二次型
二次型的判定方法
二次型的判定方法1. 二次型的判定方法之首先判断二次型是否为标准形式。
标准形式的二次型是指仅含有平方项和常数项的形式。
如果二次型含有一次项，需要通过将含有一次项的部分移项并进行合并，将二次型化简为标准形式。
2. 二次型的判定方法之判断二次型的秩。
二次型的秩是指二次型的矩阵形式的秩。
通过将二次型写成矩阵的形式，然后对矩阵进行行变换或列变换，将矩阵化简为行阶梯形或列阶梯形，最后计算矩阵的秩。
如果秩等于变量的个数，则二次型是正定型；如果秩等于0，则二次型是负定型；如果秩小于变量的个数且不等于0，则二次型是半定型。
3. 二次型的判定方法之判断二次型的非零项的符号。
对于标准形式的二次型，通过观察非零项的符号来判定二次型的正负性质。
如果二次型所有的非零项的系数同号且为正，则二次型是正定型；如果非零项的系数同号且为负，则二次型是负定型；如果非零项的系数有正有负，则二次型是不定型。
4. 二次型的判定方法之判断二次型的正负特征值。
将二次型的系数矩阵作为一个线性变换的矩阵，求出其特征值，然后观察特征值的正负性质。
如果特征值全为正，则二次型是正定型；如果特征值全为负，则二次型是负定型；如果特征值有正有负，则二次型是不定型。
5. 二次型的判定方法之判断二次型的正负惯性指数。
通过矩阵的特征值来判定二次型的正负惯性指数。
将二次型的系数矩阵作为一个线性变换的矩阵，求出其特征值，统计特征值中正数的个数、负数的个数以及零的个数。
正数的个数称为正惯性指数，负数的个数称为负惯性指数，零的个数称为零惯性指数。
根据正负零指数的数量关系，判断二次型的正负情况。
6. 二次型的判定方法之判断二次型的Gram矩阵的正定性。
对于二次型的Gram矩阵（系数矩阵的转置乘以系数矩阵），判断其是否为正定矩阵。
如果Gram矩阵正定，则二次型是正定型；如果Gram矩阵负定，则二次型是负定型；如果Gram矩阵不定，则二次型是不定型。
7. 二次型的判定方法之用最小二乘法判断二次型的正定性。
二次型
dp d p 1
x 1 x2 xn d n
二次型的矩阵表示
f ( x，y ) ax 2bxy cy
2 2
a b x x y b c y
二次型的矩阵表示
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
最简单情形：（必要时交换变量的次序）
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
称之为规范形； p q=n-p 正惯性指数； 负惯性指数。
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
n )
回顾：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
2，…，n，αi 为 λi 的单位正交特征向量，则
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
1
n )
定理：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
二次型分类：正定、负定、不定。 若二次型 f (x) = xTAx 正定 (负定、不定)，则 称对称矩阵 A 正定 (负定、不定)。
正定二次型
性质：正定(相应地，负定)二次型 f (x) = xTAx 经非退化 (也称作非奇异、可逆) 线性变换仍
正定 (相应地，负定)。 即：若矩阵 P 可逆，x = Py，则二次型
-3 - 1 5
正定二次型
例3：求二次型 f (x) = xTAx 的标准形，其中
5 -3 3 - 3
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
二次型_精品文档
二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
二次型
线代框架之二次型11211(,,,)n nTn ij iji j f x x x x Ax a x x====∑∑ （其中ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x = ）二次型的矩阵为对角矩阵）12(,,,)Tn f x x x x Ax = 经过合同变换可逆线性变换x Cy =化为21nT i i f d y y y ==∧∑标准形(其中ij ()i d f A α=是的矩阵的特征值).注：二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数唯一确定的.标准形的系数只在1，-1，0任意二次型均存在可逆变换化为规范形。
2.设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C 使得 TB C AC =，则称A 与B 合同。
合同的性质：R(B)(A)A B 若为对称阵，也为对称阵；=R ；合同变换不改变二次型的正定性.√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：A B √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B = 用正交变换法化二次型为标准形:① 写出二次型的矩阵A ；②求出A 的特征值、特征向量；③对n 个特征向量正交化，单位化；④ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T T n n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni if d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
例如：123x x x +-=0取1β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1 2 1，2β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭101.用配方法化二次型为标准形：原则：配方时每次把一个字母处理干净3.正定二次型：惯性定理：设有二次型()Tf x x Ax =，秩为r ，有两个可逆变换x Cy =及x Py =使得21ni if d y=∑及21ni if k y=∑则i d 中正数个数与i k 中正数个数相等。
二次型及其规范型
二次型及其规范型二次型是数学中重要的概念，广泛应用于代数、线性代数以及物理学等领域。
本文将介绍二次型的基本定义、性质以及规范型的概念和应用。
一、二次型的定义和性质在线性代数中，我们称一个关于n个变量的多项式函数为一个二次型。
一个二次型可以表示为如下形式：$Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$其中，$a_{ij}$是一个常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$是n个变量。
二次型具有以下性质：1. 对称性：如果$a_{ij} = a_{ji}$，则二次型称为对称二次型；2. 非负定性：当二次型对于所有的非零向量$x$都有$Q(x) > 0$时，称其为正定二次型；当$Q(x) \geq 0$，但存在非零向量$x_0$使得$Q(x_0) = 0$时，称其为半正定二次型；3. 定性：二次型的正负定性与其矩阵的特征值有关，正定二次型对应的特征值全为正数，半正定二次型对应的特征值非负。
二、规范型的定义和性质在研究二次型时，我们常常希望将其化为一个标准的形式，这就是规范型。
规范型的特点是尽可能简单且易于研究。
对于任意的n维实二次型，我们可以通过合同变换将其化为规范型。
合同变换是指对矩阵进行相似变换，即通过矩阵的乘积将一矩阵转化成与之相似的另一矩阵。
具体而言，对于对称矩阵$A$，存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = \Lambda$，其中$\Lambda$为对角矩阵，对角线上的元素为$A$的特征值。
规范型的具体形式取决于原始二次型的特征值分布。
根据特征值的正负，规范型可以分为以下几种情况：1. 正定二次型的规范型为$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$；2. 负定二次型的规范型为$-x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2$；3. 除了以上两种情况外，还有其他特征值组合形式的规范型。
线性代数的二次型
线性代数的二次型二次型作为线性代数中的一个重要概念，在各个领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、矩阵表示、规范形以及二次型的几何意义等方面进行论述，帮助读者更好地理解和应用线性代数中的二次型。
一、基本概念在线性代数中，二次型是一种特殊的多项式形式，它包含了二次项和线性项，不包含常数项。
通常表示为：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$是$n$个实数变量，$a_{ij}$是$n\timesn$阶实对称矩阵的元素。
二、矩阵表示二次型可以通过矩阵和向量的乘法来表示。
假设$A$是一个$n\times n$阶实对称矩阵，$x$是一个$n$维列向量，则二次型$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$。
这样的表示方式更加简洁和便于计算。
三、规范形在研究二次型时，我们常常希望将其化为规范形，以便更好地理解和研究其性质。
规范形指的是将二次型化为一种特定形式的简化表示。
1. 实对称矩阵的对角化实对称矩阵可以对角化为对角阵，即$A=P\Lambda P^T$，其中$P$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵。
由于正交矩阵的转置等于其逆矩阵，所以对于二次型$Q(x)=x^TAx$，我们有$Q(x)=x^TP\LambdaP^Tx$。
2. 规范形当实对称矩阵的对角元素为1或-1，其余元素均为0时，二次型称为规范二次型。
规范二次型具有简洁的特点，形式为$Q(x)=\pmx_1^2\pm x_2^2\pm \cdots \pm x_r^2$，其中$r$是规范二次型中非零对角元素的个数。
四、二次型的几何意义二次型可以与几何图形相联系，使得我们能够通过计算二次型的特征值和特征向量来获得图形的有关信息。
1. 特征值与特征向量对于二次型$Q(x)=x^TAx$，如果存在非零向量$x$和实数$\lambda$，满足$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$是$A$的一个特征值，$x$是相应的特征向量。
二次型的标准型与规范型
二次型的标准型与规范型二次型是数学中一个重要的概念，对于研究矩阵和向量空间具有重要的作用。
二次型的标准型与规范型是对于二次型进行化简和归类的方法。
本文将介绍二次型的标准型与规范型的概念和求解方法。
一、二次型的定义和性质在代数学中，对于n维实数向量空间V上的一个二次型可以表示为： Q(x) = x^TAX其中，x是V中的一个向量，A是一个n阶对称矩阵，x^T表示x的转置。
二次型Q(x)也可以表示为：Q(x) = x · A · x其中，·表示向量的点乘。
二次型的定义特点如下：1. 对称性：A是一个对称矩阵，即A的转置等于它本身，即A^T = A。
2. 齐次性：Q(cx) = c^2 Q(x)，其中c为一个常数。
3. 双线性性：Q(x+y) = Q(x) + Q(y) + 2x^T Ay，Q(cx) = c^2 Q(x)。
二次型的性质有很多，这里只列举了几个最基本的性质。
二、二次型的标准型为了简化对二次型的研究和求解，我们希望能将任意的二次型化简成一个简单的形式，这就是二次型的标准型。
可逆矩阵P，使得变换y = P^T x后，二次型变为：Q(x) = x^TAX = (P^T x)^T A (P^T x) = y^T B y其中，B为对角线上为1或-1的对角矩阵。
根据二次型的定义，我们知道A是一个对称矩阵，而对称矩阵可以通过正交对角化成对角矩阵。
所以，二次型的标准型可以通过正交变换来实现。
具体的求解过程如下：1. 对于对称矩阵A，可以通过正交相似对角化将其化为对角矩阵B。
即存在正交矩阵P，使得P^T A P = B。
2. 将二次型Q(x) = x^TAX中的变量进行变换，令y = P^T x，则有：Q(y) = y^T (P^T A P) y = y^T B y所以，二次型经过变换后可以化为标准型。
需要注意的是，标准型并不唯一，因为对于一个实数r，-r也是1或-1。
所以对于同一个二次型可以存在不同的标准型。
二次型的概念
或 矩阵形式
x1 c11 x 2 c 21 x c n n1 c12 c 22 cn 2 c1n c 2 n c nn y1 y2 yn
解
f ( 2 x 3 x1 x 2 x1 x3 )
2 1
不是二次型的矩阵 .
2 ( x 2 x1 x 2 3 x3 )
二次型中 i x j的系数为 ij b ji ( i j ), xi2的系数为 ii , x b b bij b ji 故二次型的矩阵 的元素为 ij A a ( i , j 1,2,3 ), 2
2 a nn x n
为数域 P 上的一个n 元二次型. 本章主要讨论实数域上的n 元二次型, 简称二次型.
例如
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 4 x1 x2 3 x2 5 x2 x3 x3
2 h( x1 , x2 , x3 ) x12 2 2 x1 x2 3 x2 4 3 x2 x3
即 X CY .
x1 c11 y1 c12 y 2 c1n y n x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n x n c n1 y1 c n 2 y 2 c nn y n
上面表示的变量之间的替换称为线性替换, 当 C ( cij )n 可逆时, 称为可逆线性替换 或 满秩线性替换
则 f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX , A AT O.
A
f X T AX 称为二次型的矩阵表示, 对称矩阵 A 称为
二次型 的矩阵, A 的秩为 f 的秩.
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第六章 二次型§1. 二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。
一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：=),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2n nn x a ++称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。
令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i nj j i ijx x a11把上式的系数排成一个n 阶方阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()Tn x x x X ,,,21 =。
定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。
这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。
例1：设23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420221011A例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102120A例3：设二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，则对应的二次型为：32223121213216322),,(x x x x x x x x x x x f --+-= 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。
为此引入：定义1：设n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 是两组变量，它们之间有关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111称这关系式为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，简称线性替换。
可以用矩阵的形式表示这线性替换：=X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y c c c c c c c c c 21212222111211CY =ˆ如果系数行列式0≠C ，则称线性替换为非退化的。
经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。
下面研究替换后的二次型与原二次型之间的关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵之间的关系。
设二次型=),,,(21n x x x f AX X T 经过非退化线性变换CY X =得到一个关于n y y y ,,,21 的二次型BY Y T ，下面寻找矩阵A 、B 之间的关系。
把变换CY X =代入=),,,(21n x x x f AX X T 得到： =),,,(21n x x x f AX X T ()A C Y CY T=A C Y C Y T T ==BY Y T由此得：AC C B T =，这就是前后二个二次型的矩阵之间关系。
为此引入定义2：设A 、B 为两个n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得 AC C B T = 则称矩阵A 、B 是合同的，记作B A -~。
合同是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质： （1）反身性：A A -~；（2）对称性：B A -~A B -⇒~；（由AC C B T =得()()11--=C B C A T ） （3）传递性：B A -~，C B -~C A -⇒~； （4）保秩性：若B A -~，则)()(B r A r =；（5）保对称性：若B A -~，且A 为对称矩阵，则矩阵B 也是对称的；因此，经过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。
这样把二次型的非退化线性变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。
§2. 化二次型为标准型由于二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型：2222211n n x d x d x d +++因此二次型的一个基本任务是通过一个非退化的线性替换把二次型化为只含平方项而不含混合项的二次型。
一般称只含平方项而不含混合项的二次型为标准二次型。
因为标准二次型对应的矩阵是对角矩阵，所以化一般的二次型为标准型相当于对一般的对称矩阵A ，寻找一个可逆矩阵C ，使得为AC C T 对角矩阵。
下面介绍三种化二次型为标准型的方法，并证明对实对称矩阵A ，一定存在一个可逆矩阵C ，使得为AC C T 对角矩阵。
一、正交变换法定理1：对任一个n 元二次型AX X x x x f T n =),,,(21 ，一定存在一个正交变换X=QY ，使得A Q Y Q Y AX X T T T =2222211n n y y y λλλ+++=式中n λλλ,,,21 是实对称矩阵A 的n 个特征值，Q 的n 个列向量n ααα,,,21 是矩阵A 的对应于特征值n λλλ,,,21 的标准正交特征向量。
例1：用正交变换法，化二次型226),(y xy x y x f ++=为标准型，且写出正交变换。
解：二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1331A ，所以0)4)(2(=-+=-λλλA I得4,221=-=λλ，对应的特征向量分别为()()TT1,1,1,121=-=αα单位化得：TT ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,21,21,2121ββ记⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121Q ，则Q 为正交矩阵，正交变换X=QY ，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4002AQ Q T 所得标准形为：2242y x '+'-下面看一下此题的几何背景。
设平面上有一条有心曲线：4622=++y xy x ，经过上述线性变换后得到标准形：44222='+'-y x ，这表明把平面围绕坐标原点按顺时针方向旋转045，在新坐标系下该二次曲线方程为：44222='+'-y x ，这是一条双曲线。
例2：用正交变换法，化二次型22313212),,(x x x x x x f +=为标准型，且写出正交变换。
解：二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010100A ，所以0)1)(1(2=-+=-λλλA I得1,1,1321==-=λλλ，11-=λ对应的特征向量为(),1,0,11T-=α132==λλ对应的特征向量为()()TT1,0,1,0,1,032==αα由于32,αα已正交，所以将321,,ααα单位化得：()TTT ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,0,21,0,1,0,21,0,21321βββ记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2102101021021Q ，则Q 为正交矩阵，正交变换为X=QY ，且 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010001AQ Q T所得标准形为：232221y y y ++-练习：用正交变换法，化二次型：23322231212132128244),,(x x x x x x x x x x x x f -+-+-=为标准型，且写出正交变换。
解：二次型矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=242422221A2)2)(7(242422221++=+---+--=-λλλλλλA I得A 的特征值为：2,7321==-=λλλ求出属于71-=λ的特征向量为()T2,2,11-=α，属于232==λλ的特征向量为()T 0,1,22-=α，()T 1,0,23=α,利用施密特正交化方法将,2α3α正交化得： ()T0,1,22-=β，T⎪⎭⎫⎝⎛=1,54,523β所以,1α32,ββ相互正交，再将其单位化得：T⎪⎭⎫⎝⎛-=32,32,311η，T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,51,522η，T⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=535,534,5323η令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231Q ，则正交变换为X=QY ，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200020007AQ Q T。
所得标准形为：232221227y y y ++-例3：已知二次型：233222312121321222),,(x x x ax x x x bx x x x x f +++++=可经正交线性替换X=QY 化为23223214),,(y y x x x f +=，求b a ,的值和且正交变换矩阵Q 。
解：由题意可知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111a b b A 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400010000B 相似，所以0，1，4是矩阵A 的特征值。
从而52=+a ，0122=-+-=b b A ，解得1,3==b a 对特征值0，得矩阵A 的对应单位特征向量为()T 1,0,1211-=α 对特征值1，得矩阵A 的对应单位特征向量为()T 1,1,1312-=α 对特征值4，得矩阵A 的对应单位特征向量为()T 1,2,1613=α从而所求的正交矩阵为Q=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--61312162310613121二、配方法配方法是用中学代数中配平方的方法来达到消去交叉项，最后只剩下平方项，从而化为标准形。
下面通过二个具体例子说明。
例4：用配方法化二次型233222312121321222),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=为标准形，并写出所用的非退化线性变换。
解：先对1x 配方消去所有含1x 的交叉项：2332232132124)(),,(x x x x x x x x x f --++=再对3x 配方消去所有含3x 的交叉项：2223223213212)(2)(),,(x x x x x x x x x f ++-++=作线性替换：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=233223211xy x x y x x x y 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32332211yy x y x y y x 得二次型的标准形为：23222132122),,(y y y x x x f +-=例5：用配方法化二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=为标准形，并写出所用的非退化线性变换。