上海市交大附中2020届高三下学期期中考试数学试题 Word版含解析 (1)
2020届上海市上海大学附属中学高三下学期三模(考前评估)数学试题
2020届上海市上海大学附属中学高三下学期三模（考前评估）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合{0,1,2}M =，{1,}N a =，若M N ⊇，则实数a =________2．函数tan()26y x ππ=+的最小正周期为________ 3．计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 4．不等式232x x >-的解集是________ 5．已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______6．若双曲线的渐近线方程为2y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为________7．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，则一小时内没有一台机床需要维护的概率为________8．二项式15展开式中的常数项是______． 9．已知sin t α=，其中2[,]63ππα∈-，则arccos t 的取值集合为________ 10．已知直线:2l y ax =+和直线1:210l x ay --=以及(1,4)A 、(3,1)B 两点，当直线l 与线段AB 相交，且与直线1l 平行时，实数a 的值为________11．若12{,}{2,1,,,2}23A αβ=⊆--，且函数()f x x α=与()g x x β=的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合A 有________个12．设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________二、单选题13．已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要14．已知0a b >>，若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，则（ ） A ．25a =- B ．5a =- C ．25b =- D ．5b =-15．若一个正三棱柱的主视图是如图所示的两个并列的正方形，则其侧面积．．．等于（ ）A ．BC ．6D ．216．已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是A ．32B ．23C ．2D ．1三、解答题17．如图，正四棱锥P ABCD -中.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若2AB =，3P ABCD V -=，求二面角A PB C --的余弦值. 18．已知等差数列{}n a 中，25a =，514a =，数列{}n b 的前n 项和21n n S b =-. （1）求n a ，n b ；（2）若n n n c a b =+，求{}n c 的前n 项和n T .19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．已知椭圆2221x y a+=（1a >）的一个短轴顶点(0,1)B ，直线l 与椭圆交于P 、Q 两点.（1）若点B 与椭圆的两个焦点构成等腰直角三角形，求椭圆方程；（2）设M 为椭圆上的动点，若总有||2BM ≤，求a 的取值范围；（3）若2a =，BPQ 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程.21．令{}()()()()max (),()()()()f x f x g x H x f x g x g x f x g x ≥⎧==⎨<⎩（x ∈R ）.（1）若2()12f x x =-，2()2g x x x =-，试写出()H x 的解析式并求()H x 的最小值；（2）已知()sin f x x =，()cos g x x =，令()max{(),()}H x f x g x =，试探讨函数()H x 的基本性质（不需证明）；（3）已知定义在R 上的函数()f x 是单调递增函数，()g x 是周期函数，()h x 是单调递减函数，求证：()max{(),()}G x H x h x =是单调递增函数的充要条件：对任意的x ∈R ，()()f x g x ≥，()()f x h x ≥.参考答案1．0，2【分析】利用子集的定义即可求出a 的值.【详解】集合{0,1,2}M =，{1,}N a =，若M N ⊇，则a M ∈且1a ≠，所以0a =或2，故答案为：0，2【点睛】本题主要考查了子集的定义，涉及元素的互异性，属于基础题.2．2【分析】利用()tan y x ωϕ=+的最小正周期为T πω=求解即可. 【详解】因为()tan y x ωϕ=+的最小正周期为T πω=， 所以函数tan()26y x ππ=+的最小正周期为=22T ππ= 故答案为：2【点睛】 本题主要考查正切函数的周期公式，属于基础题.3．(3,)a ac【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可.【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．24,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 原不等式化为54032x x -<-，等价于()()54320x x --<，利用一元二次不等式的解法可得结果.【详解】 232x x >- 2032x x ⇔->- 45032x x -⇔>- 54032x x -⇔<- ()()54320x x ⇔--<2435x ⇔<< 故答案为：24,35⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】 本题主要考查分式不等式以及一元二次不等式的解法，属于基础题,5．【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i+-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.6．22114x y -= 【分析】根据抛物线焦点求出c =. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为2y x =±，所以2b a =，因为抛物线2y =的焦点为)，所以c = 所以，22255a b a +==，可得221,4a b ==， 所以双曲线的标准方程为22114x y -=， 故答案为：22114x y -= 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，考查了抛物线的方程与焦点，属于基础题. 7．0.42【分析】根据甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，利用独立事件和对立事件的概率求法求解.【详解】因为甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，所以一小时内没有一台机床需要维护的概率为()()10.410.30.42-⨯-=, 故答案为：0.42【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于基础题.8．5005【分析】写出二项式15展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，然后代入通项即可求出该二项式展开式中的常数项.【详解】二项式15展开式的通项为()5155615151k k k k k k C C x --⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 令5506k -=，得6k =，因此，该二项式展开式中的常数项为()661515005C ⋅-=. 故答案为：5005.【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的求解，一般利用二项展开式通项中x 的指数为零来求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】 利用正弦函数的性质求得112t -≤≤，再利用反余弦函数的性质可得结果. 【详解】 由2[,]63ππα∈-，即263a ππ-≤≤， 即1sin 12a -≤≤，即112t -≤≤， 由112t -≤≤，可得20arccos 3t π≤≤， 即arccos t 的取值集合为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查正弦函数的性质求与反余弦函数的性质及其应用，属于基础题.10【分析】根据直线平行求得a =再由直线l 与线段AB 相交求出直线斜率的取值范围，从而可得结果．【详解】 因为直线:2l y ax =+和直线1:210l x ay --=平行，所以21202a a -=⇒=±， 又由直线:2l y ax =+可得直线l 过(0,2)点， 42102PA K -=-=，123130PB K -=-=- 因为当直线l 与线段AB 相交，所以1[3a ∈-，2]，综上可得a =【点睛】 本题主要考查直线平行的性质，考查了斜率公式的应用，属于基础题.11．4【分析】列举出所有两个不同函数的交点个数，筛选出符合题意的函数即可得结果.【详解】2y x 图象与1y x -=、12y x =、23y x =、2yx 的图象有1个、1个，2个、2个交点； 1y x -=图象与12y x =、23y x =、2y x 的图象有1个、1个，1个交点；12y x =图象与23y x =、2yx 的图象有2个、2个交点； 23y x =图象与2y x 的图象有3个交点，综上可得，满足函数()f x x α=与()g x x β=的图象恰有两个交点的集合有4个：{}21212,,2,2,,,,23232A A A A ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-=-==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭， 故答案为：4【点睛】本题主要考查幂函数的图象与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 12．-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40- 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题. 13．C 【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解. 【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．D 【分析】由0a b >>，可得01ab<<，将原式变形，利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>，且12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，所以01ab<<， 可得12limn n n nn a b a b ++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5b ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用，属于基础题. 15．C 【分析】画出正三棱柱的立体图形，计算侧面积得到答案. 【详解】如图所示：画出正三棱柱的立体图形，底面棱长为2，高为1 故侧面积为：2136⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查了主视图和侧面积，属于简单题. 16．B 【解析】试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以1221322ACOACOABAB AC h S S AB h a ∆∆⋅===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 17．（1）证明见解析；（2）1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先证明PO BD ⊥，结合,BD AC ⊥利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）由3P ABCD V -=求出棱锥的高，可求得侧棱长，判定侧面的形状后可得二面角的平面角，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）因为P ABCD -是正棱锥，P ∴在面ABCD 内射影是AC 与BD 的交点O ，即PO ⊥面ABCD ，PO BD ∴⊥， 又,BD AC PO ⊥与AC 在面PAC 内相交，BD ∴⊥面PAC ；（2）21233P ABCD V PO -=⨯⨯=，PO ∴=PB ==则PAB △与PBC 为边长是2的正三角形，取PB 的中点E ，连,AE CE ， 则AE PB ⊥，CE PB ⊥，AEC ∠是二面角的平面角，1cos3AEC ∠==-，1cos 3AEC arc ⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及二面角的求解，考查了正四棱锥的性质，属于中档题. 18．（1）31n a n =-，12n n b -=；（2）2132122nn T n n =++-.【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，然后应用等差数列的通项公式列出关于首项1a 与公差d 的方程组，解出1a 与d 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式，再应用11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-⎩即可得到数列{}n b 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出{}n c 的通项公式，然后结合等差数列的求和公式，利用分组求和法可得答案． 【详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则21151524143a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， 23(1)31n a n n ∴=+-=-，*n N ∈．当1n =时，11121S b b ==-，解得11b =． 当2n 时，1121(21)n n n n n b S S b b --=-=---， 整理，得12n n b b -=，{}n b ∴是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n b -=，*n N ∈．（2）由（1），可知1(31)2n n c n -=-+， ()122313258(31)221212221n n n n n n T n S n n -+-=+++⋯+-+=+⨯-=++-，【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，等差数列与等比数列的求和公式及应用，考查了分组求和法的应用，本题属中档题．19．(1)9π(2m )；(2)少1.522m ． 【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式21122S lr r α==来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积-对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m 2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米. 考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．20．（1）2212x y +=；（2）1a <≤（3）355y x =±-和35y =-.【分析】（1）由短轴顶点(0,1)B 与椭圆的两个焦点构成等腰直角三角形，可得1,b c a ===从而可得答案；（2）设()cos ,sin M a θθ，可得2BM ()22222111sin 111a a a a θ⎛⎫=--++++ ⎪--⎝⎭，根据二次函数的性质可得答案；（3）联立直线与椭圆方程可得()()222418410k x ktx t +++-=，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）因为短轴顶点(0,1)B 与椭圆的两个焦点构成等腰直角三角形，所以1b c a ==⇒=2212x y +=.（2）设()cos ,sin M a θθ，于是()2222cos 1sin BM a θθ=+-()22222111sin 111a a a a θ⎛⎫=--++++ ⎪--⎝⎭ 因为sin 1θ=-时，有2BM =，故21111a a ≥⇒<≤- （3）设()11,P x y ，()22,Q x y ，l ：y kx t =+，()()2222241841044y kx tk x ktx t x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， ()12221228414141kt x x k t x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， BPQ 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，当且仅当0PB QB =>，0BP BQ ⋅=，代入化简后得530t +=，()214300,5k k t k k ++=⇒==±， 其中22140k t ∆=+->.即所求直线有三条，其方程为35y x =-和35y =-.【点睛】本题主要考查根据椭圆的性质求方程，考查了三角函数的有界性、二次函数的最值以及向量垂直的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于综合题.21．（1）()22212,32,1112,13x x x H x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪=-≥⎨⎪⎪--<<⎩，()y H x =的最小值是-1；（2）性质见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）分别解不等式()()f x g x ≥和()()f x g x <即可得对应x 的范围()H x 的解析式，再利用图象可求出最值；（2）作出()sin f x x =，()cos g x x =的图象，由图象可知()H x 的解析式即性质. （3）用反证法证明：假设存在0x R ∈，使得()()(){}000max ,f x g x h x <， 则()()(){}000max ,G x g x h x =，利用周期性、单调性得出()()(){}()1110max ,G x g x h x G x =≥与()G x 单调递增矛盾，即可证明原命题成立.【详解】（1）由22()12()2f x x g x x x -≥⇒-≥，即23210x x --≤ 解得：13x ≤-或1≥x ，由22()12()2f x x g x x x -<⇒-<，即23210x x --> 解得：113-<<x ， 所以()22212,32,1112,13x x x H x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪=-≥⎨⎪⎪--<<⎩，()H x 图象如图：由图知()y H x =的最小值是-1.（2）()sin f x x =，()cos g x x =，图象如下图：3cos ,44()5sin ,44x x H x x x ππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩①当2x k =π， 或()122x k k Z ππ=+∈时，()H x 取得最大值1； 当524x k ππ=+，()H x取最小值为2-. ②奇偶性：非奇非偶函数 ③零点：2x k ππ=+，()322x k k Z ππ=+∈ ④最小正周期：2π ⑤单调递减区间：2,24k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，()52,224k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ⑥单调递增区间：2,242k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，52,22()4k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）充分性：显然； 证明必要性：()()(){}()()(){}max ,max ,,G x H x h x f x g x h x ==，（用反证法），若存在0x R ∈，使得()()(){}000max ,f x g x h x <，则()()(){}000max ,G x g x h x =，设()g x 的周期为T ，取()010x T x T -=>，则()()()100f x f x T f x =-<，()()()100g x g x T g x =-=，()()()100h x h x T h x =->，()()(){}000max ,f x g x h x <，∴()()(){}()(){}10011max ,max ,f x g x h x g x h x <≤，∴()()(){}()1110max ,G x g x h x G x =≥与()G x 单调递增矛盾. ∴原结论成立. 【点睛】本题主要考查了新定义函数，作出两个函数图象，数形结合是解决问题的好办法，当命题直接证明不容易，可以考虑反证法，属于难题.。
四校八大名校卷 2020-2021学年上海市交大附中高一下学期期中考数学卷 带解析
上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：侯磊 审核：杨逸峰一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点()512P -，，则=αtan ．2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________. 3.若53sin =α，且)2,0(πα∈，则tan α= ．4.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin 22___________．5.把ααcos 3sin -化为)),(,0)(sin(ππϕϕα-∈>+A A 其中的形式：_________．6.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx y 的最小正周期为___________. 7.已知：32)3sin(-=+πθ，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+ ”，解得的结果为426+ . 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是____________.12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度 14.方程2tan =x 的解集是（ ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π 15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2千米，河宽AC为1千米.根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．（1）模型建立：我们假设：1. B、D之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A、D之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；∠=；则θ的取值范围为_____________．可以将该项工程的总费用如果设ADCθy表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y最低．（2）模型求解：请求解上述模型．AC D B19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（1）若8-=a ，求C tan 的值；（2）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值.20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． (1) 用m 与α表示点A 的横坐标； (2) 将m 表示为α的函数；(3) 求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设()y f x =是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()fx x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数．（1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由.上海交通大学附属中学2020-2021学年度第二学期高一数学期中试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：侯磊 审核：杨逸峰一、填空题（本题满分54分，其中1~6每题4分，7~12每题5分）1.【答案】512-2.计算：=+)31arctan 21tan(arctan ____________.【解析】1111tan arctan tan arctan 112323tan arctan arctan 111112311tan arctan tan arctan 2323⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.【答案】434.已知2tan =α，则=+αααcos sin sin22___________．【解析】2222222sin sin cos 2tan tan 2sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα+++===++. 5.【答案】)3sin(2πα-6.【答案】π7.已知：2sin(3)3θπ+=-，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=______.【解析】由2sin(3)3θπ+=-得2sin 3θ=，所以原式tan cos sin 2(tan )(cos )3sin 2cot sin tan θθθθθθθθθ-⋅⋅=+--==-⋅⋅.8.若54)sin(=+βα，43)sin(=-βα，则=βαtan tan ． 【解析】由题意得3sin cos cos sin ,sin cos cos sin 544αβαβαβαβ+=-=， 解得1sin cos ,cos 31sin 4040αβαβ==，所以tan sin cos 31tan cos sin ααββαβ==. 9.小瑗在解决问题“已知锐角α与锐角β的值，求βα+的正弦值”时误将两角和的正弦公式错记成了“βαβαβαsin sin cos cos )sin(+=+”，解得的结果为426+. 发现恰好与标准答案一致. 那么原题中的锐角α的值为__________（写出所有的可能值）. 【解析】由题意得sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=+， 所以sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=-， 所以(sin cos )(sin cos )0ααββ--=，又α和β为锐角，所以4πα=或4πβ=，若4πα=，满足题意； 若4πβ=，则6257sin sin sin441212πππα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以6πα=或3π， 综上，原题中的锐角α的值为6π或4π或3π. 10.如右图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长. 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为_________米. 【解析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设0,60BAQ ABQ αα∠=∠=-， 则033sin sin(60)AB AP PB αα=+=+- 0001166sin sin(60)1[cos(260)cos60]2ααα≥=⋅---2612112≥=-，当且仅当030α=时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米.11.设对任意]2,0[πθ∈，不等式046cos 3sin 2<--+m m θθ恒成立，则实数m 的范围是__________.【解析】由题意得21cos3cos 640m m θθ-+--<对任意20,πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以2cos 373cos 24cos 2cos 2m θθθθ+>=-++--恒成立， 令[]cos 22,1t θ=-∈--，因为7()4f t t t=++在[2,1]--上严格减， 所以max3()2f t =-，所以332m >-，故21->m .12.如右图，已知等腰三角形ABC 的顶角7π=A ，D 是腰AB 上一点. 若1=AD ，2=CD ，则=BC ____________.【解析】设ACD α∠=，则7sin 21sin πα=BCD ∆中，ααπ3sin )7sin(+=CD BC ，按计算器得=BC 1.证明；因为7A π=，设14πα=，则2A α=，且72πα=，即342παα=-，所以ααπα4cos )42sin(3sin =-=（1），设,,AD m AC n BC a ===，则m CD 2=， 在ACD ∆中由余弦定理得22222)2cos 2cos 22n m m n mn mnαα-=+-⇒=（2）在等腰三角形ABC 中，na AC BC221sin ==α （3）将（1）整理为()22321sin 213sin 4sin ααα--=-，展开得4328sin 4sin 8sin 3sin 10αααα+--+=，()32(sin 1)8sin 4sin 10ααα+-+=，所以24sin cos 24sin10ααα--+=，将（2），（3）代入上式得()222220()0am an ma mn m a am n m a --+=⇒-+=⇒=，即AD BC =. 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分.13.一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是 （ A ） A.2弧度B.3弧度C.4弧度D.5弧度【解析】设半径为r ，圆心角为θ，弧长为l ， 由题意得224lr l r =⎧⎨+=⎩，解得21l r =⎧⎨=⎩，所以2lr θ==，故选A.14.方程2tan =x 的解集是（ C ）A.},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=πB. },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=πC.},2arctan |{Z k k x x ∈+=πD. },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π15.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是 （ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】根据等分象限法，得3α的终边在第一、二、三象限，故选D. 16.已知定义域是全体实数的函数()y f x =满足(2)()f x f x π+=，且()g x =()()2f x f x +-，()()()2f x f x h x --=，现定义函数(),()y p x y q x ==为：()p x =()()()()()()2cos 22sin 22,(),0()0()22g x g x h x h x k x k x x x q x k x k x ππππππππ-+++⎧⎧≠+≠⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩其中k Z ∈，那么下列关于(),()y p x y q x ==叙述正确的是（ A ）A.都是偶函数且周期为πB.都是奇函数且周期为πC.都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D.都不是周期函数【解析】因为()()()2f x f x g x +-=，所以()()()()2f x f xg x g x -+-==， 且()()()()()()22f x f x f x f xg x g x ππππππ++---+-++===-， 即()g x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2cos()2cos g x g x g x g x p x x xππ---+---==-()()2cos g x g x xπ-+=()p x =，且()(2)()2cos()g x g x p x x ππππ+-++=+()()()2cos g x g x p x x π+-==-，当2x k ππ=+时，()0p x =，所以()y p x =是偶函数且周期为π；同理，()()()2f x f x h x --=，所以()()()()2f x f x h x h x ---==-，且()()()()()()22f x f x f x f x h x h x ππππππ+------++===-，即()h x 的一个周期为2π， 当2x k ππ≠+时，()()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+-+--==--()()()()()2sin 22sin 2h x h x h x h x q x x xππ---+===，且()(2)()()()()2sin 2()2sin 2h x h x h x h x q x q x x xπππππ++++++===+，当2x k ππ=+时，()0q x =，所以()y q x =是偶函数且周期为π；综上所述，选A.三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=，（1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．【解析】（1）因为，所以 因为，所以，所以．5cos 8αα+=4sin()65πα+=(0,)3πα∈(,)662πππα+∈3cos()65πα+=（2,所以，因为，所以，所以所以sin cos cos sin 636310ππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，一条河的两岸相互平行. 两岸边各有一个小镇A 与B ，它们的直线距离为2千米，河宽AC 为1千米.根据规划需在线段BC 上选择一个点D ，沿AD 铺设水下电缆，沿BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低． （1）模型建立：我们假设：1. B 、D 之间的地下电缆沿________铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿________铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为_____________． 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为_____________．因此，原实际问题的数学模型为：求___________，该项工程的总费用y 最低．2ββ+=sin()32πβ+=(,)62ππβ∈5(,)326πππβ+∈cos()3πβ+=cos()sin[()]sin[()()]263πππαβαβαβ+=++=+++cos()αβ+=（2）模型求解：请求解上述模型．【解析】（1）由题设cot CD θ=，1sin AD θ=，223CB AB AC =-=，3cot DB θ=- 所以θθθθsin cos 23)cot 3(sin 212-+=-+=⋅+=BD AD y （]2,6[ππθ∈）1. B 、D 之间的地下电缆沿线段BD （直线）铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；2. A 、D 之间的水下电缆沿线段AD （直线）铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设ADC θ∠=；则θ的取值范围为]2,6[ππθ∈. 可以将该项工程的总费用y 表示为θ的函数，这个函数的解析式为θθsin cos 23-+=y .因此，原实际问题的数学模型为：求θ，该项工程的总费用y 最低. （2）设tan2t θ=(tan151)t ︒≤≤，则22sin 1t t θ=+，22tan 1tt θ=-代入（1）的结论，得ACDB222121123sin cos 23t t t t y ++--+=-+=θθ32321232122322≥++=+-++=tt t t t当且仅当3122t t=时取等号，即t =时，32min =y再由tan 2t θ=得3πθ=答：当3πθ=时，工程总费用y 最低为32.19.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）已知三角形ABC 中，A tan 、B tan 是方程042=++ax x 的两个实数根.（3）若8-=a ，求C tan 的值；（4）求C tan 的最小值，并指出此时对应的实数a 的值. 【解析】（1）8tan tan =-=+a B A ，4tan tan =B A .所以38418tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan =--=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π（2）因为方程有两个实数根，所以0162≥-=∆a ，又因为4tan tan =B A ，所以A tan 与B tan 同号，而三角形中不可能有两个钝角. 所以A tan 与B tan 都大于0，所以0tan tan >-=+a B A . 解得4-≤a .34341tan tan 1tan tan )tan())(tan(tan ≥-=---=-+-=+-=+-=a a B A B A B A B A C π当且仅当4-=a ，即2tan tan ==B A 时，C tan 取到最小值为34. 20.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分） 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中D C B A ,,,是抛物线2x y =上的四个不同的点，且BD AC ⊥（点A 、B 在第二象限，且点A 在点B 的左上方）．AC 、BD 交于点1(0,)4F ．点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．设线段AF 的长为m ． （1）用m 与α表示点A 的横坐标； （2）将m 表示为α的函数；（3）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？ 【解析】（1）作AH 垂直y 轴于H ，则αsin m AH =，所以点A 的纵坐标为αsin m -（2）点)41cos ,sin (+-ααm m A所以)cos 41()sin (2ααm m +=-，即041cos sin 22=--ααm m ，解得αα2sin 21cos ±=m ，由于0m ＞， 所以))2,0((sin 21cos 2πααα∈+=m（3）同理αα2cos 2sin 1-=BF ，αα2cos 2sin 1+=DF ，αα2sin 2cos 1-=CF “蝴蝶形图案”的面积：))2,0(()cos (sin 4cos sin 121212πααααα∈-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令]21,0(,cos sin ∈=t t αα, 所以),2[1+∞∈t则161211414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S ，所以21=t ，即4πα=时，“蝴蝶形图案”的面积取最大值为21. 21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 设是定义在D 上的函数，若对任何实数()y f x =(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义域上的C 函数． （1）判断函数1,(,0)y x x=∈-∞是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （2）函数3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数，求实数M 的最小值；（3）若()y f x =是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为T ．试判断()y f x =是否可能为定义域上的C 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数()y f x =；如果不可能，请说明理由. 【解析】（1）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下(举反例)： 取13x =-，21x =-，12α=， 则()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即()()()()()121211f x x f x f x αααα+->+-， 所以()()210f x x x=<不是C 函数； （2）0M =时，对任何实数(0,1)α∈以及(0,)+∞中的任意两数1x 、2x ，有33311x x αα<，33311(1)(1)x x αα-<-，所以()33322223312112122(1)3(1)3(1)(1)x x x x x x x x αααααααα+-=+-+-+-3333331212(1)(1)x x x x αααα<+-<+-即()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-， 所以3,(,)y x x M =∈+∞是定义域上的C 函数； 而0M <时，取12M x =，20x =，12α=， 则311(1)022264M M f ⎛⎫⋅+-⋅= ⎪⎝⎭，311()(1)(0)22216M M f f +-=，由于0M <，所以336416M M >，故3,(,)y x x M =∈+∞不是定义域上的C 函数；综上，实数M 的最小值为0. （3）假设()y f x =是R 上的C 函数，若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. （i ）若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-，那么()()()()()()121211f n f x x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾； （ii ）若()()f m f n >， 记1x n =，2x n T =-，1n mTα-=-，同理也可得到矛盾； 所以()f x 在[)0,T 上是常数函数， 又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾.f x不是R上的C函数.所以()。
上海市交通大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
上海市交通大学附属中学【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角． 2．半径为1的扇形面积也为1，则其圆心角的弧度数是________3．函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_________.4．已知角α满足3cos 5α=-，其终边上有一点(,)P x y ，若4y =，则x =________ 5．三角方程1sin 3x =满足[0,2]x π的解构成的解集为________（用反正弦表示） 6．在△ABC中，若b =2a =，且三角形有解，则A 的弧度数的取值范围是________7．若2sin 1cos αα=+，则tan α=________8．将函数()3cos(2)4f x x π=-的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的对称轴方程为x =________9．ABC ∆中，5AB =，4BC =，3CA =，D 为AB 边上的中点，则ABC ∆与BCD ∆的外接圆的面积之比为_______10．下列是有关△ABC 的几个命题：① 若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 是锐角三角形；② 若cos cos a A b B =，则△ABC 是等腰三角形；③ 若cos cos a B b A b +=，则△ABC 是等腰三角形；④ 若cos sin A B =，则△ABC 是直角三角形，其中所有正确命题的序号是________ 11．已知函数sin cos y a x x =+，[0,]2x π∈，其最小值为a ，则实数a 的取值范围是________12．设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于________二、单选题13．△ABC 中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的（ ）条件A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要 14．已知函数[]()sin sin3,0,2f x x x x π=-∈，则()f x 的所有零点之和等于A ．8πB ．7πC ．6πD ．5π 15．在ABC ∆中，()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰或直角三角形 16．已知函数2()cos()(1)sin()33f x x a x a ππ=+-+，()2xg x =，若[()]0f g x ≥，对(,0]x ∈-∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1]-∞B ．1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)-+∞三、解答题17．设,(0,)αβπ∈，且5sin()13αβ+=，tan()324απ+=. （Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求cos β的值.18．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，当[0,]2x π∈时，求函数()()()h x f x g x =+的值域.19．如图，已知O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，1BC =，点P 是半圆上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧.（1）若POB θ∠=，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数并写出定义域； （2）求出四边形OPDC 面积的最大值，并写出面积取得最大值时的θ的值.20．若函数()f x 满足()32f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭且()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”．（1）试判断()4sin 3f x x =是否为“M 函数”，并说明理由； （2）函数()f x 为“M 函数”，且当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； （3）在(2)的条件下，当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()(f x a a =为常数)有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()S k ．21．若函数()sin()f x x ωϕ=+，0>ω，[0,]2πϕ∈，()()f x f x +-的最大值为1. （1）求ϕ的值；（2）若函数()f x 在[1,2]内没有对称轴，求ω的取值范围；（3）若函数()f x 满足()(12)f x f x =+恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求ω的最小值.参考答案1．第一或第三【分析】根据α所在象限写出范围,然后求出2α的范围即可判断所在象限． 【详解】因为α是第一象限的角,所以22,2k k k Z ππαπ<<+∈,即有,24k k k Z απππ<<+∈, 当k 为偶数时,2α是第一象限的角；当k 为奇数时,2α是第三象限的角；故答案为第一或第三．【点睛】本题主要考查象限角的集合．2．2【分析】根据扇形面积公式求解.【详解】 因为扇形面积221111 2.22S r ααα=∴=⨯∴=【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.3．π【分析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可.【详解】1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=,故最小正周期是22ππ=.故答案为：π【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.4．-3【分析】根据三角函数定义求解.由三角函数定义得3cos 3.5x x r α=∴-==- 【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本求解能力，属基础题.5．1arcsin3或1arcsin 3π- 【解析】【分析】根据反三角函数范围求解.【详解】 因为1sin 3x =，[]0,2x π∈，所以[]0,x π∈ 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由1sin 3x =得1x arcsin 3=； 当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由1sin 3x =得()11sin π,πarcsin 33x x -=-=,1 arcsin 3x π=-； 【点睛】本题考查反三角函数，考查基本转化与求解能力，属基础题.6．(0,]4π【分析】根据正弦定理列式求解.【详解】由正弦定理得2,sin (0,]sin sin sin sin 22a b A B A B A B =∴==∈, 因为a b <，所以ππ(0,)(0,]24A A ∈∴∈.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本转化与求解能力，属基础题.7．43或0 【解析】根据同角三角函数平方关系求解.【详解】因为2sin 1cos αα=+，22sin cos 1αα+=，所以25sin 4?sin 0αα-=，因此sin 0α=或4sin .5α=当sin 0α=时，cos 1tan 0αα=-=，；当4sin 5α=时，34cos tan .43αα==， 综上4tan 3α=或0. 【点睛】本题考查同角三角函数平方关系，考查基本转化与求解能力，属基础题.8．11224k x ππ=+，k ∈Z 【分析】先根据图象变换得()g x ，再根据余弦函数性质求解.【详解】将函数()3cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位长度后，得到()113cos 23cos 23412g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以由11212x k ππ-=，k Z ∈得对称轴方程为11224k x ππ=+，k Z ∈ 【点睛】本题考查三角函数图象变换以及余弦函数性质，考查基本转化与求解能力，属中档题. 9．9:16【解析】【分析】根据正弦定理求三角形外接圆直径，即可得外接圆的面积之比.【详解】因为5AB =，4BC =，3CA =，所以△ABC 为直角三角形，因此43sin ,55A sinB ==,从而△ACD 与 △BCD 的外接圆的直径分别为,sin CD CD A sinB，因此面积之比为22sin 916.sin B A ：：=本题考查正弦定理，考查基本转化与求解能力，属基础题.10．①③【分析】根据正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式进行判断选择.【详解】因为△ABC 中tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以若tan tan tan 0A B C ++>，则tan tan tan 0A B C >,因此必有tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>,即△ABC 是锐角三角形； 若cos cos a A b B =，则cos cos sinA A sinB B =， 22,A B sin A sin B ==或A B 2π+=; 若cos cos a B b A b +=，则cos cos sinA B sinB A sinB +=， ()sin A B sinB +=，sinC sinB =，C B =,所以△ABC 是等腰三角形；若cos sin A B =，则sin sin 2A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以2A B π-=或2A B ππ-+=，即2A B π+=或2A B π-+=；综上正确命题的序号是①③.【点睛】本题考查正弦定理、三角形内角正切关系以及诱导公式，考查基本转化与判断化简能力，属中档题.11．(,1]-∞【解析】【分析】将函数最值问题转化为对应不等式恒成立问题，再变量分离转化为新函数最值问题.【详解】因为函数sin cos y a x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其最小值为a ，所以sin cos a x x a +≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立且sin cos a x x a +=在[0,2x π∈]上有解.当2x π=时，sin cos a x x a a +=≥,此时a R ∈, 当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，tan 142cosx x a sinx π⎛⎫≤=+ ⎪-⎝⎭,因为,4242x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以tan 1142x a π⎛⎫+≥≤ ⎪⎝⎭，, 而1a ≤时sin cos a x x a +=在[0,2x π∈]上恒有解. 综上实数a 的取值范围是1a ≤.【点睛】本题考查三角恒等变换以及正切函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题. 12．4π 【解析】由三角函数的性质可知111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+， 所以121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-， 所以122,,24k k k Z ππαπαπ=-+=-+∈，所以12min |10|4ππαα--=.13．A【分析】 根据角的范围分类讨论,再结合正弦函数、余弦函数单调性以及正弦定理进行推证.【详解】若A B ，均为锐角，则cos cos sin sin A B A B A B >⇔<⇔<,若A B ，不均为锐角，则cos cos sin sin 2A B B A b a A B π>⇒≥>⇒>⇒<, 而sin sin cos cos A B b a B A A B ⇒⇒>⇒>，综上“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的充要条件.选A.【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数单调性以及正弦定理，考查综合分析论证能力，属中档题. 14．B【分析】根据函数的零点的定义，令()0f x =，得sin sin30x x -=，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.【详解】由已知函数[]()sin sin3,0,2f x x x x π=-∈，令()0f x =，即sin sin30x x -=，即2sin sin3sin cos 2cos sin 2sin cos 22sin cos x x x x x x x x x x ==+=+，即2sin (cos 22cos 1)0x x x +-=，解得sin 0x =或2cos 22cos 10x x +-=，当[]sin 0,0,2x x π=∈时，0x =或x π=或2x π=；当2cos 22cos 10x x +-=时，即222cos 2cos 20x x +-=，解得cos 2x =±， 又由[]0,2x π∈，解得4x π=或34π或54π或74π， 所以函数()f x 的所有零点之和为3570274444πππππππ++++++=，故选B. 【点睛】 本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15．C【分析】由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，化为sin 2sin 2B A =， 由a b A B ≠⇒≠，进而可得结果.【详解】()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--,()()()()2222sin sin a b A B a b A B ∴+-=-+化为22sin cos cos sin b A B a A B =，由正弦定理可得22sin sin cos sin cos sin B A B A A B =，sin cos sin cos B B A A =， sin 2sin 2B A =，,a b A B ≠∴≠，22,2B A A B ππ∴=-+=，ABC ∆是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 16．B 【解析】 【分析】先根据指数函数性质化简不等式，再根据二倍角关系转化为对应二次不等式，最后根据二次函数性质求解. 【详解】因为(],0x ∈-∞时，(]20,1x∈，所以()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦，对(],0x ∈-∞恒成立，等价于()0f x ≥，对(]0,1x ∈恒成立，令t sin ?0,32x π⎛⎛⎫=∈⎪ ⎝⎭⎝⎦,则等价于()212t 1t 00,2a a x 对恒成立⎛-+-+≥∈ ⎝⎦,因此()()3120100121042a a a a -⨯+-⨯+≥-⨯+-⨯+≥，，所以1a ≥，选B. 【点睛】本题考查指数函数性质、二倍角余弦公式以及二次函数性质，考查综合转化与求解能力，属较难题. 17．（1）3cos 5α=（2）16cos 65β=-【分析】（1）法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得1tan tan22α=，在根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解； 法二：令24απθ=+，求得tan 3θ=，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解；（2）由三角函数的基本关系式，求得4sin 5α=，再由两角和的正弦、余弦函数的公式，求得()sin αβ+，()cos αβ+的值，进而可求解. 【详解】（1）法一：tan tan1244tan tan 224421tan tan 244αππααππαππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-== ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 22222222cos sin 1tan 3222cos cos sin 225cos sin 1tan 222ααααααααα-∴=-===++ 法二：令24απθ=+，则tan 3θ=，2222sin cos 2tan 3cos sin sin22sin cos 2sin cos tan 15πθθθααθθθθθθ⎛⎫=+===== ⎪++⎝⎭.（2）()0,απ∈，sin 0α∴>，4sin 5α==()5sin sin 13αβα+=<，0β>，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()cos 0αβ∴+<. ()12cos 13αβ∴+==-. ()()()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565βαβααβααβα∴=+-=+++=-⨯+⨯=- 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、倍角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18．（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[ 【分析】（1）由周期求出ω，由223k πφππ⨯+=+，k ∈Z ，结合范围2πφ<，求出φ的值，由函数的图象过（0A ，可得函数f （x ）的解析式；（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g （x ）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】 (1)5263T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭22πωπ∴==∵222,33k k k Z ππφππφπ⨯+=+∴=+∈，||23ππφφ<∴=又 ，又sin 20023A A A π⎛⎫⨯+=>∴= ⎪⎝⎭，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.(2)依题意()2sin2g x x =h ()12sin 22sin23sin2sin2cos2322x x x x x x x π⎫⎛⎫=++=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，26x π⎛⎫⎡∴+∈ ⎪⎣⎝⎭， ()h x ∴的值域为⎡⎣.【点睛】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，考查了三角函数化简问题，考查了正弦函数的值域，属于中档题． 19．解： (1)在POC ∆中，由余弦定理，得2222cos PC OP OC OP OC θ=+-⋅=54cos θ-∴)sin 54cos 4OPCPCDy SSθθ=+=+-=2sin 34πθ⎛⎫-+⎪⎝⎭． (2)当32ππθ-=,即56πθ=时,max 2y =． 答： 四边形OPDC面积的最大值为2【解析】本试题主要是考查了等差数列的定义和通项公式的求解和运用，以及等比数列的性质的综合运用问题，和错位相减法求解数列和的一道综合试题． 20．（1）不是“M 函数”；（2）,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()()()()222341,(01)23341,42341,12k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪++<<⎪⎪⎩.【分析】()1由不满足()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()4sin 3f x x =不是“M 函数”，()2可得函数()f x 的周期32T π=，()()2f x f x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，①当33,242x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，根据图象可得：①当0a ≤<或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π②当a =()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．③当12a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π 即可得当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ， 【详解】()()41sin3f x x =不是“M 函数”． 44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫∴+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4sin3f x x ∴=不是“M 函数”． ()2函数()f x 满足()32f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的周期32T π=()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2f x f x x R π⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭， ①当33,242x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()333,22224333,2242cos x k k x k f x sin x k k x k ππππππππππ⎧⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象为：①当02a ≤<或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π.②当a =()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．③1a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π ∴当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ，则()()()()222341,(01)223341,423411k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪++<<⎪⎪⎩． 【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题． 21．（1）6π；（2）2(0,)(,)633πππ；（3）56π. 【分析】（1）先化简()()f x f x +-，再求最大值，最后根据最大值为1得结果，（2）根据函数单调性列式求解，（3）根据条件解得π,6k k ω*=∈N ，再根据零点确定最小值. 【详解】（1）()()()()sin sin 2f x f x x x cos xsin ωϕωϕωϕ+-=++-+=, 因为0ω>，0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22cos xsin sin ωϕϕ≤， 因为()()f x f x +-的最大值为1，所以21sin ϕ=， 因为0,26，所以ππϕϕ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦； （2）因为函数()f x 在[]1,2内没有对称轴，所以()()11,21f f -,()f x 在[]1,2上单调， 所以26k πππω+<+,3 226k πππω+>+,k Z ∈，即2 ,323k k k Z ππππω+<<+∈， 因为0ω>，所以当1k =-时06πω<<; 当0k =时233ππω<<; 即ω的取值范围为20,,633πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （3）因为()()12f x f x =+，所以ππsin()sin(12)66x x ωωω+=++，ππ2π1266x k x ωωω∴++=++或ππ12π2π66x x k k Z ωωω++++=+∈，因为()()12f x f x =+恒成立，所以π,6k k ω*=∈N 由()0f x =得m ,?6x m Z πωπ+=∈，k 6m 1,?x m Z =-∈, 又因为在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点， 所以m 1,k 5==，ω的最小值为56π. 【点睛】本题考查三角函数最值、对称轴、零点等性质，考查综合转化与求解能力，属较难题.。
上海市2020届交大附中高一下学期数学4月份期中考试卷
交大附中高一期中数学试卷一. 填空题1. 若52arcsin 243x π-=（），则x =2. 在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617a =，且3a 、11a 、43a 成等比数列，则d =3. 已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=4. 前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是5. 在△ABC 中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是= 6. 已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若48S =，824S =，则16S = 7. 已知函数()3sin 4cos f x x x =+，12,[0,]x x π∈，则12()()f x f x -的最大值是 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，ABC ∠平分线交AC 于点D ，且22BD =，则4a c +的最小值为9. 已知数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-，数列{||}n a 的前n 项和n T ，则nT n的最小值是 10. 在等差数列{}n a 中，若10100S =，100910S =，110S = 11. 设函数|sin |0()20xx x f x x <⎧=⎨≥⎩，函数2lg()0()0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩，则方程()()f x g x =根的 数量为 个12. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且7362n n S n T n +=+，则使得 2kka b 为整数的正整数k 有 个 13. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为n S ，若数列{}n S 也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为14. 若等差数列{}n a 满足22120110a a +≤，则201202203401M a a a a =++++L 的最大值为二. 选择题15. 已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +的值为（ ） A. 12- B. 32- C. 12D. 3216. △ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若6a =，23b =，B 、A 、C 成等差数列，则B =（ ） A.6π B. 56π C. 6π或56π D. 23π17. 若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为(0)d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. 22{}n n a b - D. {}n n a b ⋅18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 不确定 19. 已知函数()2tan()23f x x ππ=-+，下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的定义城是1{|2,}3x x k k ≠+∈ZB. 函数()f x 图象与直线123x k =+，k ∈Z 没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是51(2,2)33k k -++，k ∈ZD. 函数()f x 的周期是220. 函数cos(2)3y x π=+，[0,]2x π∈的值域为（ ）A. [0,1]B. 1[1,]2-C. 31[]2D. 11[,]22-21. 函数sin y x =，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. arcsin y x =，[1,1]x ∈-B. arcsin y x =-，[1,1]x ∈-C. arcsin y x π=+，[1,1]x ∈-D. arcsin y x π=-，[1,1]x ∈- 22. 在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2244S b c =+-，2a =，则△ABC 的外接 圆的面积为（ ） A.4π B. 2πC. 2πD. 4π 23. 已知曲线1:cos C y x =，22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是（ ）A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个 单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个 单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个 单位，得到曲线2C24. 已知()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，02πϕ<<）的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x ∈R ，使得对于任意的x 都有12()()()f x f x f x ≤≤，且12||x x -的最小值为2π，则ϕ 等于（ ） A.12π B. 6π C. 4πD. 3π25. 若等比数列{}n a 的前n 项和3(2)n n S m =+，则22212n a a a +++=L （ ） A. 413n - B. 41n - C. 3(41)n - D. 无法确定26. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1{}nS 的前n 项和为（ ） A.2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 2(1)nn +27. 已知函数()f x 是定义在R 上的单调递减函数，且()f x 为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580a >，则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++L 的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负 28. 已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为11x π=，则函数()sin cos g x x a x =-的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π= 29. 《周碑算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，已知一丈为十尺，一尺为十寸．问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 30. 已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T =（ ）A.1517 B. 2532C. 1D. 231. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在m *∈N 满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则 数列{}n a 的公比为（ ） A.2 B. 2 C. 22 D. 432. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若120a a +>，则130a a +> B. 若130a a +>，则120a a +> C. 若10a >，则20210S > D. 若10a >，则20200S >33. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：① 01q <<；② 2019202110a a ->；③ 2019T 是数列{}n T 中的最大项；④ 使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④ 34. 对于无穷数列{}n a ，给出下列命题：① 若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则数列{}n a 是常数列； ② 若等差数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列； ③ 若等比数列{}n a 满足||2020n a ≤，则数列{}n a 是常数列；④ 若各项为正数的等比数列{}n a 满足12020n a ≤≤，则数列{}n a 是常数列． 其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 三. 解答题35. 已知函数()(|sin ||cos |)4sin 29f x a x x x =+++，满足9()13924f π=-. （1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）是否存在正整数n ，使得()0f x =在区间[0,)4n π内恰有2020个根，若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.36. 已知数列{}n a 、{}n b ，前n 项和分别记为n S 、n T .（1）若{}n a 、{}n b 都是等差数列，且满足2n n b a n -=，4n n T S =，求30S ； （2）若{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，2n n b a n -=，11a =，求30T ；（3）数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，且满足3n ≤时，2n n b a n -=，若符合条件的数列{}n a 唯一，则在数列{}n a 、{}n b 中是否存在相等的项，即(,)k l a b k l *=∈N ，若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由.。
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．256．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．三、解答题：共70分。
上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷答案解析与点睛(18页)
上海华师大第二附中2020届高三期中考试数学试卷数学试卷一. 填空题1.已知1sin23α=，则cos α=________. 【答案】79【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得cos α的值. 【详解】217cos 12sin 12299αα=-=-⨯=， 故答案为：79. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，注意二倍角的余弦公式有3种形式，应根据半角的三角函数的形式选择合适的公式进行计算，本题属于容易题.2.双曲线2212x y -=的实轴长为________【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程以及实轴长为2a 求解即可.【详解】由2212x y -=得,22a =,故实轴长为2a =.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解,属于基础题型.3.集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N =I ，则复数z =________. 【答案】4i - 【解析】 【分析】根据{}4M N =I 可得4M Î，从而可求z .【详解】因为{}4M N =I ，故4M Î，而{}1,2,M zi =， 所以4zi =，故44z i i==-，此时{}1,2,4M =，满足{}4M N =I . 故答案为：4i -.【点睛】本题考查集合的交以及复数的除法，注意根据集合元素的确定性来解决问题，本题属于容易题. 4.在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x ＝a |＝1的图象只有一个交点，则a 的值为________＝ 【答案】12- 【解析】由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12a =-，故答案为12-. 5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________. 【答案】19【解析】 【分析】求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率. 【详解】投掷两颗均匀的骰子一次，我们用(),a b 表示两个骰子出现的点数对，则共有如下基本事件：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6， ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6， ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，所以基本事件的总数为36.设A 为事件“点数之和为5”，则A 中的基本事件如下：()()()()1,4,2,3,3,2,4,1，共4个基本事件，故()41369P A ==.故答案为：19【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数，本题属于基础题. 6.已知函数21()x f x x a+=+1()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数a =________.【答案】2- 【解析】 【分析】求出()f x 的反函数，令其与原函数相等，则可求实数a 的值.【详解】令21+=+x y x a ，则21+=+xy ay x ，所以12-=-ay x y ，故()112ax f x x --=-，因为()f x 的图象与它的反函数的图象重合，根据()()1f x f x -=，所以2112+-=+-x ax x a x ，整理得到恒等式()2222321x x ax a x a --=-+-+， 故2a =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查反函数性质及反函数的求法，注意函数与其反函数的图象关于y x =对称，求反函数的基本步骤是反解、互换，本题属于基础题.7.设1e u v ，2e u u v 为单位向量，且1e u v ，2e u u v 的夹角为π3，若123a e e =+uv u u v v ，12b e =u v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为______．【答案】52【解析】 【分析】根据向量a r 在向量b r上投影为a b b⋅r r r ，然后分别算出a b ⋅r r 和b r ，代入求得结果. 【详解】由于123a e e =+uv u u v v ，12b e u v v =，所以2b v =，21121262652a b e e e ⋅=+⋅=+⨯=u v u v u u v v v ， 的所以向量a v 在b v 方向上的投影为5cos ,2a b a a b b⋅⋅==v v v v v v . 故答案为52【点睛】本题考查了向量的基本运算和向量数量积的几何意义，熟练运用公式是解题的关键，属于基础题. 8.若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭ ． 【答案】8 【解析】试题分析：由题意222n n na C -=，322118()(1)21n n n n a n n n n -==--⋅-，∴2323222nna a a ++⋅⋅⋅+= 111118[(1)()()]2231n n -+-++--L 88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．9.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为________． 【答案】7(1,)8-- 【解析】试题分析：由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d -<<- 考点：等差数列性质10.给出下列命题:① 1y =是幂函数；② 函数2()2log xf x x=-零点有且只有1个；③2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.【答案】④ 【解析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项.【详解】对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者x ∈R . 故1y =不是幂函数，故①错误.对于②，在同一坐标系画出22,log xy y x ==的图象（如图所示）：则22,log xy y x ==图象没有公共点，故2()2log xf x x =-没有零点，故②错误.对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件， 故④正确.对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误. 故答案为：④.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度. 11.矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=，则ab =________.【答案】0的【分析】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上，求出(),P x y 在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下对应的点Q 的坐标，代入2221x y -=后整理得到的方程就是方程22421x xy y ++=，从而可求,a b 的值.【详解】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上， (),Q x y ''为在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下对应的点，则x x ay y bx y=+⎧⎨=+''⎩，因为(),Q x y ''在2221x y -=上，故()()2221x ay bx y +-+=， 整理得到()()()2222122421bx a b xy ay -+-+-=，而22421x xy y ++=，故2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以0ab =.故答案为：0.【点睛】本题考查变换的求法，注意根据对应点的坐标关系得到同一个动点满足的两个等价的曲线方程，从而根据系数关系可得参数满足的方程组，此类问题属于中档题，有一定的思维要求. 12.已知函数22(1)1y x a x a =++++-的最小值大于5，则a 的取值范围是________.【答案】12a -<或2a > 【解析】 【分析】先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，然后就32a >、1322a ≤≤、12a <分三类求()f x 的最值，最后根据最值的范围可得实数a 的取值范围. 【详解】设()22(1)1f x x a x a =++++-，故22221(1),1()1(1),1x x a a x af x x x a a x a⎧++-++≥-=⎨--+++<-⎩， 若32a >，则112a -<-，此时()f x 在(],1a -∞-上为减函数，在11,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数， 故()2min11324f x f a a ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭， 因为32a >，故21991133544242a a +->+-=>，故32a >满足条件. 若1322a ≤≤，则11122a -≤-≤， 此时()f x 在[)1,a -+∞上为增函数，在(],1a -∞-上为减函数， 故()()2min122f x f a a =-=+，令22251322a a ⎧+>⎪⎨≤≤⎪⎩，故322a <≤. 若12a <，则112a ->，此时()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在[)1,a -+∞上为增函数，故()2min1724f x f a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 令275412a a a ⎧++>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，故12a -<.综上，a的取值范围为：12a -<或2a >.故答案为：12a -<或2a >. 【点睛】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再依据函数的单调性求最值，本题属于难题.二. 选择题13.若1a b >>，01c <<，则（ ） A. c c a b <B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误， 因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b a b a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<Q lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<Q 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.14.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C. D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，1=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．15.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是( ) A. 若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥B. 若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥C. 若α∥β，m α⊆，则m ∥βD. 若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】A 【解析】 【分析】依据空间中位置关系的判定定理和性质定理逐个判断各选项中命题的真假后可得正确的选项. 【详解】对于A ，平面,αβ可能平行，故A 错；对于B ，存在平面β使得n β⊂且l αβ=I ，因为n ∥α，n ⊂平面β，故//n l ， 因为m α⊥，l α⊂，故m l ⊥，所以m n ⊥，故B 正确； 对于C ，根据面面平行的性质可知m ∥β，故C 正确；对于D ，根据线面角定义可知m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 故选：A.【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断，这类问题需根据位置关系的定义、判定定理、性质定理等来判断真假，必要时还要动态地考虑它们的位置关系，本题属于中档题.16.在ABC V 中，若 3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.D. 1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：200023263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y =时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．18.如图所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1//l l ＝l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设y EB BC CD =++，弧FG 的长为x ＝0x π<<＝＝若l 从1l 平行移动到2l ，则()y f x =的图象大致是（ ＝A. B. C. D.【答案】D 【解析】由题意可知，随着l 从1l 平行移动到2l ，y EB BC CD =++单调递增，故可排除选项B ．由题意可得等边三角形的边长为3．当x =0时，3y BC ==，此时y 最小；当x =π时，3y AB BC CA =++==y 最大；当3x π=时，如上图，则3FOG π∠=，OFG ∆为等边三角形，此时AM OH ==， 在等边AED ∆中，AE =ED =DA =1，∴()3212y EB BC CD AB BC CA AE AD =++=++-+=-⨯=．又当3x π=时，下图中的0123y =+=>．故当3x π=时，对应的点(x ,y )在图中红色连线段的下方．结合选项可得选项D 正确．选D ． 点睛：本题为根据具体情境判断函数图象大体形状的问题，由于函数的解析式不易求出，因此在解题中运用取特殊值的方法对各选项进行排除，考查几个特殊的情况，计算出相应的函数值y ，结合给出的选项可得答案．这也是解决选择题的常用方法之一．三. 解答题19.如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2AB =，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且tan θ=；（1）求证:平面ACD ⊥平面ADE ；（2）记AC x =，(x)V 表示三棱锥A CBE -的体积，求(x)V 的表达式及最大值；【答案】（1）证明见解析；（2）()V x =(02)x <<，max ()V x =【解析】 【分析】（1）可证DE ⊥平面ACD ，从而得到平面ACD ⊥平面ADE .（2）可证EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角为θ，从而可得BE =BE ⊥平面ABC ，从而()ACB V x ∆=，利用基本不等式可求(x)V 的最大值. 【详解】（1）因为ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，所以AC CB ⊥， 因为四边形DCBE 为平行四边形，故//DE CB ，所以AC DE ⊥.因为DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故DC BC ⊥，所以CD DE ⊥， 因为DC AC C =I ，故DE ⊥平面ACD ，而DE ⊂平面ADE ， 故平面ACD ⊥平面ADE .（2）因为四边形DCBE 为平行四边形，故//BE CD ，由（1）可知DC AC ⊥，DC CB ⊥，故BE AC ⊥，BE CB ⊥， 因为AC BC C =I ，故BE ⊥平面ACB ，所以EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，故EAB θ∠=.在Rt ABE ∆中，tan EAB ∠=，故BE AB ==故11()3326ACB V x BE S ∆=⨯=⨯=02x <<.由基本不等式有22422x x +-≤=，当且仅当x =故max ()V x =. 【点睛】本题考查面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，前者注意空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系转换，后者注意选择合适的顶点来计算体积，本题属于中档题.20.某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元； （1）求{}n a 的通项公式； （2）当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 【答案】（1）12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））；（2）是. 【解析】 【分析】（1）由题设可知当2n ≥时，收入n a 由两部分构成：一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项，另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第1n -项，据此可求{}n a 的通项公式. （2）利用基本不等式可得()2n a a n >≥总成立，从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【详解】（1）由题设有1a a =，223a ab =+，当2n ≥时，收入n a 由两部分构成，一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项， 另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第1n -项， 故当2n ≥时122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））. （2）当38a b ≥时，121211232332332382342n n n n n n a a b a a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥+=+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由基本不等式可有11232342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因不存在*,2n N n ∈≥，使得11213342n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立，故1123342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭总成立，所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【点睛】本题考查数列在实际问题中的应用，涉及到通项的求法、基本不等式的应用等，注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明，也可以根据通项的结构形式选择基本不等式来证明，本题属于中档题.21.已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥u u u v u u u v ，求直线l 的方程.【答案】＝＝＝2214133x y +=＝＝＝＝10x +-=或10x -=＝ 【解析】【详解】试题分析：（1）由112F B B ∆为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合222a b c =+可求22,a b ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把11F P FQ ⊥u u u r u u u r转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求试题解析：（1）112F B B ∆为等边三角形，则2222222433{{{1113a ab bc a b c b =-==⇒⇒-===椭圆C 的方程为：223314x y +=；（2）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()221{12y k x x y =-+=得()()2222214210k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+u u u r u u u r ∵11F P FQ ⊥u u u r u u u r ， ∴11·0F P FQ u u u r u u u r =， 即()()()()()2121212*********x x y y x x x x kx x +++=++++--()()()22221212271111021k k x x k x x k k -+--+++==+＝解得217k =，即7k =±， 故直线l的方程为10x +-=或10x --=.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系． 22.已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．【答案】（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-； （ⅱ）证明见解析. 【解析】【详解】（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象， 再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ， 使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．23.已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =；（1）求实数a ､b 的值；（2）若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的函数()x ϕ，设011i i n p x x x x x q -=<<<<<<=L L ，其中1x ､2x ､L ､1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式11|()()|nii i x xM ϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()x ϕ为在[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）1a =，0b =；（3）104k <<或4k >；（3）是，min 10M =. 【解析】 【分析】（1）根据()g x 在[]2,4上的单调性可得()g x 的最大值和最小值，结合已知条件可求,a b 的值.（2）不等式2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 0k k ->，由后者可以得到2log 2k >，从而可求k 的取值范围.（3）对任意的[]0,4上的划分，必定存在k *∈N ，使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤=L L ，从而可得()()()11|()()|042nii k i f x f xf f f x -=-=+-∑，故可得11|()()|ni i i f x f x -=-∑的最大值，从而可判断()f x 是[]0,4上的有界变差函数且min 10M =.【详解】＝1＝因为2()21g x ax ax b =-++的对称轴为直线1x =，0a > 故()g x 在[2,4]为增函数，所以()max ()481g x g a b ==++，()min ()211g x g b ==+=，解得0b =，又819a b ⨯++=，解得1a =.所以1,0a b ==.（2）由（1）得2()(||)21f x g x x x ==-+，因为()21f =，所以2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 11k k -+>，所以2log 2k >，故2log 2k >或2log 2k <-，解得104k <<或4k >. （3）当[]0,4x ∈时，()221f x x x =-+，此时()()max min 9,0f x f x ==，且()f x 在[]0,1为减函数，在[]1,4为增函数.设1x ､2x ､L ､1n x -将区间[0,4]任意划分成n 个小区间， 且01104i i n x x x x x -=<<<<<<=L L ，则存在k *∈N ， 使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤=L L ， 所以()()()()()()1011211|()()|nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑L()()()()()()1211k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-L ，整理得到()()()()()()101|()()|2042nii n k k i f x f xf x f x f x f f f x -=-=+-=+-∑，因为()0k f x ≥，()()()()()0420410k f f f x f f +-≤+=， 故11|()()|10nii i f x f x-=-≤∑，当且仅当()0k f x =即1k x =时等号成立，故()f x 是[]0,4上的有界变差函数，又10M ≥，所以min 10M =.【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，注意根据对称轴的位置确定函数的单调性从而研究其最值，对于含绝对值的代数式的最值问题，可根据函数的单调性来确定绝对值符号内的代数式的符号，有时也可以利用绝对值不等式来放缩求最值，本题属于难题.。
上海大学附属外国语中学2020年高三数学理测试题含解析
上海大学附属外国语中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意,().恒成立”的只有（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 在中，角所对的边分．若，则A．- B． C． -1 D．1参考答案：D本题主要考查了正弦定理与同角三角函数的基本关系式，关键是等式的变换与应用，难度中等。
由题知=，而由正弦定理得=，则有=，即sinAcosA=sin2B=1－cos2B，则有sinAcosA+cos2B=1，故选D；3. 在数列中，已知等于的个位数，则的值是（）A．8 B．6 C．4D．2参考答案：C，所以的个位数是4，，所以所以的个位数是8，，所以的个位数是2，，所以的个位数是6，的个位数是2，的个位数是2，的个位数是4，的个位数是8，的个位数是2，所以从第三项起，的个位数成周期排列，周期数为6，，所以的个位数和的个位数一样为4，选C.4. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a 的值等于( ) A．1 B ．1.5 C．2 D．2.5参考答案：B考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a．解答：解：∵==5，==54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．5. 函数=的定义域为（）（A）（，）（B）［1，（C）（，1（D）（，1）参考答案：B略6. 若函数（，且）的定义域和值域均为，则a的值为（）A. 或4B. 或C. 或8D. 或16参考答案：B【分析】分和讨论，利用函数单调性根据定义域求出值域即可分析出的值.【详解】由题意有，①当时，，有，得，解得，由，解得；②当时，，有，得，解，代入，解得.故选B【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，值域，分类讨论的思想，属于中档题.7. 已知曲线方程f（x）＝sin2x＋2ax（a∈R），若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f（x）的切线，则a的取值范围是A．（－∞，－1）∪（－1,0） B．（－∞，－1）∪（0，＋∞） C．（－1,0）∪（0，＋∞） D．a∈R且a≠0，a≠－1参考答案：B8. 集合则集合S的个数为A、0B、2C、4D、8参考答案：C法一：从0开始逐一验证自然数可知，，要使，中必含有元素1，可以有元素2,3，所以只有.法二：，＝，所以集合S中必含元素1，可以是，共4个．故选C．9. 已知函数，若，则实数a的取值范围是A．B．C．D．参考答案：A略10. “”是“”成立的（）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列中，，函数……，则函数f （x）在点处的切线方程为；参考答案：略12. 设函数，则=__________；若，则x 的取值范围是___________参考答案：，13. 已知f(x )是定义在R 上的偶函数，且f(x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x)＝6－x，则f(919)=_______________．参考答案：6由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.14. 已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)，则该函数的极小值为_______．参考答案：略15. 已知平行四边形中，，，则平行四边形的面积为．参考答案：16. 已知角终边上有一点，则.参考答案：－317. 已知则参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市2020版高一下学期期中数学试卷C卷
上海市2020版高一下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·深圳月考) 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）要得到函数的图象，只需将函数的图象沿x轴（）A . 向左平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向右平移个长度单位3. （2分）若三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（）共线，则的值为（）A . 1B .C .D .4. （2分）半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A . [1﹣， 1+]B . [﹣1-，﹣1+]C . [﹣，+]D . [-﹣， -+]5. （2分） tan的值为（）A .B . -C .D . -6. （2分） (2016高二上·赣州开学考) 已知、、均为单位向量，其中任何两个向量的夹角均为120°，则| + + |=（）A . 3B .C .D . 07. （2分）已知函数，的部分图像如图，则（）A . 1B .C .D .8. （2分）函数值tan224°，sin136°，cos310°的大小关系是（）A . cos310°＜sin136°＜tan224°B . sin136°＜cos310°＜tan224°C . cos310°＜tan224°＜sin136°D . tan224°＜sin136°＜cos310°9. （2分）若sin（75°+α）= ，则cos（30°﹣2α）的值为（）A .B . ﹣C .D . ﹣10. （2分） (2017高一下·运城期末) 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2018·南宁模拟) 已知的内角的对边分别为，且，，则 ________.12. （1分）在△ABC中，若对任意t∈R，恒有| ﹣t |≥| |，则∠C=________．13. （1分） (2015高一下·枣阳开学考) 函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________．14. （1分） (2017高三上·福州开学考) 已知平面向量与的夹角为， =（1，），| ﹣2 |=2 ．则| |=________．15. （1分）函数y= 的最大值为________．16. （1分）(2017·湖南模拟) 已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则A，ω的值分别是________．三、解答题 (共4题；共35分)17. （10分）(2018·临川模拟) 已知中，角，．（1）若，求的面积；（2）若点，满足，，求的值．18. （10分） (2017高一下·晋中期末) 已知向量，函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若，且α为第一象限角，求cosα的值．19. （10分） (2017高二上·嘉兴月考) 在中，．（1）求的大小；（2）求的最大值．20. （5分）已知点A（3，﹣4）与B（﹣1，2），点P在直线AB上，且|AP|=2|PB|，求点P的坐标．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共35分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年下学期高一期中数学试题
交大附中高一期中数学试卷2020.05一. 填空题 1. 41lim1x n nn →∞+-=+2. 函数()2sin sin()2f x x x π=+的最小正周期3. 三角方程tan 23x =在(0,)3π的解x =4. 用数学归纳法证明22n n >对任意n k ≥，*,n k ∈N 自然数都成立，则k 的最小值为5. 已知数列{}n a ，11a =且满足1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则n a =6. 已知12lim()nx x x→∞-存在，则x 的取值范围是 7. 已知无穷等比数列各项的和等于2，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是8. 已知函数11()|sin cos |(sin cos )22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 9. 将函数sin (0)y x ωω=>的图像向左平移6π个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的 解析式是y =10. 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，都满足12313()32n n a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯-，则2222123lim()n x a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=11. 已知正数数列{}n a 满足132n n a a +≥+，且13n n a +<对*n ∈N 恒成立，则1a 的范围为12. 我们规定：对于任意实数A ，若存在数列{}n a 和实数x （0x ≠），使得1A a =+2123n n a x a x a x -++⋅⋅⋅+，则称数A 可以表示成x 进制形式，简记为123~()()()()n A x a a a a =⋅⋅⋅，如：2~(1)(3)(2)(1)A =--则表示A 是一个2进制形式的数，且23132(2)2125A =-+⨯+-⨯+⨯=，若数列{}n a 满足12a =，111k ka a +=-， *k ∈N ，123323133~()()()()()(n n n n b a a a a a a --=⋅⋅⋅），*n ∈N 且n b 是一个等比数列的前n项和，则这个等比数列的公比为二. 选择题13. 明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯 三百八十一，请问尖头几盏灯？”你的答案是（ ）A. 2盏B. 3盏C. 4盏D. 7盏14. 已知△ABC ，且222a b c =+，则△ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定15. 函数()sin(2))f x x x θθ=+++的图像关于原点对称，且在[0,]4π上是减函数，则θ的取值可以是（ ） A.3π B. 23π C. 53πD. π16. 已知等差数列{}n a ，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a 、4a 、8a 成等比数列， 则（ ）A. 10a d >，50dS >B. 10a d >，50dS <C. 10a d <，50dS <D. 10a d <，50dS >三. 解答题17. 已知等差数列{}n a 满足：311a =，798S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2,4,8,,2,n⋅⋅⋅⋅⋅⋅项，按原来的顺序构成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知函数2()3sin 2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x 在区间[]3,4ππ-上的最大值和最小值； （2）若函数()y f x =满足方程()(01)f x k k =<<，求此方程在[70,]2π内所有实数根之和的取值范围.19. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为3π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记ABC θ∠=.（1）若4πθ=，求△ABC 的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即△ABC 的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.20. 设函数()sin()f x mx =，x ∈R .（1）若1(,1)2m ∈，且函数()f x 与lg y x =图像有正格点（横、纵坐标均为正整数）交点， 求m 的值； （2）已知882()33n n a nf =-（*n ∈N ），对于满足（1）中条件的m 的值，求数列{}n a 的 前2020项和2020S ；（3）若正实数m 使得()sin()f x mx =的图像关于直线4x π=对称，所有满足条件的m 构成的数列记为{}n b ，且{}n b 单调递增，求12233411111lim()x n n b b b b b b b b →∞++++⋅⋅⋅+的值.21. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n ∈N ，都有(1)4(0)nn n m S ma m -=-+>.（1）若4m =，求证：数列1{}4nn a -是等差数列，并求此时数列{}n a 的通项公式； （2）若4m =，是否存在正整数p 、q （1p q <<），使得1a 、p a 、q a 成等差数列？ 若存在，求出所有p 、q 的值；若不存在，请说明理由； （3）设4nn n a b =（*n ∈N ），若||2n b ≤，求实数m 的取值范围.参考答案一. 填空题1. 12. π3.6π4. 55. 12n -6. 1[,1)37. (0,2)(2,4)U8. [29. sin(2)3x π+ 10. 3 11. (0,8] 12. 27二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. D三. 解答题17.（1）32n a n =+，2372n n nS +=；（2）322n n b =⋅+，6262n n T n =⋅-+.18.（1）2()2sin()136f x x π=+-，最大值为1，最小值为3-；（2）9(4,)2ππ.19.（1）周长为617.6+≈米；（2）当θ为60°时，该活动室面积最大，最大面积为.20.（1）4π；（2）-；（3）42n b n =-，122311111lim()8x n n b b b b b b →∞+++⋅⋅⋅+=. 21.（1）11434n n n a a --=+⋅，数列1{}4n n a -公差为3，1(31)4n na n -=+⋅； （2）114(31)424(31)q p q p --++=⋅+，即142(31)4(31)4q p p p q --=+-+，左边为正，右边为负（或者左边非偶，右边为偶），等式不成立，即不存在；（3）11b =，11333()44444n n n n m m b b b b m m --=+⇒+=+--，113()444n n m m b m m --=---. ∴014m <<，由||2n b ≤，可知3224m -≤-≤-，∴502m <≤。
上海浦东新区2024届高三下学期第二次阶段(期中)考试数学试题
上海浦东新区2024届高三下学期第二次阶段（期中）考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．6743．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．1204．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．325．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．326．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2B ．3C ．2D ．17．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．253B ．453C ．3D ．48．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．3,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．231,3⎛ ⎝⎦ C ．)3,⎡+∞⎣D ．(3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
交大附中高三期中数学试卷 一． 填空题
1.计算矩阵的乘积：300cab_____. 【答案】(3,)aac 【解析】 【分析】 直接利用矩阵的乘积公式求解即可.
【详解】由题得3(30,0)(3,)00cababacbaac. 故答案为：(3,)aac 【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2.计算：012393nnnnnnCCCC_____. 【答案】4n 【解析】 【分析】 先把原式写成0011223333nnnnnnCCCC，再利用二项式定理得解. 【详解】由题得原式=0011223333(13)4nnnnnnnnCCCC. 故答案为：4n 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.已知23sincos223，则sin_____. 【答案】13 【解析】 【分析】 把等式23sincos223两边同时平方化简即得解. 【详解】由题得221sincos+2sincos,sin2222343. 故答案为：13 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.若双曲线2214xym的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25 【解析】 【分析】 由题得243,m解方程即得解. 【详解】由题得20,43,5mmm. 所以双曲线的虚轴长为25. 故答案为：25 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 【答案】5 【解析】 【分析】 先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248nnaaaaa
5621211.31,0.66,1632aa
所以5211.3116a与1最接近. 所以最接近于1项是第5项. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.如图，二面角l的大小是3，线段AB，Bl，AB与l所成的角为6，则AB与平面所成的角是_____（用反三角函数表示）
【答案】3arcsin4 【解析】 【分析】 如图，过点A作AO,垂足为O,过点A作ACl，垂足为C,连接,OBOC，证明
3ACO，不妨设1,AC根据已知求出32,,2ABAO求出3sin4ABO即得
解.
【详解】 如图，过点A作AO,垂足为O,过点A作ACl，垂足为C,连接,OBOC. 因为AO，所以AOl，因为ACl， ,AOAC平面AOC,AOACA,
所以l平面AOC，所以lOC,
所以ACO就是二面角l的平面角，所以3ACO.
由题得6ABC,不妨设31,2,,2ACABAO 由题得AB与平面所成的角是ABO, 所以332sin24ABO. 所以3arcsin4ABO. 故答案为：3arcsin4 【点睛】本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，2a，且(2)(sinsin)bAB()sincbC，则△ABC面积的最大值为_____.
【答案】3 【解析】 【分析】 由正弦定理化简已知可得222abcbc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求4bc，再利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】因为(2)(sinsin)()sinbABcbC (2)()()babcbc 2222ababbcbc，
又因为2a， 所以2222222221,,cos,223bcaabcbcbcabcAAbc，
ABC面积13sin24SbcAbc，
而222bcabc 222bcbca
2242bcbcbcbc
4bc
所以13sin324SbcAbc，即ABC面积的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8.已知函数()lg(1)fxx，()gx是以2为周期的偶函数，且当01x时，有()gx()fx，则函数()ygx ([1,2]x)的反函数是y_____.
【答案】310([0,lg2])xx 【解析】 【分析】 先根据偶函数性质求出[1x，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x，2]上的解析式，最后求出反函数． 【详解】当10x时，01x，()()(1)fxfxlgx， 当12x时，120x，()(2)[(2)1](3)fxfxlgxlgx． ()(3)(12)gxlgxx，
()310gxx，()310gxx，
所以1()310xgx， ()(3)(12)gxlgxx是减函数，
()[0,lg2]gx
所以1()310xgx，(02)xlg. 故答案为：310([0,lg2])xx 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.已知()yfx是定义在R上的函数，方程(2019)(2020-)0fxfx恰好有7个解，则这7个解的和为_____. 【答案】3.5 【解析】 【分析】 先分析出原方程的两根应满足(1)1，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2，,即得解.
【详解】若满足(2019)0f， 则取1x，则(2020)(2019)0fxf，则1也是原方程的一根. 所以原方程的两根应满足(1)1， 既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2. 所以这7个根为11,,1,,1,2，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5 【点睛】本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10.设0.ab••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且ab，0b≠，若集合••1{|0.,}AnabnnN，则A中所有元素的和为_____. 【答案】143 【解析】 【分析】 由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A，求和可得所求． 【详解】0.ab是一个循环节长度为两位的循环纯小数，
即0.0.ab0.100.001991100abababab， 1{|0.Anabn，*110}{|99abnNnn，*}nN，
a和b分别为10以内的非负整数，且ab，0b≠，
可得0a，1b，99n；0a，3b，33n；0a，9b，11n； 0a时，不存在满足题意的n，
则A中所有元素的和为993311143． 故答案为：143 【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．
11.已知数列{}na满足1312nnnnnaaaaa为奇数为偶数（*nN），127ka（k是一个已知的正整数），若存在*mN，当nm且na为奇数时，na恒为常数p，则p_____. 【答案】1 【解析】 【分析】 先分析出当1k时，当2k时，得1p，再说明127ka时，17ka，222,ka列举出该数列，即得解. 【详解】由题得127ka是一个偶数，
所以112272722kkaa， 当1k时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,aaaaaaaa 101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,aaaaaaaaaaa
211,a，所以1p；
当2k时，1227ka是偶数， 所以223272kaa， 当2k时，同理可得1p；； 所以127ka时，17ka，222,ka 所以从第1k项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1, 所以1p. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推