拓扑优化Sigmund99程序标注与阐述
北航拓扑优化程序学习报告
拓扑优化的99行程序学习报告4月19日2011《结构优化设计》课程学习报告任课教师：李书一、前言：在最近的结构优化设计课程上学习了O.Sigmund的《A 99 line topology optimization code written in Matlab》一文，对拓扑优化的理论原理与实际的计算机程序实现都有了一定的理解，文章主要是通过拓扑优化的原理来实现对简单结构的静力学问题的优化求解，而编写的代码仅有99行，包括36行的主程序，12行的OC优化准则代码，16行的网格过滤代码和35行的有限元分析代码。
自1988 年丹麦学者Bendsoe与美国学者Kikuchi提出基于均匀化方法的结构拓扑优化设计基本理论以来,均匀化方法应用到具有周期性结构的材料分析中,近几年该方法已经成为分析夹杂、纤维增强复合材料、混凝土材料等效模量,以及材料的细观结构拓扑优化常用的手段之一。
其基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一。
文章就是通过均匀化的基础，结合拓扑结构优化的工程实际，以计算机模拟的方法将拓扑优化的一般过程呈现出来，有助于初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。
二、拓扑优化问题描述为了简化问题的描述，文中假设设计域是简单的矩形形式，且在进行有限元离散的时候采用正方形单元对其进行离散。
这样不仅便于进行单元离散和单元编号，也利于对结构进行几何外形的描述。
一般说来，基于指数逼近法的拓扑优化最小化的问题可作如下描述：文中采用的对结构材料属性的描述是所谓的“指数逼近法”或者称为SIMP 逼近法，即（Solid Isotropic Material with Penalization带惩罚因子的各项同性材料模型法），该方法是拓扑优化中常用的变密度材料插值模型中最具代表性的一种。
拓扑优化_精品文档
-1整数变量问题变为0～1间的连续变量优化模型，获得方程（在设计变
量上松弛整数约束）的最直接方式是考虑以下问题：
min u,
uout
N
s.t.: min 1 min e Ke u f e1
N
vee V
e1
0 e 1, e 1,2,, N
其中 e 可取0-1之间的值
（6）
然而这种方程会导致较大区域内 e 是在0-1之间的值，所以必须添加额外 的约束来避免这种“灰色”区域。要求是优化结果基本上都在 e 1 或
而对于结构拓扑优化来说，其所关心的是离散结构中杆件之间的最优 连接关系或连续体中开孔的数量及位置等。拓扑优化力图通过寻求结构的 最优拓扑布局(结构内有无孔洞，孔洞的数量、位置、结构内杆件的相互 联接方式)，使得结构能够在满足一切有关平衡、应力、位移等约束条件 的情形下，将外荷载传递到支座，同时使得结构的某种性能指标达到最优。 拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有无穷多种形式， 并且这些拓扑形式难以定量的描述即参数化。
结构渐进优化法(简称ESO法)
通过将无效的或低效的材料 一步步去掉，获得优化拓扑，方法通 用性好，可解决尺寸优化，还可同时 实现形状与拓扑优化(主要包括应力， 位移／刚度和临界应力等约束问题的 优化)。
2.问题的设定
柔顺机构的拓扑优化
首先假设线性弹性材料有微小的变形
柔顺结构的一个重要运用在于机电系统（MicroElectroMechanical Systems(MEMS),在该系统中小规模的计算使得很难利用刚体结构来实现铰链、 轴承以及滑块处的机动性。
如果我们只考虑线性弹性材料（只发生微小变形）的分析问题，则决定 输出位移的的有限元方法公式为：
拓扑优化学习报告_北理工_王路
s.t
KU F
V fV0 xi , j i , j
i 1 j 1 m n
0 xmin xi , j xmax 1
其中：
X ——单元相对密度矢量
C ——结构的柔度
F ——载荷矢量
U ——位移矢量
北京理工大学 车辆工程 王路
FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc) dcn=zeros(nely,nelx); for i = 1:nelx for j = 1:nely sum=0.0; for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx) for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely) fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2); sum = sum+max(0,fac); dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k); end end
E( xi ) Emin ( xi ) p ( E0 Emin ), xi 0,1
其中：
E(xi ) ——插值以后的弹性模量 E0 ——实体部分材料的弹性模量 Emin ——孔洞部分材料的弹性模量
（1）
xi ——单元相对密度，取值为
1 时表示有材料，为 0 时表示无材料即孔洞
p ——惩罚因子
（二）拓扑优化问题的描述
（1）材料插值模型
北航拓扑优化程序学习报告
拓扑优化的99行程序学习报告4月19日2011《结构优化设计》课程学习报告任课教师：李书一、 前言：在最近的结构优化设计课程上学习了O.Sigmund 的《A 99 line topology optimization code written in Matlab 》一文，对拓扑优化的理论原理与实际的计算机程序实现都有了一定的理解，文章主要是通过拓扑优化的原理来实现对简单结构的静力学问题的优化求解，而编写的代码仅有99行，包括36行的主程序，12行的OC 优化准则代码，16行的网格过滤代码和35行的有限元分析代码。
自1988 年丹麦学者Bendsoe 与美国学者Kikuchi 提出基于均匀化方法的结构拓扑优化设计基本理论以来,均匀化方法应用到具有周期性结构的材料分析中,近几年该方法已经成为分析夹杂、纤维增强复合材料、混凝土材料等效模量,以及材料的细观结构拓扑优化常用的手段之一。
其基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一。
文章就是通过均匀化的基础，结合拓扑结构优化的工程实际，以计算机模拟的方法将拓扑优化的一般过程呈现出来，有助于初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。
二、 拓扑优化问题描述为了简化问题的描述，文中假设设计域是简单的矩形形式，且在进行有限元离散的时候采用正方形单元对其进行离散。
这样不仅便于进行单元离散和单元编号，也利于对结构进行几何外形的描述。
一般说来，基于指数逼近法的拓扑优化最小化的问题可作如下描述：01min :()()():0min 1NT p Te e e Xe c X U KU x u k u V X subjecttof V KU FX x =⎫==⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪<≤≤⎭∑文中采用的对结构材料属性的描述是所谓的“指数逼近法”或者称为SIMP逼近法，即（Solid Isotropic Material with Penalization 带惩罚因子的各项同性材料模型法），该方法是拓扑优化中常用的变密度材料插值模型中最具代表性的一种。
拓扑优化经典99行
% Please sent your comments to the author: [email]sigmund@fam.dtu.dk[/email]%
% %
%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%
%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%
% DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD
[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);
% PRINT RESULTS
change = max(max(abs(x-xold)));
disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...
K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;
end
end
% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)
F(2,1) = -1;
fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]);
% The author reserves all rights but does not guaranty that the code is %
拓扑优化经典99行程序解读
3188-1-1.htmlSigmund教授所编写的top优化经典99行程序，可以说是我们拓扑优化研究的基础；每一个新手入门都会要读懂这个程序，才能去扩展，去创新；99行程序也有好多个版本，用于求解各种问题，如刚度设计、柔顺机构、热耦合问题，但基本思路大同小异；本文拟对其中的一个版本进行解读，愿能对新手有点小小的帮助。
不详之处，还请论坛内高手多指点读懂了该程序，只能说是略懂拓扑优化理论了，我手里就有一些水平集源程序是成千上万行，虽然在99行的基础上成熟了很多，但依然还有很多的发展空间。
源程序如下：%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);nelx=80;nely=20;volfrac=0.4;penal=3;rmin=2;% INITIALIZEx(1:nely,1:nelx) = volfrac;loop = 0;change = 1.;% START ITERATIONwhile change > 0.01loop = loop + 1;xold = x;% FE-ANAL YSIS[U]=FE(nelx,nely,x,penal);% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANAL YSIS[KE] = lk;c = 0.;for ely = 1:nelyfor elx = 1:nelxn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;endend% FILTERING OF SENSITIVITIES[dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc);% DESIGN UPDA TE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);% PRINT RESULTSchange = max(max(abs(x-xold)));disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])% PLOT DENSITIEScolormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);end%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2;while (l2-l1 > 1e-4)lmid = 0.5*(l2+l1);xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;l1 = lmid;elsel2 = lmid;endend%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)dcn=zeros(nely,nelx);for i = 1:nelxfor j = 1:nelysum=0.0;for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);sum = sum+max(0,fac);dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);endenddcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);endend%%%%%%%%%%FE-ANAL YSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)[KE] = lk;K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);for elx = 1:nelxfor ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;endend% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1) = 1;fixeddofs = [2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)];alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs);% SOLVINGU(freedofs, ：）= K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,：）;U(fixeddofs,：）= 0; % 这两行复制后应换成英文字符，我这里为了防止生成QQ表% 情修改了一下格式%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [KE]=lkE = 1.;nu = 0.3;k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%程序执行方法：（just for matlab new users）打开matlab，点开new M-file，将上述源程序复制粘贴到M-文件中，修改蓝色部分的格式，保存。
Sigmund_99行拓扑优化程序
%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);nelx=80;nely=20;volfrac=0.4;penal=3;rmin=2;% INITIALIZEx(1:nely,1:nelx) = volfrac;loop = 0;change = 1.;% START ITERA TIONwhile change > 0.01loop = loop + 1;xold = x;% FE-ANAL YSIS[U]=FE(nelx,nely,x,penal);% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANAL YSIS[KE] = lk;c = 0.;for ely = 1:nelyfor elx = 1:nelxn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;endend% FILTERING OF SENSITIVITIES[dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc);% DESIGN UPDA TE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);% PRINT RESULTSchange = max(max(abs(x-xold)));disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])% PLOT DENSITIEScolormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);end%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIAUPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2;while (l2-l1 > 1e-4)lmid = 0.5*(l2+l1);xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;l1 = lmid;elsel2 = lmid;endend%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCYFILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)dcn=zeros(nely,nelx);for i = 1:nelxfor j = 1:nelysum=0.0;for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);sum = sum+max(0,fac);dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);endenddcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);endend%%%%%%%%%%FE-ANAL YSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)[KE] = lk;K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);for elx = 1:nelxfor ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;endend% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1) = 1;fixeddofs = [2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)];alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs);% SOLVINGU(freedofs,:) = K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,:);U(fixeddofs,:)= 0;%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESSMATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [KE]=lkE = 1.;nu = 0.3;k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%。
TopOpt针对99行改进的88行拓扑优化程序完全注释
TopOpt针对99⾏改进的88⾏拓扑优化程序完全注释 博客搬家到⾃⼰搭建的 啦q(≧▽≦q)，⼤家快来逛逛鸭！The program can be promoted by line:top88(120,40,0.5,3.0,3.5,1)代码注释88⾏程序为了提⾼效率，逻辑、流程没有99⾏程序那么清楚，建议初学先读99⾏。
%%%%%%%%%%%% AN 88 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE Nov 2010 %%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% COMMENTED - OUT BY HAOTIAN_W AUGUST 2020 %%%%%%%%%%%%function top88(nelx,nely,volfrac,penal,rmin,ft)% ===================================================================================% 88⾏程序在99⾏程序上的主要改进:% 1) 将for循环语句向量化处理，发挥MATLAB矩阵运算优势;% 2) 为不断增加数据的数组预分配内存，避免MATLAB花费额外时间寻找更⼤的连续内存块;% 3) 尽可能将部分程序从循环体⾥抽出，避免重复计算;% 4) 设计变量不再代表单元伪密度，新引⼊真实密度变量xphys;% 5) 将原先的所有⼦程序都集成在主程序⾥，避免频繁调⽤;% 总体上，程序的效率有显著提升（近百倍）、内存占⽤降低，但是对初学者来说可读性不如99⾏% ===================================================================================% nelx : ⽔平⽅向上的离散单元数;% nely : 竖直⽅向上的离散单元数;%% volfrac : 容积率，材料体积与设计域体积之⽐，对应的⼯程问题就是"将结构减重到百分之多少";%% penal : 惩罚因⼦，SIMP⽅法是在0-1离散模型中引⼊连续变量x、系数p及中间密度单元，从⽽将离% 散型优化问题转换成连续型优化问题，并且令0≤x≤1，p为惩罚因⼦，通过设定p>1对中间密% 度单元进⾏有限度的惩罚，尽量减少中间密度单元数⽬，使单元密度尽可能趋于0或1;%% 合理选择惩罚因⼦的取值，可以消除多孔材料，从⽽得到理想的拓扑优化结果:% 当penal<=2时存在⼤量多孔材料，计算结果没有可制造性;% 当penal>=3.5时最终拓扑结果没有⼤的改变;% 当penal>=4时结构总体柔度的变化⾮常缓慢，迭代步数增加，计算时间延长;%% rmin : 敏度过滤半径，防⽌出现棋盘格现象;% ft : 与99⾏程序不同的是，本程序提供了两种滤波器，% ft=1时进⾏灵敏度滤波，得到的结果与99⾏程序⼀样；ft=2时进⾏密度滤波。
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化99行算法解读题目：拓扑优化99行算法解读引言：随着科技和工程领域的快速发展，越来越多的复杂系统需要求解最优结构和运行参数。
拓扑优化是一种常见的设计方法，可以通过优化材料的布局来满足特定的性能需求。
本文将详细解读一种名为"拓扑优化99行算法"的方法，通过简短的程序来实现结构布局的优化。
一. 算法背景和概述拓扑优化99行算法的目的是通过最小化弹性、热量等因素对结构进行优化布局。
这个算法基于材料的密度分布来决定输入模型中每个单元的材料分数。
通过迭代计算和优化，最优化的材料布局将在一个预定义的结构范围内得到。
二. 算法步骤解析以下是拓扑优化99行算法的主要步骤：1. 定义材料区域和约束：首先，需要定义结构的边界和约束条件，以确定布局的范围和要求。
这通常是通过一个矩阵来表示结构模型，其中每个单元表示一个材料单元。
2. 初始化材料分数：为了开始优化过程，需要为每个单元分配一个初始材料分数。
这可以是随机分配或基于预先定义的准则进行分配。
3. 迭代计算：从初始材料分数开始，通过迭代计算来优化结构布局。
迭代计算的过程是一个循环，直到满足预定的终止条件为止。
4. 材料更新：在每次迭代中，根据计算出的材料分数，更新结构中每个单元的材料状态。
这可以通过使用规则或者概率方法来实现。
5. 评估材料分布：在计算出新的材料分布后，需要根据特定的性能指标来评估结构布局的质量。
这可以是通过计算结构的刚度、热量分布或其他性能指标来实现的。
6. 迭代终止条件：在每次迭代计算后，需要检查是否满足预先定义的终止条件。
这可以是达到预期的性能目标、达到最大迭代次数或其它判断标准。
7. 结果输出和分析：当算法收敛时，即满足终止条件时，输出最终的材料分布结果，并进行分析和可视化。
三. 算法关键点解析拓扑优化99行算法的关键点在于材料分数的更新和评估以及终止条件的判断。
1. 材料分数的更新：在迭代计算中，更新每个单元的材料分数是核心的步骤。
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化算法是一种常用的计算机科学算法，可以在网络和图形相关问题中求
解最优解。
拓扑优化99行算法是一种高效的算法，只需要99行代码即可实现，被广泛应用于各种领域。
该算法主要用于解决拓扑优化问题，即在给定的网络结构中，寻找一个最优的
拓扑结构，以满足特定的性能需求。
拓扑结构涉及到节点和边的连接方式，而性能需求则可以是最小化通信开销、最大化网络吞吐量或最小化传输延迟等。
拓扑优化99行算法的核心思想是通过迭代的方式，不断进行拓扑结构的调整，直到找到最优解。
算法首先定义了一个初始拓扑结构，然后通过计算当前拓扑结构的性能评价指标，如通信开销或吞吐量，来评估当前解的质量。
在每一次迭代中，算法会对当前拓扑结构进行一系列操作，如增加或删除边、
移动节点等，以生成新的拓扑结构。
然后，通过计算新拓扑结构的性能指标，与当前解进行比较，选择更优的解作为下一次迭代的起点。
拓扑优化99行算法的关键在于如何确定新的拓扑结构，并评估其性能指标。
在算法中，可以使用一些启发式方法，如局部搜索或模拟退火等，来探索可能的拓扑结构。
同时，需要定义一种合适的性能评价函数，以便准确地衡量不同拓扑结构的性能。
除了调整拓扑结构外，拓扑优化99行算法还可以考虑其他因素，如带宽限制、延迟约束等。
通过在算法中引入这些约束条件，可以实现更加现实的拓扑优化方案。
总结来说，拓扑优化99行算法是一种简洁高效的算法，用于解决拓扑结构优
化问题。
通过迭代的方式，不断调整拓扑结构，以求得最优解。
该算法可以应用于各种领域，如计算机网络、电路设计等，为问题求解提供了一种有效的方法。
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end %%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc) l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2; while (l2-l1 > 1e-4) lmid = 0.5*(l2+l1); xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid))))); if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0; l1 = lmid; else l2 = lmid; end end %%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc) dcn=zeros(nely,nelx); for i = 1:nelx for j = 1:nely sum=0.0; for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx) for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely) fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2); sum = sum+max(0,fac); dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k); end end dcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum); end end %%%%%%%%%% FE-ANALYSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% function [U]=FE(nelx,nely,x,penal) [KE] = lk; K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1)); F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1); for elx = 1:nelx for ely = 1:nely n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; n2 = (nely+1)* elx +ely; edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2]; K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(el半径 % INITIALIZE x(1:nely,1:nelx) = volfrac; %x 是设计变量 loop = 0; %存放迭代次数的变量 change = 1.; %每次迭代目标函数的改变值，用以判断何时收敛 % START ITERATION while change > 0.01 %当两次连续目标函数迭代的差小于等于 0.01 时，结束迭代 loop = loop + 1; %迭代次数加 1 xold = x; %把前一次的设计变量赋值给 xold % FE-ANALYSIS [U]=FE(nelx,nely,x,penal); %进行有限元分析 % OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS [KE] = lk; %单元刚度矩阵 c = 0.; %用来存放目标函数的变量.这里目标函数是刚度最大，也就是柔 %度最小 for ely = 1:nely for elx = 1:nelx n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; n2 = (nely+1)* elx +ely; Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1); c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue; %计算目标函数的值（即柔 度 %是多少） dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue; % 灵敏度分析的结果 这一行 %和上一行可参 考论文中的公式 end end % FILTERING OF SENSITIVITIES [dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc); %灵敏度过滤，为了边界光顺一点 % DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD [x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc); %优化准则法更新设计变量 % PRINT RESULTS change = max(max(abs(x-xold))); %计算目标函数的改变量 disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ... ' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ... ' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )]) %屏幕上显示迭代信息 % PLOT DENSITIES colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6); %优化结果的图形显 示（个人认为这种图形显示方法很不好，太简单了。比较方便的图形显示应该是： 每一次迭代同时显示优化结果、目标函数曲线，然后自动保存每一次的结果） end OC 算法子程序： function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)
源： %%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%% %%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%% function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin); nelx=80; nely=20; volfrac=0.4; penal=3; rmin=2; % INITIALIZE x(1:nely,1:nelx) = volfrac; loop = 0; change = 1.; % START ITERATION while change > 0.01 loop = loop + 1; xold = x; % FE-ANALYSIS [U]=FE(nelx,nely,x,penal); % OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS [KE] = lk; c = 0.; for ely = 1:nely for elx = 1:nelx n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; n2 = (nely+1)* elx +ely; Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1); c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue; dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue; end end % FILTERING OF SENSITIVITIES [dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc); % DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD [x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc); % PRINT RESULTS change = max(max(abs(x-xold))); disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ... ' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ... ' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )]) % PLOT DENSITIES colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);
end end % DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM) F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1) = 1; fixeddofs = [2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)]; alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)]; freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs); % SOLVING U(freedofs, ： ）= K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,： ）; U(fixeddofs,： ）= 0; % 这两行复制后应换成英文字符，我这里为了防止生成 QQ 表 % 情修改了一下格式 %%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [KE]=lk E = 1.; nu = 0.3; k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ... -1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8]; KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8) k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3) k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2) k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5) k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4) k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7) k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6) k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)]; % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 程序执行方法： （just for matlab new users） 打开 matlab，点开 new M-file，将上述源程序复制粘贴到 M-文件中，修改蓝色部分的格式， 保存。按 F5 即可执行~~