非线性最小二乘平差
最小二乘法
最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。
因此称最小二乘法。
所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。
事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。
此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。
为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
任意平面网坐标自动解算的非线性最小二乘平差算法
平 面 控 制 网坐 标 平 差 法 的数 学 模 型 原 本 为 非 线 性 最 小 二 乘 问 题 ， 今 还 没 有 具 有 广 泛 通 用 性 的有 效 求 至 解 方 法 。 以往 是 在 给 定 充 分 接 近 待 定 点 坐 标 平 差 值 的
ｓ ｌ ｅ ｔ ｏｎｓ ｒ ｉ ｄ ｎ ｏ ｖ ｈｅ ｃ ｔ ａ ｎｅ ｏｎｌｎｅ ｒ ｐ ｏ ａ ｍ ｉ ｏｂｌ ｍ ｓ，ｉ ａ ｉ ａ ｒ ｇｒ ｍ ｎｇ ｐｒ ｅ ｓ ｐｐｌｅ ｏ ｓ ｖｅ ｔ ｅ ｎｏｎｌｎｅ ｒ ｌ ａ ｔｓ ｉ ｄ ｔ ｏｌ ｈ ｉ ａ ｅ ｓ ｑｕａ ｅ ｏｂｌ ｍ ｒ ｓ ｐｒ ｅ ｆ ｒ ｌ ｃ ｔｎｇ ｃ ｏｒ ｎａ ｅ ｒ ｏ ｏ ａ ｉ ｏ ｄｉ ｔ ｓ ｐａ ａｍｅｔ ｒ ｎ ｐｌ ｎｅ ｃ ｅ ｓ ｉ ａ ｏｎｔ ｏｌｎｅ ｗｏｒ ｒ ｔ ｋｓ，ａ ｅ ｉ ｓ ｏｆｓ ｇｎｉｉ ａ ｍ ｐｒ ｅ ｅ ｓ ｈａ ｅ ｎｄ ａ ｓ ｒｅ ｉ ｆｃ ｎｔｉ ｏｖ ｍ ｎｔ ｓ ｂｅ ｎ
任 意 平 面 网 坐 标 自动 解 算 的 非 线 性 最 小 二 乘 平 差 算 法
范 东 明
（ 南 交 通 大 学 土 木 工 程 学 院 ，四 川 成 都 ６ ０ ３ ） 西 Ｉ １ ０ １
摘 要 ：首 次 将 求 解 带 约 束 非 线 性 规 划 问 题 的 一 种 十 分 有 效 的 ｓ Ｍ （ 列 二 次 规 划 法 ） 法 应 用 于 求 解 平 面 网 ＱＰ 序 算 坐 标 平 差 法 的 非 线 性 最 小 二 乘 问 题 ， 对 其 进 行 了 一 系 列 大 的 改 进 。 改 进 的 ｓ Ｍ 算 法 无 论 在 迭 代 收 敛 性 和 迭 并 ＱＰ 代 收 敛 速 率 方 面 还 是 在 解 算 控 制 点 的 数 量 方 面 都 取 得 了 令 人 满 意 的 结 果 ， 正 实 现 了 任 意 平 面 网 控 制 点 坐 标 平 真 差 值 的 自动 解 算 。 近 百 个 算 例 和 工 程 实 例 验 证 了 该 法 的 可 行 性 。 关 键 词 ：非 线 性 最 小 二 乘 ； 自动 解 算 坐 标 ；间 接 平 差 ；非 线 性 规 划 ；序 列 二 次 规 划 法
最小二乘平差 自由度
最小二乘平差最小二乘平差（Least Squares Adjustment）是测量数据处理中的一种常用方法，用于对测量观测数据进行最优估计。
通过该方法可以减小测量误差，提高测量精度，对于工程测量、测绘、地理信息系统等领域具有重要的应用价值。
原理介绍最小二乘平差的原理基于最小化观测量与观测值之间的残差平方和。
在测量过程中，常常会存在观测误差、系统误差等不确定因素，这些因素会导致观测值与真实值之间存在差异。
最小二乘平差通过对所有观测值进行加权，使得观测值与真实值之间的差异最小化。
设有n个观测值，每个观测值的观测量为O，真实值为T，观测误差为e。
则最小二乘平差的目标是找到最优的拟合/估计值x，使得：formula1通过对以上目标进行求解，可以得到最优的拟合/估计值x。
其中，观测值和真实值之间的关系可以通过各种数学模型进行描述，例如线性模型、非线性模型等。
应用场景最小二乘平差在测量数据处理中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.三角测量：在工程测量中，常用三角测量方法测量不同点之间的距离、角度等。
利用最小二乘平差，可以修正测量误差，提高测量精度。
2.高程测量：在测绘、地理信息系统中，通常需要测量地点的高程信息。
最小二乘平差可以对高程测量数据进行优化处理，提高高程测量的精度。
3.GPS定位：全球卫星定位系统（GPS）在导航、地图绘制等领域有着广泛的应用。
最小二乘平差可用于对GPS观测数据进行处理，提高定位的准确性。
4.建筑变形监测：在建筑工程中，对于建筑物的变形监测和建筑物的结构健康状况评估，最小二乘平差可用于对监测数据进行处理，及时发现异常情况。
实现方法最小二乘平差的实现方法有多种，常用的包括：1.高斯-马尔可夫模型：基于线性模型，通过最小二乘法对观测数据进行拟合估计。
该方法适用于满足高斯分布假设的情况。
2.递归最小二乘法：将观测数据分为多个子集，通过递归的方式对子集数据进行最小二乘拟合，然后合并得到最终的拟合结果。
遗传算法改进及其在非线性最小二乘平差中的应用
其 思 想 是 随 机 产 生 初 始 种 群 ， 过 选 择 （ ｅｒｄ ｃ 通 Ｒ ｐｏ ｕ—
１ 遗 传 算 法 的 改 进
出现 早熟 往 往 是 由于 种 群 中 出 现 了 某 些 超 级 个
ｔｎ 、 ｉ ）交叉 （ ｒ ｓ ｅ） ｏ Ｃｏ ｏ ｒ 和变 异（ ｕ ｔｎ 等遗传算 子 ｓｖ Ｍ ｔｉ ） ａｏ
差 问题 的研究 … ， 同济 大学 王 穗 辉进 行 了简 单 遗 传算
法 在非线 性最 小二 乘 平差 中 的应 用 探讨 ， 取 得 了 均
能 、 工生命 等 领域 ， ２ 世 纪智 能 计 算 中的关 键 技 人 是 １ 术 之一 ［ 。 习惯 上将 Ｊｈ ｏｎＨ．Ｈ ｌｎ 出的遗传算 法称 为 简 ｏａｄ提 ｌ 单遗 传算 法 （ｉｐｅＧ ｎｔ ｌ ｒｈ 简称 Ｓ Ａ） 应 随机 搜索 算 法 ， 还存 在 着早 熟 收敛 （ 过早
收敛 于局部最 优值 ） 收敛 速度 慢 这两个 缺 陷 ， 且 比 和 而
较难 克服 ， 给遗传算法 的应用带来 了很大 的不便 。 这
遗传 变异 理论 提 出 的一 种基 于种 群 搜 索 的 优 化算 法 。
Ｉ ｐ ｏ ｅ ｅ ｔｏ Ａ ｎ ｔ ｐｌ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｉ ｅ ｒ ｍ ｒ ｖ ｍ ｎ ｆＧ ａ ｄ Ｉｓ Ａｐ ｉ ｔｏ ｎ Ｎｏ ｌｎ ａ ｃ
光束法平差
光束法平差
光束法平差是测量学和测绘学中应用最广泛的一种平差方法，它以一组未知观测量解决地面测量所需要求解的问题为核心，建立一种系统的求解未定参数的数学模型，以便进行数据处理和分析。
光束平差应用范围广泛，是空间测量系统性能评价和空间位置测量准确性计算的一种重要工具。
光束法平差是一种逐步求解的解析平差方法，是一种数学最优化的空间数据优化的工具，为空间位置测量精度评价和尺寸变换等、求解空间多项式曲线拟合以及平面多项式曲线拟合等等提供了可靠而有效的计算方法。
光束法平差建立在非线性最小二乘拟合基础上，是以观测数据作为解决问题的核心，这些数据可以来自测量的结果，也可以来自GPS定位系统、近地表面导航系统甚至基于图像的定位系统。
其最主要的特点是，通过将观测数据转化成未定参数的无量纲模型，以最小二乘拟合的方式求解未定参数及其误差。
光束法平差存在种种优缺点，其优点有： 1）光束法可以以一种系统性的方式求解任意给定的空间测量问题，及其未定参数和误差；2）可以有效地处理不能解被定的观测数据，耦合的影响；3）可定义可操纵的误差类型；4）可以快速、可靠地进行数据处理和分析。
光束法平差的缺点是：1）被观测数据集必须有一定数量才能计算；2）模型参数需要相同模型；3）对于相对较大的观测量，计算时间会很长；4）受限于光束法本身定义的范围，无法很好地处理不符合本质原理的被观测量数据集。
第二章 平差数学模型与最小二
3-2中
表3-3
近似坐标(m)
近似方位角
2 (187966.645 , 29506889.655)
3 (186847.276 , 29507771.035)
4 (186760.011 , 29509518.179)
5 (184817.621 , 29509341.465)
T1 = 67˚ 14′ 28.3″ T2= 141˚ 47′ 00.5″ T3 = 92˚ 51′ 33.8″ T4= 185˚ 11′ 54.0″ T5 = 249˚ 30′ 24.0″
0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
W= [ 3.9 -1.6 1.7 ]T
第3点平差后坐标函数式
xˆ3 x1 xˆ1 xˆ2 x1 sˆ1 cosTˆ1 sˆ2 cosTˆ2
yˆ3 y1 yˆ1 yˆ 2 y1 sˆ1 sin Tˆ1 sˆ2 sin Tˆ2
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点 的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点 的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求 定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个 几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只 需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过 它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量 与已知量之间的关系式称为函数模型。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
非线性最小二乘平差（精）
非线性最小二乘平差6-1问题的提出经典平差是基于线性模型的平差方法。
然而在现实世界中，严格的线性模型并不多见。
测量上大量的数学模型也是非线性模型。
传统的线性模型平差中的很多理论在非线性模型平差中就不一定适用；线性模型平差中的很多结论在非线性模型平差中就不一定成立；线性模型平差中的很多优良统计性质在非线性模型平差中就不一定存在。
例如，在线性模型平差中，当随机误差服从正态分布时，未知参数X的最小二乘估计具有一致无偏性和方差最小性。
但在非线性模型平差中，即使随机误差严格服从正态分布，未知参数X的非线性最小二乘估计也是有偏的。
其方差一般都不能达到最小值。
对于测量中大量的非线性模型，在经典平差中总是进行线性近似（经典的测量平差中称之为线性化），即将其展开为台劳级数，并取至一次项，略去二次以上各项。
如此线性近似，必然会引起模型误差。
过去由于测量精度不高，线性近似所引起的模型误差往往小于观测误差，故可忽略不计。
随着科学技术的不断发展，现在的观测精度已大大提高，致使因线性近似所产生的模型误差与观测误差相当，有些甚至还会大于观测误差。
例如，GPS载波相位观测值的精度很高，往往小于因线性近似所产生的模型误差。
因此，用近似的理论、模型、方法去处理具有很高精度的观测结果，从而导致精度的损失，这显然是不合理的。
现代科学技术要求估计结果的精度尽可能高。
这样，传统线性近似的方法就不一定能满足当今科学技术的要求。
另外，有些非线性模型对参数的近似值十分敏感，若近似值精度较差，则线性化会产生较大的模型误差。
由于线性近似后，没有顾及因线性近似所引起的模型误差，而用线性模型的精度评定理论去评定估计结果的精度，从而得到一些虚假的优良统计性质，人为地拔高了估计结果的精度。
鉴于上述各种原因，对非线性模型平差进行深入的研究是很有必要的。
非线性模型的平差和精度估计以及相应的误差理论研究也是当前国内外测绘界研究的前沿课题之一。
电子教材 > 第六章非线性模型平差 > 6-2 非线性模型平差原理一、非线性误差方程测量中大量的观测方程是非线性方程。
附不等式约束的总体最小二乘迭代算法
附不等式约束的总体最小二乘迭代算法汪奇生;杨根新【摘要】基于惩罚函数和测量平差中权的思想,提出了附不等式约束的总体最小二乘平差模型,即利用惩罚函数对不等式约束方程构造约束权,通过零权和无限权将不等式约束转换为等式约束,从而将不等式约束平差准则转化为传统的测量平差准则.同时,根据非线性最小二乘平差理论,用构造结构矩阵的方法来顾及系数矩阵的结构性,推导了附不等式约束的总体最小二乘迭代算法.该算法迭代格式与传统的间接平差类似,只需经过若干次迭代便能得到最优解.【期刊名称】《大地测量与地球动力学》【年(卷),期】2016(036)012【总页数】5页(P1100-1104)【关键词】不等式约束;EIV模型;总体最小二乘;迭代算法;惩罚函数【作者】汪奇生;杨根新【作者单位】湖南软件职业学院建筑工程学院,湘潭市开源路1号,411100;云南国土资源职业学院测绘地理信息学院,昆明市经牛路2号,650217【正文语种】中文【中图分类】P207总体最小二乘(total least squares)是一种能同时考虑系数矩阵误差的方法[1]，受到各领域学者的广泛关注。
在测量数据处理中，总体最小二乘估计方法对应的平差模型为EIV(errors in variables)模型。
对于EIV模型的解算，国内外学者进行了深入研究[2-9]。
其中，文献[2]运用拉格朗日原理首次提出总体最小二乘的迭代法，文献[3]针对线性回归系数矩阵含有常数列提出了其总体最小二乘解，文献[4-8]研究了加权总体最小二乘算法并应用于测量数据处理。
除此之外，一些学者还研究了扩展总体最小二乘的一些其他算法[9]。
以上算法都没有考虑参数估计时的先验信息。
当存在某些先验信息时，可根据先验信息对参数附加某种约束。
如果约束是等式，则可以构建附有等式约束的总体最小二乘模型(equality constrained EIV,ECEIV)。
对于ECEIV模型的解算，文献[10-12]进行了详细论述。
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非线性最小二乘平差
6-1问题的提出
经典平差是基于线性模型的平差方法。
然而在现实世界中，严格的线性模型并不多见。
测量上大量的数学模型也是非线性模型。
传统的线性模型平差中的很多理论在非线性模型平差中就不一定适用；线性模型平差中的很多结论在非线性模型平差中就不一定成立；线性模型平差中的很多优良统计性质在非线性模型平差中就不一定存在。
例如，在线性模型平差中，当随机误差服从正态分布时，未知参数X 的最小二乘估计具有一致无偏性和方差最小性。
但在非线性模型平差中，即使随机误差严格服从正态分布，未知参数X的非线性最小二乘估计也是有偏的。
其方差一般都不能达到最小值。
对于测量中大量的非线性模型，在经典平差中总是进行线性近似（经典的测量平差中称之为线性化），即将其展开为台劳级数，并取至一次项，略去二次以上各项。
如此线性近似，必然会引起模型误差。
过去由于测量精度不高，线性近似所引起的模型误差往往小于观测误差，故可忽略不计。
随着科学技术的不断发展，现在的观测精度已大大提高，致使因线性近似所产生的模型误差与观测误差相当，有些甚至还会大于观测误差。
例如，GPS载波相位观测值的精度很高，往往小于因线性近似所产生的模型误差。
因此，用近似的理论、模型、方法去处理具有很高精度的观测结果，从而导致精度的损失，这显然是不合理的。
现代科学技术要求估计结果的精度尽可能高。
这样，传统线性近似的方法就不一定能满足当今科学技术的要求。
另外，有些非线性模型对参数的近似值十分敏感，若近似值精度较差，则线性化会产生较大的模型误差。
由于线性近似后，没有顾及因线性近似所引起的模型误差，而用线性模型的精度评定理论去评定估计结果的精度，从而得到一些虚假的优良统计性质，人为地拔高了估计结果的精度。
鉴于上述各种原因，对非线性模型平差进行深入的研究是很有必要的。
非线性模型的平差和精度估计以及相应的误差理论研究也是当前国内外测绘界研究的前沿课题之一。
电子教材> 第六章非线性模型平差> 6-2 非线性模型平差原理
一、非线性误差方程
测量中大量的观测方程是非线性方程。
比如导线测量中，以待定点坐标为未知参数的角度观测方程和边长观测方程分别为：
（6-2-1）
式中：为待定点坐标的真值，分别为角度观测值和边长观测值的真误差。
角度观测值和边长观测值的观测方程（6-2-1）式是待定点坐标真值（）的非线性函数。
又如在GPS伪距测量中，第j颗卫星至测站k的几何距离的观测方程为：
也是测站点k的待定坐标真值（）的非线性函数。
一般地，用L表示的观测向量，用表示的未知参数向量的真值，用△表示的真误差向量，则非线性观测方程可写为：
（6-2-2）
式中: ，是由n个的非线性函数组成的的向量;。
（6-2-2）式就是我们所要讨论的一般的非线性模型。
在一般的非线性模型（6-2-2）式中，用未知参数向量和真误差向量的估计值代替其真值，得非线性误差方程如下：
（6-2-3）
式中：V为观测值的改正数向量（残差向量）；为参数向量的估值。
二、非线性模型平差
由非线性误差方程（6-2-3）式知，非线性误差方程（6-2-3）式中仅有n个方程，而有n+t个未知数（n个观测值的改正数和t个参数）。
因此非线性误差方程（6-2-3）式是非线性不定方程组，有无穷组解。
在这无穷组解中，必然有一组解能使
（6-2-4）
我们将满足（6-2-4）式的一组解作为最优解，并称（6-2-4）式所确定的为的一个非线性最小二乘[23]估计。
本书中将求解非线性最小二乘估计的过程称为非线性模型平差。
可见，非线性模型平差与线性模型平差的是完全一致的。
（6-2-4）式的几何意义就是观测空间至解空间的距离最短，或者说是解轨迹π上离观测值L最近的点（见图6-1）。
L到π的距离就是‖V‖。
图6-1
在非线性模型（6-2-3）式中，若存在一阶连续偏导数，且的非线性最小二乘估计量存在，则残差向量V在处垂直于切空间T（见图6-1）[24]。
一、非线性最小二乘估计的近似解。