第章控制系统的设计与校正参考复习资料

习题六

1. 在题图6.1（a ）(b)中，实线分别为两个最小相位系统的开环对数幅频特性曲线，图中虚线部分表示采用串联校正后系统的开环对数幅频特性曲线改变后的部分，试问： 1）串联校正有哪几种形式： 2）试指出图（a ）、(b)分别采取了什么串联校正方法？ 3）图（a ）、(b)所采取的校正方法分别改善了系统的什么性能？

L (ωL (ω

题图6.1 习题1图

答案：1)、相位超前校正、相位滞后校正、相位-超前校正 2)、图(a)串联相位滞后校正，图(b)串联相位超前校正。

3)、相位滞后校正提高了低频段的增益，可减少系统的误差。相位超前校正改善了系统的稳定性，使剪切频率变大，提高系统的快速性。

2. 单位反馈系统的开环对数幅频特性曲线)(0ωL 如题图6.2所示，采用串联校正，校正装置

的传递函数)1100

)(13.0()

110)(13()(++++=s s s

s s G c

题图6.2 习题2图

（1）写出校正前系统的传递函数)(0s G ；

（2）在图中绘制校正后系统的对数幅频特性曲线)(ωL ； （3）求校正后系统的截止频率c ω和γ。

解：（1）)1100

)(110(100

)0++=s s s s G

（2）20)1100

)(13.0()

13(100))()(+++==s s s s s G s G s G c ，)(ωL 曲线见答案图。

（3）10=c ω，?=?--?-+?=6.63100

10arctan 23.010arctan 90310arctan

180γ

题2解图

3. 已知最小相位系统的开环对数幅频特性)(0ωL 和串联校正装置的对数幅频特性)(ωc L 如题图6.3所示。

（1）写出原系统的开环传递函数)(0s G ，并求其相角裕度；

（2）写出校正装置的传递函数)(s G c ；

（3）画出校正后系统的开环对数幅频特性曲线)(ωL ，并求其相角裕度。

1

题图6.3 习题3图

解：（1）)105.0)(1.0(100

)(0+=

s s s s G ?-=4.33γ

（2）1

1001

125.3)(++=s s s G c

（3）)

1100)(105.0)(11.0()

1125.3(100)()()(0++++==s s s s s s G s G s G c 125.3=c ω ?=9.57γ

01

题3解图

4. 已知某单位负反馈开环传递函数为)

5(500)(0

0+=

s s K s G ，试采用超前校正，使校正后系统速

度误差系统100=Kv ，相位裕量?≥45γ。

答案：K =1，未校正系统：4.22=c ω，?=5.12γ

超前校正装置：1

0158.01

0632.0)(++=s s s G c

校正后：6.31'=c ω，?=45'γ， )10158.0)(12.0()

10632.0(100)(+++=s s s s s G

5. 某单位反馈系统的开环传递函数21

)(s

s G =，采用串联校正改善系统性能，校正装置的传

递函数为)

1()

110()(++=Ts Ts K s G c c ，要求校正后系统的截止频率1'=c ω，相角裕度'γ达到最大。

试确定：

（1）校正装置传递函数中的参数c K ，T 。

（2）校正后系统在2)(t t r =作用下的稳态误差ss e 。

解：316.0=c K ， 316.0=T 33.6=ss e

6. 某单位反馈的典型二阶系统的单位阶跃响应如题图6.4所示。

题图6.4 习题6图

（1）确定系统的开环传递函数，画出系统的结构图；

（2）用适当的校正方式，并调整开环增益，使系统超调量%3.16%=σ，调节时间s t s 1=，（3）试画出校正后系统的结构图，确定校正装置的传递函数和系统的开环增益。

解：（1）)

98.1(89

.10)(+=s s s G （图略）

（2）解法一 用串联校正 7)

98.1(5.4)(++=s s s G c ，7=K

解法二 用测速反馈 )

7(49

)(+=s s s G c ，7=K

7. 系统结构图如题图6.5所示，被按控对象的传递函数为)

101.0)(11.0()(0++=s s s K

s G

题图6.5 习题7图

（1） 当1)(=s G c 时，若要求系统的静态误差系数100=v K ，试判断系统此时是否稳定？

（2） 令100=K ，为使系统获得大于30o的相角裕度，采用校正装置1

005.01

05.0)(++=s s s G c

试验证校正后系统是否满足要求。

解：（1）)101.0)(11.0()()()(0++==s s s K

s G s G s G c ，当100==v K K 时，作系统的伯德图如

图中)(0ωL 如示。可见 6.3110010=?=c ω

?=?-?-?=?-?-?-?=1.05.174.72906.3101.0arctan 6.311.0arctan 90180r 系统临界稳定，故K 的稳定范围为：1000<

（2）校正后系统的开环传递函数)

1005.0)(101.0)(11.0()

105.0(100)()()('0++++==s s s s s s G s G s G c

系统的伯德图如图中)(ωL 。此时

50'=c ω

?>?=?-?-?-?+?=?-?-?-?-?+?=309.38146.267.762.6890 50

005.0arctan 5001.0arctan 501.0arctan 905005.0arctan 180'r

系统满足要求。

题7解图

8. 一单位负反馈最小相位系统开环相频特性为：ωω

ω?arctg --?-=2

arctan 90)(

（1）求相角裕量为30o时系统的开环传递函数；

（2）在不改变穿越频率的前提下，试选择参数c K 和T ，使系统在加入串联校正环节

1

)

1()(++=s Ts K s G c

c 后，系统的相角裕量提高到60o。 解：（1）由题意，设系统的开环传递函数为)1)(12

()(0++=s s

s K

s G

若?=30γ，则有 ?=+?30)(180ω? 即： ?=+602

arctan ωω

arctg

解得： 8.0==ωωc 所以 8.0==c K ω

)1)(12

(8

.0)(0++=

s s

s s G

（2）校正后系统的开环传递函数为2)1)(12

()

1(8.0)(+++=s s s Ts K s G c

当8.0=c ω时，相角裕度为：

?=-++?=60arctan )(180'c c c arctg T ωωω?γ

?-=65.111arctan c T ω

解得 19.3=T

由 18.0lg

=c

c

c T K ωω 解得 467.0=c K 9. 设未校正系统开环传递函数为)

15.0)(12.0(10

)(0++=s s s s G ，要求校正后系统的相位裕度

?=65γ，幅值裕度dB K g 6=，求串联滞后校正装置。

解：原系统的截止频率和相位裕度为

15.010

=?c

c ωω 47.4=c ω

?-=--?-?=7.165.02.0arctan 90180'c c arctg ωωγ

原系统不稳定，须校正。此处采用滞后校正。

从原系统的相频特性上找到一点，该点处的相角为：

?-=?+?+?-=110565180? 将该点对应于原系统的频率作为校正后系统的截止频率'c ω，由下式

?-=--?-110'5.0'2.0arctan 90c c arctg ωω 求得 5.0'=c ω

此处的幅值为)'(0c L ω， 令 βωlg 20)'(0-=c L 解得：05.0≈β

计算滞后校正装置的转折频率：05.0'101

12===

c T ωβω 0025.0111===T

T ββω

所以校正装置 1

4001

20)(++=s s s G c

检验：校正后相角裕度：?=1.65'γ ，满足要求。

10. 某典型二阶系统10=c ω，?=45γ希望通过串联校正成为超调量%3.4%=σ，s t s 7.0=，

的典型二阶系统。

（1）试确定满足条件的校正装置传递函数)(s G c ，绘制其特性曲线)(ωc L ，指出所采用的校正方式；

（2）依照三频段理论简要说明校正对系统性能产生的影响。

解：（1）依题意设原系统的开环传递函数)

2()(2

0n n s s s G ξωω+=

则有 ???

????

=?=-?-?=02lg 452arctan 9018000c n n

c ωξωξωωγ ? ???==15.0n ωξ

所以 )

1(1

)(0+=

s s s G

由于希望的校正后系统仍为典型二阶系统，设)

''2(')(2

n n s s s G ωξω+=

由???

????

===?=--7

.0''4%3.4%100%2

'1'n s t e ωξσξπξ 解得

??

?==8'707

.0'n

ωξ )1428

.11(64

)(+=

s s s G

校正后：828.2'2'==ξωωn c ， ?=-?-?=1.76428

.11828

.2arctan 90180γ

校正装置 1

0875.0)

1(641

428

.11)1(64)()()(0++=

++==s s s s s G s G s G c 超前校正装置（ 图略） （2）串入超前校正装置后，系统的截止频率增大，快速性提高，同时相位裕量增大。 11．某比例—微分控制系统如题图6.6所示，试分析PD 控制器对系统性能的影响。

题图6.6 习题11图

解：原系统显然属于结构性不稳定系统，增加PD 控制器后，增加了开环零点，相当于增加了超前相角，使相角裕度增大，参数选择合适，可使系统稳定。

12. 已知某一控制系统如题图6.7所示，其中)(s G c 为PID 控制器，它的传递函数为

s

K s K

K s G d i p c ++=)(

要求校正后系统闭环极点为1010j ±-和-100，确定PID 控制器的参数i p K K ，

和d K 。

题图6.7 习题12图

解：开环传递函数：)

10)(5()(50)(2++++=

s s s s k K s K s G d i p

闭环传递函数：

i

p d d i p d i p d i p K s K s k s s k K s K s k K s K s s s s k K s K s 50)1(50)5015()

(50 )

(50)10)(5()

(50)(232

22+++++++=

+++++++=

Φ

根据校正后的闭环极点知：

)100)(1010)(1010(50)1(50)5015(23+-+++=+++++s j s j s K s K s k s i p d 由此解出：43=p K ，400=i K ，1.2=d K

13. 某Ⅰ型二阶系统结构图如题图6.8所示，（1）计算系统的速度稳态误差ss e 和相角裕度γ。（2）采用串联校正方法，使校正后系统仍为Ⅰ型二阶系统，速度稳态误差减小为校正前的十分之一，相角裕度保持不变，确定校正装置传递函数。

题图6.8 习题13图

解：（1））原系统的1==K K v ，所以11

==v

ss k e ；

1=c ω， ?=-?-?=451arctan 90180γ

（2）设校正后系统的开环传递函数为)

1'

'2('2'

)(+=

n n s

s s G ωξξω

由题意知：????

?

????=?===='2'

'451.0''21'ξωωγωξn c n v ss k e ? ???==5'100'ξωn

校正后传递函数为：)

1001.0(10

)(+=s s s G

校正装置 1

001.0)

1(10)()()(0++=

=s s s G s G s G c 14. 已知单位的典型二阶系统，在t t r 2sin )(=作用下的稳态输出响应为

)902sin(2)(0?-=t t c ，欲采用串联校正，使校正后系统仍为二阶系统，并且同时满足条件： ?

?

?===16.3%% 25.0 )(σ；系统的稳态误差时，

作用ss e t t r （1）试确定校正前系统的开环传递函数)(0s G ；

（2）确定校正后系统的开环传递函数)(s G ，求校正后系统的截止频率c ω和相角裕度γ； （3）确定校正装置的传递函数)(s G c 。

解：依题可设 )

2()(2

0n n s s s G ξωω+=

????

?

==

120

00νξωn K 2

2

2

2)(n

n n s s s ωξωω++=

Φ

当2=ω时，?-=90)2(j ? ，即 ?-=--904

4arctan 2n n

ωξω，解得 2==ωωn

此时 221

)(0

==

ξωA 解得 25.00=ξ 所以 )

1(4

)(0+=s s s G

（2）依题设 )

2()(2

n n s s s G ξωω+=

????

?==120

00

νξωn K 2

22

2)(n

n n s s s ωξωω++=

Φ

依题意 ??

???=?====--%3.16%100%25.0212

1/ξπξσωξe K e n ss 解得 ?????===45.04n K ωξ

校正后开环传递函数 )

125.0(4

)(+=s s s G

根据)(ωL 知 4=c ω

?=?-?-?=45425.0arctan 90180γ

（3）1

25.01

4)1()125.0(4)()()(0++=

+?+==s s s s s s s G s G s G c （属于超前校正）