动态规划问题研究

（ 8+-）
（ "） ， （ "） ） ， " ! "， …， （ " 0 #） ! (（ $ % #， # / #$ 4$5$ $ " 注意我们现在并不限定任意整体目标函数为可加型 $ 求解问题 （ 8+-） 是要找出它的非劣解集 $ 一个满足系 -（ # ） -（ # / # ） 统状态方程的可行解 （$ （"） ， （"） ， （#） ， ， …， （ # / #） ， ， （ #） ） 被 称 作 非 劣 解， 如果不存在 % $ % $ % $
#/#
(.*
（ "） ， （ "） ）0 % ! !（ $
" "!"
（ #） ） ! (.*｛!（ （"） ， （"） ）0 (.*｛!（ （#） ， （#） ）0 … 0 !（ % % # $ " $ # $
（ "） % （ #） % （ # / 1） %
（ # / 1） ， （ # / 1） ）0 (.* ｛! # /（ % 1 $
（ # / #） %
（ # / #） ， （ # / #） ）0 !（ （ #） ） ｝ ｝ …｝ ｝ % $ $ (.* ｛! # /（ # $ #
定义在 " 阶段状态 $ （ "） 上的最优 2345653673 为： （ "） ）! &" "（ $
（ "） …% （ # / #） %
(.*
（ ’） ， （ ’） ）0 % [ !!（ $
’ ’! "
#/#
（ #） ） …， !（ $ "， ] ， " ! # / #， # （#）
则我们根据 %&’’()* 最优性原理有以下递推公式： （ "） ） ! (.* ［ !（ （ "） ， （ "） ）0 & " （ （ "） ， （ "） ） ） ］ ， " ! # / #， …， &" $ % $ % "， " " "（ $ " 0（ # (
01213456 78 9:83;<5 .47=43;;<8=
>? 9@38% ，A?/B C@&53<! ，>? ><* ，D/E F<38&G@8%
（% + 91H34I;18I 7J K:2I1;2 L8=<8114<8= 38M L8=<8114<8= N383=1;18I，-61 O6<8121 P8<Q142<I: 7J R78= S78=， R78= S78=；! + K5677T 7J /@I7;3I<78 38M ?8J74;3I<78 L8=<8114<8=，U< ’ 38 P8<Q142<I: 7J -15687T7=:，U< ’ 38； * + 91H34I;18I 7J L5787;<52 38M N383=1;18I， R34V<8 ?82I<I@I1 7J -15687T7=: K618W618 D43M@3I1 K5677T， K618W618） !"#$%&’$： 9:83;<5 H47=43;;<8=， X618 3HHT<53VT1， <2 781 7J I61 ;72I H7X14J@T 27T@I<78 2561;12 <8 27TQ<8=
&8 ! （ #） ， （ #） " " !!
系统工程理论与实践
*229 年 8 月
# ! & ! #"# &$# ! ! ! （ （ #） ， （ #） ， （ & $ #） ， （ & $ #） ， （ &） ） ） …） ） % % " ! !$ （…， !$ （ " !（ $ " $ # & #"# &$# ! # ! # ! （ （ #） ， （ #） ， （ & $ #） ， （ & $ #） ， （ &） ） ） …） ） % " % " !$ （…， !$ （ !（ $ " $ "! ! （ # $ #） ， （ # $ #） ） 得到满足的 （" （ # $ #） ， （ # $ #） ） 我们有， （ #） 成立， 则对任何使 " （ #） % % " ! ’# $ （ !! # " # ! & ! #$# #"# &$# ! ! ! （ # $ #） ， （ # $ #） ， （ （ #） ， （ #） ， （ & $ #） ， （ & $ #） ， （ &） ） ） …） ） ） % % % " !$ （ " ! !$ （…， !$ （ " !（ $ " $ # & #$# #"# &$# ! # ! # ! （ # $ #） ， （ # $ #） ， （ （ #） ， （ #） ， （ & $ #） ， （ & $ #） ， （ &） ） ） …） ） ） % % " % " % ! !$ （…， !$ （ !（ $ " $ "!$ （ " ［ &］ ： 如果多目标动态规划问题 （ ’()） 满足后向可分和后向单调，那么， 对 多目标动态规划最优性原理
.
引言
无可置疑， _1TT;38 在上世纪五十年代提出的动态规划引入了决策科学中最具革 命性意 义的 最优性 原
理， 为动态最优化奠定了坚实的基础 , 过去五十年， 动态规划在运筹学， 控制论， 管理科学的发展中， 发挥了 无可比拟的领军作用， 对这些学科的成功， 影响卓越 , 在适用的情况下， 动态规划是求解动态决策问题的最 有效工具之一 , 考虑以下的动态优化问题：
・） ： …， 为代表 状态 转移的 ( 维 向 量 函 数， 为一给定的系统初始状态， &（・， ’( c ’) # ’( ， # ‘ "， %， " a %， ! #
收稿日期： !""#&"(&*% 资助项目： 香港研究基金会基金 （ B&OPRS]](^"(） ； 高等学校博士学科点专项基金 （ !""’"#""""# ） ； 陕西省自然科学基金 （!""(C%(） 作者简介： 李端， 香港中文大学系统工程与工程管理系教授、 系主任， 现任中国数学 规 划 学 会 副 理 事 长； 钱 富 才， 西安理 工大学自动化与信息工程学院教授； 李力， 哈尔滨工业大学深圳研究生院管理学部副教授； 高 建 军， 香港中文大学系统工程 与工程管理系博士研究生 ,
"a%
（ 9E.）
;<8 ! ‘
（ #） ， （ #） ）b % ! !（ $
# #‘"
（ "） ） !（ $ "
（ # b %） ‘ &（ （ #） ， （ #） ） ， # ‘ "， …， 2,I, $ $ % %， " a %， #
( ) 其中， 表示时间阶段， （ #） （ #） （"） # 是整数， " 表示有限终端时间， $ % $ " ’ 代表状态， " ’ 代表 决策变 量，
万方数据
第=期
动态规划问题研究
<;
为整体目标函数， 而 !（ …， 代表各阶段目标函数 $ " ! "， #， #） " （ +,-） 问 题 最 优 策 略 的 一 个 至 关 重 要 的 特 性： 就 最 优 策 略 而 言， 不论 %&’’()* 最优性原理深刻刻画了 当前状态是由以前何种决策所造成， 余下的策略对当 前 的状态， 亦必定构成 最 优 策 略 $ 最 优 性 原 理 使 得 求 解在整个时间段上一个全局解的问题能化解为一系列在各个时间段上的局部优化问题，
动态规划问题研究
李 端% ， 钱富才 ! ， 李 力* ， 高建军 %
（% + 香港中文大学 系统工程与工程管理系， 香港； 西安； ! + 西安理工大学 自动化与信息工程学院， 深圳） * + 哈尔滨工业大学 深圳研究生院经济管理学部， 摘要： 回顾动态规划在过去一些年的发展， 特别是它在多目标优化与不可分优化问题中的可喜进展 , 介绍了动态规划在解决多阶段均值 & 方差组合投资问题 中 的 创 造 性 应 用 , 旨 在 进 一 步 推 动 动 态 规 划 的 理 论研究， 拓广它在各行各业中的应用 , 关键词： 动态规划； 多目标优化； 不可分优化问题； 多阶段均值 & 方差组合投资 中图分类号： -.%* 文献标志码： ： /0 : /1 : / & / ， /0 & / $ " ! #， 1， # / #， 万方数据 一个后向可分的多 目 标 函 数 被 称 为 是 后 向 单 调， 如 果 对 所 有 " ! #， …， …， 及任意 1， #； . ! #， 1， ,，
（ "） %
（$ （ #） ） （ #） ） （# ） 可 以 看 出， 运用动态规划可将多阶段最优决策问题 （ +,-） 其中边界条件为 & " ! !（ $从 # $ # 分解为一系列单阶段最优决策问题， 从而使问题的求 解 计算量得到极大的 降 低 $ 相 比 其 它 解 法， 动态规划 总是提供一个反馈控制策略 $ 而这在有扰动或在随机情况下是至关紧要的 $ 在应用动态规划求解以上单目标多阶段最优决策问题时， 问题 （ )*+ ） 的目标函数必须是可分的， 且具 有单调性 $ 而在实际复杂决策问题中， 目标函数往往不具备可分性结构 $ 另外在现实生活中， 彼此冲突的多 目标属性常常无法用一个目标函数统一度量 $ 本文介 绍 近年来文献中动态规划 在 多 目 标 多 阶 段 与 不 可 分 多阶段决策问题中的一些拓广， 并介绍这些发展在金融工程中的一项应用 $