不变，当外球面电量Q 2变化时，试说明1R r <、21R r R <≤、
2R r ≥这三个区域内电势的变化情况，以及内外两球面之间电势差的变化情况。
图4-3
4. 半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 ，以轴线为电势参考零点，试求该圆柱体内、外的电势分布。
五、附加题
1. 试分析说明：若将一个带正电的导体A移近一个不带电的绝缘导体B时，导体A、B的电势将如何变化？
2. 本单元四.2题也可以用电势叠加原理进行计算，请感兴趣的同学先说明用此方法解题的基本思路，再用此方法计算上述各区域的电势分布。
3．如图所示，一半径为R的均匀带电球面，带电量为q，沿矢径方向放置有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l，细线近端离球心距离为a。
设球和细线上的电荷分布不受相互作用的影响，试求：
（1）细线与球面电荷之间的电场力F；
（2）细线在该电场中的电势能W e （设无穷远处为电势零点）。
批阅教师：
年月日。