4晶体微观空间对称性素
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晶体结构的对称性
滑移面—滑移反映操作：由反应与平移组成的复 合对称操作。根据滑移方向的不同分为3类。第 一类轴线滑移面a(或b,c)：如图虚线所示，对应的 操作为反映后，再沿a(或b,c)轴方向平移a/2（或 b/2,c/2)；第二类对角 5 线滑移面n:如图B所 示。实点和虚点分别 4 a 3 是位于纸面的上方和 下方，且距离相等处。 对应的操作使反映后 a 2 沿a轴方向移动a/2,再 沿b轴方向移动b/2,即 1' 1 b 反映后又平移a/2+b/2
分子对称性与警惕宏观对称性对照表
分子对称性 晶体宏观对称性
对称操作及 其符号 旋转L(a) 反映M 倒反I 对称元素及其 对称操作及其 对称元素及 符号 符号 其符号 旋转 对称轴C 旋转轴n 对称面s
n
反映 反演 旋转反映
反映面或镜 面m 对称中心i 反轴
对称中心i 象转轴Sn
旋转倒反 L(a)I
1.2 晶体结构的对称性
1.2.1 晶体的对称元素和对称操作
晶体结构最基本的特征是具有空间点阵结构。 晶体的点阵结构使晶体的对称性和分子的对称性 有差别。分子结构的对称性是点对称性，只有4种 类型的对称元素和对称操作。 （1）旋转轴—旋转操作； （2）镜面—反映操作； （3）对称中心—反演操作； （4）反轴—旋转反映操作。 晶体的点阵结构，包括平移的对称操作。一方面 使晶体结构的对称性在上述点对称性的基础上还 增加下列3种类型的对称元素和对称操作。
对同一晶体，在划分平行六面体时，由于选择 向量的大小和方向不同，有许多划分方法，也就 能找到多种不同形状的晶胞。这些晶胞基本分为 二类：素晶胞和复晶胞。素晶胞包含的内容实质 上就是结构基元。若不考虑其他因素，任何晶体 均可划分为素晶胞。如图： 晶胞的基本要素：一个是晶胞的大小和形状， 可用晶胞参数（a,b,c,a,b,g）表示；另一个是晶 胞中原子的位置，通常用分数坐标（x,y,z)表示。 晶胞参数的定义与空间点阵的参数完全相同。 根据a,b,c,选择晶体的坐标轴X,Y,Z，使它们分别 和向量a,b,c平行。因此将a,b,c表示的方向也叫 晶轴。
晶体的对称性
（ 1 ）回转对称轴 （ 4 ）回转 —反演轴 （ 2 3 ）对称中心 ）对称面
反映出晶体外形和其宏 观性质的对称性 当晶体围绕某一轴回转 若通过晶体作一平面，使 当晶体绕某一轴回转到 若晶体中所有的点在经 而能复原时，此轴即为 晶体的各对应点经此平面 一定角度时，再以轴上 过某一点反演后能复原， 回转对称轴。 反映后都能重合一致，则 的一个中心点做反演之 则该点就称为对称中心， 在回转一周的过程中， 该平面称为对称面，用符 用符号i表示 后能复原时，该轴称为 晶体能复原几次，就称 号 m— 表示 回转 反演轴。 几次对称轴。 晶体中实际可能存在的 对称轴有1、2、3、4和 6种，用国际符号1、2、 3、4、6表示。 5次及高于6次的不可能 存在
微观对称元素
（ （2 1）螺旋轴 ）滑动面
与宏观对称要素配合运用反映出晶 体中原子排列的对称性
螺旋轴是由回转 它是由一个对 轴和平行于轴的 称面加上沿着 平移所构成。晶 此面的平移所 体结构可借绕螺 组成，晶体结 旋轴回转一定角 构可借此面的 度同时沿此轴平 反映并沿此面 移一定距离而得 平移一定距离 而复原。 到重合，从螺旋 轴称为n次螺旋 轴。
晶 系 对 称 要 素
三 单 斜 斜 1 -1 m 2 2/m
正交 2mm 222 2/m 2/m 2/m
四方 -4 4 4/m -4 2 m 4mm 422 4/m 2/m 2/m 1个4或-4
菱方 3 -3 3m 32 -3 2/m
六方 -6 6 6/m -6 2 m 6mm 622 6/m 2/m 2/m 1个6或-6
点群及空间群
点群:晶体形态中全部对称要素的组合称为该晶体 形态的对称型或点群。
晶体的对称性可通过一些对称要素的运用而体现， 各种晶体因其对称性不同所具有的对称要素也不 同。晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称要 素在一点上组合应用而得出，但这些组合并不是 任意的例如对称面不能不能与位于此面以外的对 称中心或任意倾斜的对称轴组合。因此，分析了 各种可能组合情况后确定只有32种点群。点群在 宏观上表现为晶体外形的对称。32种点群见表
反映出晶体外形和其宏 观性质的对称性 当晶体围绕某一轴回转 若通过晶体作一平面，使 当晶体绕某一轴回转到 若晶体中所有的点在经 而能复原时，此轴即为 晶体的各对应点经此平面 一定角度时，再以轴上 过某一点反演后能复原， 回转对称轴。 反映后都能重合一致，则 的一个中心点做反演之 则该点就称为对称中心， 在回转一周的过程中， 该平面称为对称面，用符 用符号i表示 后能复原时，该轴称为 晶体能复原几次，就称 号 m— 表示 回转 反演轴。 几次对称轴。 晶体中实际可能存在的 对称轴有1、2、3、4和 6种，用国际符号1、2、 3、4、6表示。 5次及高于6次的不可能 存在
微观对称元素
（ （2 1）螺旋轴 ）滑动面
与宏观对称要素配合运用反映出晶 体中原子排列的对称性
螺旋轴是由回转 它是由一个对 轴和平行于轴的 称面加上沿着 平移所构成。晶 此面的平移所 体结构可借绕螺 组成，晶体结 旋轴回转一定角 构可借此面的 度同时沿此轴平 反映并沿此面 移一定距离而得 平移一定距离 而复原。 到重合，从螺旋 轴称为n次螺旋 轴。
晶 系 对 称 要 素
三 单 斜 斜 1 -1 m 2 2/m
正交 2mm 222 2/m 2/m 2/m
四方 -4 4 4/m -4 2 m 4mm 422 4/m 2/m 2/m 1个4或-4
菱方 3 -3 3m 32 -3 2/m
六方 -6 6 6/m -6 2 m 6mm 622 6/m 2/m 2/m 1个6或-6
点群及空间群
点群:晶体形态中全部对称要素的组合称为该晶体 形态的对称型或点群。
晶体的对称性可通过一些对称要素的运用而体现， 各种晶体因其对称性不同所具有的对称要素也不 同。晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称要 素在一点上组合应用而得出，但这些组合并不是 任意的例如对称面不能不能与位于此面以外的对 称中心或任意倾斜的对称轴组合。因此，分析了 各种可能组合情况后确定只有32种点群。点群在 宏观上表现为晶体外形的对称。32种点群见表
晶体的对称性理论
1、旋转轴-旋转 对称要素：旋转轴，符号 n 对称动作：旋转 符号：L(α),α为基转角， n为旋转轴的轴次，即阶次，二者的关系 n=360°/α 特点：一条线不动，旋转能使相等图形重合，不能 使左右手重合。
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
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问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
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6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
晶体几何学理论基础
周期平移是晶体学中最基本的对称操作。它通过平移操作使 晶体中的某个点或图形在某些晶体学方向上做有规律的周期 重复。晶体结构正是周期性平移操作的结果。
图3.1表示了周期平移对称性。将图中的一个星形的中心作为 原点A，则图中的其他星形图案均可通过对位于A的星形图案 的平移来获得。可以将图案从A平移到B和G，也可将图案从A 平移到C然后再平移至F。
4.4.2 等效点系
等效点系是利用一个空间群中所有对称要素的操作由一个原始点推导出来的规则点 系，由于原始点与空间群中对称要素的相对位置有区别，可用推导出数种等效点系。 一半等效点系：从原始点在一般位置上（也包括原始点在螺旋轴及滑移面上）推导 出来的等效点系称为一般等效点系。特殊等效点系：从与对称要所有特殊的位置关 系（如位于对称面、对称轴、对称要素的交点、对称中心或旋转反伸中心上）的点 所得到的等效点系称为特殊等效点系。由于各等效点系的对称要素的位置有别。其 本身的对称程度也有区别。一般等效点系的对称程度最低。一套等效点系在一个晶 胞中所具有的等效点系数称为该等效点系的重复点数。在一个空间群中等效点系可 在X射线结晶学国际表上查到。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
1.4 反伸
在反伸对称操作中，一个点或基本图案通过一个点做等距离投影来进行 重复。这个操作可以想象为通过一个点的反映。
1.5 复合对称操作
复合对称操作是基本对称操作的组合。当两个操作结合时，只有两个操作 都完成时基本图案才能被重复。对称操作的可能组合很多，但其中只有3 种组合产生的对称图样是独特的，它们不能用一组基本操作的一次作用而 复制出来。
图3.1表示了周期平移对称性。将图中的一个星形的中心作为 原点A，则图中的其他星形图案均可通过对位于A的星形图案 的平移来获得。可以将图案从A平移到B和G，也可将图案从A 平移到C然后再平移至F。
4.4.2 等效点系
等效点系是利用一个空间群中所有对称要素的操作由一个原始点推导出来的规则点 系，由于原始点与空间群中对称要素的相对位置有区别，可用推导出数种等效点系。 一半等效点系：从原始点在一般位置上（也包括原始点在螺旋轴及滑移面上）推导 出来的等效点系称为一般等效点系。特殊等效点系：从与对称要所有特殊的位置关 系（如位于对称面、对称轴、对称要素的交点、对称中心或旋转反伸中心上）的点 所得到的等效点系称为特殊等效点系。由于各等效点系的对称要素的位置有别。其 本身的对称程度也有区别。一般等效点系的对称程度最低。一套等效点系在一个晶 胞中所具有的等效点系数称为该等效点系的重复点数。在一个空间群中等效点系可 在X射线结晶学国际表上查到。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
1.4 反伸
在反伸对称操作中，一个点或基本图案通过一个点做等距离投影来进行 重复。这个操作可以想象为通过一个点的反映。
1.5 复合对称操作
复合对称操作是基本对称操作的组合。当两个操作结合时，只有两个操作 都完成时基本图案才能被重复。对称操作的可能组合很多，但其中只有3 种组合产生的对称图样是独特的，它们不能用一组基本操作的一次作用而 复制出来。
晶体的对称性
对称面的交点上产生一个对称中心。
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系
第一位
第二位
第三位
点群(32个）
可能对称 元素
三斜 1,`1 单斜 2,m,2/m 正交 2，m
方向 可能对称 元素
任意 无
Y无 X 2，m
方向 可能对称 元素
无 无 Y 2，m
方向 Z
1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一 个在y = 0，另一个在y = ½位置。
通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z 第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将
必须是0或½)，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
Wyckoff位置 （2）
多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间 群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。
P21/m, Imm2, Ccca, I422, P4/mmm, R3, P3212, P63mc, Fd-3, Im-3m 6. 什么是等效点系，特殊等效点系有什么特点？ 7. 什么是wyscoff 晶位，如何表示？ 8. 原子参数中的占有率指的是什么？ 9. 一般晶体结构数据描述中的Z值指的是什么？ 10.完整描述晶体结构的要素有哪些？
记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英文字母顺序指定的位置标记。 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处具有的对称元素。
Pm空间群的 Wyckoff位置
多重性 Wyckoff记号 点对称
坐标
2
c
1
(1) x， y， z
(2) x， - y， z
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系
第一位
第二位
第三位
点群(32个）
可能对称 元素
三斜 1,`1 单斜 2,m,2/m 正交 2，m
方向 可能对称 元素
任意 无
Y无 X 2，m
方向 可能对称 元素
无 无 Y 2，m
方向 Z
1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一 个在y = 0，另一个在y = ½位置。
通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z 第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将
必须是0或½)，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
Wyckoff位置 （2）
多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间 群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。
P21/m, Imm2, Ccca, I422, P4/mmm, R3, P3212, P63mc, Fd-3, Im-3m 6. 什么是等效点系，特殊等效点系有什么特点？ 7. 什么是wyscoff 晶位，如何表示？ 8. 原子参数中的占有率指的是什么？ 9. 一般晶体结构数据描述中的Z值指的是什么？ 10.完整描述晶体结构的要素有哪些？
记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英文字母顺序指定的位置标记。 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处具有的对称元素。
Pm空间群的 Wyckoff位置
多重性 Wyckoff记号 点对称
坐标
2
c
1
(1) x， y， z
(2) x， - y， z
4、晶体的对称性
第 25 页
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
高中化学竞赛【晶体的对称性】
同理, 可以求出晶 面2的晶面指标是: (001); 晶面3的晶面指 标是: (201)。可以看出 1个晶面指标代表一组 平行的晶面。
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
材料分析方法-李晓娜-3 微观对称性-空间群-实际晶体结构
35
Cu3Au, simple cubic
36
常用晶体学手册及软件介绍
1. 晶体学手册-Pearson’s Handbook （皮尔森手册）介绍
37
2. CaRIne Crystallography 程序简介
3. 晶体结构立体模型 建构软件-Diamond
常用的晶体学软件还有Mercury，Chemdraw，Olex，Atoms……等等，
4
螺旋轴： 旋转+平移
5
6
对称变 换中所 有的轴 对称素
7
滑移面
反映+平移
滑移面可以垂直纸面放置，如左图中虚线表示垂直于纸面的b滑移面的投
影，也可以平行于纸面放置或直接与纸面重合，如右图中右上角的标记表示
n滑移面与纸面重合，所以在图中起始在纸面上方的点，滑移一次后到纸面
下方，用点旁边的正负号分别表示其在纸面上或下，也可由空心圆圈中的点
从高到低用字母a、b、c、d、e、f等表示，称其为乌科夫（
Wyckoff）符号。具有同一个乌科夫符号的位置，属于同一 个等效点系。同乌科夫符号在一起的数字就是它所代表的等 效点系的点数，也就是由空间群对称性联系起来的对称相关 位置数。
17
晶体对称性小结
晶体宏观对称要素：5个旋转轴，5个旋转反轴
按规定组合在一点
40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
41
42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
Cu3Au, simple cubic
36
常用晶体学手册及软件介绍
1. 晶体学手册-Pearson’s Handbook （皮尔森手册）介绍
37
2. CaRIne Crystallography 程序简介
3. 晶体结构立体模型 建构软件-Diamond
常用的晶体学软件还有Mercury，Chemdraw，Olex，Atoms……等等，
4
螺旋轴： 旋转+平移
5
6
对称变 换中所 有的轴 对称素
7
滑移面
反映+平移
滑移面可以垂直纸面放置，如左图中虚线表示垂直于纸面的b滑移面的投
影，也可以平行于纸面放置或直接与纸面重合，如右图中右上角的标记表示
n滑移面与纸面重合，所以在图中起始在纸面上方的点，滑移一次后到纸面
下方，用点旁边的正负号分别表示其在纸面上或下，也可由空心圆圈中的点
从高到低用字母a、b、c、d、e、f等表示，称其为乌科夫（
Wyckoff）符号。具有同一个乌科夫符号的位置，属于同一 个等效点系。同乌科夫符号在一起的数字就是它所代表的等 效点系的点数，也就是由空间群对称性联系起来的对称相关 位置数。
17
晶体对称性小结
晶体宏观对称要素：5个旋转轴，5个旋转反轴
按规定组合在一点
40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
41
42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
晶体的微观对称性
对称元素必须交于一点
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
晶体内部结构的微观对称和空间群
平移轴(translation axis) 螺旋轴(screw axis)： 滑移面(glide plane)
晶体微观对称元素
• 平移轴(translation axis)
为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一 定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操 作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中， 能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
bLeabharlann aPaCMonoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
a3
a2
a1
P
Hexagonal
R
3 [110] [110] [001]
[210]
空间群的圣佛利斯符号
➢ 空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其 对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。 如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六 个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、 C42、 C43、 C44、 C45、 C46。
➢ 优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。 ➢ 缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对
➢ 晶面符号（hkl）中无公约数，但对于面网符号， 可以有公约数。
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
面网符号
➢ 面网符号中存在以下关系： dnhnknl＝1/ndhkl d030＝1/3d010
晶体微观对称元素
• 平移轴(translation axis)
为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一 定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操 作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中， 能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
bLeabharlann aPaCMonoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
a3
a2
a1
P
Hexagonal
R
3 [110] [110] [001]
[210]
空间群的圣佛利斯符号
➢ 空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其 对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。 如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六 个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、 C42、 C43、 C44、 C45、 C46。
➢ 优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。 ➢ 缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对
➢ 晶面符号（hkl）中无公约数，但对于面网符号， 可以有公约数。
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
面网符号
➢ 面网符号中存在以下关系： dnhnknl＝1/ndhkl d030＝1/3d010
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Rmnp = mta + ntb + ptc ,
其中ta、tb、tc是单位晶胞三个坐标轴的基矢，m、n、p为系数 当m、n、p为0或整数时，平移是单位晶胞周期的重复，称周期平移 当m、n、p为0或者±1/2时(即为复格子时)，称为非初基平移。
平移对称操作
平移：为一直线方向，图形沿此直线移动一定距离，可使相同
0
1/4 0
3/4
41
43
螺旋对称轴
规定： 41为右旋，43则为左旋。 43右旋时移距应为3T/4 ，
但43左旋时移距应为1T/4 。
螺旋轴的国际符号ns是以右旋为准的。
凡0<s<n/2者，为右旋螺旋轴（包括31、41、61、62）；凡 n/2<s<n者，为左旋螺旋轴（包括32、43、64、65）；而 s=n/2者，为中性螺旋轴（包括21、42、63）。
②四次旋转轴4 00z）与垂直与对称轴的周期平移t ②四次旋转轴4（00z）与垂直与对称轴的周期平移ta、tb和ta+tb同 时组合ຫໍສະໝຸດ 2. 四次轴与周期平移的组合
③四次旋转反伸轴与一个周期平移的组合:4 次反伸轴具有二次 四次旋转反伸轴与一个周期平移的组合: 轴性质，因此与平移组合时将派生出一个2次旋转轴。 轴性质，因此与平移组合时将派生出一个2次旋转轴。 ④四次反伸轴与垂直与对称轴的周期平移t ④四次反伸轴与垂直与对称轴的周期平移ta、tb和ta+tb同时组合
3次轴是一个奇次轴，不具有2次轴的性质，当与单独一个 次轴是一个奇次轴，不具有2 垂直轴的周期平移组合，不可能产生派生新的对称轴；3 垂直轴的周期平移组合，不可能产生派生新的对称轴；3 次轴必须与两个垂直与轴的周期平移才能派生新的对称轴
3次轴与ta和ta+tb组合 次轴与t
32螺旋轴与ta和ta+tb组合 螺旋轴与t
2. 四次轴与周期平移的组合
⑤四次螺旋轴4 ⑤四次螺旋轴41、42、43与一个周期平 移的组合： 41和43含有2次螺旋轴的性 含有2 质，因此与平移组合时将派生出2 质，因此与平移组合时将派生出21； 42具有2次轴的性质，因此与平移组合 具有2 时将派生出2 时将派生出2次旋转轴。
3. 三次轴与周期平移的组合
滑移对称面
滑移面按滑移方向和移距分出的a、b、c、n和d五种类型 a d
滑移对称面
滑移面投影及其符号表示
对三维空间微观对称垂直投影，及将某一个晶体学轴垂直投影 与纸面上，另2个轴分别与投影四边形重合。投影图上的数字 符号表示被投影的等效点或对称元素对应投影轴的高度。 例如：1/2+表示此等效点在投影坐标轴上的坐标值是投影坐 标轴的半周期加坐标变量； 1. 滑移面垂直投影面（纸面） ①单一周期方向平移操作的a、b、c滑移面垂直投影面：以长 断线– – –表示平移方向沿平行于投影面，且平行与滑移面 的方向进行。以点线‥‥表示其平移方向沿垂直于投影面且平 行与滑移面的周期方向。
材料的结构（4） -晶体微观对称性原理
西南石油大学 材料科学与工程》 《材料科学与工程》一级学科研究生学 位课程 任课教师： 任课教师：李春福
晶体微观空间对称原理
主要内容： 1. 微观空间的平移 2. 微观空间对称元素 3. 微观空间对称元素与周期平移的 组合 4. 微观空间对称元素的组合
晶体微观空间对称元素
1. 非高次轴的微观对称元素与周期平移的组合： ② 反映对称面和滑移面与周期平移的组合
1. 非高次轴的微观对称元素与周期平移的组合： ③滑移面n 0yz）与垂直的周期平移t ③滑移面n（0yz）与垂直的周期平移ta组合
1. 非高次轴的微观对称元素与周期平移的组合： ④ 二次轴与周期平移的组合
1. 非高次轴的微观对称元素与周期平移的组合： ⑤二次螺旋轴2 00z）与垂直方向的周期平移组合 ⑤二次螺旋轴21（00z）与垂直方向的周期平移组合
周期平移
晶体点阵可以分割成无限多平行六面体----单位格子。当单位格子 只含有平行六面体八个顶点时，我们称之为简单格子；当格子除 了包括上述8个顶点外，其面心或体心还有阵点时，则为复格子。 物质点在空间分布是不连续地、间断地，但严格周期排列，这个 严格周期性却是晶体物质微观空间结构所特有的性质。在晶体内 部微观空间内，所有平移均可由下式表达：
螺旋对称轴
43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋转3个90 度后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距相当于平移 轴，可以剔除，所以， 43相当于旋转270度移距1/4T，也 即反向旋转90度移距1/4T 。 所以，41和43是旋向相反的关系。
3/4 1/2 1/4 1/2
3.与晶体学轴Y垂直且通过原点的d滑移面
螺旋对称轴
定义： 定义：为一假想直线，质点绕此直线旋转一定角度，再沿此直 线方向平移一定距离，可使图形相同部分重复（先平移后旋转 等效）。
螺旋对称轴
说明： 说明： 1. 螺旋轴按基转角α也分为二次、三次、四次和六次。每一种 α 轴次又按其移距与结点间距T的变化分为一种或几种。其国际 T 符号一般写成ns。n为轴次，s为小于n的自然数。若沿螺旋轴 方向的结点间距标记为T，则质点平移的距离t应为（s/n)T， 其中t称为螺距。 2. 螺旋轴据其轴次和螺距可分为21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65共11种。 3. 它们各代表什么意思？ 举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 T；而43意为 按右旋方向旋转90度后移距3/4 T。那么， 41和43是什么关 系？
螺旋对称轴
二次螺旋轴21 ：旋转180°后平移t/2移距。
（a）对称轴，（b）螺旋轴 a b
螺旋对称轴
三次螺旋轴31和32 ：31 表示右向旋转120º，移距t／3；32 表示 右向旋转120º ，移距2t／3 (或左向旋转120º ，移距1t／3)
（a）对称轴3 （b）31 右旋 （c）32 左旋 a b c
4. 六次轴与周期平移的组合
2. 在H晶胞中，6次轴与两个垂直与轴的周期平移组合，其结 晶胞中，6 果有3 果有3种情况：
① 含有三次旋转轴特性的六次旋转轴6、六次旋转反伸轴、六次螺旋轴63 含有三次旋转轴特性的六次旋转轴6、六次旋转反伸轴、六次螺旋轴6 与ta和ta+tb或者与tb和ta+tb同时组合，其结果是在晶胞（2/3 1/3 z） 或者与t 同时组合，其结果是在晶胞（2/3 z） 或者（1/3 或者（1/3 2/3 z）位置上派生出与初始轴相平行的三次旋转轴3。这 z）位置上派生出与初始轴相平行的三次旋转轴3 里必须指出，由于六次反伸轴包含这一个与轴垂直的对称面m 里必须指出，由于六次反伸轴包含这一个与轴垂直的对称面m的性质， 而此对称面m 而此对称面m在H晶胞内必然具有沿X、Y轴平面方向无限延伸的特性。 晶胞内必然具有沿X 因而，上述六次反伸轴在组合中所派生出来的三次旋转轴3 因而，上述六次反伸轴在组合中所派生出来的三次旋转轴3就必然演变 为六次反伸轴。 ② 含有三次螺旋轴31性质的六次螺旋轴61和64与ta和ta+tb或者与tb和 含有三次螺旋轴3 性质的六次螺旋轴6 或者与t ta+tb同时组合，其结果在（2/3 1/3 z）或者（1/3 2/3 z）位置上派 同时组合，其结果在（2/3 z）或者（1/3 z）位置上派 生出三次螺旋轴3 生出三次螺旋轴31。 ③ 含有三次螺旋轴32性质的六次螺旋轴62和62与ta和ta+tb或者与tb和 含有三次螺旋轴3 性质的六次螺旋轴6 或者与t ta+tb同时组合，其结果在（2/3 1/3 z）或者（1/3 2/3 z）位置上派 同时组合，其结果在（2/3 z）或者（1/3 z）位置上派 生出三次螺旋轴3 生出三次螺旋轴32。
（a）对称轴（b，c）61、62 右旋（d）63中性（e，f）64、65 左旋 a b 6 d 6 e 6
2晶体微观空间对称元素与周期平移的组合 1. 非高次轴的微观对称元素与周期平移的组合：
即对称中心、对称面和滑移面、二次旋转轴和二次螺 旋轴等与周期平移的组合，必然在组合周期方向的半 周期位置出现性质完全相同的对称元素。 ①对称中心与一个中心周期平移的组合
3. 三次轴与周期平移的组合
3次反轴（a）和31（b）螺旋轴与ta和ta+tb组合 次反轴（a）和3 ）螺旋轴与t
4. 六次轴与周期平移的组合
6次轴与一个单独的周期平移的组合
•具有61性质的63，65，当与单独一个周期平移组合，都会得到派 具有6 性质的6 生出一个6 生出一个61轴的结果； •具有2次轴性质的6，62，64与一个单独的周期平移组合，会派生 具有2次轴性质的6 出一个2 出一个2次轴； •6次反轴不具有2次轴和对称中心，因此与单独与一个周期平移组 次反轴不具有2 合，不会派生新的对称元素。
滑移对称面
②垂直投影面的n ②垂直投影面的n滑移面以点线相隔表示 即沿着水平方向和垂 直方向同时进行1/2周期； 直方向同时进行1/2周期； ③垂直与投影面的d滑移轴以点和箭头相隔表示：→·→·→或 垂直与投影面的d滑移轴以点和箭头相隔表示：→·→·→或 ←·←·← 滑移面平行与投影面 • 对于a、b、c滑移面以下图表示：箭头方向表示此滑移面平 移操作所进行的方向
4. 六次轴与周期平移的组合
6次轴同时与垂直与轴的2个方向的周期平移 次轴同时与垂直与轴的2
4. 六次轴与周期平移的组合
其它6次轴同时与垂直与轴的2 其它6次轴同时与垂直与轴的2个方向的周期平移
4. 六次轴与周期平移的组合 结论
1. 在H晶胞中，6次轴与单独一个垂直与轴的周期平移组合， 晶胞中，6 其结果有3 其结果有3种情况：
滑移对称面
② 对于n滑移面以下图表示：符号中的分角好表示此滑 移面平移操作所进行的方向
③ 对于d滑移面以下图表示：箭头方向表示d滑移面平移 操作进行的方向。D滑移面具有方向性