数学复习：反比例函数

数学复习：反比例函数反比例函数从代数定义上来说非常简单，即ky x=或xy k =，从函数的图像上来看就是分布在不同像限的两条曲线，简称双曲线．随着近几年各地中考的各种变式题型出现，对反比例函数“数形结合”的数学思想考查越来愈多．每一次的命题设计，其背后都有隐藏的二级定理和二级结论．数学的学习，总是在思考中归纳总结从而得出结论，站在结论的平台向上展望，看清命题者的命题逻辑，很多问题将会大大简化．本专题从反比例函数的本质入手，通过寻找反比例函数的不变特性来进行分析，力争化繁为简，并能在平常的训练中找到思考和结论的平衡点．第一讲 反比例函数的本质系数m 与面积关系在之前对正比例函数和反比例函数的理解中，似乎只有k xy=和k xy =，翻译成语言文字就是，当自变量扩大m 倍，则因变量也随即扩大m 倍，此为正比例函数；同理当自变量扩大m 倍，而因变量随即缩小m1，则为反比例函数．函数是一个连续的曲线，不是只分析单一定点，所以引入比例系数m 对研究函数大有帮助，正比例函数由于过于单调的形式和结论，所以没有成为命题重难点，那么反比例函数呢？【例1】如图，反比例函数)0(>=k xky 的图像与矩形OABC 的AB 、BC 边分别交于点M 、N ，延长MN 分别交坐标轴于点D 、E ．（1）如图11-1-5，若2:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （2）如图11-1-6，若4:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （3）如图11-1-7，若n AB AM :1:=，则=CB CN : ；直线MN 与AC 的位置关系是 ，EN 与MD 的大小关系 ．图11-1-5 图11-1-6 图11-1-7【例2】（2020•九龙坡月考）如图11-1-8，ABC Rt △的顶点A 和斜边中点D 在反比例函数(00)k y k x x =≠>，的图像上，若5k =，则ABC △的面积为（ ） A．B．C ．4 D ．5xxx图11-1-8【例3】（2020•朝阳二模）如图11-1-11，在平面直角坐标系中，直线6y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与函数(00)k y k x x =>>，的图像交于点C 、D ．若12CD AB =，则k 的值为（ ）A ．9B ．8C ．427D ．6图11-1-11思考 前面分析了一条直线与反比例函数图像交于一个像限的情况，那么一条直线与反比例函数图像交于两个像限会有怎样的几何性质呢？ 【例4】（1）如图11-1-17，反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系． （2）如图11-1-18，反比例函数)0(>=k xky 的图像与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x MC ⊥轴于点C ，y ND ⊥轴于点D ，x NB ⊥轴于点B ，请探究直线MN 与线段AB 、线段CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系．图11-1-17 图11-1-18【例5】如图11-1-19，一次函数b ax y +=的图像与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数xky =的图像相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接CF 、DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S △△=；②FOE AOB ∽△△；③CDF DCE ≌△△；④BD AC =．其中正确的结论x是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）图11-1-19【例6】（1）如图11-1-26，BC AB =，AOB △的面积为3，则k 的值为 ． （2）如图11-1-27，点A ，C 在双曲线xky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =． ①在运动过程中，ABC △的面积是不是定值？答： ； ②若32=k ，且ABC △是正三角形，则点A 的坐标为 ．图11-1-26 图11-1-27【例7】（1）如图11-1-30， OABC 中，︒=∠60B ，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为 ．（2）如图11-1-31，正AOB △的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 ．图11-1-30 图11-1-31【例8】如图11-1-34，反比例函数16(0)y x x=>的图像经过Rt △BOC 斜边上的中点A ，与边BC 交于点D ，连接AD ，则ADB △的面积为（ ） A ．12B ．16C ．20D ．24图11-1-34【例9】（2020·威海中考）如图11-1-36，点)1(，m P ，点)2(n Q ，-都在反比例函数xy 4=的图像上．过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）图11-1-36 A ．3:2:21=S S B ．1:1:21=S S C ．3:4:21=S S D ．3:5:21=S S【例10】（2020•龙华二模）如图11-1-38，已知直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线(0)ky x x=>交于C 、D 两点，且AOC ADO ∠=∠，则k 的值为 ．图11-1-38【例11】如图11-1-40，矩形OABC 的边2OA =，4OC =，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图像与边BC 交于点F ．当四边形AOFE 的面积最大时，FC 的长度为（ ） A ．8.0B ．1C ．6.1D ．8.1图11-1-40【例12】如图11-1-41，A 、B 是函数x y 6=上两点，P 为一动点，作y PB //轴，x PA //轴，下列说法：①BOP AOP ≌△△；②BOP AOP S S △△=；③若OB OA =，则OP 平分AOB ∠；④若2=BOP S △，则4=ABP S △，正确有 ．（填序号）图11-1-41【例13】如图11-1-45，点)31(，A 为双曲线x ky =上的一点，连接AO 并延长与双曲线在第三像限交于点B ，M 为y 轴正半轴上一点，连接MA 并延长与双曲线交于点N ，连接BM 、BN ，已知MBN △的面积为233，则点N 的坐标为 ．图11-1-45【例14】如图11-1-47所示，PAB Rt △的直角顶点)43(，P 在函数(0)ky x x=>的图像上，顶点A 、B 在函数(00)ty x t k x=><<，的图像上，//PA y 轴，连接OP ，OA ，记OPA △的面积为OPA S △，PAB △的 面积为PAB S △，设OPA PAB w S S =-△△． ①求k 的值以及w 关于t 的表达式；②若用max w 和min w 分别表示函数w 的最大值和最小值，令max 2T w a a =+-，其中a 为实数，求min T ．图11-1-47【例15】如图11-1-49，已知平面直角坐标系中A 点坐标为)40(，，以OA 为一边在第一像限作平行四边形OABC ，对角线AC 、OB 相交于点E ，OA AB 2=．若反比例函数x ky =的图像恰好经过点C 和点E ，则k的值为 ．图11-1-49【同步训练】1．如图11-1-52，双曲线xky =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M 在双曲线上，直线AM 、BM 分别交y 轴于点P 、Q ． 若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m ．图11-1-522．如图11-1-53，在矩形OABC 中，)01(，A ，)20(，C ，双曲线)20(<<=k xky 分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接OE 、OF 、EF ，BEF OEF S S △△2=，则k 的值为 ．图11-1-53 图11-1-543．如图11-1-54，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点A 在x 轴的正半轴上，AC BC 2=，点B 、C 在反比例函数)0(>=x xky 的图像上．若OBC △的面积等于12，则k 的值为 ． 4．如图11-1-55，1P 、2P 是反比例函数xy 4=的图像上任意两点，过点1P 作y 轴的平行线，过点2P 作x 轴的平行线，两线相交于点N ．若点)(n m N ，恰好在另一个反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，且221=⋅NP NP ，则=k ．图11-1-55 图11-1-565．（2020•江阴一模）如图11-1-56，在AOB ∆中，OC 平分AOB ∠，43OA OB =，反比例函数(0)ky k x=<图像经过点A 、C 两点，点B 在x 轴上，若AOB ∆的面积为7，则k 的值为（ ） A ．4-B ．3-C ．215-D ．73-6．（2019•莲湖期末）如图11-1-57，双曲线k y x =经过Rt BOC △斜边上的点A ，且满足12AO AB =，与BC 交于点D ，4BOD S =△，则k 的值为（ ） A ． 19B ．1C ．2D ．8图11-1-577．（2019•武侯模拟）双曲线x k y =1和)0(32>=k xky 在第一像限的图像如图11-1-58所示，过2y 上的任意一点A 作x 轴的平行线交1y 于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交1y 于D ，交x 轴于E ，连结BD ，CE ，则有下列结论：①CE BD //； ②k S ABOD 2=四边形；③5:4:=BDEC ABD S S 四边形△；④DE CB =； 图11-1-58 ⑤2:1:=BOD ABD S S △△．其中正确的有 （填番号）．8．（2019•杭州一模）一次函数b ax y +=的图像分别与x 轴、y 轴交于点M ，N ，与反比例函数xky =的图像相交于点A ，B ．过点A 分别作x AC ⊥轴，y AE ⊥轴，垂足分别为C ，E ，过点B 分别作x BF ⊥轴，y BD ⊥轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．对于下述结论： ①CFBK AEDK S S 四边形四边形=；②BM AN =；③CD AB //； 不论点A ，B 在反比例函数xky =的图像的同一分支上 （如图11-1-59），还是点A ，B 分别在反比例函数xky =的图像的不同分支上（如图11-1-60），都正确的是（ ） 图11-1-59 图11-1-60 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9．（2020•长春期末）如图11-1-61，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数)0(>=x xmy 的图像上，顶点C 、D 在函数)0(>=x xny 的图像上，其中n m <<0，对角线y BD //轴，且AC BD ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4． （1）当4=m ，20=n 时，①点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，BD 的长为 ． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系． 图11-1-61第二节 反比例函数的面积关系特殊到一般的转化上一讲提到了以原点为顶点的三角形面积转化，如果不过原点呢？答案还是要找准特殊的模特三角形，然后进行面积的转化．【例1】如图11-2-1，在平面直角坐标系中，A 是第一像限内一点，过A 作//AC y 轴交反比例函数(0)ky x x =>的图像于B 点，E 是y 轴上一点，AE 交反比例函数的图像于点D ，若B 是AC 的中点，:3:2DE AD =，且BDE △的面积为94，则k 的值为（ ） A ．7 B ．215 C ．8 D ．217图11-2-1【例2】如图11-2-3，点A 、B 是反比例函数(0)ky k x=≠图像上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 的三等分点，且OE DE <．连接AE 、BE ，若7ABE S =△，则k 的值为（ ） A ．12-B ．10-C ．9-D ．6-图11-2-3【例3】（2021·成都嘉祥）如图11-2-6，在直角坐标系中，已知)40(，A 、)42(，B ，C 为x 轴正半轴上一点，且OB 平分ABC ∠，过B 的反比例函数xky =交线段BC 于点D ，E 为OC 的中点，BE 与OD 交于点F ，若记BDF △的面积为1S ，OEF △的面积为2S ，则=21S S ．图11-2-6前篇所有的面积和比值问题都来自辅助矩形和辅助比例系数m ，但不是每一个题目都是来自矩形的变x形，最近几年以平行四边形和反比例交点和面积问题也开始频繁出现，平行四边形和菱形上的两点与反比例函数相交，到底隐藏了多少秘密呢？【例4】（2017•南通）如图11-2-11，四边形OABC 是平行四边形，点C 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点(512)A ，，且与边BC 交于点D ．若AB BD =，则点D 的坐标为 ．图11-2-11【例5】（2020•孝南二模）如图11-2-15，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数k y x =的图像经过点A ，与BC 交于点D ，若154ABC S =△，2CD BD =，则k = ．图11-2-15【例6】（2020•沙坪坝月考）如图11-2-18，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点D 在对角线2:3OB y x =上，且满足OD =(00)ky k x x==>>，的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是203，则点B 的坐标为 ．图11-2-18【例7】（2020•两江模拟）如图，双曲线(0)ky x x=>经过平行四边形OABC 的顶点A ，交边BC 于点D ，交对角线AC 于点E ，连接OE ．若2BD CD =且OAE △的面积为163，则k 的值为（ ） A．B ．12C ．10D．图平移问题小试牛刀【例8】（2020•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数4(0)y x x=>的图像交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图像于点C ．若2OA BC =，则b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例9】（2018•锦江区模拟）已知如图， 直线23y x =分别与双曲线(0,0)my m x x=>>、双曲线(0,0)n y n x x =>>交于点A ，点B ，且23BA OA =，将直线23y x =向左平移 6 个单位长度后， 与双曲线ny x=交于点C ，若4ABC S ∆=，则mn 的值为 ．【同步训练】1．（2018•九龙坡区校级期末）如图，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，90ACB ∠=︒，点A 、C 在双曲线(0)ky k x=≠的图像上，//AB x 轴，AC 交x 轴于点F ，满足23AF CF =，10AC =，BC 交双曲线于点E ，连接AE ，则ACE ∆的面积为( )A ．BCD ．2．（2020•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数ky x=的图像经过点A 与边BC 相交于点D ，若15ABC S ∆=，2CD BD =，则k = ．3．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点(3,2)D 在对角线OB 上，反比例函数(0,0)k y k x x =>>的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为()A ．8(4,)3B ．9(2，3)C ．10(5,)3D ．24(5，16)54．（2020•相城区期末）如图，Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OB =，反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点B ，将Rt OAB ∆沿着x 轴向右平移6个单位，得到Rt CDE ∆，反比例函数图像恰好经过CE 的中点F ，则k 的值为( )A B ．C ．D ．5．（2020•宁波模拟）如图，点A ，B 是反比例函数6(0)y x x=>图像上的两点，延长线段AB 交x 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 上的点，且2DE OE =．连结AE ，BE ，则ABE ∆的面积为 ．第三讲反比例函数隐藏的等角等边关系在反比例函数的背景下，隐藏了比值关系，我们在前两节已经给到了探讨和证明，那么反比例函数还有哪些矩形圈不住的性质呢？或者说不以比值系数m 相关的等量关系呢？下面我们来探讨一些等角和等边的性质．【例1】（2020•武汉模拟）如图，在平面直角坐标系中，(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 平移得到线段CD ，当13AE AC =时，点C 、D 同时落在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，则k 的值为 ．【例2】（2018•十堰中考）如图1，直线x y -=与反比例函数xky =的图像交于A ，B 两点，过点B 作x BD //轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数xky =的图像于另一点C ，求CB CA 的值．图1【例3】（2019•长沙）如图，函数(ky k x=为常数，0)k >的图像与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一像限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①ODM ∆与OCA ∆的面积相等；②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒；③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+；④若25MF MB =，则2MD MA =．其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）x【例4】（2018•武汉模拟）如图，直线112y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，将线段AB 绕点M 旋转180︒得到线段CD ，双曲线(0)ky k x=>恰好经过C 、D 、M 三点，则k 的值为( )A ．43B ．1C ．98D ．89【例5】已知双曲线x y 4=与直线x y 41=交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．如图，点P 是第一像限内双曲线上一动点，AP BC ⊥于C ，交x 轴于F ，PA 交y 轴于E ，则2224EF BF AE +的值是_________．【例6】如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2．图1【同步训练】1．如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 作x AC //∥轴，连接BC 并延长，交双曲线于点D ．①求证：CD AD =； ②求BD AD :的值．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于x 轴正半轴和y 轴正半轴上． 证明：21∠=∠，43∠=∠．3．如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB BC 2=，A 、B 两点的坐标分别是)01(，-和)20(，，C 、xxD 两点在反比例函数xky =长的图像上，则=k ．4．如图所示，点A 在反比例函数)0(1>=x x k y 的图像上，点B 在反比例函数)0(2<=x xky 的图像上，124k k =，且直线AB 经过坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上，直线CA 交x 轴于点E ，直线CB 交x 轴于点F ．若3=AE AC ，则=CFBF．5．如图1，已知平行四边形ABCD ，A 、B 在反比例函数xky =上，C 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴，且反比例图像经过平行四边形对角线的交点E ，已知平行四边形ABCD 面积为6，则=k ．图1xxx6．（2020•宁德二模）如图，点A，B，C在反比例函数4yx=-的图像上，且直线AB经过原点，点C在第二像限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若BOD∆的面积为9，则ACCD=．第四节 反比例函数的特殊等量关系和叠罗汉模型 一、平方关系二、乘积关系三、多个三角形矩形问题【例1】如图1，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数8y x=在第一像限的图像经过点B ，则OAC ∆与BAD ∆的面积之差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4图1【例2】如图1，在第一像限内，动点P 在反比例函数ky x=的图像上，以P 为顶点的等腰OPQ ∆，两腰OP 、PQ 分别交反比例函数my x=的图像于A 、B 两点，作PC OQ ⊥于点C ，BE PC ⊥于点E ，AD OQ ⊥于点D ，则以下说选正确的个数为( )个①AO PQ 为定值；②若4k m =，则A 为OP 中点；③2PEB k mS ∆-=；④222OA PB PQ +=；图1A ．4B ．3C ．2D ．1【例3】如图47所示，直线b x y +-=交y 轴于点B ，与双曲线)0(<=x xky 交于点A ．若622=-OB OA ，则=k ．图47【例4】如图49所示，点A 、B 为直线x y =上的两点，过A 、B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线)0(1>=x xy 于点C 、D ．若AC BD 2=，则224OD OC -的值为 ．图49【例5】如图51所示，直线52-=x y 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点M 是反比例函数)0(>=x xky 的图像上位于直线上方的一点，x MC //轴交AB 于点C ，MC MD ⊥交AB 于点D ．已知5=⋅BD AC ，则k 的值为 ．图51【例6】（2020•鄂州）如图53，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1OA 1＝∠B 2B 1A 2＝∠B 3B 2A 3＝…，直线y ＝x 与双曲线y ＝交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是（ ）图53A ．（2，0）B ．（0，）C ．（0，）D ．（0，2）【例7】如图54，在y 轴的正半轴上，自O 点开始依次间隔相等的距离取点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，分别过这些点作y 轴的垂线，与反比例函数2(0)y x x=-<的图像相交于点1P ，2P ，3P ，4P ，⋯，n P ，作2111P B A P ⊥，3222P B A P ⊥，4333P B A P ⊥，⋯，111n n n n P B A P ---⊥，垂足分别为1B ，2B ，3B ，4B ，⋯，1n B -，连接12P P ，23P P ，34P P ，⋯，1n n P P -，得到一组Rt △112PB P ，Rt △223P B P ，Rt △334P B P ，⋯，Rt △11n n n P B P --，它们的面积分别记为1S ，2S ，3S ，⋯，1n S -，则12S S += ，1231n S S S S -+++⋯+= ．图54【例8】（2015•贵港）如图55，已知点1A ，2A ，⋯，n A 均在直线1y x =-上，点1B ，2B ，⋯，n B 均在双曲线1y x =-上，并且满足：11A B x ⊥轴，12B A y ⊥轴，22A B x ⊥轴，23B A y ⊥轴，⋯，n n A B x ⊥轴，1n n B A y +⊥轴，⋯，记点n A 的横坐标为(n a n 为正整数）．若11a =-，则2015a = ．图55【例9】如图56所示，等腰三角形△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，△1(n n n B A B n -为正整数）的一直角边在x 轴上，双曲线ky x=经过所有三角形的斜边中点1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，已知斜边1OA =点n A 的坐标为 ．图56【同步训练】1．（2019秋•龙岗区校级期中）如图，BOD ∆是等腰直角三角形，过点B 作AB OB ⊥交反比例函数(0)ky x x=>于点A ，过点A 作AC BD ⊥于点C ，若3BOD ABC S S ∆∆-=，则k 的值为 ．2．（2020•海门市二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a a ，过点P 作OP 的垂线交(0)ky x x=>的图像于点Q ．若2212OP PQ -=，则k 的值为( )A ．12B ．9C ．6D ．33．（2018•越秀区二模）如图， 点A ，B 为直线y x =上的两点， 过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线2(0)y x x=>于C ，D 两点 ． 若3BD AC =，则229OC OD -的值为( )A ． 16B ． 27C ． 32D ． 484．（2017•十堰）如图， 直线6y =-分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数(0)ky x x=>的图像上位于直线上方的一点，//MC x 轴交AB 于C ，MD MC ⊥交AB 于D ，43AC BD =k 的值为( )A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-5．（2013秋•洞头县期中）如图，△11POA 、△212P A A 、△323P A A 、⋯、△10099100P A A 是等腰直角三角形，点1P 、2P 、3P 、⋯、100P 在反比例函数4y x=的图像上，斜边1OA 、12A A 、23A A 、⋯、99100A A 都在x 轴上，则点100A 的坐标是 ．6．如图，已知反比例函数1y x =的图像，当x 取1，2，3，n ⋯时，对应在反比例图像上的点分别为1M 、2M 、3n M M ⋯，则11222311P M M P M M Pn Mn MnSSS--++⋯= ．7．（2015•威海一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线:1l y x =--，双曲线1y x=，在直线l 上取点1A ，过点1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过点1B 作y 轴的垂线交直线l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过点2B 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ⋯，这样依次得到直线l 上的点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，⋯若点1A 的横坐标为2，则点2015A 的坐标为 ．8．（2019•淄博）如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，22(C x ，2)y ，33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图像上．则1210y y y ++⋯+的值为( )A ．B ．6C ．．达标训练1．如图所示，矩形ABCO 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，反比例函数)0(≠=x xky 的图像分别与BC 、BA 的延长线交于E 、F 两点，连接AC ． 证明：（1）EF AC //；（2）FH GE =．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于y 轴负半轴和x 轴负半轴上，AD 交y 轴于点H ，BC 交x 轴于点G ． 证明：（1）21∠=∠，43∠=∠；（2）四边形CDHG 是菱形．3．如图所示，A 、B 为反比例函数xky =第一像限图像上任意两点，连接OA 并延长交反比例函数图像另一支于点C ，连接BC 交x 轴于点G 、交y 轴于点F ，连接AB 并向两侧延长分别交x 轴于点E 、交y 轴于点D ．证明：21∠=∠，43∠=∠．4．如图所示，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是)01(，-A 、)20(-，B ，顶点C 、D 在双曲线xky =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是ABE △的面积的5倍，则=k ．5．如图所示，矩形ABCD 的顶点C 、D 在反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，顶点A 在y 轴上，顶点B 在x 轴上，连接OD ．若︒=∠60ODC ，则=ADAB．6．如图，函数1(0)y x x =>和3(0)y x x=>的图像分别是1l 和2l ．设点P 在2l 上，//PA y 轴交1l 于点A ，//PB x轴，交1l 于点B ，PAB ∆的面积为( )A ．12B ．23 C ．13D ．347．（2020•崇川一模）如图，直线y kx b =+与曲线3(0)y x x=>相交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，若2AB BC =，则AOB ∆的面积是( ) A ．3B ．4C ．6D ．8yxAC BE D O y xBADCO8．（2019•双峰一模）如图，ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(1,0)A -，(0,3)B -，顶点C 、D 在双曲线ky x=上， 边AD 交y 轴于点E ，且ABCD 的面积是ABE ∆面积的 8 倍， 则k = ．8题图 9题图9．（2019•如东期末）如图，AOB ∆的顶点B 在x 轴上，点C 在AB 边上且2AC BC =，若点A 和点C 都在双曲线(0)ky x x=>上，AOC ∆的面积为4，则k 的值为 ．10．（2017•孝义二模）如图，点A 是反比例函数(0)k y x x =>的图像上一点，OA 与反比例函数1(0)y x x=>的图像交于点C ，点B 在y 轴的正半轴上，且AB OA =，若ABC ∆的面积为6，则k 的值为 ．11．（2017•慈溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，平行四边形ABOC 的对角线交于点M ，双曲线(0)ky x x=<经过点B 、M ．若平行四边形ABOC 的面积为12，则k = ．12．（2016•青羊月考）如图，已知点(4,3)P -是双曲线11(0k y k x=<，0)x <上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线221(0||)k y k k x=<<于E 、F 两点．记PEF OEF S S S ∆∆=-，则S 的取值范围是 ．13．（2020•雨花期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB ∆的边OA 在y 轴上，OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky k x=≠与斜边AB 交于点C 、D ，连接OD ，若:1:2AC CD =，14OBD S ∆=，则k 的值为 ．14．（2020•常熟期末）如图，在平面直角坐标系中，ABO ∆的边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且OAB ∆的面积为6，则k = ．x15．（2020•随州中考）如图，直线AB 与双曲线(0)ky k x =>在第一像限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC ∆的面积为3，则k 的值为 ．16．（2020•平湖二模）如图，已知OAB ∆中，AB OB ⊥，以O 为原点，以BO 所在直线为x 轴建立坐标系．反比例函数的图像分别交AO ，AB 于点C ，D ，已知32OC AC =，ACD ∆的面积为169，则该反比例函数的解析式为 ．17．如图所示，双曲线)0(4>=x xy 与直线EF 交于点A 、B ，且BF AB AE ==，线段AO 、BO 分别与双曲线)0(2>=x xy 交于点C 、D ，则： （1）AB 与CD 的位置关系是；（2）四边形ABDC 的面积为 ．18．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，AO BC //，AO AB ⊥，过点C 的反比例函数)0(>=x x k y 的图像交OB 于点D ，且21=DB OD ．若16=OBC S △，k 的值是__________．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在反比例函数)0(4>=x xy 的图像上，延长AB 交x 轴于点C ，且21=AB BC ，连接OA 交反比例函数)0(1>=x xy 的图像于点D ，则=ABD S △ ．19题图 20题图20．（2019•鼓楼期末）如图，A 、B 是反比例函数ky x=图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO ∆的面积为4，则k 的值为 ．21．（2017•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一像限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，OAB ∆和BCD ∆都是等腰直角三角形，90OAB BCD ∠=∠=︒，若函数6(0)y x x=>的图像经过点D ，则OAB ∆与BCD ∆的面积之差为( )A ．12B ．6C ．3D ．222．（2020•广西）如图，点A ，B 是直线y x =上的两点，过A ，B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线xy CB AD O1(0)y x x=>于点C ，D ．若AC ，则223OD OC -的值为( )A ．5B ．C ．4D ．23．（2020•宁乡市一模）如图，点M 为双曲线1y x=上一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线2y x m =-+于D 、C 两点，若直线2y x m =-+交y 轴于A ，交x 轴于B ，则AD BC 的值为 ．24．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 分别作x 轴的垂线与反比例函数(0)4y x x=≠的图像相交于点1P 、2P 、3P 、4P 、5P ，得直角三角形11OP A 、122A P A ，233A P A ，344A P A ，455A P A ，并设其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S 、5S ，则10S = ．(1n 的整数）25．如图，在AOC ∆中，90OAC ∠=︒，AO AC =，2OC =，将AOC ∆放置于平面直角坐标系中，点O 与坐标原点重合，斜边OC 在x 轴上．反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点A ．将AOC ∆沿x 轴向右平移2个单位长度，记平移后三角形的边与反比例函数图像的交点为1A ，2A ．重复平移操作，依次记交点为3A ，4A ，5A ，6A ⋯分别过点A ，1A ，2A ，3A ，4A ，5A ⋯作x 轴的垂线，垂足依次记为P ，1P ，2P ，3P ，4P ，5P ⋯若四边形11APP A 的面积记为1S ，四边形2233A P P A 的面积记为2S ⋯，则n S = ．（用含n 的代数式表示，n 为正整数）26．如图所示，点1A ，2A ，3A ⋯⋯．n A 在x 轴上，且1121n n OA A A A A -==⋯⋯=，分别过点1A ，2A ，3A ⋯，n A ⋯作y 轴的平行线，与反比例函数8(0)y x x =>的图像分别交于点1B ，2B ，3n B B ⋯，分别过点1B ，2B ，3B ⋯⋯，．n B 作x 轴的平行线交y 轴交于点1C ，2C ，3:C ⋯⋯．n C ，连接1OB ，2OB ，3n OB OB ⋯，得到△11OB C ，△222D B E ．△333D B E ⋯⋯△n n n D B E ，则△201820182018D B E 图面积等于 ．27．（2016•抚顺模拟）如图，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯，点(n nP x ，)n y 在函数1(0)y x x=>的图像上，△1POA ，△212P A A ，△323P A A ，⋯，△1n n n P A A -都是等腰直角三角形，斜边1OA ，12A A ，23A A ，⋯，1n n A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数）．若△11POA 的内接正方形1111B C D E 的周长记为1l ，△212P A A 的内接正方形的周长记为2l ，⋯，△1n n n P A A -的内接正方形n n n n B C D E 的周长记为n l ，则123n l l l l +++⋯+= （用含n 的式子表示）．28．（2019•鞍山一模）如图，直线4y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数(0)ky x x=>，图像上位于直线4y x =-+下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ，并且4AF BE = （1）求k 的值； （2）若反比例函数ky x=与一次函数4y x =-+交于C 、D 两点，求三角形OCD 的面积．29．（2013秋•龙湾区校级月考）如图，点1P 、2P 、n P ⋯是反比例函数16y x=在第一像限图像上，点1A 、2n A A ⋯在x 轴上，若△11POA 、△212P A A ⋯△1n N N P A A -均为等腰直角三角形，则： （1）1P 点的坐标为 ； （2）求点2A 与点2P 的坐标； （3）直接写出点n A 与点n P 的坐标．30．（2018•景德镇二模）如图，四边形111OP A B 、1222A P A B 、2333A P A B 、⋯⋯、1n n n n A P A B -都是正方形，对角线1OA 、12A A 、23A A 、⋯⋯、1n n A A -都在y 轴上(2)n ，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯⋯，点(n n P x ，)n y 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，已知1(1,1)B -． （1）反比例函数解析式为 ； （2）求点3P 和点2P 的坐标；（3）点n P 的坐标为( )（用含n 的式子表示），△n n P B O 的面积为 ．31．（2020•江夏区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数(0)ky x x=>的图像经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 上的一点E ，且2CE AE =，菱形的边长为8，则k 的值为 ．32．（2018•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 的边OB 在x 轴上，过点(3,4)C 的双曲线与AB 交于点D ，且2AC AD =，则点D 的坐标为 ．。