高数极限思维导图

极限

核心考点

1、定义（4分）

2、三大性质：唯一性、有界性、局部保号性（4分）

3、计算（核心内容：10分大题+4分小题）

4、应用：连续与间断（4分）

主要内容

函数极限

定义

三大性质

极限运算

第一种：0/0、∞/∞、∞·0

1、0/0、∞/∞型比较常规
常用洛必达、泰勒展开、等价无穷小替换

2、∞·0型常常需要转化
设置分母有原则，简单因式才下放

第二种：∞－∞

1、有分母则通分

2、没有分母创造分母

倒代换
注意在做倒代换的时候观察做完倒代换是否是单侧极限

同时除以一个数再乘以一个数

第三种：∞o、0o、1?∞

利用幂指函数对数化

泰勒展式：任何函数都可以写成幂级数的和的形式
标记: 红色

遇到A/B型：上下同阶原则，分子分母展到相同阶数

遇到A-B型：用幂次最低原则，展至系数不同的最低次幂

数列极限

定义

三大性质

唯一性

有界性：收敛数列一定有界，〡xn〡＜M

保号性：如果极限大于0，那么当n＞N时都有xn＞0

极限运算

易于连续化：归结原则

不易连续化：迫敛性（或定积分定义)

缩放的时候如果分子分母都产生变化，则只改变分子不改变分母

注意抓隐蔽条件，有的函数天生具有有界性

数列由递推公式给出：单调有界定理

Step1:使用第二数学归纳法证明有界

Step2：找上/下界

Step3：左右两边求极限，解方程

间断点

1、单侧极限不讨论间断点
2、讨论间断点时讨论的两种点：
分段函数的分段点，无定义点

第一类极限：左右极限都存在

可去间断点：左右极限都存在且相等

跳跃间断点：左右极限都存在但是不相等

第二类极限：左右极限至少有一个不存在

无穷间断点

震荡间断点

计算极限时要注意的技巧

1、化简先行

恒等变形：有理化、提取公因式、多添少补（＋－×÷）

看见根号差，先行有理化

遇到三角函数相加减

尝试提出来sin、cos、tan

泰勒展开

等价无穷小替换

尽早提取出极限不为0的因式

2、极限有左右