离散数学图论最短路径与关键路径
离散数学最短路径和关键路径
*
1
关键路径(续)
vi的缓冲时间TS(vi)=TL(vi)-TE(vi), i=1,2,,n vi在关键路径上TS(vi)=0
*
例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成
时间, 缓冲时间及关键路径.
解 最早完成时间
TE(v1)=0
TE(v2)=max{0+1}=1
TE(v3)=max{0+2,1+0}=2
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径 p标号(永久性标号) : 第r步获得的v1到vi最短路径的 权 t标号(临时性标号) : 第r步获得的v1经过p标号顶点 到达vi的路径的最小权, 是v1到vi的最短路径的权的上 界 第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
*
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij . 若vi,vj不 相邻, 记wij =. 设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.
标号法(, 1959)
*
标号法(续)
例1(续) 求v0到v5的最短路径 v0 v1 v2 v3 v4 v5 0 0 1 4 1 1/v0 3 8 6 2 3/v1 8 4 3 7 4/v2 10 4 7/v4 9 5 9/v3 w 0 1 3 7 4 9 =v0v1v2v4v3v5, w()=9
*
关键路径
vi的最早完成时间TE(vi): 从始点v1沿最长路径到vi
第4篇 图论之图论的应用
主讲人：任长安
计算机与信息科学系
2009.07
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
引言
• 图论是在民间游戏当中孕育和诞生的，作为数学的一个分支 已有两百多年的历史。图论的起源可以追溯到1736年由瑞士
数学家欧拉(Leonhard Euler，1707-1783)撰写的一篇解决
引言
• 现代电子计算机的出现与广泛应用极大地促进了图论的发展 和应用。在计算机科学中计算机科学的核心之一就是算法的
设计与理论分析，而算法是以图论与组合数学为基础；图论
与组合数学关系也非常密切，已正式成为计算机诸多分支中 一种有力的基础工具。因而，作为计算机专业人员，了解和
掌握图论的基本原理和方法是必要的。现在，它已成为系统
的路程最短？
离散数学 湖南工学院 计算机与信息科学系 离散数学 中国地质大学 计算机学院
9.1 欧拉图
• • 下面用图论的语言来描述：用图论的语言来描述，即在一个带权图G 中，能否找到一条回路C，使C包含G的每条边最少一次且C的长度最短？ 该问题求解思路大体包括三个方面：
•
•
1) 若G没有奇数度结点，则G是欧拉图，于是欧拉回路C是唯一的
第9章 图的应用
• 本章讨论几类具有理论研究与实际应用意义的特殊图，包 括欧拉图、汉密尔顿图、平面图、二分图、最短路径和关 键路径问题等。这些图在计算机科学中具有广泛的应用， 如数据库的实现、优化算法、工作分配、计算机网络等方 面。本章主要介绍这些图的基本性质及其相关应用。
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通路的图称为半哈密尔顿图，具有哈密尔顿回路的图称为
离散数学 最短路径问题ppt课件
比较以上各点的指标可知，b是最小指标点。但b不是目标
点，所以挖去b,于是可得： 精选ppt
14
（2）令T2=T1-{b}={c,d,e,f,g,z}，T2中各点的指标为： DT2(c)=min(DT1(c), DT1(b)+W(b,c))=min(4,2+3)=4 (a c) DT2(d)= min(DT1(d), DT1(b)+W(b,d))=min(3,∞)=3 (a d)
最短路径问题
例:如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的
数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v1出
发，经过这个交
通网到达v6， 要寻求总路 程最短的线 v1
路。
v2
6
3 14
5 1
v4
3
2
v6
6
v3
v5
精选ppt
1
从v1到v6的路线是很多的。比如从v1出发， 经过v2 ,v4到达v6或者从v1出发，经过v2，v3， v5到达v6等等。但不同的路线，经过的总长 度是不同的。例如，按照第一个线路，总长 度是3+6+3=12单位，按照第二个路线，总长 度是3+1+1+6=11单位。
精选ppt
2
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间的最 短路就是寻求连接这两个点的边的总权数为 最小的通路。
（2）应用背景——管道铺设、交通网络、线 路安排、厂区布局、设备更新等。
精选ppt
3
二、赋权图的定义
在图的点或边上表明某种信息的数称为权。 含有权的图称为赋权图。 如图
c) b e) d f)
DT3（g）=min(DT2(g), DT2(d)+W(d,g))=min(∞,3+7)=10(a d g) DT3（z）=min(DT2(z), DT2(d)+W(d,z))=min(∞,∞)=∞
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）P.S.根据个⼈需要，我删改了不少问题引⼊问题：从某顶点出发，沿图的边到达另⼀顶点所经过的路径中，各边上权值之和最⼩的⼀条路径——最短路径。
解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出⼀篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。
笔者认为任意⼀个最短路算法都是基于这样⼀个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点到B。
⼀.Dijkstra算法该算法在《数据结构》课本⾥是以贪⼼的形式讲解的，不过在《运筹学》教材⾥被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度递增次序产⽣最短路径。
先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加⼊到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。
(2) 求最短路径步骤1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化⽅式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
2. 从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W(贪⼼体现在此处)，加⼊S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作⽤⾄关重要)，对T中顶点的距离值进⾏修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值⽐不加W的路径要短，则修改此距离值（上⾯两个并列for循环，使⽤最⼩点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为⽌（说明最外层是除起点外的遍历）。
离散数学中常用的图论算法简介
离散数学中常用的图论算法简介图论是高等数学中的一个分支，主要涉及在图中寻找什么样的路径，以及什么样的点之间有什么样的关系。
在计算机科学中，图论的应用越来越广泛。
因为所有的计算机程序都是基于数据结构的，而图是一种最基本的数据结构之一。
离散数学中的图论算法大致可以分为两类：一类是针对稠密图的算法，另一类是针对稀疏图的算法。
稠密图指的是一种图，其中每对顶点都有一条边相连，而稀疏图则是指只有一部分顶点之间相连的图。
以下是一些常见的图论算法的简介。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求图中最短路径的算法，也是最常用的图论算法之一。
Dijkstra算法的主要思想是通过贪心策略，从起点出发，逐步扩展最短路径的范围，直到找到终点。
Dijkstra算法可以用来解决单源最短路径问题。
如果图中有n个顶点，算法的时间复杂度为O（n²）。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种用于求最小生成树的算法。
最小生成树指的是，通过连接图中一些顶点形成一棵树，使得这些顶点之间的总权重最小。
Kruskal算法的主要思想是将图中的所有边按照权重进行排序，然后依次加入到生成树中，如果新加入的边会形成环，则不将其加入到生成树中。
如果图中有n个顶点，那么算法的时间复杂度为O（nlogn）。
3. Floyd算法Floyd算法用于求图中任意两个点之间的最短路径。
如果图中所有的权重都是正的，那么Floyd算法的时间复杂度为O（n的三次方），但是如果存在负权重，那么该算法不适用。
关于负权环的处理，可以通过Bellman-Ford算法进行解决。
4. Prim算法Prim算法是一种用于求最小生成树的算法。
与Kruskal算法不同的是，Prim算法是基于顶点集来实现，而不是基于边集。
Prim 算法首先找到一个起点，将其加入到生成树中，然后找到与其相连的边中权重最小的那一条，将其相连的顶点加入到生成树中，重复这一步骤直至所有顶点都被加入到生成树中。
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
12
5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学基础图论
Fundamentals of Discrete Mathematics: Graph Theory
周晓聪(isszxc@) 中山大学计算机科学系, 广州 510275
年 月 日 2008 11 9
2
版权所有，翻印必究
第三章 路径问题
这一章集中考虑几个与图的路径有关的几个问题，包括有向图中任意两点之间的最短路径，图 的最小生成树，以及有向网络关键路径问题，这些问题都是在实际应用中经常遇到的问题，例如求 网络的关键路径是项目管理（包括软件开发项目）中的重要问题之一。
3.1 最短路径
3
达比v较5）在u；5这比=里较∞，u和我6u=们3 +∞看d和到35uv=33的+3，邻d3因接6 此=顶将8点，u有因5修v此2改,将v为5u,63v修，6，相改比应为较地8u，将2相=q应57的和地值u将改3 q+6为的dv3值32（=也即7修v，1改经因为过此vv仍33，可保因以持此比u得2较的到快值：地为到7；
S = {v2, v4, v6}
U = 0, 6, 1, 8, 3, 8
到此为至的计算结果也可用下表给出：
Q = v1, v5, v1, v5, v3, v3
第0步 第1步 第2步
v1 0
v2 7/v1 7/v1 6/v5
U = ∞, 7, 1, ∞, ∞, ∞
而对任意的1 ≤ i ≤ n，都令qi = v1，即目前考虑的可能前趋都是v1：
Q = v1, v1, v1, v1, v1, v1
或者说，按照耿素云教材，我们使用下表给出U和Q：
第0步
v1 0
v2 7/v1
v3 1/v1
v4
v5
v6
图论中的最长路径问题与最短路径问题
图论中的最长路径问题与最短路径问题在图论中，最长路径问题和最短路径问题是两个重要且常见的问题。
最长路径问题旨在寻找图中两个顶点之间的最长路径，而最短路径问题则是寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将分别介绍这两个问题，并讨论它们的应用和解决方法。
首先，我们来讨论最长路径问题。
最长路径问题在实际应用中有着广泛的应用，例如交通规划、通信网络以及电路设计等。
在图中，路径是由一系列顶点连接而成的。
最长路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最大权值的路径。
最长路径问题可以通过深度优先搜索（DFS）算法来解决。
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法，它从一个顶点开始，沿着路径尽可能地往下搜索，直到达到无法再继续搜索的顶点为止。
在深度优先搜索的过程中，我们可以记录下每个顶点的最大路径长度，最终找到两个顶点之间的最长路径。
接下来，我们将讨论最短路径问题。
最短路径问题在实际应用中同样具有重要性，例如导航系统、网络路由以及货物运输等。
最短路径问题的目标是找到两个顶点之间的路径中具有最小权值之和的路径。
最短路径问题可以通过使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来解决。
迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪婪算法。
它从一个起始顶点开始，逐步地计算到达其他顶点的最短路径长度。
通过不断更新路径长度，并选择当前路径长度最小的顶点进行下一步计算，最终可以确定出起始顶点到其他顶点的最短路径。
最长路径问题和最短路径问题在实际应用中有着广泛的应用。
最长路径问题可以帮助我们优化电路设计，提高通信网络的稳定性，也可以提供交通规划的参考。
而最短路径问题可以帮助我们制定最优的导航路线，提高货物运输的效率，也可以优化网络路由的选择。
综上所述，最长路径问题和最短路径问题是图论中两个重要的问题。
通过深度优先搜索和迪杰斯特拉算法，我们可以解决这两个问题，并在实际应用中获得丰富的应用场景。
无论是最长路径问题还是最短路径问题，它们都展示了图论在实际生活中的重要性和广泛的应用前景。
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v2
7
1
v1
2
5
4
v3
1
v4
2
3 v6
6
v5
4.5 最短路径及关键路径
1(v1) 0
4(v1)
∞
∞ ∞
P={v1} T={v2 , v3,v4,v5,v6}
4.5 最短路径及关键路径
1 (v1) 0
3(v1,v2)
8(v1,v2)
∞
6(v1,v2)
P={v1,v2} T={v3,v4,v5,v6}
7 (v1,v2 ,v3,v5)
0 3 (v1,v2)
9 (v1,v2 ,v3,v5 ,v4)
4 (v1,v2, v3)
P={v1,v2 , v3, v5 v4 , v6} T={}
4.5 最短路径及关键路径
V1
10
50
V5 100 30
10
20
V2
10 5
V4 50 V3 20 V6
step1 step2 step3 step4 step5
边(vi,vj)的权
带权图
4.5 最短路径及关键路径
求给定两点间的最短距离 ——两点之间的最短路径问题
求从某个源点到其余各点的最短路径 每一对顶点之间的最短路径
4.5 最短路径及关键路径
求从源点到其余各点的最短路径的算法的基本思想: 依最短路径的长度递增的次序求得各条路径
源点
其中，从源点到顶点v1的
号的集合，另一部分成为具有T（暂时性）标号的集合。所 谓结点v的P标号是指从v1到v的最短路径的长度；而顶点u 的T标号是指从v1到u某条路径的长度。 Dijkstras算法首先 将v1取为P标号，其余结点取为T标号，然后逐步将具有T标 号的结点改为P标号。当结点vn已被改为P标号时，就找到 了一条从v1到vn的最短路径。
试用Dijkstra算法求下列简单无向赋权图中
V1到V11的最短路径。 v2 1 v5 2 v8
2 65
39 7
9
v1
8 v3
1 v6 6
v9 2
v11
1
72 4 3
1
4
v4 9 v7 1 v10
4.5 最短路径及关键路径
求每一对顶点之间的最短路径
——求任意两点间最短距离的Floyd算法 基本思想： 从 vi 到 vj 的所有可能存在的路径中，选出一条长度最 短的路径。
P标号，且P=P∪{vl}，T=T-{vl}。 Step3：修改
修改与vl 相邻的结点的T标号的值。
viT ：
d(vl)+W(vl,vi) 若d(vl)+W(vl,vi)<d(vi)
d(vi)=
d(vi)
否则
4.5 最短路径及关键路径
Step4：重复（2）和（3），直到vn改为P标号为止。 【例】试求无向赋权图中v1到v6的最短路径。
4.5 最短路径及关键路径
• 从源点到其余各点的最短路径
Dijkstra算法（1959） 设G有n个顶点；边的长度ℓij≥0；若结点vi和vj 没有边相连(不是邻接点)，则令ℓij=∞，对每个 结点vi，令ℓij=0。
4.5 最短路径及关键路径
Dijkstras基本思路： 将顶点集V分成两部分，一部分成为具有P（永久性）标
离散数学
Discrete Mathematics
第4章 图 论
计算机与信息工程学院
内容提要
4.1 图的基本概念 4.2 路和回路 4.3 连通图 4.4 图的矩阵表示
内容提要
4.5 欧拉图和哈密顿图 4.6 树 4.7 二部图及匹配 4.8 平面图
4.5 最短路径及关键路径
定义： 设G=(V，E，)为无向简单图，对于每一条边e∈E，均有一 个正实数W(e)与之对应，称w为G的权函数，并称G为带有 权W的图，又称赋权图，权也称为边的长度。
4.5 最短路径及关键路径
1 (v1)
8(v1,v2)
0
∞
3 (v1,v2)
4(v1,v2, v3) P={v1,v2 , v3} T={v4,v5,v6}
4.5 最短路径及关键路径
1 (v1) 0
3 (v1,v2)
7(v1,v2 ,v3,v5)
10(v1,v2 ,v3,v5)
4 (v1,v2, v3)
4.5 最短路径及关键路径
4.5 最短路径及关键路径
再下一条路径长度次短的最短路径的特点:
它可能有三种情况：或者是直接从源点到该点(只含一 条弧)； 或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两 条弧组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点。
其余最短路径的特点： 它或者是直接从源点到该点(只含一条弧)； 或者是从源 点经过已求得最短路径的顶点，再到达该顶点。
P={v1,v2 , v3, v5} T={v4,v6}
4.5 最短路径及关键路径
1 (v1)
7 (v1,v2 ,v3,v5)
0 3 (v1,v2)
9(v1,v2 ,v3,v5)
4 (v1,v2, v3)
P={v1,v2 , v3, v5 , v4} T={v6}
4.5 最短路径及关键路径
1 (v1)
v1
最短路径是所有最短路径
v2
中长度最短者。
…
4.5 最短路径及关键路径
路径长度最短的最短路径的特点： 在这条路径上，必定只含一条弧，并且这条弧的权值最小。
下一条路径长度次短的最短路径的特点： 它只可能有两种情况：或者是直接从源点到该点(只含 一条弧)； 或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两 条弧组成)。
3 5
1
V5
7
v2 v3 v4 v5 v6 v7
step1 2 5 3 ∞ ∞ ∞
step2
4 3 ∞ 9∞
step3 4 8 9 ∞
step4
7 9∞
2(v2)第1短 3(v4)第2短 4(v3)第3短 7(v5)第4短
step5
8 14 8(v6)第5短
step6
13 13(v7)第6短来自4.5 最短路径及关键路径
4.5 最短路径及关键路径
Step1:
初始化：将v1置为P标号，d(v1)=0，P={v1}，vi(i≠1)置
vi 为T标号，即T=V-P，且
d(vi)=W(v1, vi) 若viadjvi
d(vi)=∞
else
4.5 最短路径及关键路径
Step2:找最小
寻找具有最小值的T标号的结点。若为vl，则将vl的T标号改为
v2 v3 v4 v5 v6
50 30 100 10/V∞1
50 30 20/V5 ∞
40 30/V1
∞
10(v5)第1短 20(v4)第2短
30(v3)第3短
35/V3
50 35(v2)第4短
45/V2 45(v6)第5短
4.5 最短路径及关键路径
V2
7
22
V1 5
V3 5 V6 5
V7
3
1
V4