高中物理教科版选修3-4教学案：第一章 小专题研究(二) 简谐运动的多解问题 Word版含答案

小专题研究(二)⎪⎪简谐运动的多解问题
简谐运动的最大特点就是具有周期性，其位移、速度、加速度、回复力、动能、势能等物理量都具有周期性；若物体运动时间与简谐运动的周期之间存在整数倍的关系，则点的位移、速度、回复力、加速度、动能等物理量均相同；所以简谐运动在很多情况具有多解性，这是由运动时间与周期关系不确定造成的。

简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性。

[例证]如图1所示，小球m自A点以AD方向的初速度逐渐接近固定在D点的小球n。

已知AB＝0.8 m，A圆弧半径R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面上，则v 为多大时，才能使m恰好碰到小球n？(设g＝10 m/s2，不计一切摩擦)
图1
[解析]小球m的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是：以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面AB方向上的往复运动。

因为AB≪R，所以小球在圆弧面上的往复运动可看做简谐运动，具有等时性，其圆弧半径R即为单摆的摆长，周期
T＝2πR g。

设小球m恰好能碰到小球n，则有：AD＝v t，且满足t＝kT(k＝1,2,3…)，
又T＝2πR g，
解以上方程得
v＝5
kπm/s(k＝1,2,3…)，
[答案]5
kπm/s(k＝1,2,3…)
1．如图2所示，光滑的半球壳半径为R ，O 点在球心的正下方，一小球在距O 点很近的A 点由静止放开，同时在O 点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球
在O 点相碰，求小球应从多高处自由落下(»OA
≪R )。

图2
解析：小球由A 点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运
动。

因为»OA
≪R ，所以小球自A 点释放后做简谐运动，要使两球在O 点相碰，两者到O 点的运动时间相等。

小球由A 点由静止释放运动到O 点的时间为
T 4
(2n －1)(n ＝1,2,3…)， 由于从O 点正上方自由落下的小球到O 的时间也为
T 4
(2n －1)时两球才能在O 点相碰，所以 h ＝12gt 2＝12g 4π2R 16g
(2n －1)2 ＝(2n －1)2π2R 8
(n ＝1,2,3…)。

答案：(2n －1)2π2R 8
(n ＝1,2,3…) 2．A 、B 两个单摆，第一次同时从平衡位置以相同速度开始运动，经过时间t 0，它们第二次以相同速度同时通过平衡位置，已知A 摆的周期为T A ，求B 摆的周期T B 。

解析：由题知在t 0时间内，A 摆完成的全振动的次数为n A ＝t 0T A
；B 摆完成全振动的次数n B ＝t 0T B
，又因A 、B 摆是以相同的速度第二次同时通过平衡位置，所以有n A －n B ＝n ，式中n ＝0，±1、±2…，
得：t 0T A －t 0T B
＝n (n ＝0、±1、±2…)， 解得：T B ＝t 0T A t 0－nT A
(n ＝0、±1、±2…)。

答案：T B ＝t 0T A t 0－nT A
(n ＝0、±1、±2…)。