勾股定理2 (4)
勾股定理
板块一 勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba勾股定理3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
板块一、勾股定理【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ； （2）如果68a b ==，，则c = ； （3）如果512a b ==，，则c = ； （4）如果1520a b ==，，则c = .【例3】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【例4】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．【例5】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例6】 已知直角三角形两边x ，y 的长满足240x -，则第三边长为______________．【例7】 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20【例8】 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为【例9】 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定CA【例10】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例11】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【例12】 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为【例13】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例14】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C到旗杆底部B 的距离为CBA【例15】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例16】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例17】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例19】 设,,,a b c d 都是正数。
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全勾股定理公式大全勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中的关系。
在三角学和几何学中，勾股定理的应用广泛且重要。
本文将为您提供勾股定理的公式大全，以帮助您深入理解和运用。
一、直角三角形及勾股定理概述在开始介绍公式之前，我们先来了解一下直角三角形和勾股定理的基本概念。
直角三角形是指其中一个角为直角（即90度），即一个角为90°的三角形。
在直角三角形中，有一条边与直角相邻，称为斜边；另外两条边称为直角边。
而勾股定理则是描述了直角三角形中三边之间的关系，即直角边的平方和等于斜边的平方。
二、勾股定理公式勾股定理的公式可以根据计算对象的不同进行分类。
下面将逐一介绍这些公式：1. 已知两直角边求斜边的长度在已知直角三角形的两条直角边的长度时，我们可以通过勾股定理求出斜边的长度。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则公式如下：c² = a² + b²2. 已知斜边和一直角边求另一直角边的长度当我们已知直角三角形的斜边和其中一条直角边的长度时，可以通过勾股定理求出另一条直角边的长度。
假设直角三角形的斜边为c，已知直角边为a，则公式如下：a² = c² - b²3. 已知斜边和另一直角边求第三边的长度在已知直角三角形的斜边和另一条直角边的长度时，可以通过勾股定理求出第三边的长度。
假设直角三角形的斜边为c，已知直角边为b，则公式如下：b² = c² - a²4. 已知两直角边之比求每条直角边的长度当我们已知直角三角形的两直角边之比时，可以通过勾股定理求出每条直角边的长度。
假设直角三角形的两直角边之比为m:n，直角边的长度为ma和na，则公式如下：a = n * (√(m² + n²))b = m * (√(m² + n²))三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是理论上的数学公式，它在实际应用中也发挥着重要的作用。
第18章勾股定理
第18章勾股定理黎初蕾目录勾股定理（1）................................... 错误!未定义书签。
勾股定理（2）................................... 错误!未定义书签。
勾股定理（3）................................... 错误!未定义书签。
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勾股定理的逆定理（1）........................... 错误!未定义书签。
勾股定理的逆定理（2）........................... 错误!未定义书签。
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2020年2月勾股定理（1）教学目标了解勾股定理的发觉进程，把握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
培育在实际生活中发觉问题总结规律的意识和能力。
介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成绩，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
教学重点勾股定理的内容及证明。
教学难点勾股定理的证明。
教学用具三角板、图片教学进程一、例题分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；那个古老的出色的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积可不能改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
二、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻觅其他星球的“人”，b aA B为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，若是宇宙人是“文明人”，那么他们必然会识别这种语言的。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B 到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8。
勾股定理常用个公式
勾股定理常用个公式勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它是平面几何中的基础定理，常用来求解直角三角形的边长和角度。
根据勾股定理，我们可以推导出多个相关的公式来解决各种问题。
在本篇文章中，我将介绍11个常用的勾股定理公式，每个公式都会附带一个解析和一个示例。
1.三角形斜边的长度(已知两边长度)：c=√(a²+b²)，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据公式，c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5、因此，斜边的长度为52.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：a=√(c²-b²)，其中b是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为4，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，a=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3、因此，第二个直角边的长度为33.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：b=√(c²-a²)，其中a是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为3，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，b=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4、因此，第二个直角边的长度为44.直角三角形的面积(已知两个直角边的长度)：A=1/2*a*b，其中a和b为直角三角形的两个直角边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，求其面积。
解析：根据公式，A=1/2*3*4=6、因此，直角三角形的面积为65.直角三角形的周长(已知两个直角边的长度)：P=a+b+c，其中a和b分别为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
常见勾股定理公式表
常见勾股定理公式表勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
接下来分享常见勾股定理公式，供参考。
常见的勾股定理公式(1)（3，4，5）,（6，8，10）……3n,4n,5n(n是正整数)(2)（5，12，13）,（7，24，25）,（9，40，41）……2n＋1,2n^2＋2n,2n^2＋2n＋1(n是正整数)(3)(8，15，17),(12，35，37)……2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1(n是正整数)(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2(m、n均是正整数，m>n)三角形勾股定理公式1.基本公式在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a²+b²=c²。
2.完全公式a=m，b=(m²/k-k)/2，c=(m²/k+k)/2其中m≥3(1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m²的所有小于m的因子}(2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m²/2的所有小于m的偶数因子}勾股数的规律（1）当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)n=3时(a,b,c)=(7,24,25)（2）当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10)n=4时(a,b,c)=(8,15,17)n=5时(a,b,c)=(10,24,26)。
勾股定理
C
图2
4
9
9
25
13
34
C A
A、B、 C面积 关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B
图3
直角三 角形三 边关系
依据科学理论的证实：一
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三 角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积 等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得：
两直角边的平方和等于斜边的平方
∟
b
c c
∟
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
a2 + b2 = c2
a
b
依据科学理论的证实：三 b
a (a + b)2 = c2 + 4(½ab) c a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab a2 + b2 = c2
探究一
数学家毕达哥拉斯的故事 相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋 友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某种数量关系。
A
B
C A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
（2）观察图1—2：
C A B 图1—2
目前，世界上共有500多 种证明“勾股定理”的方法。
定理：
经过证明被确认是正确的命题 叫做定理。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么
勾股定理基础知识点
知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（2） 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
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17．1 勾股定理2
一、教学目的
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
三、例题的意图分析
例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。
四、课堂引入
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
五、例习题分析
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三
边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应
分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面，体会分类
讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要
创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。
欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中，
但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=
2
1AB=3cm ，则此题可解。
六、课堂练习
1．填空题 D
B A
⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高
为 ，面积为 。
2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，
AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
七、课后练习
1．填空题
在Rt △ABC ，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= 。
⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= 。
2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，
AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。
八、参考答案 A
B
B
课堂练习
1．17；7；6，8；6，8，10；4或34；3，3；2．8；3．48。
课后练习
1．24；43；32；6；12；10；2．
33
2。