《由三视图计算物体的表面积与体积》课堂练习(含答案).doc
三视图求几何体的表面积与体积
三视图求几何体的表面积与体积一、选择题1.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）(A)112(B)5 (C)92(D)42.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）(A)6 (B)9 (C)12 (D)183.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）(B) (C) (D)4.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 5.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）6A326.（2012·浙江高考文科·Ｔ3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）(A)1 cm 3 (B)2 cm 3 (C)3 cm 3 (D)6 cm 3 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）（A ）28+（B ）30+（C ）56+（D ）60+8.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )侧（左）视图俯视图10.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱.11.某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）(A)12π (B)45π (C)57π (D)81π12.某几何的三视图如图所示，它的体积为(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )(A) (B)3π (C) (D)6π二、填空题14.已知某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 .15.如图，在长方体中，，则四棱锥的体积为 .16.已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于________3cm .17.（2012·天津高考理科·Ｔ10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），83π103π1111ABCD A B C D -13,2AB AD cm AA cm===11A BB D D-3cm m则该几何体的体积为__________.18.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.19. （2012·山东高考理科·Ｔ14）如图，正方体的棱长为1，,E F 分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道上的任意一点到面 的距离相等.3m m 3m 1111ABCD A B C D -11,AA B C 1D EDF-C B 11DED【解析】的面积为正方形面积的一半，三棱锥的高即为正方体的棱长，所以. 【答案】20.（2012·山东高考文科·Ｔ13）如图，正方体的棱长为1，E 为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道上的任意一点到面 的距离相等.【解析】以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故【答案】21.（2012·安徽高考理科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 .【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出几何体的直观图.1DED ∆612131311111=⨯⨯⨯=⋅==∆--AB AD DD h S V V DED DED F EDF D 611111ABCD A B C D -1B C 1A DED-C B 11DAD 1ADD 61【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，几何体的表面积是.【答案】22.（2012·安徽高考文科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_____.【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则得出几何体的直观图，进而求得体积.【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，则该几何体的体积是.【答案】23.（2012·辽宁高考理科·Ｔ13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________.412(25)4(2544922S =⨯⨯+⨯++++⨯=9241(25)44562V =⨯+⨯⨯=56【解题指南】读懂三视图，它是长方体（挖去一个底面直径为2 cm 的圆柱），分别求表面积，注意减去圆柱的两个底面积.【解析】长方体的长宽高分别为4,3,1，表面积为； 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为；圆柱的两个底面积.故该几何体的表面积为.【答案】3824. （2012·辽宁高考文科·Ｔ13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.【解题指南】读懂三视图，它是圆柱和长方体的组合，分别求体积即可. 【解析】该组合体上边是一个圆柱，底面圆直径为2，母线长为1；体积S，下面是一个长方体，长、宽、高分别为4,3,1，体积.故组合体体积. 【答案】25.（2012·辽宁高考文科·Ｔ16）已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为.若,则△OAB 的面43231241238⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2112ππ⨯⨯=2212ππ⨯⨯=382238ππ+-=111V sh ππ==⨯⨯=2111V sh ππ==⨯⨯=243112V =⨯⨯=1212V V π+=+12π+积为______________.【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系，将点P,A,B,C,D 看作长方体的顶点来考虑.【解析】由题意，PA ⊥平面ABCD ，则点P,A,B,C,D,可以视为球O 的内接长方体的顶点，球O 位于该长方体的对角线的交点处，那么△OAB 的面积为长方体对角面的四分之一.的.【答案】三、解答题26.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ19）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点.(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要证平面BDC 1⊥平面BDC ，可证 平面BDC ； （2）平面BDC 1分棱柱下面部分为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比.126=26=34AB PA PB OABD ==∴=∴∆⨯，面积126=4AB PA PB OABD ==∴=∴∆⨯，，面积1DC ⊥1B DACC -【解析】(I)由题设可知,所以平面. 又平面,所以.由题设知,所以,即.又 所以平面.又平面,故平面平面 (II)设棱锥的体积为,.由题意得. 又三棱柱的体积,所以. 故平面分此棱柱所得两部分体积的比为1:1.27.（2012·江西高考文科·Ｔ19）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG.（1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2） 求多面体C DEFG 的体积.【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要证平面DEG ⊥平面CFG ，可证EG ⊥平面CFG ；（2）多面体C DEFG 为四棱锥，由平面DEG ⊥平面CFG 得到四棱锥的高，利用体积公式求体积.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得.又因为,可得，即EG ⊥平面CFG,所以平面DEG ⊥平面CFG.11,,BC CC BC AC CC AC C ⊥⊥=BC ⊥11ACC A 1DC ⊂11ACC A 1DC BC ⊥1145A DC ADC ∠=∠=︒190CDC ∠=︒1DC DC ⊥,DC BC C =1DC ⊥BDC 1DC ⊂1BDC 1BDC ⊥.BDC 1B DACC -1V 1AC =1112111322V +=⨯⨯⨯=111ABC A B C -=1V ()11-:=1:1V V V 1BDC EG GF ⊥CF EGF ⊥底面CF EG ⊥（2）过点G作GO垂直于EF,GO即为四棱锥G-EFCD的高,所以所求体积为1 3S长方形DEFC·GO=13×4×5×125=16.。
空间几何体与三视图、体积表面积(含答案)
1.几种常凸多面体间的关系2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱有一个底面是用一个由正棱的高要保持平齐相等长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。
物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。
三视图指正投影（3）射影：所谓射影，就是正投影其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影题型1.空间几何体的结构例题1正方体ABCD—1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为（c ）A ．2B ．3 C. 4 D. 5【答案】：C【解析】解析如图示，则BC 中点，1B 点，D 点，A1D1的中点分别到两异面直线的距离相等。
即满足条件的点有四个，故选C 项变式练习：到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A ）只有1个 （B ）恰有3个（C ）恰有4个（D ）有无穷多个①②：当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④.答案：（ ）【答案】2、一个几何体的三视图如图积为10A. 28+65B. 30+6 D.读出的长度，黑色数字【答案】D的体。
三视图(直视图)、表面积、体积(含答案)
三视图（直视图）、表面积、体积姓名：得分：一、选择题1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6()B9()C12()D182.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）3.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A．112B.5C.4D.924.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可．．能．是5. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π 6. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱7. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 38. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+图1正视图 俯视图侧视图（D ）60+二、填空题1. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.4. 如图，在长方体1111ABCD ABC D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．5. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积3m .6. 某几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的体积等于______。
7. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.2，已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为为 。
三视图(含答案)
立体几何三视图1. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π2. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π4. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 13+23πB. 13+ 23π C. 13+ 26π D. 1+ 26π5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. 32B. 23C. 22D. 26.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.8 cm3B. 12 cm3C. 32cm33D. 40cm338.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A. 13B. 16C. 83D. 439.如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A. 圆锥B. 三棱锥C. 三棱柱D. 三棱台10.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺）．答案是（）A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺11.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3A. πB. 2πC. 3πD. 4π12.某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A. 3B. 4C. 6D. 1213. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 8−2π3B. 64−16π3C. 8−π3D. 64−12π3答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉其中后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选A．2.【答案】C【解析】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．3.【答案】B【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10-•π•32×6=63π，故选：B．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键.由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得.故，故半球的体积为：，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积，故组合体的体积为：.故选C.5.【答案】B【解析】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P-ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2．体积V==π．故选：A．由三视图可知，该几何体为底面半径直径为2，高为2的圆柱的一半，求出体积即可．本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．7.【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，且正方体的棱长为2，正四棱锥的高为2；所以该组合体的体积为V=V 正方体+V 正四棱锥=23+×22×2=cm 3．故选：C ．根据已知中的三视图可分析出该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，结合图中数据，即可求出体积．本题考查了由三视图求体积的应用问题，是基础题目．8.【答案】D【解析】 解：由三视图和题意知，三棱锥的底面是等腰直角三角形，底边和底边上的高分别为、，三棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：D ．由三视图和题意知，三棱锥的底面边长和三棱锥的高，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.【答案】C【解析】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱（横放着的）如图．故选C ．如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状．本题考查简单几何体的三视图，考查视图能力，是基础题．10.【答案】C【解析】解：由已知，堑堵形状为棱柱，底面是直角三角形，其体积为立方尺．故选C．由三视图得到几何体为横放的三棱柱，底面为直角三角形，利用棱柱的体积公式可求．本题主要考查空间几何体的体积．关键是正确还原几何体．11.【答案】B【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，圆锥的底面半径为2，高为3，圆锥的体积为V圆锥=.此几何体的体积为.故选：B．由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，即可得出．本题考查了由三视图恢复原几何体的体积计算，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（2+4）×2=6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=6．故选：C．由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13.【答案】B【解析】解：由题意，几何体的直观图是正方体挖去一个圆锥，体积为=64-，故选B．由题意，几何体的直观图是正方体挖去一个圆锥，即可求出体积．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．。
由三视图求面积、体积-高中数学知识点讲解(含答案)
由三视图求面积、体积（北京习题集）（教师版）一．选择题（共10小题）1．（2019秋•通州区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为()A．27B．42C．211D．432．（2020•朝阳区模拟）若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为mn，如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为()A．14B．12C．34D．13．（2020•平谷区一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．04．（2019秋•房山区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．23B．43C．2D．45．（2020•延庆区一模）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为()A．8B．12C．443D．206．（2020•门头沟区一模）某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为()A2B3C．1D67．（2019秋•大兴区期末）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为()A．4B．10C．12D．308．（2020•朝阳区模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为()A．5B．3C．6D．239．（2019秋•昌平区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．83B．43C．22D．410．（2020•房山区一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．43B．83C．4D．8二．填空题（共5小题）11．（2020•东城区模拟）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．12．（2019秋•西城区期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有个13．（2019秋•朝阳区期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为，面积最大的侧面的面积为．14．（2018秋•顺义区期末）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为．15．（2019•朝阳区二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．由三视图求面积、体积（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2019秋•通州区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为()A．27B．42C．211D．43【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以：22244(23)211AB=++=故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2．（2020•朝阳区模拟）若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为mn，如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为()A．14B．12C．34D．1【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四面体，其中PA⊥底面ABC，且AB BC⊥，由此可得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度可求．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四面体，其中PA⊥底面ABC，且AB BC⊥，可得该四面体的四个面都是直角三角形，则这个四面体的直度为414=．故选：D．【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．3．（2020•平谷区一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．0【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，其中ABC∆，BCD∆，ADC∆为直角三角形．∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3．故选：C．【点评】本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．4．（2019秋•房山区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．23B．43C．2D．4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以112221323V=⨯⨯⨯⨯=．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．（2020•延庆区一模）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为()A．8B．12C．443+D．20【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：设四棱锥体的高为h，由于该几何体的体积为143223h⨯⨯⨯=，22(3)12+=，所以几何体的表面积为122422122S=⨯+⨯⨯⨯=，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．6．（2020•门头沟区一模）某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为()A ．2B ．3C ．1D ．6【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的棱长． 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++ 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的面积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．（2019秋•大兴区期末）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为()A．4B．10C．12D．30【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：该几何体为四棱锥体：11(14)431032V=⨯+⨯⨯=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（2020•朝阳区模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为()A5B．3C6D．23【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体:A BCD-如图所示：连接EC ， 所以最长棱长2221223AC ==++=．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．（2019秋•昌平区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．43C ．22D ．4【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P ABCD -．其中底面ABCD 是矩形，2AB =．底面ABCD ⊥侧面PAD ，2PD PA ==，PA PD ⊥．取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥底面ABCD ，2PO =，22AD =．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P ABCD -．其中底面ABCD 是矩形，2AB =．底面ABCD ⊥侧面PAD ，2PD PA ==，PA PD ⊥．取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥底面ABCD ，2PO =，22AD =．∴该几何体的体积18222233V =⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点评】本题考查了四棱锥的三视图、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（2020•房山区一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．43B．83C．4D．8【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥P ABC-，其中PA⊥底面ABC，且2PA=，底面三角形ABC 为钝角三角形，BAC∠为钝角，且C到AB边的距离为4，再由棱锥体积公式求体积．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ABC-，其中PA⊥底面ABC，且2PA=，底面三角形ABC为钝角三角形，BAC∠为钝角，且C到AB边的距离为4．∴该三棱锥的体积为114142323V=⨯⨯⨯⨯=．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．二．填空题（共5小题）11．（2020•东城区模拟）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为43．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：1412233⨯⨯⨯=．故答案为：43．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．12．（2019秋•西城区期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个【分析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可求得结果．【解答】解：如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA垂直于底面的四棱锥．由三视图可知，2PA AD AB ===，1BC =，AD AB ⊥，BC AB ⊥．因为PA ⊥面ABCD ，所以PAB ∆，PAD ∆都是直角三角形．在PBC ∆中，222222,1,4419PB BC PC PA AB BC ===++=++=，所以222PB BC PC +=，PBC ∆也是直角三角形．在PDC ∆中，2448PD =+=，222125CD =+=，而29PC =，所以PDC ∆不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．13．（2019秋•朝阳区期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 16 ，面积最大的侧面的面积为 ．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积．【解答】解：首先把三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：1344163V =⨯⨯⨯=． 最大的侧面积为：由于22345h =+=，所以145102S =⨯⨯=， 故答案为：16，10【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间形象能力的应用，属于基础题型．14．（2018秋•顺义区期末）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为 2 ．【分析】首先把几何体的三视图心转换为几何体，进一步利用体积公式求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，把几何体的三视图转换为几何体，如图所示：几何体的体积为：11(12)22232V =+= 故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．（2019•朝阳区二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 92π+ ．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱柱与圆柱的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为圆柱，上部为正四棱柱的组合体；且正四棱柱的底面边长为3，高为1，圆柱的底面直径为1；高为2，所以，该组合体的体积为21133()2922V ππ=⨯⨯+⨯=+几何体． 故答案为：92π+．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．。
专训2根据物体的三视图计算其表面积和体积
∴AE＝ AB＝3 cm，EG＝ CD＝2 cm，
∴AG＝AE－EG＝3－2＝1(cm)．
在Rt△ACG中，
AC＝
(cm)．
∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB.
∴
，即
.
解得OF＝10 cm.∴OE＝OF＋EF＝10＋5＝15(cm)．
由
，得OC＝2AC＝2 cm.
∴OA＝ OC＝3 cm. ∴手电筒圆台部分的表面积为S1＝π×
专训2根据物体的三视图 计算其表面积和体积
2020/9/3
在实际问题中，常常要求根据物体的三视图和尺 寸计算物体的表面积或体积．解决此类题型的方法是 先由三视图想象出几何体的形状，再根据图中的尺寸 利用相应的公式进行计算．
训练角度 1 利用三视图求几何体的表面积
1．如图是一个几何体的三视图． (1)写出此几何体的名称； (2)求此几何体的表面积S.
解：(1)圆锥． (2)由题图可知，圆锥高为8 cm，底面直径为12 cm， 易求得母线长为10 cm. ∴S＝πr2＋πrl＝36π＋60π＝96π(cm2)．
2．(1)图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在 横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组 合体的表面积．(π取3.14)
解：(1)主；俯 (2)表面积＝2×(11×7＋ 11×2＋7×2)＋4×π× 6≈301.36(cm2)．
(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可得答 案．(2)根据题目所给尺寸，计算出下面长方体 的表面积＋上面圆柱的侧面积即可得解．
训练角度 2 利用三视图求几何体的体积
3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不 倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺 寸计算其容积.(球的体积公式：V= πr3)
三视图与表面积、体积训练与解答
三视图与直观图1．下列命题正确的是( ) A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台2．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是() A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球体3．三视图如下图的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三梭台4.将如图所示的一个直角三角形ABC(∠C＝90°)绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的()5．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为()A．2π B．4π C．6π D．8π6．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是()7．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．8．给出下列命题：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题为________．9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，求由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积．12．如图1，在四棱锥P ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图2所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求侧棱P A的长．三视图与直观图1．下列命题正确的是( ) A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台解析D A项中，若绕斜边所在直线旋转，得到的几何体不是圆锥；B、C两项中，若截面不平行于底面，则得不到相应的几何体．只有D正确．2．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是( ) A．长方体B．圆锥C．圆柱D．球体解析A长方体任何方向的视图都不可能是圆．3．三视图如下图的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三梭台解析B由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．4.将如图所示的一个直角三角形ABC(∠C＝90°)绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的()解析B由题意可得直角三角形绕斜边AB旋转一周所得几何体为具有公共底面的两个圆锥，故其正视图为具有公共底边的两个等腰三角形．5．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为()A．2π B 4π C．6π D．8π解析C由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其表面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C. 6．(2013·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是()解析B由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边长为3，高为2的直角三角形，故选B. 7．(2013·福州模拟)利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．【答案】 1 8．给出下列命题：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题为________．解析③中，连线不符合母线的定义，母线是生成圆柱的矩形的一边．【答案】①②④9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.【答案】③10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解析 图①几何体的三视图：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，求由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积．解析 ∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.12．如图1，在四棱锥P ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图2所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求侧棱P A 的长． 解析(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中， P A ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝63(cm)．空间几何体的表面积和体积1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．162．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ( )A.72π B ．56π C ．14π D ．64π3．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A.12B.32 C ．1 D.134．如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于 ( )A ．15πB ．18πC ．21πD ．24π5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ( )A.3π2B.5π2C.7π2D.9π26．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 ( )A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π7.如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．8．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为____________________．9．若某个多面体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为________．10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．11.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.12．如图所示，正三角形ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥．(1)求折成三棱锥后∠MNP等于多少度？(2)擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？空间几何体的表面积和体积1．棱长为2的正四面体的表面积是 ( ) A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16解析 C 每个面的面积为12×2×2×32＝ 3. ∴正四面体的表面积为4 3.2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ( ) A.72π B ．56π C ．14π D ．64π解析 C 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ ab ＝2 bc ＝3， ac ＝6解得{ a ＝2 b ＝1 c ＝3，令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32，解得R 2＝72，∴S球＝4πR 2＝14π. 3．(2013·西安模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A. 12B. 32 C ．1 D. 13解析 A 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，V ＝13×12×(2＋1)×1×1＝12.4．如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于 ( )A ． 15πB ． 18πC ． 21πD ． 24π解析 C 由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝π(3)2＋2π×3×23＋π×3×23＝21π. 5．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()A. 3π2 B.5π2 C.7π2 D.9π2解析A V＝V大圆锥－V小圆锥＝13πr2(1＋1.5－1)＝3π2，故选A.6．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π解析C由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝43π×325⎪⎭⎫⎝⎛＝125π6.7.如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为3 2，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 【答案】3128．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为____________________．解析该几何体的直观图如图．∴S表＝2(2×8＋8×10＋2×10)＋2(8×6＋8×2)＝360. 【答案】360 9．若某个多面体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为________．解析 由三视图可知几何体为三棱锥，底面边长为2，由正视图可知其一侧面与底面垂直，且此侧面也是边长为2的等边三角形，故三棱锥的高为3，因此其体积V ＝13×34×22×3＝1. 【答案】 110.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解析 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直棱柱B 1C 1Q A 1DP 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．11．(2013·阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋44＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯246215821＝40＋242.12．如图所示，正三角形ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥．(1)求折成三棱锥后∠MNP 等于多少度？(2)擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？解析 (1)由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，△MNP 为正三角形，故∠MNP ＝60°.(2)擦去线段EM 、EN 、EP 后，所得几何体为棱台，其侧面积为：S 侧＝S E -ADF 侧－S E -MNP 侧＝3×34×22－3×34×12＝934.。
三视图与体积、表面积(例、练及答案)
专题十三：三视图与体积、表面积（例、练及答案）1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．4B ．C ．D ．8练习一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则俯视图中圆的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．44．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）1111ABCD A B C D E 1AA 1B E D 、、2367276A ．B ．C ．D ．5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（）A ．B ．C ．D ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）)21+π21⎫+π⎪⎪⎝⎭122⎫+π⎪⎪⎝⎭12⎫π⎪⎪⎝⎭34π32π17π172π32π16π36π72πA ．B ．C ．D ．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．B ．C ．D．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）6+8+6+8+a b ()520,02a b a b +=>>174π214π4π5πP ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AB =12131415A ．15B ．16C ．D ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）A ．B ．C ．12D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．B ．7C ．D ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．5035339438320322323314．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．参考答案1．【答案】【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积为，∴表面积为．2．【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体， 从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。
利用三视图求几何体的表面积和体积
6
5
由三视图求几何体的体积和表面积的思路
1、由三视图确定几何体的形状 （1）由俯视图确定几何体的底面 （2）根据正视图或侧视图确定几何体侧棱与侧面特征，调整 实线和虚线所对应的棱、面的位置 （3）确定几何体直观图形状 2、由题目中的数据进行代入公式求解
布置作业：
《优化设计》p22-基础巩固3,4,6,7 P24例2，变式训练2， P25-基础巩固7,9
积等于
.
解析:该几何体如图所示，挖去的圆锥的母线长为
62 22 2 10
则圆锥的侧面积等于 4 10 圆柱的侧面积为2π×2×6=24π,圆柱的一个底面面 积为 22 4 ,所以组合体的表面积
为 4 10 24 4 4 10 28 .
答案: 4 10 28
题型二：三视图有关的体积计算
1 3Байду номын сангаас
(S
SS' S')h
题型一：三视图有关面积计算
例1.已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( )
A.72 B.66 C.60 D.30
解析:由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为
直角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,
如图所示,所以表面积为
2
温故知新
1、三视图
画三视图的三大原则
正俯一样长，正侧一样高，侧俯一样宽
温故知新
面积
圆柱的表面积：S圆柱 2r(r l) 圆锥的表面积：S圆锥 r(r l) 圆台的表面积：S圆台 (r 2 r'2 rl r'l)
体积
柱体的体积：V柱 Sh
锥体的体积：V锥
1 Sh 3
台体的体积：V台
初中数学精品试题：根据物体的三视图计算其表面积和体积(含答案)
专训2根据物体的三视图计算其表面积和体积名师点金：在实际问题中，常常要求根据物体的三视图和尺寸计算物体的表面积或体积．解决此类题型的方法是先由三视图想象出几何体的形状，再根据图中的尺寸利用相应的公式进行计算．利用三视图求几何体的表面积1．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是()A．S1＞S2＞S3B．S3＞S2＞S1C．S2＞S3＞S1D．S1＞S3＞S22．(1)如图①是一个组合体，如图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)利用三视图求几何体的体积3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺寸计算其容积.⎝⎛⎭⎫球的体积公式：V ＝43πr 34．一透明的敞口正方体容器ABCD -A ′B ′C ′D ′内装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α (∠CBE ＝α)．如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三种视图及尺寸如图②.解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ；(2)求液体的体积．参考答案1．D2．解：(1)主；俯 (2)表面积＝2×(11×7＋11×2＋7×2)＋4×π×6≈301.36(cm 2)．3．解：圆锥的高为132－52＝12(cm )，则不倒翁的容积为13π×52×12＋12×43π×53＝100π＋250π3＝550π3(cm 3)． 4．解：(1)CQ ∥BE ；3(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)．。
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2018-2019学年度湘教版数学九年级下册课堂练习
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第3章 投影与视图
由三视图计算物体的表面积与体积
1.一个物体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为3、底边为2的等腰三角形，根据三视图求这个物体的表面积，并画出该物体的侧面展开图．
答图
解：该几何体是一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，侧面展开图如答图．
侧面积为12×2π×3＝3π，底面积为π×12＝π，
∴表面积为3π＋π＝4π.
2.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为( B )
左视图 俯视图
A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
【解析】左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图可得到长方体的长和高，长方体的高为2，长为4，∴主视图的面积为2×4＝8.
3.一个如图所示的长方体的三视图如图所示．若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为(A)
A．66 B．48
C．482＋36 D．57
【解析】设长方体的底面边长为x，
则2x2＝(32)2，∴x＝3，
∴该长方体的表面积为3×4×4＋32×2＝66.
4.[2018·东营]如图，已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为__20π__．
【解析】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径r为4，圆锥的高为3，
所以圆锥的母线长l＝32＋42＝5，
所以这个圆锥的侧面积是π×4×5＝20π.
5.[2018·孝感]如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__16π__cm2.
【解析】由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．
根据三视图知：该圆锥的母线长为6 cm，底面半径为2 cm，
故表面积＝πrl＋πr2＝π×2×6＋π×22＝16π(cm2)．
6.[2018·齐齐哈尔]如图，三棱柱的三视图如图所示，已知△
EFG中，EF＝8 cm，EG＝12 cm，∠EFG＝45°，则AB的长为
__cm.
【解析】如答图，过点E作EQ⊥FG于点Q，
答图
由题意可得出：EQ＝A B.
∵EF＝8 cm，∠EFG＝45°，
∴EQ＝AB＝
2
2×8＝42(cm)．
7. 如图所示是一个食品包装盒的三视图(单位：cm)，其中主视图是一个等边三角形．
(1)请写出这个包装盒的几何体名称；
(2)计算这个几何体的表面积．(结果保留根号)
解：(1)由包装盒的三视图可得出包装盒是正三棱柱．(2)如答图，∵△ABC是等边三角形，
答图
∴∠B＝60°.
∵AD＝ 3 cm，
∴AB＝BC＝2 cm，
∴S底面积＝1
2×2×3＝3(cm
2)，
S侧面积＝3×6×2＝36(cm2)，
∴S表面积＝S侧面积＋2S底面积＝(36＋23)cm2.
8.
已知一个几何体的三视图的有关尺寸如图所示，请写出这个几何体的名称，并计算这个几何体的表面积．
解：名称：直三棱柱．
主视图为直角三角形，直角边长分别为4 cm 和3 cm ， 根据勾股定理得斜边长为5 cm ，
S 侧＝3×2＋4×2＋5×2＝24(cm 2)，
S 表＝2S 底＋S 侧＝2×12×3×4＋24＝36(cm 2)，
故这个几何体的表面积为36 cm 2.
9. 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图，单位：mm)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．(结果保留根号)
解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如答图1)．
答图1 答图2
密封罐的高为50 mm ，底面正六边形的直径为100 mm ，边长为
50 mm ，答图2是它的表面展开图．由展开图可知，制作一个密封罐
所需钢板的面积为6×50×50＋2×6×12×50×50×sin 60°＝(15 000
＋7 5003)mm 2.。