幂函数题型及解析

幂函数题型及解析
1.（1）下列函数是幂函数的是________
y=x 2
，y=（）x
，y=4x 2
，y=x 5
+1，y=（x ﹣1）2
，y=x ，y=a x
（a ＞1）
分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x 2
和y=x ．
解：由幂函数的定义知，y=x 2
，y=（）x
，y=4x 2
，y=x 5
+1，y=（x ﹣1）2
，y=x ，y=a x
（a ＞1），七个函数中是幂函数的是y=x 2
和y=x ，
（2）①y=x 2
+1； ②y=2x
； ③y=
； ④y=（x ﹣1）2； ⑤y=x 5； ⑥y=x x+1
分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可．
解：根据幂函数y=x α
，α∈R 的定义知， ①y=x 2
+1不是幂函数，②y=2x
不是幂函数，③y==x ﹣2是幂函数，④y=（x ﹣1）2不是幂函数，⑤y=x 5
是幂函数，
⑥y=x x+1不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤
2.已知幂函数y=f （x ）的图象过点（9，）.（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （25）的值；（3）若f （a ）=b （a ，b ＞0），则a 用b 可表示成什么？
分析：（1）设出幂函数f （x ）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f （25）的值；（3）根据函数的解析式求出a 与b 的关系． 解：（1）设幂函数f （x ）=x t
，∵图象过点（9，），∴；即32t =3﹣1
，∴
，∴
； （2）∵f （x ）=
，∴f （25）=25=
=
=；（3）∵f （a ）=a=b ，∴a ＝b ，∴a ﹣1
=b 2
，∴a=
．
3.比较下列各组中两个值的大小
；（3）3
2
)
2.1(--，3
2)
25.1(--；（4）（）与41
)6
5
(-；
（5）；（6）（），（）；（723
；（8）（），（）
分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．
解：（1）∵幂函数y=53
x 在（0，+∞）单调递增，∴535.1＜5
37.1；（2）∵幂函数y=x 在（0，+∞）单调递增，∴＞；（3））∵幂函数y=3
2-x
在（﹣∞，0）单调递增，∴3
2)
2.1(--＞3
2)
25.1(--；（4）∵0＜＜，∴（）
＜41
)6
5(-；（5）＜；（6）（）＞（）；（72＞3
；（8）（）＜（）
4.若函数y=（m 2
+2m ﹣2）x m
为幂函数且在第一象限为增函数，求m 的值
②已知幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣
3，当x ∈（0，+∞）时为减函数，求幂函数 分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m 的值即可
解：①∵函数y=（m 2+2m ﹣2）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴m 2
+2m-2=1且m ＞0；解得m=1
②解：∵幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣
3，∴m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x ∈（0，+∞）时y 为减函数，∴当m=2时，m 2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x -3，满足题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，幂函数为y=x 0，不满足题意；综上幂函数y=x -3
5.幂函数y=（m 2﹣3m+3）x m
是偶函数，求m 的值
分析：根据幂函数的定义先求出m 的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．
解：∵函数是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，即m 2
﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x 是奇函数，不满足条件．当
m=2时，y=x 2
是偶函数，满足条件，即m=2
6.求函数y=3
2-x
的定义域和值域．
分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=3
2-x 化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．
解：∵函数y=3
2-x
= ，∴x ≠0，且y ＞0；∴函数y 的定义域是{x |x ≠0}，值域是{y |y ＞0}
7.﹣
x2﹣
3x+4的定义域、值域和单调区间．
分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可． 解：令f （x ）=﹣x 2﹣3x +4=﹣（x 2+3x +）+=﹣+，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，
+∞）递减，∴
﹣x2﹣3x+4
在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴y min =
=
，∴
﹣x2﹣3x+4
的定义
域是R 、值域是[，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增
8.已知幂函数y=2
34m m x --（m ∈Z ）的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象 分析：由题意得4-3m-m 2＞0解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2
必须为偶数，故m=0，﹣1，﹣2，﹣3，即可画出图象．
解：由题意得4﹣3m ﹣m 2
＞0，即有（m+4）（m ﹣1）＜0，解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，所以m=0，﹣1，﹣2，﹣3，m=﹣3，y=x 4，m=﹣2，y=x 6，m=﹣1，y=x 6，m=0，y=x 4
其图象如图：
9.已知函数y=（n ∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图象．
分析：由题意可得，可得幂指数n 2
﹣2n ﹣3为负数，且为偶数．由于当n=1时，
幂指数n 2
﹣2n ﹣3=﹣4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象． 解：已知函数y=
（n ∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，可得幂指数n 2
﹣
2n ﹣3为非正数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n 2
﹣2n ﹣3=﹣4，满足条件，当n=3时，n 2
﹣2n ﹣3=0，满足
条件故函数为y=x ﹣4，或y=x 0
，它的图象如图所示：
10.已知幂函数y=x m ﹣2
（m ∈N ）的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象． 分析：由题意利用幂函数的性质可得m ∈N ，m ﹣2≤0，且m ﹣2为偶数，由此求得m 的值．
解：∵幂函数y=x m ﹣2
（m ∈N ）的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，∴①m﹣2＜0，m ﹣2为偶数，故m=0，
即幂函数y=x ﹣2，它的图象如右图所示．或②m﹣2=0，m=2，此时y=x 0
，（x ≠0），它的图象如图所示
11.已知幂函数的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值
分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数，从而可得答案．
解：∵幂函数y=（m∈Z）的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数（m∈Z），由m2﹣2m﹣3≤0得：﹣1≤m≤3，又m∈Z，∴m=﹣1，0，1，2，3．
当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，为偶数，符合题意；当m=0时，m2﹣2m﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当
m=1时，m2﹣2m﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，为偶数，符合题意；当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=3时，m2﹣2m﹣3=9﹣6﹣3=0，为偶数，符合题意．综上所述，m=﹣1，1，3
12. 已知幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．
分析：由题意知，m2﹣2m﹣3＜0，且 m2﹣2m﹣3为奇数，解此不等式组可得m的值．
解：幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2﹣2m﹣3＜0，且 m2﹣2m﹣3为奇数，即﹣1＜m＜3 且 m2﹣2m﹣3 为奇数，∴m=0或2，∴y=x﹣3，其图象为：
13.2m+3＜3m，求实数m的取值范围
分析：2m+3＜3m，即为（）﹣（4m+6）＜（）3m，再由y=（）x在R上递增，得到﹣（4m+6）＜3m，解出即可．
2m+3＜3m2（2m+3）＜（）3m，即有（）﹣（4m+6）＜（）3m，由于y=（）x在R上递增，则﹣（4m+6）＜3m，解得，m ＞﹣，故实数m的取值范围是（﹣，+∞）
14.已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）
若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性
（2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．
解：（1）∵m2+m=m（m+1），m∈N*∴m2+m为偶数，∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2）依题意得：，∴，∴m=1（m∈N*）由已知得：，∴，故a的取值范围为：。