拉普拉斯变换

§13 拉普拉斯变换

重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开

2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路

3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤

难点：

1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法

2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用

本章与其它章节的联系：

是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。

预习知识：

积分变换

§13－1 拉普拉斯变换的定义

1. 拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解

时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

2. 拉普拉斯变换的定义

一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为

式中s=σ＋jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为

式中 c 为正的有限常数。

注意：

1）定义中拉氏变换的积分从t=0- 开始，即：

它计及t=0- 至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方

便。

2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t),u(t)。

3）象函数F(s) 存在的条件：

3.典型函数的拉氏变换

1) 单位阶跃函数的象函数

2) 单位冲激函数的象函数

3) 指数函数的象函数

§13－2 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。

表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理

特性和定理表达式条件和说明线性 a 、 b 为常数

时域延迟为一非负实数

位移特性

频域延迟

若所有初值为零，则有微分

积分

初值定理或

存在

所有奇点均在s 平面终值定理或

左半部

卷积定理

为与的卷

积

应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。

表 13-2 拉氏变换简表

1

Cos at Sin( at )

Cosh at Sinh( at )

例13-1已知，求函数的像函数。

解：

例13-2已知，求f(t)= 的象函数。

解：根据积分性质和时域延迟性质

例13-3求函数的像函数。

解：

例13-4求函数的像函数。

解：根据微分性质，因为，所以

例13-5 求函数的像函数。

解：根据频域导数性质有：

例13-6求函数的像函数。

解：根据频域导数性质有：

例13-7求函数的像函数。

解：根据频域导数性质有：

§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

1．拉普拉斯反变换法

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函

数。由象函数求原函数的方法有：

1）利用公式

2) 对简单形式的F(S) 可以查拉氏变换表得原函数

3) 把F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。

则

§13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

2.部分分式展开法

用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将展开成部分分式，成为可在拉

氏变换表中查到的的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数。

设，的阶次不高于的阶次，否则，用除，以得到一个的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作

因式分解，求出=0的根。

设象函数的一般形式：

即F（s）为真分式。下面讨论=0 的根的情况。

1）若=0 有n 个不同的单根p1、p2……p n。利用部分分式可将F(s)分解为：

待定常数的确定：

方法一：按，i =1, 2, 3, … , n 来确定。

方法二：用求极限方法确定a i的值

得原函数的一般形式为：

2）若=0有共轭复根和，可将F(s)分解为：

则，

因为F(s)为实系数多项式之比，故和为共轭复数。设，3）=0 的具有重根时，因含有的因式。

则，；；……　；

总结上述得由F(s) 求f( t) 的步骤：

1）n = m 时将F(s) 化成真分式和多项式之和；

2）求真分式分母的根，确定分解单元；

3）将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数；

4）对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。

例13-8已知求原函数

解法一：设

其中

所以

解法二：

例13-9已知求原函数。

解：因为的根为：

所以

例13-10已知，求原函数

解：

；

；

；

则，

例13-11已知，求原函数。

解：原式

所以

§13－4 运算电路

应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电

流的像函数表示式，而后找出R 、L 、 C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基

尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定

理在形式上均可用于运算法。