离散数学、第4章、代数系统、课件

b * a = 1, 则 b 为 a 的左逆元
a * b = 1 , 则 b 为 a 的右逆元
若a的左逆元b又是右逆元,
a 1 = b 则b是a的一个逆元,记为
a 与 b 是互逆的.
定理 ( A , * )且 |A| > 1 若
存在单位元和零元,则 0 1 证明 若0 = 1, 则对任意
x A,
例：(N,+, × )是代数系统(I, +, × )的（真） 子代数系统
2. 代数系统的性质
定义: 设 *, 是A上的二元运算, 对任意 x , y, z A, 1. 若总有 x * y A ,则称二元运 算*在 A 上是封闭的.
A = {x x = 2 ,n N}
n
对乘法. 2 2 = 2
(X ,○)
X1 X2
(Y ,*)
g(x1) g(x2 )
x1 ○ x2
g(x1) *g(x2)
看例题书
定理：代数系统(X ,○) ～ (Y ,*)
1.若(X ,○) 满足结合律,则(Y ,*)也满足结合律 2.若(X ,○) 满足交换律,则(Y ,*)也满足交换律 3.若(X ,○) 有单位元1x,则(Y ,*)也有单位元1y， 且1y = g(1x) 4.若(X ,○) 对∨x∈X都存在逆元素x-1，则(Y ,*) 也对∨y∈Y都存在逆元素y-1 ,
7. 若有 1l A, 对任意 x A, 1r 都有 1l * x = x , x *1r = x
1
1* x = x *1 = x
1r 为右单位元 1 为关于 *的单位元
则称 1 l 为 左单位元

*


2) a (bc ) = a (b + c b c ) = a + (b + c b c ) a(b + c b c ) = a + b ab + c (a + b ab)c
= (ab )c
3)设单位元为e
ae = a + e a .e = a
x1 x2
x3
单 射
y1 y2
y3 y4 y1 y2 y3
x1 x2 x3
映射 函数
x1 x2 x3
满(单、双)射
x1 x2 x3 x4
y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3
满射
定义：设(X ,○)和(Y ,*)是两个相同类型的 代数系统，其运算都是二元运算，如果存 在一个函数g：X →Y，使得
都是代数系统。若fi，gi (i=1,2,…,m)是 同元运算，U和V是同型的代数系统。
例题：(N,+,*)和(I,+,*) ( R,+,*) ( Q,+,*)都是 同型代数系统。 (N,+) 和( N,*)也是同型代数系统 ( Q,+,*) 和( Q,-,*)也是
1. 给定代数系统 V =( I m , t ) , 其中Im={1，2，…，m}, t 为一元运算
定义：设(X ,○)和(Y ,*)是两个相同类型的 代数系统，其运算都是二元运算，如果存 在一个一一对应的函数g：X →Y，
使得g(x1 ○ x2)= g(x1) *g(x2) x1 , x2∈X
则称g 是一个从(X ,○)到(Y ,*)的同构函数 或者称(X ,○)和(Y ,*)同构 可记为：(X ,○) ～ (Y ,*)
定义：设(X ,○)和(Y ,*)是两个相同类型的 代数系统，其运算都是二元运算，如果存 在一个一一对应的函数g：X →Y，
使得g(x1 ○ x2)= g(x1) *g(x2)
x1 , x2∈X
则称g 是一个从(X ,○)到(Y ,*)的同构函数 或者称(X ,○)和(Y ,*)同构 可记为：(X ,○) ～ (Y ,*)
称*在A上对 可分配.
P (Q R ) P (Q R )
A (B C )
A (B C )
x ( x * y ) = x ,
5.
x * ( x y ) = x ,
则称*和 在A 上满足吸收律
6. x * x = x, 则称*在A上是幂
等的.称 x 对*是等幂元
X = m, Y = n,
Y 表示从X到Y的所有函数集合.
X
Y
X
= n 个不同的函数
m
X Y 有 2 个子集(幂集) f2 f3 f1
mn
f4
f 1 ( a ) = a f 2 ( a ) = a f 3 ( a ) = b f 4 ( a) = b
f1 (b) = b f 2 (b) = a f 3 (b) = b f 4 (b) = a
e(1 a ) = 0
e=0
4)设零元为θ
a = a + a =
a (1 ) = 0
=1
5) a Q , 设a的逆元为x
ax = e = 0 a + x ax = 0
逆元
a x= a 1
a
1
a 1 时
a = a 1
例 * 为 A上的二元运算,它的
k
所以对任意的 n ,有
a = a.
n
4.3代数系统的同构与同态
两个代数系统({0,1}, ∨)和({a,b},*)
∨
0
1
*
a a b
b b b
0 1
0 1
1 1
a
b
0
a
1
b
两个代数系统同构的条件 1.必须是同型代数系统 2.两个集合的元素个数应相等 3.运算定义法则相同，即对应元素运算后 的结果也对应 代数系统({0,1}, ∨)和({a,b},*)满足 上述条件, 即同构
定理
*是A上的二元运算,且
= r = ,
有 l , r , 则 l 零元是唯一的. 证明略
且
例. 实数集R上的+ , *
+ 封闭 可交换,可结合,单位元0,
0为等幂的,0+0=0,
1 1 = 1, 0.0 = 0, a
a 1 = a
*封闭,可交换,可结合,单位元1,零元0
U= (I, +) V=(S, ⊕)是代数系统
U= (I, +) V=(S, ⊕)是代数系统
f: U→V
偶数→0 奇数→1 f是U到V的满同态， 不是单同态
r s
r+s
A 封闭
对加法+,
2 3 + 2 2 = 12 A
不封闭
2. 若总有 x * y = y * x ,则称*
是可交换的.
3. 若总有 ( x * y ) * z = x * ( y * z ),
则称*在A上是可结合的.
4.
x * ( yz ) = ( x * y ) ( x * z ),
3.这些运算在S上是封闭的
（S， ○ ）就是代数系统 具体的： （I+，+）正整数集合上的加法运算.
要判定一个给定的系统是否是代数 系统，需要验证： 1）定义的运算应该满足映射的唯 一性 2）所有运算的封闭性
上两条满足就是代数系统，否则不是
定义： 设U=（X, f1,…, fm）和V=（Y, g1,…, gm ）
+4 0
1
2
0 1 2 3
0 1 1 2 2 3 3 0
2 3 0 1
3 3 0 1 2
子代数系统
设U=(S,f1,f2,…fm)是代数系统，S’ 是S的非 空子集，若S’对U中所有运算f1,f2,…fm都封 闭，称(S’,f1,f2,…fm)是U的子代数系统。
即： 1.S’ S
2.a,b∈ S’ ,有a fib ∈ S’ 1≦i≦m
得 a=b 试证 对任意的自然数 n , 有
a =a
n
证明: 对 n 用归纳法
当 n=1 时, n=2 时,
a =a
1
a = a*a
2
a * b = b * a,
得
2
a=b
a * (a * a ) = (a * a ) * a
结合
a*a = a
a =a
n=k 时
a =a
k
成立
a
k +1
= a *a = a*a = a
有 x = 1* x = 0 * x = 0 = 1
变为A中只有一个元素。矛盾
定理 已知
( A,* ), 1,
每个元素
都有逆元, * 是可结合的,
1.则系统中任一元素的左逆元必是该 元素的右逆元.
2.每个元素的逆元是唯一的书
证明 设
a , b , c A,
且b是a的
左逆元, c 是 b 的左逆元
x
一元
x 大于等于x的最小整数
x
小于等于x的最大整数
x+ y
x y
if x=0 then y else z
二元 三元
定义1 到 B的映射, 称为 A上的一个 n元运算.若 B A ,则称该n 元运算是封闭的.
n 对于集合 A ,一个从A
定义2代数系统的条件
1.一个非空集合S 2.有一些建立在S上的运算○

f1
f1 f1 f2 f2
f3 f3
f2 f2 f2
f3 f3
f3 f3
f4
f4 f2
f3 f1
f2
f3
f4 f4
f2
例子：((f1,f2,f3,f4), ○)
3. m = 4 模 m 同余
N 4 = {[0], [1], [2], [3]}